CHƯƠNG 9 PHÂN TÍCH hệ THỐNG điều KHIỂN TRONG KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

Tính không duy nhất của tập hợp các biến trạng thái Giá trị riêng của ma-trận n×n.. Giá trị riêng của ma-trận A n×n là các nghiệm của phương trình đặc tính Giá trị riêng còn được gọi là

Chương 9 Phân tích hệ thống điều khiển trong không gian trạng thái

9-1 GIỚI THIỆU CHUNG

9-2 KIẾN THỨC CƠ BẢN TRONG PHÂN TÍCH KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

Tính không duy nhất của tập hợp các biến trạng thái

Giá trị riêng của ma-trận n×n

Tính bất biến của giá trị riêng

Ma-trận đường chéo n×n

Biểu diễn không gian trạng thái của hệ thống bậc n với r hàm điều khiển

Định lý Cayley –Hamilton

Tính eAt

Tính không duy nhất của tập các biến trạng thái

Với một hệ thống cho trước thì tập các biến trạng thái là không duy nhất Giả sử

n x x

x1, 2, , là tập hợp các biến trạng thái Chúng ta có thể lấy tập khác các biến trạng thái

) , , , ( ˆ

.

) , , , ( ˆ

) , , , ( ˆ

2 1

2 1 2 2

2 1 1 1

n n

n

n n

x x

x X x

x x

x X x

x x

x X x

x1, 2, , và ngược lại Khi đó nếu x là vector trạng thái, thì xˆ là:

Ta chọn các biến trạng thái như sau:

y x

y x

y x

u x

x x

x

x x

x x

6 6

11

3

3 2

2 1

x x x

6 11 6

1 0 0

0 1

0

3 2 1

3 2 1

1

0 0 1

x x

với

[ 1 0 0 ]

, 6 0

0 ,

6 11 6

1 0 0

0 1 0

Giá trị riêng của ma-trận A n x n

Giá trị riêng của ma-trận A n×n là các nghiệm của phương trình đặc tính

Giá trị riêng còn được gọi là nghiệm đặc tính

Xét ma-trận A sau:

1 0 0

0 1 0

A

Phương trình đặc tính là:

0 ) 3 )(

2 )(

1 (

6 11 6

6 11

6

1 0

0 1

2 3

= + +

+

=

+ +

λ

λ λ

λ

λ λ

λ

λI A

Giá trị riêng của A là nghiệm của phương trình đặc tính hay là –1, -2, và –3

VÍ DỤ 9-2

Xét hệ thống được mô tả trong ví dụ 9-1 Chứng minh phương trình (9-2) không chỉ là phương trình trạng thái có thể cho hệ thống này Giả thiết chúng ta xác định tập biến trạng thái mới z1, z2,z3 bằng phép chuyển

3 2 1

94

1

32

1

11

1

z z z

x x x

3 2 1

1 1 1

u

z z z

z z z

5 0 5 1 1

1 4

3

5 0 5 2 3

9 4

1

3 2

1

1 1

1

6 11

6

1 0 0

0 1

0

5 0 5 1 1

1 4

3

5 0 5 2 3

3 2 1

3 2 1

z z z

3 0

0

0 2

0

0 0

1

3 2 1

3 2 1

&

&

&

Phương trình (9-9) cũng là phương trình trạng thái mô tả hệ thống (9-2)

Phương trình ra (9-5) sẽ là: y = CP z

9 4

1

3 2

1

1 1

1 0 0 1

z z

z y

1

1 1 1

z z z

Ma-trận chuyển P, xác định bởi phương trình (9-7), sửa đổi ma-trận hệ số của z thành ma-trận đường chéo Từ phương trình (9-9), ba phương trình trạng thái vô hướng không còn kết dính nhau nữa Các phần tử đường chéo của ma-trận P−1AP trong phương trình (9-8) chính là ba giá trị riêng của A Điều quan trọng cần lưu ý là các giá trị riêng của A và của P−1AP là đồng nhất Chúng ta sẽ chứng minh điều này trong các trường hợp chung ở sau

Tính bất biến của giá trị riêng

Để chứng minh tính bất biến của giá trị riêng dưới phép chuyển tuyến tính, chúng ta phải chứng minh rằng đa thức đặc tính λI −A và λI −P−1AP là đồng nhất

Vì định thức của tích là tích của các định thức, ta có:

A I P P

P A I P

P A I P

AP P P P AP

P I

λ λ

1 1 1

1 1

1

) (

Chú ý rằng tích của các định thức − 1

P và P là định thức của tích P−1P , ta có:

A I

A I P P AP

P I

Đường chéo hóa ma-trận n×n

0 0

.

.

.

.

.

.

0 1

0 0

0 0

1 0

a a

a a

A

n n

2 2

2

2 1

2 1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1 1 1

n n n

n

n n P

λ λ

λ

λ λ

λ

λ λ

λ

n

λ λ

λ1, 2, , là n giá trị riêng biệt của A

Với phép chuyển P−1AP thành ma-trận đường chéo, với

λ λ

0

.

0 2

1 1

Nếu ma-trận A xác định bởi phương trình (9-11) có giá trị riêng bội, thì không thể đường chéo hóa ma-trận Chẳng hạn, nếu ma-trận A (3 x 3) như sau:

3

1 0

0

0 1

0

a a

a A

có các giá trị riêng là λ1, λ1, λ3, khi đó phép chuyển x = Sz, với

2 1

3 1

2 1

1 0

1

λ λ λ

λ λ

1 1

0 0

0 0

0 1

λ λ

λ

AS S

Dạng này được gọi là dạng kinh điển Jordan (Jodan canonical form)

VÍ DỤ 9-3

Xét hệ thống được cho trên ví dụ 9-1 và 9-2

&y& + 6y& + 11y& + 6y = 6u (9-12)

Viết lại dưới dạng hàm truyền:

3

3 2

6 1

3 ) 3 )(

2 )(

1 (

6 6

11 6

6 )

(

) (

2 3

+

+ +

− + +

= + +

+

= + + +

=

s s

s s

s s

s s

s s U

s Y

3

3 ) ( 2

6 )

( 1

3 )

s s U s s U s s Y

+

+ +

− + +

1

3 ) (

s s X

(

s s X

+

−

) ( 3

3 ) (

s s X

u x x

u x x

3 3

6 2 3

3 3

2 2

1 1

x x

3 0 0

0 2 0

0 0 1

3 2 1

3 2 1

Hình 9-2 Sơ đồ khối biểu diễn hệ thống ở phương trình (9-17), (9-18)

1

1 1 1

x x

- 2

- 3

Biểu diễn KGTT của các hệ phương trình vi phân bậc n với r hàm điều khiển

Xét hệ thống nhiều cửa vào, nhiều cửa ra được vẽ trên hình (9-3) Trong hệ thống này

n n

n n nn

n n

n

r r

n n

r r

n n

u t b u

t b u t b x t a x

t a x t a x

u t b u

t b u t b x t a x

t a x t a x

u t b u

t b u t b x t a x

t a x t a x

) (

)

( )

( )

(

)

( )

(

.

) (

)

( )

( )

(

)

( )

(

) (

)

( )

( )

(

)

( )

(

2 2

1 1 2

2 1

1

2 2

22 1

21 2

2 22

1 21 2

1 2

12 1

11 1

2 12

1 11 1

+ +

+ +

+ +

+

=

+ +

+ +

+ +

+

=

+ +

+ +

+ +

Hình 9-3 Hệ thống nhiều cửa vào – nhiều cửa ra

Trong đó a(t) và b(t) là những hằng số hay là hàm của t

u t B x t A

x

.

2 1

vector trạng thái

u

.

2 1

vector vào hay vector điều khiển

) ( )

(

.

.

.

.

.

.

) (

) ( )

(

) (

) ( )

(

) (

2 1

2 22

21

1 12

11

t a t

a t a

t a t

a t a

t a t

a t a

t A

nn n

n

n n

) ( )

(

.

.

.

.

.

.

) (

) ( )

(

) (

) ( )

(

) (

2 1

2 22

21

1 12

11

t b t

b t b

t b t

b t b

t b t

b t b

t B

r n n

n

r r

Với các tín hiệu ra, ta có:

r r m m

m n mn m

m m

r r n

n

r r n

n

u t d u

t d u t d x t c x

t c x t c y

u t d u

t d u t d x t c x

t c x t c y

u t d u

t d u t d x t c x

t c x t c y

) (

) ( )

( )

(

)

( )

(

) (

) ( )

( )

(

)

( )

(

) (

)

( )

( )

( )

( )

(

2 2 1 1 2

2 1 1

2 2

22 1 21 2

2 22 1 21 2

1 2

12 1 11 1

2 12 1 11 1

+ + +

+ +

+ +

=

+ + +

+ +

+ +

=

+ + +

+ +

+ +

y

.

2 1

) ( )

(

.

.

.

.

.

.

) (

) ( )

(

) (

) ( )

(

) (

2 1

2 22

21

1 12

11

t c t

c t c

t c t

c t c

t c t

c t c

t C

mn m

m

n n

) ( )

(

.

.

.

.

.

.

) (

) ( )

(

) (

) ( )

(

) (

2 1

2 22

21

1 12

11

t d t

d t d

t d t

d t d

t d t

d t d

t D

r m m

m

r r

Sơ đồ Graph tín hiệu trên hình 9-4(b), các mũi tên kép biểu diễn đại lượng vector – ma trận

Hình 9-4 (a) Sơ đồ khối biểu diễn hệ thống các phương trình (9-19), (9-20)

(b) Sơ đồ Graph tín hiệu tương ứng

Định lý Cayley – Hamilton

Định lý Cayley – Hamilton rất hữu ích trong việc chứng minh các định lý có liên quan đến vector – ma trận cũng như việc giải phương trình ma-trận

Xét ma-trận A n×n và phương trình đặc tính của nó:

− = n + 1 n−1 + + n−1 + n = 0

a a

a A

A(t)

x

u

(b)

Định lý Cayley – Hamilton phát biểu rằng ma-trận A thỏa mãn PT đặc tính của nó, hay

A n +a1A n−1 + +a n−1A+a n I = 0

Để chứng minh định lý này, chú ý rằng adj( λI −A)là một đa thức của λ có bậc n –1

n n

n n

B B

B B

A I adj λ − = λ − + λ −2 + + −1λ +

2

1

) (

với B1= I Vì

I A I A

I A

I adj A

I adj A

(

)

)(

(

0

.

1

2 2

1 1

1

2 2

1 1

1

1 1

A I B B

B B

B B

B B

A I

I a I a I

a I

I A I

n n

n n

n n

n n

n n

n n

− +

+ + +

=

+ +

+ +

−

=

= +

+ + +

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

Từ phương trình này, ta thấy rằng A và Bi (i = 1, 2, , n) có tính giao hoán Vì tích của ( λI −A) và adj( λI −A) sẽ bằng 0 nếu một trong chúng bằng 0 Nếu A được thay cho λ ở phương trình này, thì rõ ràng λI − A= 0

4 thì việc tính bằng tay trở nên khó khăn và cần thiết phải sử dụng máy tính

Cách đơn giản nhất để tính eAt là khai triển eAt thành chuỗi các lũy thừa của t (Hàm mũ

ma-trận eAt là hồi quy với một giá trị hữu hạn của t) Chẳng hạn, eAt có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa như sau:

! 1

.

! 2 3

! 1 2 ) (

2 2

=

n

t A n

At t

A At At

At At I e

n n At

Chú ý rằng mỗi thành phần trong ngoặc đơn là bằng toàn bộ thành phần trước đó, chẳng hạn

!

.

;

! 1 2

! 2

;

! 1

1 1 2

2

n

t A n

At n

t A At

At t

A At

Điều này cho ta một sơ đồ hồi quy Việc tính được thực hiện chỉ đến các thành phần đủ độ chính xác yêu cầu Sử dụng chuẩn (norm) của ma-trận để kiểm tra điểm dừng tính toán Chuẩn là một số vô hướng được dùng để xác định biên độ tuyệt đối của của n2 phần tử của ma-trận n×n Có vài dạng chuẩn khác nhau Ở đây chúng ta sử dụng dạng chuẩn sau:

j i

m M

M

1 , , với m i j là các phần tử của ma-trận M

Phương pháp 1 tính eAt

Chuyển ma-trận A thành dạng đường chéo hoặc dạng Jordan chính tắc Đầu tiên chúng

ta xét trường hợp ma-trận A chỉ có các giá trị riêng khác biệt và vì vậy có thể chuyển thành dạng đường chéo Sau đó chúng ta xét trường hợp ma-trận A có giá trị riêng bội và

vì vậy không thể đường chéo hóa

Xét phương trình trạng thái x& = Ax

Nếu một ma-trận vuông có thể đường chéo hóa, thì một ma-trận đường chéo hóa trận chuyển) tồn tại và nó có thể đạt được bằng một phương pháp chuẩn (trìnhbày ở phụ lục) Xét P là ma-trận đường chéo hóa của A Đặt:

Khi đó xˆ& = P−1AP xˆ = D xˆ

với D là ma-trận đường chéo Nghiệm của phương trình này là:

0

2 1

P P

Pe e

t

t t

t D t

A

n

λ

λ λ

Tiếp theo, chúng ta sẽ xét trường hợp ma-trận A có thể được chuyển thành dạng Jordan chính tắc Xét phương trình trạng thái:

Trước tiên thiết lập ma-trận chuyển S mà nó chuyển ma-trận A thành dạng Jordan chuẩn (xem phụ lục) để cho: S−1AS = J

với J là một ma-trận ở dạng Jordan chuẩn Xác định x =S xˆ

Khi đó xˆ& = S−1AS xˆ = xˆ

Nghiệm của phương trình này là: xˆ (t) = e J t xˆ ( 0 )

t

e t te

0 0

1 0

0 1

λ λ

t t

t t

J

e

te e

e t te

e e

1

1 1

1 1

1

00

0

2 2 1

λ

λ λ

λ λ

λ

4 4

1 1 1

0

0

1

0 0

1 0

0 0

1

λ λ

λ λ

λ λ λ

t

t t

t

t t

t t

t

t J

e e

e

te e

e

te e

e t te

e

e

7 6

4

4 4

1

1 1

1 1

1

00

00

00

0

0

2 2 1

λ λ

λ

λ λ

λ

λ λ

λ λ

λ

Ví dụ xét ma-trận A sau đây:

1 0 0

0 1 0

A

Phương trình đặc tính là: λ I − A = λ3 − 3 λ2 + 3 λ − 1 = ( λ − 1 )3 = 0

Vì vậy ma-trận A có một giá trị riêng bội bậc ba tại λ = 1 Điều này có thể chỉ ra rằng ma-trận A có một vector riêng bội bậc ba Ma-trận chuyển sẽ chuyển ma-trận A thành dạng Jordan chính tắc có thể được đưa ra bởi:

0 1 1

0 0 1

0 1 1

0 0 1

1 1 0

0 1 1

1 2 1

0 1 1

0 0 1

3 3 1

1 0 0

0 1 0

1 2 1

0 1 1

0 0 1

1

Chú ý rằng

t t

t t

J

e

te e

e t te

e e

0 0

0

2 2 1

−

− +

+

−

−

− +

t t

t t

t

t t

t t

t t

t t

t t

t t

t

t t

t t

t

t J t

A

e t te

e e

t te e

t te

e t te

e t te e

e t

e t e

t te e

t te

e

e

te e

e t te

e

S Se e

2 2 1 2

2 2 1

2 2 1 2

2 2 1

2 2 1 2

2 2 1

2 2 1 1

2 3

1 2 1

0 1 1

0 0 1

0 0

0 1 2 1

0 1 1

0 0 1

Phương pháp 3 tính eAt

Phương pháp này sử dụng công thức nội suy Sylvester (bài tập A-9-6) Trước tiên chúng ta xét trường hợp các nghiệm của đa thức tối thiểu φ(λ) của A là riêng biệt (định nghĩa đa thức cực tiểu ở bài tập A-9-3) Sau đó chúng ta sẽ xem xét trường hợp nghiệm bội

Trường hợp 1 Đa thức tối thiểu của A chỉ có nghiệm riêng bội (nghiệm đơn)

Giả thiết rằng bậc của đa thức A là m Sử dụng công thức nội suy, có thể chứng minh rằng eAt có thể đạt được bằng cách giải phương trình định thức sau:

0

.

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1

1

1 2

1 2

1 2

2 2 2

1 1

2 1 1

2 1

t m

m m

m

t m

t m

e A

A A

I

e

e e

m

λ

λ λ

λλ

λ

λλ

λ

λλ

λ

Bằng việc giải phương trình (9-22) cho eAt, eAt có thể tính được dưới dạng ek (k = 0, 1,

2, , m-1) vàeλi t(i = 1 , 2 , 3 , ,m) [Phương trình (9-22) có thể được khai triển cột cuối cùng]

Từ (9-22), ta có:

+ + +

+

t A

α α

α

và việc xác định αk(t) (k = 0 , 1 , 2 ,m− 1 )bằng việc giải tập m phương trình sau với αk (t)

t m

m m

m m

t m

m

t m

m

m

e t

t t

t

e t

t t

t

e t

t t

t

λ

λ λ

λ α

λ α

λ α α

λ α

λ α

λ α α

λ α

λ α

λ α α

= +

+ +

+

= +

+ +

+

= +

+ +

2 2 1

0

1 2 1

2 2 2 2 1 0

1 1 1

2 1 2 1 1 0

) (

)

( )

( )

(

.

) (

)

( )

( )

(

) (

)

( )

( )

(

2 1

Nếu A là ma-trận n×n và có giá trị riêng tách biệt, thì số αk (t) được xác định là m = n Nếu A có nghiệm bội nhưng đa thức tối thiểu của nó chỉ có nghiệm đơn giản, thì số

)

(t

k

α được xác định m là nhỏ hơn n (m < n)

Trường hợp 2 Đa thức tối thiểu của A có nghiệm bội

Xét trường hợp đa thức tối thiểu của A có 3 nghiệm λ1 = λ2 = λ3 và các nghiệm khác

) ,

. 0

.

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1

1

) 1 (

3

2 1 0

2 2

) 2 )(

1 (

3 1 0

0

1 3

2

1 3

2

1 4

3 4

2 4 4

1 1

3 1

2 1 1

2 1

2 1 1

2 3 1 1

4 1 1 1

t m

m m

m m

t m

t m

t m

t m

e A

A A

A I

e

e e

te m

e t m

m

m

λ

λ λ λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ

λ λ

(9-24)

Phương trình (9-24) có thể giải được eAt bằng cách khai triển cột cuối cùng

Chú ý rằng, như trường hợp 1, giải phương trình (9-24) với eAt

1

2 2

A t A

t A

t I

2 3

m

t m

m

t m

m

t m

1 0

A

Tính eAt là tổng của một chuỗi vô hạn

Ma-trận mũ eAt có thể luôn được khai triển thành chuỗi ma-trận, khi đó nó có thể được cọng với nhau thành dạng kín Trong ví dụ này ta có:

− +

k k t

A

e

e t

t t

t

t t

t

t t

k

t A I

e

2

2 2

1 4

3 2

3 2

2 2 1

0

) 1

( 1

.

! 4

) 2 (

! 3

) 2 (

! 2

) 2 ( 2 1 0

.

! 3

) 2 (

! 2

) 2 ( 2 1 2

1 2

1 1

.

.

! 2 2 0

1 0

2 0

1 0

1 0

0 1

1 0

1 1

P

Khi đó từ phương trình (9-21), ta có:

e

e e

e e

2

2 2

1

2 1 2 1 2

0

0

)1

(1

0

00

02

0

10

1 2

0

1 0

0

0

s

s s

s A sI

) 2 (

1 1

)

s

s s s A

sI

Nên

2 1

2

1

=

At t t

e A I

Thay 0 cho λ và –2 cho λ trong phương trình cuối cùng, ta có:

1 2 0

10

e

Khai triển định thức, ta có: − 2 At + + 2 − − t2 = 0

Ae I

t At

e

e e

Ae I

A

e

2

2 2

1 2

2 2

1

0

)1

(1

20

10

20

022

0

11

2

1)

2(

Một cách khác sử dụng phương trình (9-23), trước hết ta xác định α0(t) và α1(t)từ:

t

e t

t

e t

t

2 1

2 1

0

1 1

0

) ( )

(

) ( )

(

λ

λ

λα

α

λα

α

= +

= +

Vì λ1 = 0 và λ2 = -2, hai phương trình trên sẽ là:

e t t

t

2 1

0

0

) ( 2 ) (

1 ) (

1 )

0

t

e t

= +

At

e

e A

e I

A t I

t e

2

2 2

1 2

1 0

0

) 1

( 1

) 1

( 2

1 )

( )

α

9-3 MA-TRẬN TRUYỀN

Trong phần này chúng ta xét vấn đề thiết kế bộ điều khiển phân ly để cho một sự thay đổi ở một cửa vào chỉ ảnh hưởng đến một cửa ra Thuộc tính phân ly là rất quan trọng trong hệ thống điều khiển quá trình

Xét hệ thống được mô tả bởi:

Với x = vector trạng thái (n - vector)

u = vector điều khiển (r - vector)

y = vector ra (m – vector)

A = ma-trận n×n ; B = ma-trận n × r ; C = ma-trận m × n ; D = ma-trận m × r Ma-trận G(s) liên quan đến biến đổi Laplace của tín hiệu ra y(t) và biến đổi Laplace của tín hiệu vào u(t) được gọi là ma-trận truyền

Ở dạng khai triển, phương trình (9-28) có thể được viết:

) (

) (

) (

) ( )

(

.

.

.

.

.

.

) (

) ( )

(

) (

) ( )

(

) (

) (

) (

2 1

2 1

1 22

21

1 12

11

2 1

s U

s U

s U

s G s

G s G

s G s

G s

G

s G s

G s

G

s Y

s Y

s Y

r mr

m m

r r

biệt của biểu thức ma-trận truyền

Tính phân ly của hệ thống nhiều tín hiệu vào – nhiều tín hiệu ra (MIMO System) Xét hệ thống được vẽ trên hình (9-5)

) ( ) ( ) (

) ( ) ( )

(

0 s E s G

s H

s Y s H s B

( )[

(

)]

( ) ( )[

( )

(

0

0

s Y s H s

U s G

s B s U s G s

Nhiều hệ thống điều khiển quá trình có nhiều cửa vào và nhiều cửa ra và điều mong muốn là sự thay đổi ở một cửa vào này chỉ ảnh hưởng đến một cửa ra (Nếu tính cách ly này đạt được thì dễ dàng duy trì mỗi giá trị cửa ra ở hằng số mong muốn khi không có mặt nhiễu ngoài)

Bây giờ chúng ta giả thiết rằng ma-trận truyền Gp(s) (ma-trận n×n) của một đối tượng là có trước, cần thiết kế một bộ bù nối tiếp Gc(s) ( cũng là ma-trận n×n) để cho n cửa vào và n cửa ra là cách ly nhau, tức là ma-trận truyền vòng kín phải là ma-trận đường chéo

.

) (

0 )

(

) (

22 11

s G

s G

s G

s G

( )

(s = G s I −G s −G

Vì ma-trận truyền vòng kín mong muốn G(s) là một ma-trận đường chéo, I – G(s) cũng là một ma-trận đường chéo Khi đó G0(s) là tích của hai ma-trận đường chéo, cũng là ma-trận đường chéo Có nghĩa là, để đạt được tính cách ly, ta phải tạo G0(s) là ma-trận đường chéo, dù ma-trận phản hồi H(s) là ma-trận đơn vị

0 1

1 )

(

s

s s

0 1

2

1 )

(

s

s s

(

) ( )

( 1

1

0 1 2

1 )

( ) ( 1

1

0 1 ) (

22 21

12 11

0

s G s G

s G s G s

s G s G s

s G

c c

c c

c p

1 2

1 +

_ +

+

+ +

Điều quan trọng cần lưu ý là trong việc phân tích này, chúng ta không phải xem xét nhiễu ngoài Nói chung trong kỹ thuật này việc có khử tử số và mẫu số Vì vậy, vài giá trị riêng sẽ bị mất trong Gp(s).Gc(s) Điều này có nghĩa là mặc dù tạo ra được kết quả phân ly mong muốn trong đáp ứng với tín hiệu vào khi không có nhiễu, nếu hệ thống bị tác động của nhiễu ngoài, thì hệ thống có thể trở nên không điều khiển được vì một chuyển động nào đó tạo ra bởi giá trị riêng bị khử là không thể điều khiển được

9-4 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC

Tính điều khiển được và tính quan sát được

Một hệ thống được gọi là điều khiển được tại điểm t0 nếu bằng một vector điều khiển không cưỡng bức có thể chuyển hệ thống từ trạng thái bắt đầu x(t0) đến trạng thái khác trong một khoảng thời gian hữu hạn

Một hệ thống được gọi là quan sát được nếu tại thời điểm t0, cĩ thể xác định được trạng thái này từ việc quan sát tín hiệu ra trong một khoảng thời gian hữu hạn

Khái niệm tính điều khiển được và tính quan sát được được đưa ra bởi Kalman Chúng đóng một vai trò quan trọng trong thiết kế hệ thống điều khiển trong không gian trạng thái Thực ra, điều kiện điều khiển được và quan sát được có thể quyết định sự tồn tại của một nghiệm hoàn toàn đối với vấn đề thiết kế hệ thống điều khiển

Nghiệm của vấn đề này có thể không tồn tại nếu hệ thống được xét là hệ thống không

điều khiển được Mặc dù hầu hết các hệ thống vật lý là điều khiển được và quan sát được, tương ứng với mô hình toán học có thể không sở hữu thuộc tính điều khiển được và quan sát được Khi đó cần phải biết dưới điều kiện nào thì hệ thống là điều khiển được và quan sát được

Vector độc lập tuyến tính

Vector x1, x2 .,x n được gọi là độc lập tuyến tính nếu

c1x1 + c2x2 + + c n x n = 0

với c1, c2 .,c n là các hằng số, khi và chỉ khi c1 = c2 = =c n = 0

Ngược lại, các vector x1, x2 .,x n được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ nếu xi có thể được biểu diễn là tổ hợp tuyến tính của x j(j = 1 , 2 , , n; j ≠ i) hay

j j

2 ,

1 0

1 ,

3 2

1

3 2

x

là phụ thuộc tuyến tính vì x1 + x2 − x3 = 0

2 ,

1 0

1 ,

3 2

1

3 2

khi và chỉ khi c1 = c2 = c3 = 0

Chú ý rằng nếu ma-trận n×n là nonsingular (tức là ma-trận có hạng n hoặc định thức khác 0), thì n vector cột (hoặc hàng) là độc lập tuyến tính Nếu ma-trận n×n là singular (tức là hạng của ma-trận nhỏ hơn n hay định thức bằng 0) thì x vector cột (hoặc hàng là phụ thuộc tuyến tính Để minh họa điều này, chú ý rằng:

4 1 3

2 0 2

2 1 1

3 2

2 1 3

2 0 2

2 1 1

3 2

Tính điều khiển được trạng thái hoàn toàn của hệ thống liên tục

Xét hệ thống liên tục sau:

Bu Ax

Với x = vector trạng thái (n vector)

u = tín hiệu điều khiển (vô hướng)

A = ma-trận n×n

B = ma-trận n×1

Hệ thống được mô tả bởi phương trình (9-38) được gọi là “có thể điều khiển trạng thái” tại t = t0 nếu có thể xây dựng tín hiệu điều khiển không cưỡng bức chuyển một trạng thái bắt đầu đến một trạng thái cuối trong một khoảng thời gian hữu hạn t0 ≤t ≤ t1 Nếu mọi trạng thái là có thể điều khiển được thì hệ thống đó được gọi là có thể điều khiển trạng thái hoàn toàn Bây giờ chúng ta sẽ rút ra điều kiện cho tính điều khiển được trạng thái hoàn toàn Không mất tính tổng quát, giả thiết rằng trạng thái cuối là gốc của không gian trạng thái và thời điểm đầu là t0

Nghiệm của phương trình (9-38) là:

+

d Bu e

x e t x

0

) (

) ( )

0 ( )

Chú ý rằng Aτ

e− có thể được viết:

=

−

= 1 0

) (

n k

k k

0 (

n k

t k

k

d u B

A

Bây giờ ta đặt:

1 0

1

.

.

n

k k

n

β β β

[B M AB M M A n−1B] là ma-trận hạng n

Mở rộng cho trường hợp vector điều khiển u có r chiều Nếu hệ thống được mô tả bởi:

x& = Ax + Bu

với u là r – vector, thì nó có thể được chứng minh điều kiện cho tính điều khiển được

trạng thái hoàn toàn là ma-trận n × nr sau:

[B M AB M M A n−1B]

có hạng là n hoặc bao gồm n vector cột độc lập tuyến tính Ma-trận

thường được gọi là ma-trận điều khiển được

VÍ DỤ 9-8 Xét hệ thống sau:

x

x x

0

1 1

1 1

Hệ thống là không thể điều khiển được trạng thái hoàn toàn

2

1 1

2

1 2

1 0

Hệ thống là có thể điều khiển được hoàn toàn