Bây giờ ta sẽ xét mối quan hệ giữa khả năng điều khiển được và khả năng quan sát được. Với nguyên lý đối ngẫu của Kalman sẽ làm sáng tỏ mối quan hệ tương tự giữa khả năng điều khiển được và khả năng quan sát được.
Xét hệ thống S1 được mô tả bởi:
Bu Ax
x = +
Cx
y=
Với: x: véc tơ trạng thái (gồm n véc tơ) u: véc tơ điều khiển (gồm r véc tơ) y: véc tơ ngõ ra (gồm m véc tơ)
A: ma trận n x n B: ma trận n x r C: ma trận m x n
Và hệ thống S2 được mô tả bởi:
v C z A z= * + * z B w= *
Với: z: véc tơ trạng thái (gồm n véc tơ) v: véc tơ điều khiển (gồm r véc tơ) w: véc tơ ngõ ra (gồm m véc tơ) A*: ma trận chuyển vị của A B*: ma trận chuyển vị của B C*: ma trận chuyển vị của C
Nguyên lý đối ngẫu phát biểu rằng hệ thống S1 là điều khiển được trạng thái hoàn toàn (hoặc
quan sát được) nếu và chỉ nếu hệ thống S2 là quan sát được hoàn toàn (hoặc điều khiển được
trạng thái).
Để làm sáng tỏ nguyên lý này, ta ghi lại điều kiện cần và đủ cho khả năng điều khiển được trạng thái hoàn toàn và khả năng quan sát được hoàn toàn cho hệ S1 và S2.
Với hệ S1:
1. Điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển được trạng thái hoàn toàn là ma trận cấp n x nr
[B AB An−1B]
có hạng là n.
2. Điều kiện cần và đủ để hệ quan sát được hoàn toàn là hạng của ma trận cấp n x nm
[C* A*C* (A*)n−1C*]
bằng n. Với hệ S2:
1. Điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển được trạng thái hoàn toàn là ma trận cấp n x nm
[C* A*C* (A*)n−1C*]
có hạng là n.
2. Điều kiện cần và đủ để hệ quan sát được hoàn toàn là hạng của ma trận cấp n x nr
[B AB An−1B]
Bằng cách so sánh các điều kiện này, ta thấy nguyên lý đối ngẫu là hiển nhiên đúng. Với nguyên lý đối ngẫu, thì khả năng quan sát được của hệ đã cho có thể kiểm tra bằng cách xét tính điều khiển được trạng thái của hệ đối ngẫu.
Khả năng nhận dạng:
Đối với một hệ thống có khả năng quan sát được, nếu ở chế độ không quan sát được là ổn định và ở chế độ quan sát được là không ổn định, thì hệ được gọi là có khả năng nhận dạng được. Lưu ý là khái niệm này là đối ngẫu với khả năng ổn định của hệ thống.