CHƯƠNG 4. PHÂN TÍCH KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI GV: Ths. Nguyễn Hoàng Dũng Bộ Môn Tự Động Hóa, Khoa Công Nghệ, Đại Học Cần Thơ E-mail: hoangdung@ctu.edu.vn THIẾT LẬP PTTT (Phương Trình Trạng Thái) Cho hệ thống: n n −1 d y (t ) d y (t ) dy (t ) a0 + a1 + + an −1 + an y (t ) = n n −1 dt dt dt m m −1 d r (t ) d r (t ) dr (t ) b0 + b1 + + bm −1 + bm r (t ) m m −1 dt dt dt Với n=m+1 THIẾT LẬP PTTT Đặt y (t ) = x1 (t ) x 1 (t ) = x2 (t ) + h1r (t ) x 2 (t ) = x3 (t ) + h2 r (t ) an an −1 a1 x n (t ) = − x1 (t ) − x2 (t ) − − xn (t ) + hn −1r (t ) a0 a0 a0 Trong đó: THIẾT LẬP PTTT h1 = b0 h2 = b1 − a1h1 h3 = b2 − a1h2 − a2 h1 hn = bn −1 − a1hn −1 − a2 hn − 2 − − an −1h1 MỘT VÀI VÍ DỤ Cho hệ thống có phương trình vi phân sau: d 3 y (t ) dt 2 y (t ) dy (t ) d 2 r (t ) dr (t ) +3 +2 + y (t ) = 6 +3 + r (t ) 3 2 2 dt dt dt dt dt Đặt y (t ) = x1 (t ) x 1 (t ) = x2 (t ) + h1r (t ) x 2 (t ) = x3 (t ) + h2 r (t ) x 3 (t ) = − x1 (t ) − 2 x2 (t ) − 3 x3 (t ) + h3 r (t ) VIẾT DƯỚI DẠNG MA TRẬN Phương trình trạng thái: 1 0 x1 (t ) h1 x 1 (t ) 0 x (t ) = 0 0 1 x2 (t ) + h2 r (t ) 2 x 3 (t ) − 1 − 2 − 3 x3 (t ) h3 Phương ngõ ra: Với x1 (t ) y = [1 0 0] x2 (t ) x3 (t ) h1 = b0 = 6 h2 = b1 − a1h1 = 3 − 3 * 6 = −15 h3 = b2 − a1h2 − a2 h1 = 1 − 3 * (−15) − 2 * (−15) = 76 THIẾT LẬP PTTT d n y (t ) d n −1 y (t ) dy (t ) a0 + a1 + + an −1 + an y (t ) = bn r (t ) n n −1 dt dt dt an −1 dy (t ) an bn d n y (t ) a1 d n −1 y (t ) + ++ + y (t ) = r (t ) n n −1 dt a0 dt a0 dt a0 a0 y (t ) = x1 (t ) x 1 (t ) = x2 (t ) x 2 (t ) = x3 (t ) Đặt x n −1 (t ) = xn (t ) an an −1 bn a1 x n (t ) = − x1 (t ) − x2 (t ) − − xn (t ) + r (t ) a0 a0 a0 a0 PTTT DẠNG MA TRẬN Hay y (t ) = x1 (t ) + 0.x2 (t ) + + 0.xn (t ) + 0.r (t ) x 1 (t ) = 0.x1 (t ) + x2 (t ) + 0.x3 (t ) + + 0.xn (t ) + 0.r (t ) x 2 (t ) = 0.x1 (t ) + 0.x2 (t ) + x3 (t ) + 0.x4 (t ) + + 0.xn (t ) + 0.r (t ) x n −1 (t ) = 0.x1 (t ) + 0.x2 (t ) + + xn (t ) + 0.r (t ) an an −1 b0 a1 x n (t ) = − x1 (t ) − x2 (t ) − − xn (t ) + r (t ) a0 a0 a0 a0 PTTT DẠNG MA TRẬN 0 x ( t ) 1 x (t ) 0 2 = 0 x n −1 (t ) an x n (t ) − a0 1 0 0 an −1 − a0 0 1 0 an − 2 − a0 0 x (t ) 0 1 0 x (t ) 0 2 + 0 r (t ) 1 x (t ) a1 n −1 b0 − xn (t ) a0 a0 Phương trình ngõ ra: x1 0 x 0 2 y (t ) = [1 0 0 0] x3 + 0 r (t ) xn 0 PTTT DẠNG MA TRẬN Hay x (t ) = A.x(t ) + B.r (t ) y (t ) = C.x(t ) + D.r (t ) Trong đó: x1 (t ) x (t ) 2 x(t ) = xn −1 (t ) xn (t ) x 1 (t ) x (t ) 2 x (t ) = x n −1 (t ) x n (t ) PTTT DẠNG MA TRẬN 0 0 A = 0 − an a0 1 0 0 1 0 a − n −1 a0 0 a − n−2 a0 C = [1 0 0 0] 0 0 B = 0 b0 a0 0 0 0 1 a − 1 a0 D=0 MỘT VÀI VÍ DỤ Cho hệ thống có phương trình vi phân: d 3 y (t ) d 2 y (t ) dy (t ) +3 +2 + y (t ) = 6r (t ) 3 2 dt dt dt Đặt y (t ) = x1 (t ) x 1 (t ) = x2 (t ) x 2 (t ) = x3 (t ) x 3 (t ) = − x1 (t ) − 2 x2 (t ) − 3x3 (t ) + 6r (t ) MỘT VÀI VÍ DỤ Hay 1 0 x1 (t ) 0 x 1 (t ) 0 x (t ) = 0 x (t ) + 0 r (t ) 0 1 2 2 x 3 (t ) − 1 − 2 − 3 x3 (t ) 6 Phương trình ngõ ra: x1 (t ) y (t ) = [1 0 0] x2 (t ) x3 (t ) HÀM CHUYỂN VÒNG KÍN x (t ) = A.x(t ) + B.r (t ) y (t ) = C.x(t ) + D.r (t ) Lấy biến đổi Laplace hai vế s. X ( s ) = A. X ( s ) + B.R ( s ) X ( s ) = [ sI − A] B.R( s ) −1 Y ( s ) = C.[ sI − A] B.R ( s ) + D.R ( s ) −1 [ Y (s) −1 = C.[ sI − A] B + D R( s) ] MỘT VÀI VÍ DỤ Cho hệ thống có PTTT x 1 (t ) − 3 10 0 x1 (t ) 0 x (t ) = 0 − 1 1 x (t ) + 0 2 2 x 3 (t ) − 1 0 0 x3 (t ) 1 A Phương trình ngõ ra: B x1 (t ) y (t ) = [1 0 0] x2 (t ) x3 (t ) C Yêu cầu: Xác định hàm chuyển vòng kín D=0 MỘT VÀI VÍ DỤ Hàm chuyển vòng kín: [ Y (s) −1 = C.[ sI − A] B + D R( s) ] −1 s 0 0 − 3 10 0 0 Y (s) = [1 0 0] 0 s 0 − 0 − 1 1 0 R(s) 0 0 s − 1 0 0 1 −1 s + 3 − 10 0 0 Y (s) = [1 0 0] 0 s + 1 − 1 0 R(s) 1 0 s 1 GỢI Ý Cho a1 A= a3 a2 a4 Ta có 1 A = a1a4 − a2 a3 −1 a4 − a 3 − a2 a1 Cho a1 A = a4 a7 a2 a5 a8 a3 a6 a9 b1 1 −1 A = b4 det ( A) b7 b2 b5 b8 b3 b6 b9 det(A)=a1a5a9 - a1a6a8 - a4a2a9 + a4a3a8 + a7a2a6 - a7a3a5 b1=a5a9 - a6a8 b4=-(a4a9 - a6a7) b7=a4a8 - a5a7 b2=-(a2a9 - a3a8) b5=a1a9 - a3a7 b8=-(a1a8 - a2a7) b3=a2a6 - a3a5 b6=-(a1a6 - a3a4) b9=a1a5 - a2a4 MỘT VÀI VÍ DỤ −1 s + 3 − 10 0 b1 1 0 s + 1 − 1 = b4 det 1 b7 0 s b2 b5 b8 b3 b6 b9 det = s ( s + 1)( s + 3) + 10 b1=s.(s+1) – (-1).0=s.(s+1) b6=-(-1.(s+3) – 0.0)=s+3 b2=-(-10.s – 0.0)=10.s b7=0.0 – (s+1).1=-(s+1) b3=-10.(-1) – 0.(s+1)=10 b8=-((s+3).0 – (-10).1)=-10 b4=-(0.s – (-1).1)=1 b5=s.(s+3) – 0.1=s.(s+3) b9=(s+3)(s+1) – (-10).0 =(s+1)(s+3) MỘT VÀI VÍ DỤ b1 Y (s) 1 [1 0 0] b4 = R ( s ) det b7 1 = [ b1 b2 det b2 b5 b8 b3 0 b6 0 b9 1 0 b3 b3 ] 0 = det 1 10 = s ( s + 1)( s + 3) + 10 Y ( s) 10 = R ( s ) s ( s + 1)( s + 3) + 10 NGHIỆM CỦA PTTT Phương trình trạng thái: x (t ) = A.x(t ) + B.r (t ) Nghiệm của PTTT: t x(t ) = Φ (t ) x(0 ) + ∫ Φ (t − τ).B.R(τ)dτ + 0 Trong đó: Φ (t ) = L-1 ( Φ (s ) ) Φ ( s ) = [ sI − A] Hay là ma trận quá độ −1 Φ (t ) = e = C0 I + C1 [ A] + C2 [ A] + βt 2 NGHIỆM CỦA PTTT λ 0 Với β = 0 λ Và λ là nghiệm của phương trình: det(λI − A) = 0 eβt = C0 I + C1 [ β] λ1t e e βt = 0 λ1 0 0 1 0 = C0 + C1 λ 2t 0 λ 0 1 e 2 Đồng nhất thức hai vế sẽ tìm được nghiệm C0 và C1 Φ(t) được xác định dựa vào công thức sau: Φ (t ) = C0 I + C1 [ A] Ghi chú: Nếu hai nghiệm trùng nhau dΦ (t ) = t.eβt dβ MỘT VÀI VÍ DỤ Cho hệ thống có phương trình trạng thái sau: 1 x1 (t ) 0 x 1 (t ) 0 x (t ) = − 3 − 4 x (t ) + 1 r (t ) 2 2 A Phương trình ngõ ra: B x1 (t ) y (t ) = [1 0] x ( t ) 2 C Yêu cầu xác định ma trận quá độ Φ(t ) MỘT VÀI VÍ DỤ Cách 1 Ta có Φ ( s ) = [ sI − A] −1 s 0 0 1 Φ(s) = − 0 s − 3 − 4 s − 1 Φ(s) = 3 s + 4 −1 −1 MỘT VÀI VÍ DỤ −1 s − 1 s + 4 1 1 Φ(s) = = s ( s + 4) + 3 − 3 s 3 s + 4 s+4 −1 ( s + 3)( s + 1) s − 1 Φ(s) = = −3 3 s + 4 ( s + 3)( s + 1) 1 ( s + 3)( s + 1) s ( s + 3)( s + 1) MỘT VÀI VÍ DỤ s+4 −1 ( s + 3)( s + 1) s − 1 Φ(s) = = − 3 3 s + 4 ( s + 3)( s + 1) 1 ( s + 3)( s + 1) s ( s + 3)( s + 1) ( s+4 A1 B1 A1 + B1 ) s + A1 + 3B1 = + = ( s + 3)( s + 1) s + 3 s + 1 ( s + 3)( s + 1) A1 + B1 = 1 A1 + 3B1 = 4 3 1 A1 = − , B1 = 2 2 MỘT VÀI VÍ DỤ 3 1 1 1 1 1 1 1 − 2 s + 3 + 2 s + 1 − 2 s + 3 + 2 s + 1 Φ(s) = 1 1 1 1 3 1 1 1 3 − − 2 s + 3 2 s + 1 2 s + 3 2 s + 1 Mà e − at L 1 ↔ s+a Ma trận quá độ L-1 Φ ( s) → Φ (t ) MỘT VÀI VÍ DỤ 1 − 3t 3 − t − e + e 2 2 Φ (t ) = 3 − 3t − t e −e 2 ( ) 1 − 3t 1 − t − e + e 2 2 3 − 3t 1 − t e − e 2 2 Nghiệm của PTTT t x(t ) = Φ (t ) x(0 ) + ∫ Φ (t − τ).B.R(τ)dτ + 0 MỘT VÀI VÍ DỤ Cách 2 Ta có ma trận quá độ Φ (t ) = e = C0 I + C1 [ β] βt λ 0 β= 0 λ Trong đó λ là nghiệm của phương trình đặc trưng det ( λI − A) = 0 MỘT VÀI VÍ DỤ λ 0 0 1 =0 det − 0 λ − 3 − 4 λ − 1 ( ) det = λ λ + 4 + 3 = 0 3 λ + 4 λ( λ + 4) + 3 = 0 λ1 = −1 λ 2 = −3 MỘT VÀI VÍ DỤ λ1t e e βt = 0 −t e e βt = 0 −t e e βt = 0 0 1 0 − 1 0 = C0 + C1 λ 2t 0 1 0 − 3 e 0 1 0 − 1 0 = C0 + C1 − 3t 0 1 0 − 3 e 0 C0 = − 3t e 0 0 − C1 + C0 0 0 0 C0 − C1 = − 3C1 0 C0 − 3C1 MỘT VÀI VÍ DỤ C0 − C1 = e − 3t C0 − 3C1 = e −t Giải ra ta được: 3 − t 1 − 3t C0 = e − e 2 2 1 − t 1 − 3t C1 = e − e 2 2 MỘT VÀI VÍ DỤ C1 1 C0 1 0 0 Φ (t ) = C0 + C1 = − 3 C C − 4 C 0 1 − 3 − 4 1 0 1 1 − t 1 − 3t 3 − t 1 − 3t e − e 2e − 2e 2 2 Φ (t ) = 1 − t 1 − 3t 1 − t 3 − 3t − 3 e − e − e + e 2 2 2 2 MỘT VÀI VÍ DỤ Cho hệ thống có phương trình trạng thái sau: 1 x1 (t ) 0 x 1 (t ) 0 x (t ) = − 4 − 4 x (t ) + 1 r (t ) 2 2 Phương trình ngõ ra: x1 (t ) y (t ) = [1 0] x ( t ) 2 Yêu cầu xác định ma trận quá độ Φ(t ) [...]... A= a3 a2 a4 Ta có 1 A = a1a4 − a2 a3 −1 a4 − a 3 − a2 a1 Cho a1 A = a4 a7 a2 a5 a8 a3 a6 a9 b1 1 −1 A = b4 det ( A) b7 b2 b5 b8 b3 b6 b9 det(A)=a1a5a9 - a1a6a8 - a4a2a9 + a4a3a8 + a7a2a6 - a7a3a5 b1=a5a9 - a6a8 b4=-(a4a9 - a6a7) b7=a4a8 - a5a7 b2=-(a2a9 - a3a8) b5=a1a9 - a3a7 b8=-(a1a8 - a2a7) b3=a2a6 - a3a5 b6=-(a1a6 - a3a4) b9=a1a5 - a2a4 MỘT VÀI VÍ DỤ... VÀI VÍ DỤ −1 s − 1 s + 4 1 1 Φ(s) = = s ( s + 4) + 3 − 3 s 3 s + 4 s +4 −1 ( s + 3)( s + 1) s − 1 Φ(s) = = −3 3 s + 4 ( s + 3)( s + 1) 1 ( s + 3)( s + 1) s ( s + 3)( s + 1) MỘT VÀI VÍ DỤ s +4 −1 ( s + 3)( s + 1) s − 1 Φ(s) = = − 3 3 s + 4 ( s + 3)( s + 1) 1 ( s + 3)( s + 1) s ( s + 3)( s + 1) ( s +4 A1 B1 A1 + B1 ) s + A1 +... 1 C0 1 0 0 Φ (t ) = C0 + C1 = − 3 C C − 4 C 0 1 − 3 − 4 1 0 1 1 − t 1 − 3t 3 − t 1 − 3t e − e 2e − 2e 2 2 Φ (t ) = 1 − t 1 − 3t 1 − t 3 − 3t − 3 e − e − e + e 2 2 2 2 MỘT VÀI VÍ DỤ Cho hệ thống có phương trình trạng thái sau: 1 x1 (t ) 0 x 1 (t ) 0 x (t ) = − 4 − 4 x (t ) + 1 r (t ) 2 2 Phương trình... thống có phương trình trạng thái sau: 1 x1 (t ) 0 x 1 (t ) 0 x (t ) = − 3 − 4 x (t ) + 1 r (t ) 2 2 A Phương trình ngõ ra: B x1 (t ) y (t ) = [1 0] x ( t ) 2 C Yêu cầu xác định ma trận quá độ Φ(t ) MỘT VÀI VÍ DỤ Cách 1 Ta có Φ ( s ) = [ sI − A] −1 s 0 0 1 Φ(s) = − 0 s − 3 − 4 s − 1 Φ(s) = 3 s + 4 −1 −1 MỘT VÀI VÍ... C1 [ β] βt λ 0 β= 0 λ Trong đó λ là nghiệm của phương trình đặc trưng det ( λI − A) = 0 MỘT VÀI VÍ DỤ λ 0 0 1 =0 det − 0 λ − 3 − 4 λ − 1 ( ) det = λ λ + 4 + 3 = 0 3 λ + 4 λ( λ + 4) + 3 = 0 λ1 = −1 λ 2 = −3 MỘT VÀI VÍ DỤ λ1t e e βt = 0 −t e e βt = 0 −t e e βt = 0 0 1 0 − 1 0 = C0 + C1 λ 2t 0 1 0 − 3... 0 s + 1 − 1 = b4 det 1 b7 0 s b2 b5 b8 b3 b6 b9 det = s ( s + 1)( s + 3) + 10 b1=s.(s+1) – (-1).0=s.(s+1) b6=-(-1.(s+3) – 0.0)=s+3 b2=-(-10.s – 0.0)=10.s b7=0.0 – (s+1).1=-(s+1) b3=-10.(-1) – 0.(s+1)=10 b8=-((s+3).0 – (-10).1)=-10 b4=-(0.s – (-1).1)=1 b5=s.(s+3) – 0.1=s.(s+3) b9=(s+3)(s+1) – (-10).0 =(s+1)(s+3) MỘT VÀI VÍ DỤ b1 Y (s) 1 [1 0 0] b4 = R ( s ) det b7 1... b7 1 = [ b1 b2 det b2 b5 b8 b3 0 b6 0 b9 1 0 b3 b3 ] 0 = det 1 10 = s ( s + 1)( s + 3) + 10 Y ( s) 10 = R ( s ) s ( s + 1)( s + 3) + 10 NGHIỆM CỦA PTTT Phương trình trạng thái: x (t ) = A.x(t ) + B.r (t ) Nghiệm của PTTT: t x(t ) = Φ (t ) x(0 ) + ∫ Φ (t − τ).B.R(τ)dτ + 0 Trong đó: Φ (t ) = L-1 ( Φ (s ) ) Φ ( s ) = [ sI − A] Hay là ma trận quá độ −1 Φ (t ) = e = C0 I... an a0 1 0 0 1 0 a − n −1 a0 0 a − n−2 a0 C = [1 0 0 0] 0 0 B = 0 b0 a0 0 0 0 1 a − 1 a0 D=0 MỘT VÀI VÍ DỤ Cho hệ thống có phương trình vi phân: d 3 y (t ) d 2 y (t ) dy (t ) +3 +2 + y (t ) = 6r (t ) 3 2 dt dt dt Đặt y (t ) = x1 (t ) x 1 (t ) = x2 (t ) x 2 (t ) = x3 (t ) x 3 (t ) = − x1 (t ) − 2 x2 (t ) − 3x3 (t ) + 6r (t ) MỘT VÀI VÍ... 3 3 s + 4 ( s + 3)( s + 1) 1 ( s + 3)( s + 1) s ( s + 3)( s + 1) ( s +4 A1 B1 A1 + B1 ) s + A1 + 3B1 = + = ( s + 3)( s + 1) s + 3 s + 1 ( s + 3)( s + 1) A1 + B1 = 1 A1 + 3B1 = 4 3 1 A1 = − , B1 = 2 2 MỘT VÀI VÍ DỤ 3 1 1 1 1 1 1 1 − 2 s + 3 + 2 s + 1 − 2 s + 3 + 2 s + 1 Φ(s) = 1 1 1 1 3 1 1 1 3 − − 2 s + 3 2 s + 1 2 s + 3 2 s + 1 Mà e − at L 1 ↔ ...THIẾT LẬP PTTT (Phương Trình Trạng Thái) Cho hệ thống: n n −1 d y (t ) d y (t ) dy (t ) a0 + a1 + + an −1 + an y (t ) = n n −1... (t ) x (t ) = − x1 (t ) − x2 (t ) − x3 (t ) + h3 r (t ) VIẾT DƯỚI DẠNG MA TRẬN Phương trình trạng thái: x1 (t ) h1 x (t ) x (t ) = x2 (t ) + h2 r (t )... s + 1)( s + 3) + 10 Y ( s) 10 = R ( s ) s ( s + 1)( s + 3) + 10 NGHIỆM CỦA PTTT Phương trình trạng thái: x (t ) = A.x(t ) + B.r (t ) Nghiệm PTTT: t x(t ) = Φ (t ) x(0 ) + ∫ Φ (t − τ).B.R(τ)dτ