9 PHÂN TÍCH hệ THỐNG điều KHIỂN TRONG KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

9 Phân tích Hệ thống Điều khiển trong Không gian Trạng thái9.1 Giới thiệu Đối với hệ thống phức tạp hiện đại thường có nhiều ngõ vào và nhiều ngõ ra, điều này thườngdẫn đến những trở ngạ

9 Phân tích Hệ thống Điều khiển trong Không gian Trạng thái

9.1 Giới thiệu

Đối với hệ thống phức tạp hiện đại thường có nhiều ngõ vào và nhiều ngõ ra, điều này thườngdẫn đến những trở ngại nhất định Để có thể phân tích được hệ thống thuộc dạng này, sự cầnthiết là giảm thiểu độ phức tạp trong biểu thức toán học và dùng đến máy tính cho hầu hết cácphép toán cần thiết trong việc phân tích Nội dung của chương này sẽ trình bày phương phápkhông gian trạng thái (state-space) trong phân tích hệ thống, đây cũng là phương pháp có thể giảiquyết được vấn đề trên

Trong khi lý thuyết điều khiển cổ điển dựa vào mối quan hệ vào – ra, thường là hàm truyền, thìvới lý thuyết điều khiển hiện đại lại dựa vào mô tả của phương trình hệ thống, là tập hợp của nphương trình vi phân bậc một, và có thể biểu diễn bằng phương trình vi phân dạng ma trận – véc

tơ trạng thái Việc sử dụng phương trình dạng ma trận – véc tơ trạng thái này sẽ làm đơn giảnhóa việc tính toán cho hệ thống Như vậy thì việc gia tăng số biến trạng thái, số ngõ vào hay sốngõ ra của hệ cũng không làm phức tạp cho phương trình hệ thống

Trong chương 9 này và chương 10 kế tiếp sẽ giải quyết vấn đề phân tích và thiết kế hệ thốngđiều khiển trong không gian trạng thái Giới hạn trong chương này là giới thiệu những nét cơ bảntrong phân tích không gian trạng thái, bao gồm việc biểu diễn không gian trạng thái, xét tính điềukhiển được và tính quan sát được của hệ thống Chương 10 sẽ trình bày các phương pháp hữu íchdựa trên bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái

9.2 Biểu diễn hàm truyền trong không gian trạng thái

Có nhiều kỹ thuật khác nhau để biểu diễn không gian trạng thái từ hàm truyền hệ thống Trongchương 2 chúng ta đã xét một vài phương pháp cơ bản Ở đây chúng tôi sẽ biểu diễn không giantrạng thái dạng điều khiển được, quan sát được, dạng chuẩn tắc đường chéo và dạng chuẩn tắcJordan (Các phương pháp này được trình bày chi tiết qua các bài tập từ A.9.1 đến A.9.4)

9.2.1 Biểu diễn theo dạng chuẩn tắc

Xét hệ có phương trình:

u b u b u

b u b y a y a y

) ( 0

) 1 ( 1

) 1 ( 1

) (



Với u là tín hiệu vào, y là ngõ ra, ai và bi tương ứng là các hệ số hằng.

Phương trình trên qua phép biến đổi Laplace, có thể được viết lại dưới dạng hàm truyền:

n n

n n

n n

n n

a s a s

a s

b s b s

b s b s U

s Y

1

1 1 0

)(

)(



Sau đây ta sẽ biểu diễn không gian trạng thái cho hệ thống được định nghĩa bởi (9.1) và (9.2)theo dạng chuẩn tắc điều khiển được, chuẩn tắc quan sát được, và dạng chuẩn tắc đường chéo(hoặc Jordan)

Dạng chuẩn tắc điều khiển được

Biểu diễn không gian trạng thái sau đây được gọi là dạng chuẩn tắc điều khiển được:

u

x x

x x

a a

a a x

x

x x

n

n

n n

n n

.

1 0

0 0

.

.

.

.

.

.

0 1

0 0

0 0

1 0

.

1

2 1

1 2

1 1

2 1

x x

b a b b

a b b

a b y

n n

n n n

1

2 1

0 1 1 0

1 1 0

.

Dạng chuẩn tắc quan sát được

Biểu diễn không gian trạng thái sau đây được gọi là dạng chuẩn tắc quan sát được:

u

b a b

b a b

b a b

b a b

x x

x x

a a

a a

x x

x

x

n n

n n

n n

n n

0 2 2

0 1 1 0

1

2 1

1 2

1

1

2 1

.

.

.

1 0

0

0 0

0

.

.

.

.

.

.

0 0

1

0 0

0

.

  b u

x x

x x

y

n n

0

1

2 1

.

1 0 0

Dạng chuẩn tắc đường chéo

Xét hàm truyền hệ thống được cho bởi biểu thức (9.2) Giả sử đa thức ở mẫu số hàm truyền có nnghiệm phân biệt và được triển khai theo dạng n thừa số Khi đó ta có thể viết lại hàm truyền nhưsau:

)(

))(

()(

)(

2 1

1

1 1 0

n

n n

n n

p s p s p s

b s b s

b s b s U

s Y

()

2 1

1 0

n

n

p s

c p

s

c p

s

c b

p

p p

x

x x

n n

.

0 0

.

0 0

0 0

.

2

1 2

1

1

2 1

c c

c y

n

2 1

2 1

.

()()(

)(

5 4

3 1

1

1 1 0

n

n n n

n

p s p s p s p s

b s b s

b s b s

U

s Y

)()

()()()()

(

)(

4

4

1

3 2

1

2 3

1

1 0

n

n

p s

c p

s

c p

s

c p

s

c p

s

c b

s U

s Y

p

p p p p

x

x x x x

n n

000

00

0

00

00

::

10

00

01

4 3 2 1

4 1 1 1

4 3 2 1

c c

c y

n

2 1

2 1

.

3 )

(

) (

s s

U

s Y

Biểu diễn phương trình không gian trạng thái theo dạng chuẩn tắc điều khiển được, quan sátđược và dạng chuẩn tắc đường chéo?

TRẢ LỜI:

Dạng chuẩn tắc điều khiển được:

)(1

0)(

)(32

10)

(

)(

t x t

x

t x

)(13)(

2

1

t x

t x t

y

Dạng chuẩn tắc quan sát được:

)(1

3)(

)(31

20)(

)(

t x t

x

t x

)(10)(

2

1

t x

t x t

y

Dạng chuẩn tắc đường chéo:

)(1

1)(

)(20

01)

(

)(

t x t

x

t x

)(12)(

2

1

t x

t x t

y

9.2.2 Giá trị riêng của ma trận A

Giá trị riêng của ma trận vuông cấp n (A) chính là nghiệm của phương trình đặc trưng

0



 A I



Các giá trị riêng còn được gọi là các nghiệm đặc trưng

Giả sử, cho ma trận A như sau:

1 0 0

0 1 0

A

Khi đó, ta có phương trình đặc trưng:

0 6 11 6 6

11 6

1 0

0 1

9.2.3 Đường chéo hóa ma trận cấp n x n

Lưu ý rằng, nếu một ma trận A (cấp n x n) có n giá trị riêng độc lập được biểu diễn theo dạng:

0 0

.

.

.

.

.

.

0 1

0 0

0 0

1 0

a a

a a

A

n n

2 2

2

2 1

2 1

11

1

n n n

n

n n

Trong đó: 1, 2, …, n là n giá trị riêng độc lập của AKhi đó sẽ chuyển ma trận P-1AP sang dạng ma trận đường chéo như sau:

0

2 1

1 0 0

0 1 0

a a a A

có 3 giá trị riêng 1, 1, 3 Khi đó ta đặt x = Sz sao cho

2 1

3 1

21

011

1 1

00

00

01







AS S

Đây chính là dạng chuẩn tắc Jordan

VÍ DỤ 9.2:

Hệ thống biểu diễn phương trình không gian trạng thái như sau:

u x

x x x

x x

116

100

010

3 2 1

3 2 1

1001

x x

1 0 0

0 1 0

0

B C 1 0 0 Giải phương trình I A  0 , ta được 3 nghiệm là:

3 2 1

941

321

111

z z z x

x x

321

1111

11

2 3

2 2

2 1

3 2 1

Nhân cả 2 vế với ma trận P-1

, ta được:

Bu P APz P

z z z

143

5.05.239

41

321

1116116

100

0105.05.11

143

5.05.23

3 2 1

z z z

z z

00

020

001

3 2 1

3 2 1







(9.20)

Biểu thức (9.20) chính là phương trình trạng thái biểu diễn theo dạng đường chéo hóa

Và phương trình ngõ ra, ở (9.16) được viết lại:

CPz

y 

3 2

1

1119

41

321

111001

z z z z

z

z

9.2.4 Tính bất biến của giá trị riêng

Để chứng minh tính bất biến của các giá trị riêng với phép chuyển đổi tuyến tính, ta phải chỉ rarằng nghiệm của các đa thức đặc trưng I  A và I P 1AP



 là như nhau

Áp dụng định thức của một tích bằng tích của các định thức, ta có:

) (

) (

) (

1 1 1

1 1

1

A I P P

P A I P

P A I P

AP P P P AP P I

) (

1 1

A I

A I P P AP P I

Điều này chứng tỏ giá trị riêng của ma trận A là bất biến qua phép chuyển đổi tuyến tính

9.2.5 Tính không duy nhất của tập các biến trạng thái

Với hệ thống cho trước, việc biểu diễn tập các biến trạng thái là không duy nhất

Giả sử ta gọi x1, x2, …, xn là tập gồm n biến trạng thái của hệ thống Ta có thể đưa ra nhiều tậpcác biến trạng thái khác nhau của cùng hệ thống:

) , , , (

ˆ1 X1 x1 x2 x n

x 

) , , , (

ˆ2 X2 x1 x2 x n

x 

.

) , , , (

cũng là một vec-tơ trạng thái, trong đó P là ma trận không đơn trị (non-singular) Các vec-tơtrạng thái khác nhau nhưng mang thông tin như nhau về hành vi của một hệ thống.

9.3 Biểu diễn mô hình hệ thống trong MATLAB

Trong mục này ta sẽ xét sự chuyển đổi của mô hình hệ thống từ dạng hàm truyền sang dạngkhông gian trạng thái và ngược lại Trước hết, ta xét sự biến đổi từ hàm truyền sang không giantrạng thái

Giả sử ta có phương trình hàm truyền vòng kín được biểu diễn bởi:

Den

Num s

in polynomial ator

Deno

s in polynomial Numerator

s U

s Y





min )

(

) (

Khi đó, ta có thể dùng MATLAB với dòng lệnh:

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)Kết quả sẽ là các ma trận A, B, C, D biểu diễn không gian trạng thái Điều quan trọng cần lưu ý

là biểu diễn không gian trạng thái của bất kỳ một hệ thống là không duy nhất Có nhiều kiểu biểudiễn không gian trạng thái của cùng một hệ thống Dòng lệnh như trên của MATLAB chỉ là mộtdạng biểu diễn của hệ

9.3.1 Biến đổi không gian trạng thái từ hàm truyền

Giả sử cho hàm truyền hệ thống sau:

10 5 6

10 10 )

(

) (

2 3

s s

x x x

x x

510

100

010

3 2 1

3 2 1

1001

x x

x y

Dạng khác:

u x

x x x

x x

10

001

1056

3 2 1

3 2 1

x

3 2

Trong MATLAB, việc biến đổi từ hàm truyền (9.22) sang dạng không gian trạng thái sẽ có dạngnhư (9.23) và (9.24)

Chương trình MATLAB cụ thể sau đây sẽ cho kết quả là các ma trận A, B, C, D

1 0 0

0 1 0

B = 1 0 0

C =

0 10 10

D = 0

9.3.2 Biến đổi từ không gian trạng thái sang hàm truyền

Để có được hàm truyền từ phương trình biểu diễn không gian trạng thái của hệ thống, ta dùnglệnh sau:

[num,den]= ss2tf(A,B,C,D,iu)

Trong đó, giá trị iu phải được khai báo đối với hệ thống có nhiều ngõ vào Vi dụ hệ có 3 ngõ vào (u1, u2, u3), thì iu sẽ là 1, 2, hay 3; với iu = 1 tương ứng với u1, iu = 2 tương ứng với u2, iu = 3 tương ứng với u3

Trường hợp hệ thống chỉ có 1 ngõ vào, ta có thể viết lệnh:

[num,den]= ss2tf(A,B,C,D)hoặc:

[num,den]= ss2tf(A,B,C,D,1)

(Xem Ví dụ 9.3 và chương trình tương ứng MATLAB Program 9-2).

Trường hợp hệ thống có nhiều ngõ vào nhiều ngõ ra, xem Ví dụ 9.4

VÍ DỤ 9.3:

Xác định hàm truyền của hệ thống được định nghĩa bởi hệ phương trình không gian trạng thái:

u x

x x x

x x

04.25003247

.51026.25008.5

10

0

01

0

3 2 1

3 2 1







x x

x y

TRẢ LỜI:

Chương trình MATLAB Program 9-2 sẽ cho ta hàm truyền của hệ thống, có dạng:

008.51026.250325

.5

008.504.25)

(

)(

2 3

s

s s

U

s Y

1.0000 5.0325 25.1026 5.0080

VÍ DỤ 9.4:

Xét hệ có nhiều ngõ vào, nhiều ngõ ra Với hệ có nhiều hơn một ngõ ra, ta sử dụng lệnh:

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)

sẽ tạo ra hàm truyền cho tất cả ngõ ra ứng với mỗi ngõ vào (Các hệ số ở tử số tương ứng được trả

về là ma trận gồm nhiều dòng tuơng ứng với nhiều ngõ ra) Cụ thể, ta xét hệ có phương trìnhtrạng thái sau:

114

25

10

u

u x

x x

001

0

01

u

u x

x y

y

TRẢ LỜI:

Hệ thống có 2 ngõ vào và 2 ngõ ra Ta có 4 hàm truyền tương ứng là: Y1(s)/U1(s), Y2(s)/U1(s),

Y1(s)/U2(s), Y2(s)/U2(s) (Tức là khi xét ngõ vào u1 , ta xem như u2 = 0 và ngược lại) Xem kết

quả từ chương trình MATLAB Program 9-3.

1.0000 4.0000 25.0000

Các kết quả ‘num’ và ‘den’ ở chương trình MATLAB Program 9-3 lần lượt biểu diễn cho 4

hàm truyền:

254

4)

(

)(

2 1

s s

U

s

254

25)

(

)(

2 1

s Y

254

5)

(

)(

2 2

s s

U

s

254

25)

(

)(

2 2

s s

U

s Y

9.4 Giải phương trình trạng thái bất biến

Trong mục này tác giả sẽ trình bày hướng giải quyết tổng quát để giải phương trình trạng tháituyến tính bất biến theo thời gian Trước hết là trường hợp hệ thuần nhất, sau đó đến trường hợpkhông thuần nhất

9.4.1 Giải phương trình trạng thái thuần nhất

Trước hết, ta xét phương trình vi phân vô hướng dạng:

ax

Giải phương trình này, giả sử ta được nghiệm x(t) có dạng:

2 1 0

)

Thay vào phương trình (9.25), ta được:

) (

3

2 1 0 1

2 3 2

b t b

1 2

1

b a ab

0

3 2

1 3

1

b a ab

k Giá trị b0 được xác định khi thay t = 0 vào (9.26), hay:

0

) 0

Do đó nghiệm x(t) có thể được viết lại là:

) 0 ( )

!

1

! 2

1 1

( )

k t

a at t

2 1 0

)

Từ phương trình (9.29), ta có thể viết lại phương trình (9.28) như sau

) (

3

2 1 0 1

2 3 2

b t b

2

2

1 2

1

b A Ab

3 2

1 3

1

b A Ab

k Giá trị b0 được xác định khi thay t = 0 vào (9.29), hay:

0

) 0

Nghiệm x(t) được viết lại là:

) 0 ( )

!

1

! 2

1 (

)

k t

A At I t

x       k k   (I: Ma trận đơn vị)

Vế phải của phương trình này là dạng ma trận n x n, nó có dạng tương tự như dạng chuỗi củahàm mũ vô hướng nên được gọi là ma trận hàm mũ, và:

At k

A k t

A At

!

1

! 2

1 2 2

Vì vậy, nghiệm của phương trình (9.28) có thể viết như sau:

) 0 ( )

k

t A e

là hội tụ tuyệt đối với mọi giá trị t

Do tính hội tụ của chuỗi 



k

k k

k

t A

, nên ta có thể lấy vi phân 2 vế:

A e A k

t A t

A At I

Ae k

t A t

A At I A

k

t A t

A t A A e dt d

At k

k

At k

k

k k At

1 (

! 2 (

) )!

1 (

! 2 (

)!

1 (

! 2

1 1 2

2

1 1 2

2

1 2

3 2

e e

e ( ) 

Thật vậy:

) ( 0

0 0

!

)(

k k

i k i k

k

k k k

k k As

At

e

k

s t A

i k i

s t A

k

s A k

t A e

e e e

Theo cách đó, nghịch đảo của e Atlà eAt Nếu nghịch đảo của e Atluôn luôn tồn tại, thì e At

được gọi là không đơn trị

Điều quan trọng cần nhớ là:

Bt At t B A

e e

e(  )  khi AB = BA

Bt At t B A

e e

) (

! 2

) ( ) (A B t A B t A B t I

! 2

! 2

! 3

! 2

! 2 ) (

! 3

! 2

! 3

! 2

3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2

3 3 2 2 3

3 2 2

t B t AB Bt A t A t B ABt t A t B A I

t B t B Bt I t

A t A At I e

) 2 2

(

! 2

)

e e

e A B t At Bt

Sai lệch giữa e( A B)t và e At e Bt sẽ triệt tiêu khi thay A bằng B

Dùng phép biến đổi Laplace để giải phương trình trạng thái thuần nhất

Trước hết ta xét hàm vô hướng:

ax

Lấy biến đổi Laplace 2 vế phương trình (9.32), ta được:

) ( ) 0 ( )

Suy ra:

a s

x s

(t Ax t

Lấy biến đổi Laplace 2 vế phương trình (9.34), ta được:

) ( )

0 ( )

) 0 ( ) ( ) (sI  A X s x



Nhân 2 vế cho (sI - A) -1, ta được:

) 0 ( ) (

)

x A sI s

1

s

A s

A s

I A sI

Do đó, biến đổi Laplace ngược của (sI - A) -1 cho ta:

 sI A  I At A t A t e At

! 3

3

! 2

3 2 2 1

Thay (9.36) vào (9.35), ta được nghiệm x(t):

) 0 ( )

(t Ax t

là:

) 0 ( ) ( )

Trong đó, (t) là ma trận n x n và là nghiệm duy nhất của phương trình:

I t

) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0

Và:

) ( ) 0 ( ) ( )

0 ( ) ( )

(

1

t e

Khi tất cả các giá trị riêng 1, 2 , … , n,của ma trận A đều là riêng biệt, thì (t) sẽ chứa

At

n

e

e e

e t







00

0

00

)(

2 1

Trường hợp có nghiệm bội trong các giá trị riêng (giả sử có 3 nghiệm bội) của A là:

Tính chất của ma trận chuyển trạng thái

Ta có thể tóm tắt một số tính chất quan trọng của ma trận chuyển trạng thái (t)sau đây, cho

hệ thống bất biến theo thời gian:

) ( )

1  ( 0 ) e I

2 ( )   1  ( ) 1 : 1 ( ) ( )

t t

hay t

e e

1

32

10

x

x x

1 0

1 3

2

1 0 0

0 )

(

s

s s

s A sI

2 ) 1 (

1 ) 2 (

2 ) 1 (

1 ) 1 (

1 ) 2 (

1 ) 1 ( 2

) 2 )(

1 ( ) 2 )(

1 (

2 ( 1)( 2)

1 )

2 )(

1 ( 3 2

1 3 ) 2 )(

1 ( 1

2

1 3 ) det(

1 )

s s

s s

s s

s s

s s

s s

s

s s s

s s

s

s s s

s

s A sI A

sI

Từ đây, lấy biến đổi Laplace ngược 2 vế, ta được:

t t t

t At

e e e e

e e e

e

A sI L e t

2 2

2 2

1 1

2 2

2 2

) ( )

t t t

t At

e e e

e

e e e

e e

2 2

1

2 2

2

2 )

(

9.4.2 Giải phương trình trạng thái không thuần nhất

Trước hết, ta xét phương trình dạng vô hướng:

) ( ) ( ) (t ax t bu t

Ta viết lại (9.39) như sau:

) ( ) ( ) (t ax t bu t

Nhân 2 vế phương trình này cho eat , ta được:

) ( )]

( [ )]

( ) (

dt

d t ax t x





e x

t x e

t a at



0

) ( )

0 ( ) (Hay:





e e x

e t x

t a at at

0 ( )

Nhân trước 2 vế phương trình này cho eAt, ta được:

) ( )]

( [ )]

( ) (

dt

d t Ax t x





e x

t x e

t A At

0 ( ) (Hay:

e t

x

t t A At

t A At At

) ( )

0 ( )

( )

0 ( )

t t

0 ( ) ( )

Dùng phép biến đổi Laplace để giải phương trình trạng thái không thuần nhất

Việc giải phương trình trạng thái không thuần nhất:

) ( ) ( ) (t Ax t Bu t

cũng có thể thực hiện được bằng cách dùng phép biến đổi Laplace

Từ phương trình trên, lấy biến đổi Laplace 2 vế, ta được:

) ( )

( )

0 ( )

Hay:

) ( )

0 ( ) ( ) (sI A X s x BU s Nhân trước 2 vế cho (sI – A) -1, ta có:

) ( ) (

) 0 ( ) (

) (s sI A 1x sI A 1BU s

e t x

0

)

) 0 ( )

Trên đây là nghiệm x(t) ứng với thời điểm bắt đầu bằng 0, tuy nhiên khi xét tại thời điểm bắt đầu

là t0 ≠ 0 thì nghiệm x(t) của phương trình (9.40) sẽ là:

e t x

x x

2

10

2

1 2

1 0

t t t t At

e e e e

e e e

e

A sI L e t

2 2

2 2

1 1

2 2

2 2

] ) [(

) (

Đáp ứng đối với tín hiệu vào hàm nấc đơn vị là:





t t A

e t x

0

)

) 0 ( )

t t

t t

t t

t t

t t

t t t

t

d e

e e

e

e e

e e

x e e e

e

e e e

e t

x

0

) ( 2 )

( )

( 2 )

(

) ( 2 ) ( )

( 2 ) ( 2

2

2 2

] 1 [ 1

0 2

2 2

2 )

0 ( 2

2 2

t t

t t

t t

t t t

t

d e

e

e e

x

x e e e

e

e e e

e t

(

) ( 2 ) (

2

1 2 2

2 2

2

1

2)

0(

)0(2

22

2)

t t

t t

t t

t t t

t

e e

e e

x

x e e e

e

e e e

e t

x

t x

2

2

2

1 2 2

2 2

2

1

2

12

1)0(

)0(2

22

2)

(

)(Nếu tại thời điểm ban đầu t = 0, x(0) = 0, ta có:

t t

e e

e e

t x

t x

2 2

2

1

2

12

1)(

)(

9.5 Phân tích véc tơ – ma trận

Trong phần này ta sẽ đưa ra một vài kết quả quan trọng trong phân tích véc tơ - ma trận sẽ được

sử dụng ở mục 9.6 Cụ thể, đó là định lý Cayley-Hamilton, đa thức tối giản, và phương pháp nội

suy của Sylvester để tính e At và các véc tơ độc lập tuyến tính