CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

CHƯƠNG 4. PHÂN TÍCH KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI GV: Ths. Nguyễn Hoàng Dũng Bộ Môn Tự Động Hóa, Khoa Công Nghệ, Đại Học Cần Thơ E-mail: hoangdung@ctu.edu.vn THIẾT LẬP PTTT (Phương Trình Trạng Thái) Cho hệ thống: n n −1 d y (t ) d y (t ) dy (t ) a0 + a1 +  + an −1 + an y (t ) = n n −1 dt dt dt m m −1 d r (t ) d r (t ) dr (t ) b0 + b1 +  + bm −1 + bm r (t ) m m −1 dt dt dt Với n=m+1 THIẾT LẬP PTTT Đặt y (t ) = x1 (t ) x 1 (t ) = x2 (t ) + h1r (t ) x 2 (t ) = x3 (t ) + h2 r (t )  an an −1 a1 x n (t ) = − x1 (t ) − x2 (t ) −  − xn (t ) + hn −1r (t ) a0 a0 a0 Trong đó: THIẾT LẬP PTTT h1 = b0 h2 = b1 − a1h1 h3 = b2 − a1h2 − a2 h1  hn = bn −1 − a1hn −1 − a2 hn − 2 −  − an −1h1 MỘT VÀI VÍ DỤ Cho hệ thống có phương trình vi phân sau: d 3 y (t ) dt 2 y (t ) dy (t ) d 2 r (t ) dr (t ) +3 +2 + y (t ) = 6 +3 + r (t ) 3 2 2 dt dt dt dt dt Đặt y (t ) = x1 (t ) x 1 (t ) = x2 (t ) + h1r (t ) x 2 (t ) = x3 (t ) + h2 r (t ) x 3 (t ) = − x1 (t ) − 2 x2 (t ) − 3 x3 (t ) + h3 r (t ) VIẾT DƯỚI DẠNG MA TRẬN Phương trình trạng thái: 1 0   x1 (t )   h1   x 1 (t )   0  x (t ) =  0      0 1   x2 (t ) + h2  r (t )  2    x 3 (t )  − 1 − 2 − 3  x3 (t )   h3  Phương ngõ ra: Với  x1 (t )    y = [1 0 0]  x2 (t )  x3 (t )  h1 = b0 = 6 h2 = b1 − a1h1 = 3 − 3 * 6 = −15 h3 = b2 − a1h2 − a2 h1 = 1 − 3 * (−15) − 2 * (−15) = 76 THIẾT LẬP PTTT d n y (t ) d n −1 y (t ) dy (t ) a0 + a1 +  + an −1 + an y (t ) = bn r (t ) n n −1 dt dt dt an −1 dy (t ) an bn d n y (t ) a1 d n −1 y (t ) + ++ + y (t ) = r (t ) n n −1 dt a0 dt a0 dt a0 a0 y (t ) = x1 (t ) x 1 (t ) = x2 (t ) x 2 (t ) = x3 (t ) Đặt  x n −1 (t ) = xn (t ) an an −1 bn a1 x n (t ) = − x1 (t ) − x2 (t ) −  − xn (t ) + r (t ) a0 a0 a0 a0 PTTT DẠNG MA TRẬN Hay y (t ) = x1 (t ) + 0.x2 (t ) +  + 0.xn (t ) + 0.r (t ) x 1 (t ) = 0.x1 (t ) + x2 (t ) + 0.x3 (t ) +  + 0.xn (t ) + 0.r (t ) x 2 (t ) = 0.x1 (t ) + 0.x2 (t ) + x3 (t ) + 0.x4 (t ) +  + 0.xn (t ) + 0.r (t )  x n −1 (t ) = 0.x1 (t ) + 0.x2 (t ) +  + xn (t ) + 0.r (t ) an an −1 b0 a1 x n (t ) = − x1 (t ) − x2 (t ) −  − xn (t ) + r (t ) a0 a0 a0 a0 PTTT DẠNG MA TRẬN 0   x ( t )  1   x (t )   0  2     =     0  x n −1 (t )  an  x n (t )  −  a0 1 0  0 an −1 − a0 0 1  0 an − 2 − a0 0   x (t )   0  1  0   x (t )   0   2       +  0  r (t )     1  x (t )    a1   n −1   b0   −  xn (t )   a0  a0      Phương trình ngõ ra:  x1  0  x  0   2   y (t ) = [1 0 0  0]  x3  + 0 r (t )           xn  0 PTTT DẠNG MA TRẬN Hay  x (t ) = A.x(t ) + B.r (t )   y (t ) = C.x(t ) + D.r (t ) Trong đó:  x1 (t )   x (t )   2  x(t ) =       xn −1 (t )  xn (t )   x 1 (t )   x (t )   2  x (t ) =       x n −1 (t )  x n (t )  PTTT DẠNG MA TRẬN  0  0  A =    0  − an  a0 1 0 0 1  0 a − n −1 a0  0 a − n−2 a0 C = [1 0 0  0] 0 0   B =  0     b0   a0  0  0      0 1  a  − 1 a0    D=0 MỘT VÀI VÍ DỤ Cho hệ thống có phương trình vi phân: d 3 y (t ) d 2 y (t ) dy (t ) +3 +2 + y (t ) = 6r (t ) 3 2 dt dt dt Đặt y (t ) = x1 (t ) x 1 (t ) = x2 (t ) x 2 (t ) = x3 (t ) x 3 (t ) = − x1 (t ) − 2 x2 (t ) − 3x3 (t ) + 6r (t ) MỘT VÀI VÍ DỤ Hay 1 0   x1 (t )  0  x 1 (t )   0  x (t ) =  0   x (t ) + 0 r (t ) 0 1  2    2     x 3 (t )  − 1 − 2 − 3  x3 (t )  6 Phương trình ngõ ra:  x1 (t )    y (t ) = [1 0 0]  x2 (t )  x3 (t )  HÀM CHUYỂN VÒNG KÍN  x (t ) = A.x(t ) + B.r (t )   y (t ) = C.x(t ) + D.r (t ) Lấy biến đổi Laplace hai vế s. X ( s ) = A. X ( s ) + B.R ( s ) X ( s ) = [ sI − A] B.R( s ) −1 Y ( s ) = C.[ sI − A] B.R ( s ) + D.R ( s ) −1 [ Y (s) −1 = C.[ sI − A] B + D R( s) ] MỘT VÀI VÍ DỤ Cho hệ thống có PTTT  x 1 (t )  − 3 10 0  x1 (t )  0  x (t ) =  0 − 1 1  x (t ) + 0  2    2     x 3 (t )   − 1 0 0  x3 (t )  1 A Phương trình ngõ ra: B  x1 (t )  y (t ) = [1 0 0]  x2 (t )  x3 (t )  C Yêu cầu: Xác định hàm chuyển vòng kín D=0 MỘT VÀI VÍ DỤ Hàm chuyển vòng kín: [ Y (s) −1 = C.[ sI − A] B + D R( s) ] −1   s 0 0 − 3 10 0  0 Y (s)   = [1 0 0]  0 s 0 −  0 − 1 1  0 R(s)  0 0 s   − 1 0 0  1 −1  s + 3 − 10 0  0 Y (s) = [1 0 0]  0 s + 1 − 1 0 R(s)  1 0 s  1 GỢI Ý Cho  a1 A= a3 a2   a4  Ta có 1 A = a1a4 − a2 a3 −1  a4 − a  3 − a2  a1  Cho  a1 A = a4 a7 a2 a5 a8 a3  a6  a9   b1 1  −1 A = b4  det ( A) b7 b2 b5 b8 b3  b6  b9  det(A)=a1a5a9 - a1a6a8 - a4a2a9 + a4a3a8 + a7a2a6 - a7a3a5 b1=a5a9 - a6a8 b4=-(a4a9 - a6a7) b7=a4a8 - a5a7 b2=-(a2a9 - a3a8) b5=a1a9 - a3a7 b8=-(a1a8 - a2a7) b3=a2a6 - a3a5 b6=-(a1a6 - a3a4) b9=a1a5 - a2a4 MỘT VÀI VÍ DỤ −1  s + 3 − 10 0   b1 1   0  s + 1 − 1 = b4   det  1 b7 0 s  b2 b5 b8 b3  b6  b9  det = s ( s + 1)( s + 3) + 10 b1=s.(s+1) – (-1).0=s.(s+1) b6=-(-1.(s+3) – 0.0)=s+3 b2=-(-10.s – 0.0)=10.s b7=0.0 – (s+1).1=-(s+1) b3=-10.(-1) – 0.(s+1)=10 b8=-((s+3).0 – (-10).1)=-10 b4=-(0.s – (-1).1)=1 b5=s.(s+3) – 0.1=s.(s+3) b9=(s+3)(s+1) – (-10).0 =(s+1)(s+3) MỘT VÀI VÍ DỤ  b1 Y (s) 1 [1 0 0] b4 = R ( s ) det b7 1 = [ b1 b2 det b2 b5 b8 b3  0 b6  0 b9  1 0  b3   b3 ] 0 = det 1 10 = s ( s + 1)( s + 3) + 10 Y ( s) 10 = R ( s ) s ( s + 1)( s + 3) + 10 NGHIỆM CỦA PTTT Phương trình trạng thái: x (t ) = A.x(t ) + B.r (t ) Nghiệm của PTTT: t x(t ) = Φ (t ) x(0 ) + ∫ Φ (t − τ).B.R(τ)dτ + 0 Trong đó: Φ (t ) = L-1 ( Φ (s ) ) Φ ( s ) = [ sI − A] Hay là ma trận quá độ −1 Φ (t ) = e = C0 I + C1 [ A] + C2 [ A] +  βt 2 NGHIỆM CỦA PTTT λ 0  Với β =   0 λ   Và λ là nghiệm của phương trình: det(λI − A) = 0 eβt = C0 I + C1 [ β] λ1t  e e βt =   0  λ1 0  0  1 0 = C0  + C1    λ 2t  0 λ 0 1 e    2  Đồng nhất thức hai vế sẽ tìm được nghiệm C0 và C1 Φ(t) được xác định dựa vào công thức sau: Φ (t ) = C0 I + C1 [ A] Ghi chú: Nếu hai nghiệm trùng nhau dΦ (t ) = t.eβt dβ MỘT VÀI VÍ DỤ Cho hệ thống có phương trình trạng thái sau: 1   x1 (t )  0  x 1 (t )   0  x (t ) = − 3 − 4  x (t ) + 1 r (t )  2     2   A Phương trình ngõ ra: B  x1 (t )  y (t ) = [1 0]   x ( t )  2  C Yêu cầu xác định ma trận quá độ Φ(t ) MỘT VÀI VÍ DỤ Cách 1 Ta có Φ ( s ) = [ sI − A] −1   s 0  0 1  Φ(s) =  −     0 s   − 3 − 4   s − 1  Φ(s) =   3 s + 4 −1 −1 MỘT VÀI VÍ DỤ −1 s − 1   s + 4 1 1 Φ(s) =  =    s ( s + 4) + 3  − 3 s  3 s + 4 s+4  −1  ( s + 3)( s + 1) s − 1  Φ(s) =  =  −3  3 s + 4  ( s + 3)( s + 1) 1  ( s + 3)( s + 1)  s  ( s + 3)( s + 1)  MỘT VÀI VÍ DỤ s+4  −1  ( s + 3)( s + 1) s − 1  Φ(s) =  =  − 3 3 s + 4     ( s + 3)( s + 1) 1  ( s + 3)( s + 1)  s  ( s + 3)( s + 1)  ( s+4 A1 B1 A1 + B1 ) s + A1 + 3B1 = + = ( s + 3)( s + 1) s + 3 s + 1 ( s + 3)( s + 1)  A1 + B1 = 1   A1 + 3B1 = 4 3 1 A1 = − , B1 = 2 2 MỘT VÀI VÍ DỤ 3 1 1 1 1 1   1 1  − 2 s + 3 + 2 s + 1 − 2 s + 3 + 2 s + 1 Φ(s) =   1 1 1 1  3 1 1 1  3  − −    2 s + 3 2 s + 1  2 s + 3 2 s + 1  Mà e − at L 1 ↔ s+a Ma trận quá độ L-1 Φ ( s) → Φ (t ) MỘT VÀI VÍ DỤ  1 − 3t 3 − t − e + e  2 2 Φ (t ) =  3 − 3t − t  e −e  2 ( ) 1 − 3t 1 − t  − e + e  2 2 3 − 3t 1 − t  e − e  2 2  Nghiệm của PTTT t x(t ) = Φ (t ) x(0 ) + ∫ Φ (t − τ).B.R(τ)dτ + 0 MỘT VÀI VÍ DỤ Cách 2 Ta có ma trận quá độ Φ (t ) = e = C0 I + C1 [ β] βt λ 0  β=  0 λ   Trong đó λ là nghiệm của phương trình đặc trưng det ( λI − A) = 0 MỘT VÀI VÍ DỤ  λ 0   0 1  =0 det  −    0 λ − 3 − 4      λ − 1    ( ) det   = λ λ + 4 + 3 = 0   3 λ + 4   λ( λ + 4) + 3 = 0  λ1 = −1  λ 2 = −3 MỘT VÀI VÍ DỤ λ1t  e e βt =   0 −t  e e βt =  0 −t  e e βt =  0 0  1 0 − 1 0  = C0  + C1    λ 2t  0 1 0 − 3 e      0  1 0  − 1 0  = C0  + C1    − 3t  0 1 0 − 3 e      0  C0 = − 3t  e  0 0  − C1 +  C0   0 0  0  C0 − C1 =  − 3C1   0 C0 − 3C1  MỘT VÀI VÍ DỤ  C0 − C1 = e  − 3t C0 − 3C1 = e −t Giải ra ta được: 3 − t 1 − 3t C0 = e − e 2 2 1 − t 1 − 3t C1 = e − e 2 2 MỘT VÀI VÍ DỤ C1  1   C0 1 0 0 Φ (t ) = C0  + C1  =    − 3 C C − 4 C 0 1 − 3 − 4      1 0 1 1 − t 1 − 3t   3 − t 1 − 3t e − e   2e − 2e 2 2 Φ (t ) =  1 − t 1 − 3t  1 − t 3 − 3t   − 3 e − e  − e + e  2 2 2   2   MỘT VÀI VÍ DỤ Cho hệ thống có phương trình trạng thái sau: 1   x1 (t )  0  x 1 (t )   0  x (t ) = − 4 − 4  x (t ) + 1 r (t )  2     2   Phương trình ngõ ra:  x1 (t )  y (t ) = [1 0]   x ( t )  2  Yêu cầu xác định ma trận quá độ Φ(t ) [...]... A= a3 a2   a4  Ta có 1 A = a1a4 − a2 a3 −1  a4 − a  3 − a2  a1  Cho  a1 A = a4 a7 a2 a5 a8 a3  a6  a9   b1 1  −1 A = b4  det ( A) b7 b2 b5 b8 b3  b6  b9  det(A)=a1a5a9 - a1a6a8 - a4a2a9 + a4a3a8 + a7a2a6 - a7a3a5 b1=a5a9 - a6a8 b4=-(a4a9 - a6a7) b7=a4a8 - a5a7 b2=-(a2a9 - a3a8) b5=a1a9 - a3a7 b8=-(a1a8 - a2a7) b3=a2a6 - a3a5 b6=-(a1a6 - a3a4) b9=a1a5 - a2a4 MỘT VÀI VÍ DỤ... VÀI VÍ DỤ −1 s − 1   s + 4 1 1 Φ(s) =  =    s ( s + 4) + 3  − 3 s  3 s + 4 s +4  −1  ( s + 3)( s + 1) s − 1  Φ(s) =  =  −3  3 s + 4  ( s + 3)( s + 1) 1  ( s + 3)( s + 1)  s  ( s + 3)( s + 1)  MỘT VÀI VÍ DỤ s +4  −1  ( s + 3)( s + 1) s − 1  Φ(s) =  =  − 3 3 s + 4     ( s + 3)( s + 1) 1  ( s + 3)( s + 1)  s  ( s + 3)( s + 1)  ( s +4 A1 B1 A1 + B1 ) s + A1 +... 1   C0 1 0 0 Φ (t ) = C0  + C1  =    − 3 C C − 4 C 0 1 − 3 − 4      1 0 1 1 − t 1 − 3t   3 − t 1 − 3t e − e   2e − 2e 2 2 Φ (t ) =  1 − t 1 − 3t  1 − t 3 − 3t   − 3 e − e  − e + e  2 2 2   2   MỘT VÀI VÍ DỤ Cho hệ thống có phương trình trạng thái sau: 1   x1 (t )  0  x 1 (t )   0  x (t ) = − 4 − 4  x (t ) + 1 r (t )  2     2   Phương trình... thống có phương trình trạng thái sau: 1   x1 (t )  0  x 1 (t )   0  x (t ) = − 3 − 4  x (t ) + 1 r (t )  2     2   A Phương trình ngõ ra: B  x1 (t )  y (t ) = [1 0]   x ( t )  2  C Yêu cầu xác định ma trận quá độ Φ(t ) MỘT VÀI VÍ DỤ Cách 1 Ta có Φ ( s ) = [ sI − A] −1   s 0  0 1  Φ(s) =  −     0 s   − 3 − 4   s − 1  Φ(s) =   3 s + 4 −1 −1 MỘT VÀI VÍ... C1 [ β] βt λ 0  β=  0 λ   Trong đó λ là nghiệm của phương trình đặc trưng det ( λI − A) = 0 MỘT VÀI VÍ DỤ  λ 0   0 1  =0 det  −    0 λ − 3 − 4      λ − 1    ( ) det   = λ λ + 4 + 3 = 0   3 λ + 4   λ( λ + 4) + 3 = 0  λ1 = −1  λ 2 = −3 MỘT VÀI VÍ DỤ λ1t  e e βt =   0 −t  e e βt =  0 −t  e e βt =  0 0  1 0 − 1 0  = C0  + C1    λ 2t  0 1 0 − 3...   0  s + 1 − 1 = b4   det  1 b7 0 s  b2 b5 b8 b3  b6  b9  det = s ( s + 1)( s + 3) + 10 b1=s.(s+1) – (-1).0=s.(s+1) b6=-(-1.(s+3) – 0.0)=s+3 b2=-(-10.s – 0.0)=10.s b7=0.0 – (s+1).1=-(s+1) b3=-10.(-1) – 0.(s+1)=10 b8=-((s+3).0 – (-10).1)=-10 b4=-(0.s – (-1).1)=1 b5=s.(s+3) – 0.1=s.(s+3) b9=(s+3)(s+1) – (-10).0 =(s+1)(s+3) MỘT VÀI VÍ DỤ  b1 Y (s) 1 [1 0 0] b4 = R ( s ) det b7 1... b7 1 = [ b1 b2 det b2 b5 b8 b3  0 b6  0 b9  1 0  b3   b3 ] 0 = det 1 10 = s ( s + 1)( s + 3) + 10 Y ( s) 10 = R ( s ) s ( s + 1)( s + 3) + 10 NGHIỆM CỦA PTTT Phương trình trạng thái: x (t ) = A.x(t ) + B.r (t ) Nghiệm của PTTT: t x(t ) = Φ (t ) x(0 ) + ∫ Φ (t − τ).B.R(τ)dτ + 0 Trong đó: Φ (t ) = L-1 ( Φ (s ) ) Φ ( s ) = [ sI − A] Hay là ma trận quá độ −1 Φ (t ) = e = C0 I... an  a0 1 0 0 1  0 a − n −1 a0  0 a − n−2 a0 C = [1 0 0  0] 0 0   B =  0     b0   a0  0  0      0 1  a  − 1 a0    D=0 MỘT VÀI VÍ DỤ Cho hệ thống có phương trình vi phân: d 3 y (t ) d 2 y (t ) dy (t ) +3 +2 + y (t ) = 6r (t ) 3 2 dt dt dt Đặt y (t ) = x1 (t ) x 1 (t ) = x2 (t ) x 2 (t ) = x3 (t ) x 3 (t ) = − x1 (t ) − 2 x2 (t ) − 3x3 (t ) + 6r (t ) MỘT VÀI VÍ... 3 3 s + 4     ( s + 3)( s + 1) 1  ( s + 3)( s + 1)  s  ( s + 3)( s + 1)  ( s +4 A1 B1 A1 + B1 ) s + A1 + 3B1 = + = ( s + 3)( s + 1) s + 3 s + 1 ( s + 3)( s + 1)  A1 + B1 = 1   A1 + 3B1 = 4 3 1 A1 = − , B1 = 2 2 MỘT VÀI VÍ DỤ 3 1 1 1 1 1   1 1  − 2 s + 3 + 2 s + 1 − 2 s + 3 + 2 s + 1 Φ(s) =   1 1 1 1  3 1 1 1  3  − −    2 s + 3 2 s + 1  2 s + 3 2 s + 1  Mà e − at L 1 ↔ ...THIẾT LẬP PTTT (Phương Trình Trạng Thái) Cho hệ thống: n n −1 d y (t ) d y (t ) dy (t ) a0 + a1 +  + an −1 + an y (t ) = n n −1... (t ) x (t ) = − x1 (t ) − x2 (t ) − x3 (t ) + h3 r (t ) VIẾT DƯỚI DẠNG MA TRẬN Phương trình trạng thái:   x1 (t )   h1   x (t )    x (t ) =         x2 (t ) + h2  r (t )... s + 1)( s + 3) + 10 Y ( s) 10 = R ( s ) s ( s + 1)( s + 3) + 10 NGHIỆM CỦA PTTT Phương trình trạng thái: x (t ) = A.x(t ) + B.r (t ) Nghiệm PTTT: t x(t ) = Φ (t ) x(0 ) + ∫ Φ (t − τ).B.R(τ)dτ