Các định giá rời rạc không xác định tất cả các vành định giá. Một vành định giá bất kì tương ứng một giá trị tuyệt đối tổng quát ánh xạ vào một nhóm sắp thứ tự không nhất thiết là các số thực. Ta sẽ không xem xét trường hợp tổng quát vì ta chỉ nghiên cứu định giá rời rạc là đủ.
Một vành định giá V sinh ra từ một định giá rời rạc V như trong
(3.2) được gọi là một vành định giá rời rạc viết tắt là DVR.
3.4. Chuẩn hóa
3.4.1. Định nghĩa chuẩn hóa
Một phần tử t G V với v(t) = 1 được gọi là chuẩn hóa hoặc phẩn tử nguyên to.
Chú ý: Chuẩn hóa tồn tại do V là toàn ánh. Một chuẩn hóa cho ta biết
nhiều về vành định giá rời rạc và trường K. 3.4.2. M ệnh đề
Cho t là một chuấn hóa trong vành định giá rời rạc V thì t sinh ra ỉđêan cực đại M của V. Đặc biệt, M là iđêan chính. Trái lại, nếu t ’ là
phần tử sinh của M thì t ’ là chuấn hóa.
Vì M là iđêan cực đại duy nhất, suy ra (t) M. Nếu a e M thì v ( a ) > l nên v(W_1) = v ( a ) - v ( í ) > 1 - 1 = 0 . Suy ra, at ~'gV, ngược lại
a e (t).
Giả sử M = ậ ’). Vì t e M ta có t = c t’ với c e V. Do đó, 1 = vịt)
= v(c) + v (t’) >0 + 1 = 1 do đó v(t’) = 7.
3.4.3. Mênh đề
Neu t ỉà chuan hóa thì mọi phần tử a khác 0, a G K có thế biếu
diên duy nhất là a = u f, u là đơn vị của V, n G z . Cũng có K = Vf, K =
S ''v với s = Ịì, t, t 2, . . . , } .
ChÚTằg minh:
Cho n = v(a) sao cho v(af ) = 0 suy ra a f là đơn vị u. Neu a = utn
thì v(a) = v(u) + nv(t) = 0 + n = n. Do đó, u được xác định bởi a.
K = V[ được suy ra từ tính chất 1 của vành định giá và ta có các
phần tử của V đều có giá trị n > 0. Ket quả này cũng đúng với các iđêan.
3.5. Mệnh đề
Với mọi ỉđêan I Ỷ 0 của vành định giá rời rạc V thì đều có dạng Mn, ở đó M là iđêan cực đại V và n là so nguyên. Ta viết v(I) = n, theo giả thiết M° = V.
Chứng minh:
Chọn a G I sao cho n = v(a) là số nhỏ nhất có thể. Theo (3.4.3),
a = utn nên f = ũ ằa e ỉ. Theo (3.4.2), M = (t) suy ra M n cr/.
Cho b e I với v(b) = k > n (do tính nhỏ nhất của n). Theo chứng
minh của (3.4.3), bt'k là đơn vị u ’ nên b = u ’tk. Vì k > n ta có
b G (tn) = M n. Chứng tỏ I czMn. Tính duy nhất của n là hệ quả của bổ đề Nakayama.
Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp
Nếu ư = M' với r < s thì M ’ = M r+I = M.M’. Do đó M r = 0, mâu thuẫn với giả thiết I ỶO.
3.6. Độ dài dãy họp thành
Cho I là iđêan khác 0 của vành định giá R thì v(I) = ỉr(R/I) là độ
dài dãy hợp thành của R - môđun R/I.
Chúng minh:
Do (3.5), ta có R =,M =,M2 = ỉ. Do đó, m 3 M ỈỈ2
M2/ Ỉ 3 . . . 3 M '/ l = 0.
Do tính chất cơ bản của độ dài dãy hợp thành ta có, / = lR thì
l ( R / ỉ ) = l ( ^ - ) + l(M / / ) = / ( / ? / M) + l ( ^ / - ) + / ( M 2/ / ) .
M / ỉ M / /
Tiếp tục quá trình trên ta được
l ( R/ = ! M M)-
i= 0
VI M sinh bởi một chuẩn hóa, suy ra ỉ + M i+I sinh ra M'/Mi+I. Vì M'/Mi+I
được triệt tiêu bởi M, nó là một R/M - môđun, và là một không gian vectơ trên trường R/M. Không gian vectơ là một chiều vì Af (i=0, 1, ...,n)
là phân biệt (xem chứng minh của (3.5)). Do đó, l(R/I) = n.
Ta sẽ chứng minh một định lý đặc trưng của vành định giá rời rạc và một vài kết quả sơ bộ cần tới.
3.7. Mệnh đề
Cho I là một iđêan của vành Noether R. Với số nguyên dương m, ta có (n /7)"' c / . Đặc biệt, khi I = 0 ta có V õ được gọi là căn lũy lỉnh của R. Kí hiệu: Rad(R).
Vì R là vành Noether, V7hữu hạn sinh bởi aị,...,an với a"' E I thì c được sinh bởi tích a r\..ja rỊ với r - m .
i= ì
Chọn m = ì + ^ ( n . -1). Ta có r, > nh với ỉ nào đó. Vì nếu
/=]
r <n - 1 với mọi / và ra = < 1 + ^ ( ỉ ĩ ị -1 ) = m (vô lý). Khi đó mỗi
/=1 /=1
tích e I do đó (V7)m C /.
3.8. Mệnh đề
3.8.1. BỔ đề
Cho I là ỉđêan của vành giao hoán, có đơn vị M. Nếu \ f ĩ là ỉđêan cực đại của M thì I là M - nguyên sơ.
Chứng minh:
Ta có a b e l và b ^ 4 ỉ = M . Do tính cực đại của M nên
M + Rb = R , m e M , r e R. Ta có, m + rb = 1. Với m e M = V7 thì
mk e I, k > l . Do đó, 1 = l k = (m + r b f = mk + sb, s e R. Nhân 2 vế với
a ta được a = am + sab £ I. 3.8.2. M ệnh đề
Cho M là một iđêan cực đại của vành Noether R v à Q l à iđêan bất kỳ của thì các mệnh đề sau tương đương:
1. Q là M - nguyên sơ.
2 . 7 ẽ = w .
3. Tồn tại n nguyên duơng, M l <^Q crM.
Chứng minh:
(1) => (2) Theo định nghĩa M - nguyên sơ. (2) => (1) Suy ra từ bổ đề (3.8.1).
Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp
(2) => (3) Từ kết quả (3.7) với ỉ = Q, tồn tại n nguyên dương ta có
M " £ q £ Jq = m .
(3) => (2): Ta thấy do M là iđêan cực đại nên M là iđêan nguyên tố, suy ra yjMn =M với mọi n > l . Suy ra M =\ Im ìi cz yịọ cz \[h4 = M .
3.9 Định lý về điều kiện tương đương của vành định giá ròi rạc.
Cho R là một miền địa phương Noether, một chiều. M là ỉđêan cực đại của K, k = R/jyj là trường thương. Các mệnh đề sau là tương đương: 1. R là một vành định giá rời rạc.
2. R là một miên đóng nguyên.
3. M là iđêan chính.
5. Mọi iđêan khác 0 là một lũy thừa của M.
6. Tồn tại X e R sao cho mọi ỉđêan khác 0 có dạng (xk'), k >0.
Chứng minh:
Trước tiên ta thực hiện 2 bước:
(A): Nếu R /à một iđêan khác 0 thì R là M - nguyên sơ và R 3 M \ n bất kì. Vì M là iđêan nguyên tố khác 0 duy nhất nên sl~R = M.
(B): Do R là một miền địa phương Noether và M là iđêan cực đại nên
M " Ỷ ư ì+l, Vn > 0.
(1) => (2): Suy ra rừ tính chất của vành định giá.
(2) => (3): Cho a e M và a Ỷ 0. Theo bước (A), tồn tại một số nguyên n
sao cho Mn c (a), M"'7 ỢL (a). Chọn b e M n'1 và b Ể (a), cho X = a/b e K, K là trường các thương của R. Ta có X 7 Ể R (vì b Ể (a)) => x '1 không nguyên trên R.
R[x'1] - môđun được sinh hữu hạn như môđun R). Nhưng x '!M c: R do cách xác định X = R, M = Rx = (x).
(3) => (4): Theo (B) thì M/M2 ì 0, lại có dimK(M/M2) < 1 suy ra
dimK(M/M2)=l.
(4) => (5): Cho R là một iđêan í 0. Theo bước (A) có R =2 M l với n bất
kì, dimK(R/Mn) < 1. Do đó, R là lũy thừa của M.
(5) =í> (6): Theo bước (B), M Ỷ M 2 ^ € M, X Ể M2. Mà (x) = ư theo giả thiết, do đó r - 1, (x) = M, (.xk) = Mk.
(6) => (1): Rõ ràng (x) = M, do đó (xk) Ỷ (xk+Ị) (theo bước (B)). Nếu a là một phần tử khác 0 nào đó của R ta có (a) = (*?), k bất kì. Xác định
v(à ) = k và mở rộng V tới K* bằng cách xác định
v(ab']) = v(a) - vịb).
Kiểm tra rằng, V là cách biểu diễn tốt nhất và là một định giá rời rạc. Vậy
R là một vành định giá của V hay R là một vành định giá rời rạc.
3.10. Hệ quả
Vành R là một vành định giá rời rạc khi và chỉ khi R là một miên ỉđêan chính địa phương.
3.11. Hệ quả
Cho R là một vành định giá rời rạc với iđêan cực trị M. Neu t thuộc M/M2 thì t là chuẩn hóa.
Trườìĩg ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp
KẾT LUẬN
Nghiên cứu đề tài này dựa trên kiến thức cơ bản về Đại số đại cương, luận văn đã đưa ra lý thuyết phù hợp để giải quyết ngắn gọn các sự kiện cơ bản liên quan tới vành định giá. Như vậy đề tài “Vành định giá” đã hoàn thành nội dung và mục đích nghiên cứu.
Bước đầu làm quen với tài liệu nghiên cứu khoa học, do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.