Những bài toán này là thường khá hay và gây ra khó khăn cho học sinh vì nó đòi hỏi học sinh khả năng phân tích và kiến thức tổng hợp của phần từ, điện, cơ, tích phân…Qua việc phân tích v
Trang 1Chuyên đề: Chuyển động của mạch kín trong từ trường
Đặt vấn đề: Trong các đề thi học sinh cấp thành phố, cấp quốc gia và quốc tế những năm gần đây xuất
hiện nhiều bài toán liên quan đến mảng hiện tượng cảm ứng điện từ Những bài toán này là thường khá hay và gây ra khó khăn cho học sinh vì nó đòi hỏi học sinh khả năng phân tích và kiến thức tổng hợp của phần từ, điện, cơ, tích phân…Qua việc phân tích và giải các bài toán tôi thấy khá nhiều bài toán dựa trên chuỗi logic như sau: Xuất hiện tác nhân làm biến đổi từ thông qua mạch kín (gây ra suất điện động cảm ứng trong mạch) Làm cho trong mạch kín xuất hiện dòng điện cảm ứng tuân theo các quy luật về mạch điện Dòng điện này chạy qua các dây dẫn tạo ra lực từ làm mạch kín chuyển động tuân theo các định luật về cơ học Nhằm giúp các em giải quyết những bài toán này tôi đã biên soạn chuyên đề “Chuyển động của dây dẫn, của mạch mạch kín trong từ trường” Vậy hướng giải quyết những bài toán này như thế nào?
B1: Phân tích hiện tượng cảm ứng điện từ, tính suất điện động cảm ứng xuất hiện trong mạch bằng cách xét biến thiên từ thông, chia nhỏ dùng tích phân.
B2: Dùng các định luật về mạch điện (định luật Ôm, định luật Kiecsop…) để tìm biểu thức dòng điện trong mạch
B3: Dòng điện qua các dây dẫn đặt trong từ trường sẽ gây ra lực từ Dùng định luật cơ bản về chuyển động của vật rắn, các định luật bảo toàn để suy ra quy luật chuyển động.
Chuyên đề được chia làm hai phần
Phần 1: Ôn tập những kiến thức cơ bản về hiện tượng cảm ứng điện từ và cách tính suất điện động cảm
ứng trong một số trường hợp cơ bản.
Phần 2: Bài tập chuyển động của mạch kín trong từ trường không đổi và từ trường biến thiên theo không
gian, thời gian.
Phần 1: Ôn tập về hiện tượng cảm ứng điện từ
I Hiện tượng cảm ứng điện từ
- Khi có từ thông biến thiên qua mạch kín thì trong mạch kín sẽ xuất hiện suất điện động cảm ứng eC
Trang 2- Trong mạch kín suất điện động cảm ứng eCsẽ sinh ra dòng điện cảm ứng iC
- Theo định luật Lentz,iCcó chiều sao cho từ trường mà nó sinh ra có tác dụng chống lại sự biến thiên từ thông sinh
ra nó
- Biểu thức tính suất điện động cảm ứng: ( cos )
C
e
II Biểu thức độ lớn suất điện động cảm ứng trên dây dẫn chuyển động trong từ trường
1 Thanh dẫn chuyển động tịnh tiến trong từ trường
1.a Thanh dẫn chuyển động tịnh tiến trong từ trường đều
Xét thanh dẫn MN có chiều dài chuyển động tịnh tiến với vận tốc v trong từ trường đều B với v B như hình
vẽ
Trong khoảng thời gian t thanh quét được diện tích S ( ) v t
Biểu thức độ lớn suất điện động cảm ứng trên thanh:
.( )
B S B v t
Các cực của e tuân theo quy tắc bàn tay phải N là cực dương, M là cực
âm
1.b Thanh dẫn chuyển động tịnh tiến trong từ trường không đều
Bài toán 1: Xét từ trường gây ra bởi dòng điện I không đổi chạy trong dây dẫn thẳng dài vô hạn Một thanh dẫn
MN có chiều dài chuyển động tịnh tiến với vận tốc v Biếtv vuông góc với dây dẫn và MN chuyển động trong mặt phẳng chứa dây dẫn thẳng dài vô hạn Tìm biểu thức độ lớn suất điện động trên MN khi nó cách dây dẫn thẳng dài một đoạn là x
Giải
Thời điểm thanh dẫn cách dây dẫn thẳng dài một đoạn x thì cảm ứng từ trên thanh dẫn là:
7
2.10 I
B
x
Trong khoảng thời gian t thanh MN quét được diện tích S ( ) v t
Biểu thức độ lớn suất điện động cảm ứng trên thanh MN:
7
7
2.10 2.10
e
I v e
x
Bài toán 2: Xét từ trường gây ra bởi dòng điện I không đổi chạy trong dây dẫn
thẳng dài vô hạn Một thanh dẫn MN chiều dài có vị trí vuông góc với dây Cho thanh MN chuyển động tịnh tiến với vận tốc v Biếtv song song với dây dẫn và MN chuyển động trong mặt phẳng chứa dây dẫn thẳng dài vô hạn Tìm biểu thức độ lớn suất điện động trên MN biết đầu M cách dây thẳng dài một đoạn r
Giải
Xét một phần tử trên thanh MN có khoảng cách đến dây dẫn thẳng dài là x và có chiều dài dx
2
M (+)
N (-)
B
I
Trang 3Cảm ứng từ trên đoạn dây này là: B 2.10 7 I
x
Suất điện động trên đoạn dây này là: de B v dx 2.10 7 I v dx
x
Suất điện động trên cả thanh MN là:
7
7
2.10 2.10 ln
r r
dx
x r
r
2 Thanh dẫn chuyển động quay quanh trục cố định trong từ trường
Bài toán 1: Xét thanh MN quay với tốc độ góc quanh trục cố định vuông góc với thanh đi qua điểm M Chiều dài thanh là Vùng từ trường đều có B vuông góc với thanh.Viết biểu thức độ lớn suất điện động cảm ứng trên thanh MN
Giải
Xét trong khoảng thời gian t thanh quét được diện tích
( )
t
Biểu thức độ lớn suất điện động cảm ứng trên thanh:
2
2
2 2
e
B e
Bài toán 2: Xét thanh MN quay với tốc độ góc quanh trục cố định vuông góc với thanh đi qua điểm P trên thanh Cho PM 1, PN 2 Vùng từ trường đều có B vuông góc với thanh Tìm độ lớn suất điện động cảm ứng trên thanh
Giải
Theo bài toán 1 thì trên thanh PM có suất điện động
2 1 1
2
B
e
Trên thanh PN có suất điện động
2 2 2
2
B
e
Dễ thấy e e1, 2 mắc xung đối nên trên thanh MN có suất điện động e e1 e2
2
B
Xét trong khoảng thời gian t thanh quét được diện tích
( )
t
Biểu thức độ lớn suất điện động cảm ứng trên thanh:
2
2
2 2
e
B e
M
x
B
r
M
N
M
N
P
Trang 4Bài toán 3: Xét vùng không gian có từ trường có tính đối xứng trụ Độ lớn cảm ứng từ tại điểm cách trục trụ
khoảng r là B B r 0 và B hướng thẳng đứng lên Một thanh dẫn MN có chiều dài quay đều trong mặt phẳng ngang với tốc độ góc quanh đầu M nằm trên trục đối xứng của từ trường Tìm độ lớn suất điện động cảm ứng trên thanh
Giải
Xét một phần tử cách trục quay một khoảng x và có chiều dài dx
Trong khoảng thời gian rất ngắn dt ta coi phần tử này chuyển động tịnh tiến với vận tốc v.x (v vuông góc với thanh)
0
( ) .
x
de B v dx B x x dx
Độ lớn suất điện động trên cả thanh là:
3 0 0
( ) .
3
x
B
e de B v dx B x x dx
Phần 2: Chuyển động của mạch kín trong từ trường Dạng 1: Mạch kín chuyển động tịnh tiến trong từ trường
Bài 1: Trong hình vẽ, một dây dẫn thẳng dài vô hạn có cường độ I , một khung dây siêu dẫn dạng tam giác ABC vuông tại A đặt đồng phẳng với dây dẫn Cạnh AB song song với dây, cạnh AC có chiều dài , BAC Cho khung chuyển động tịnh tiến theo phương của cạnh AC với vận tốc không đổi v Tính suất điện động cảm ứng trong khung khi khoảng cách từ cạnh AB đến dây dẫn là d
Giải
Xét cạnh AB có suất điện động: 0
2
Iv Bvl
d
Xét cạnh AC, chia cạnh thành các phần tử dài dx dọc theo phương dây dẫn, khi đó dx da tan
Ta có độ lớn suất điện động lên mỗi phần tử trên là:
4
Trang 50 .tan
2
a
2
d d
Do 1, 2mắc xung đối nên độ lớn suất điện động cảm ứng xuất hiện trong khung là
0
.tan
ln 2
Bài 2: Một khung dây kim loại hình vuông điện trở không đáng kể đặt trên mặt bàn ngang không ma sát, khối
lượng m, độ dài cạnh là a, độ tự cảm L Khung và bàn đặt trong không gian có từ trường đều, đường sức từ thẳng
đứng có độ lớn B B 0 1 kx trong đó B0, k là các hằng số dương Lúc đầu khung nằm yên, không có dòng điện Tại t = 0 người ta truyền cho khung vận tốc v 0
dọc theo trục Ox
1 Tìm thời gian tmin kể từ thời điểm khung bắt đầu chuyển động đến khi khung có vận tốc bằng 0
2 Tính tổng điện lượng dịch chuyển trong khung trong thời gian trên
Giải
a) Gọi độ lớn suất điện động cảm ứng trên mỗi cạnh của khung khi cạnh bên trái của khung ở toạ độ x lần lượt là E1
và E2
Ta có E1 B0 1 kx va ; E2 B01k x a va
Do E E mắc xung đối nên biểu thức suất điện động trong khung ở thời điểm t là:1, 2
2
di
dt
Tích phân 2 vế ta được
2
0
B a k
L
Lực từ tác dụng lên 2 cạnh của khung
F B k x a ia
2
2
0
2 4 2 0
0
B a k
L
B a k
mL
Suy ra chu kì dao động của khung là : 2
0
T
B a k
Thời gian đến khi thanh có vận tốc bằng 0 là min 2
0
t
B a k
A
I
d
B
v a
a da
dx
x
a
O
2
Trang 6b) Tại t = 0 :
0
sin
2
v A
Phương trình dao động của khung là: 0 cos
2
v
b) Biểu thức dòng điện trong khung:
0
Điện lượng chạy qua khung:
cos
2
Bài 3: Một khung dây siêu dẫn hình vuông cạnh a, có độ tự cảm là L được đặt trên mặt bàn nằm ngang Trong
khung có dòng điện cường độ I0 chạy qua Trên mặt bàn có hệ trục tọa độ Oxy Khung dây ở miền x 0, y 0 Biết tại thời điểm t = 0 người ta bật một từ trường cóB hướng theo chiều dương trục Oz Cảm ứng từ B biến thiên theo trục Ox theo quy luật B B 0(1 x ) Ngay sau đó khung dây chuyển động theo chiều dương của trục Ox Chứng minh khung dây dao động điều hòa và tìm tần số góc dao động của khung
Giải
Xét ở thời điểm cạnh trên của khung có tọa độ x cạnh dưới có tọa độ là x a
Xét phần tử diện tích dS của khung song song với trục Oy rộng db, dài a, cách gốc O là b Ta có thành phần nguyên
tố của từ thông qua diện tích dS do B gây ra là:
B
Từ thông qua cả khung dây do B gây ra là:
2
x
x a
Do khung siêu dẫn nên từ thông bảo toàn: LI0 LIx B
2 0
2
B x
B a
Hợp lực tác dụng lên khung theo phương Ox là:
2
F B I a (2)
Thay (1) vào (2) ta được:
2
x
6
y
x
x-a O x
Trang 72 2 4 0 0
x
B a
L
Vậy tần số góc dao động của khung là
2 0
B a mL
Bài 4: Một khung dây kín hình vuông cạnh a, có điện trở R nằm trong từ trường có B vuông góc với mặt phẳng của khung Mặt phẳng của khung song song với mặt phẳng Oxy Khung được truyền vận tốc ban đầu v 0 hướng dọc theo chiều dương trục Ox Biết từ trường chỉ biến thiên theo trục Ox theo quy luật dB
k
dx Tìm vận tốc của
khung sau thời gian t từ khi khung bắt đầu chuyển động
Giải
Tại thời điểm t thì cạnh AB có tọa độ là x còn cạnh CD có tọa độ là x a
Suất điện động xuất hiện trên 2 cạnh AB và CD là:
0
AB AB
CD CD
,
AB CD
e e mắc xung đối Biểu thức dòng điện trong khung là:
2
CD AB
e e ka v
i
Theo định lý động năng:
2
2
2
mv
d i Rdt
2 4 2
k a v
R
2 4 2
dv k a v
dt
Lấy tích phân 2 vế ta được:
2 4
lnv k a t C
mR
Tại t =0 thì v = 0 C ln v0
2 4
0.
k a t mR
Bài 5: Cho hệ trục tọa độ Oxyz với trục Oz hướng thẳng đứng lên trên Trong vùng không gian z < 0 có một từ
trường đều với vecto cảm ứng từ B(0, ,0)B Lúc đầu trong vùng không gian z > 0 (không có từ trường) có một vòng dây siêu dẫn, cứng, mảnh, hình tròn bán kính R, độ tự cảm L và có dòng điện không đổi cường độ I0 chạy bên trong Sau đó vòng dây được truyền vận tốc ban đầu v 0 Tìm giá trị tối thiểu của v0 để một nửa diện tích vòng dây được kéo ra khỏi vùng có từ trường
Trang 8Gọi Sx là diện tích của phần gạch sọc
Từ thông qua phần gạch sọc:
B BSx
Từ điều kiện bảo toàn từ thông của vòng dây siêu dẫn :
LI LI B S
x
BS
L
Lực tác dụng lên khung là:
2
B S
L
Công lực từ tác dụng lên khung khi một nửa diện tích khung ra khỏi vùng có từ trường là:
2
2
2 0
2 2
0
2 4 0
3
x
x x R
x x R
A dA F dx
B S
L
B S
L
L
Theo định lí động năng thì:
2 0
0 2
mv A
Vận tốc tối thiểu cần cung cấp cho khung để một nửa khung khỏi vùng có từ trường là :
2 2
0 0
3 4 2
B R
B R I
L A
v
Bài 6: Cho dây dẫn thẳng dài vô hạn và khung dẫn hình vuông cạnh a Ban
đầu dây dẫn đi qua một đỉnh của khung như hình vẽ Sau đó cho dây chạy với
vận tốc v không đổi sang trái theo phương vuông góc với dây dẫn Từ trường
đều B, phương vuông góc với mặt phẳng khung có chiều như hình vẽ Cho
điện trở trên một đơn vị chiều dài của khung và của dây dẫn là r = 100 W/m, a
= 0,1 m, v = 0,24 m/s, B = 10-4 T Chọn thời điểm t = 0 là lúc khung bắt đầu
chuyển động Lúc đó sẽ có dòng điện I qua dây dẫn
1 Lập hàm I t ( ) và vẽ đồ thị
2 Tìm tổng điện lượng Q qua dây dẫn
3 Vẽ đồ thị biểu diễn lực từ tác dụng vào dây dẫn theo thời gian
Giải
1 Khi khung chuyển động ta có mạch điện như hình vẽ
8
x
z
O
M
N
Trang 9Gọi M, N lần lượt là giao điểm của khung với dây dẫn
Ta có điện trở phần bên trái R1 2 2 vtr và bên phải R2 4 a 2 2 vt r
Suất điện động của mạch kín bên trái 1 2Bv t2 và bên phải là 2 2Bv t2
Điện trở đoạn MN là R 2 vtr
Gọi các dòng điện lần lượt trong 2 phần trái và phải là I I1, 2 và dòng điện qua MN là I , thời gian đến khi dòng
điện đổi chiều là 0 2
0,3 2
a
v
Ta có hệ phương trình
0
0
0 t t
2 1 IR
IR
t t 2t 2
2 1
Bv vt r
I R
a
Bv
r a
Thay số ta có
7
7
10
A (0 t 0,3 ) 1
10
A (0,3s t 0, 6 )
0, 4
s t
I t
s t
Ta có đồ thị I(t) như hình vẽ
2 Theo tính chất đối xứng của đồ thị ta có
0 0,3
1
t
dt
t
3 Từ công thức F B I ta có
12
12
4,8.10 N 0 t 0,3
1
0, 6 4,8.10 N 0,3s t 0,6
0, 4
t
s t
I t
t
s t
Từ đó ta có đồ thị F(t) như hình vẽ
Bài 7: Một khung dây dẫn hình vuông MNPQ có khối lượng m, cạnh là b đặt trên bàn nằm ngang nhẵn Khung
chuyển động dọc theo trục Ox với vận tốcv 0đi vào một nửa không gian vô hạn (x 0)trong đó có một từ trường luôn hướng theo trục Oz, từ trường chỉ biến thiên theo trục Ox với quy luật B x ( ) B0(1 x )vớiB0là hằng số dương Biết rằng hai cạnh MN và PQ song song với trục Ox, còn mặt phẳng của khung luôn vuông góc với trục Oz Biết vào thời điểm toàn bộ khung cắt các đường sức từ, trong khung tỏa ra nhiệt lượng đúng bằng nhiệt lượng mà khung toả ra trong chuyển động tiếp theo sau đó cho đến khi dừng hẳn Bỏ qua độ tự cảm của khung và coi
1
b
1 Tính điện trở R của khung
2 Tính quãng đường mà khung đi được ở trong vùng có từ trường
t(s)
I(A)
1,43.10 -7
0
t(s)
F(N)
2,06.10 -12
0
Trang 101 Xét tại thời điểm t khung đang tiến vào vùng có từ trường và cạnh NP có tọa độ x và vận tốc v
Suất điện động xuất hiện trên cạnh NP là: e B v b B NP 0(1 x bv )
Trong khung có dòng điện: e B0(1 x bv )
i
Nhiệt lượng tỏa ra trong khung từ thời điểm t đến thời điểm t + dt là:
2 B0(1 x b v dt) B0(1 2 x b v dt)
dQ i Rdt
Mặt khác theo định luật bảo toàn năng lượng thì nhiệt lượng tỏa ra của khung = biến thiên động năng của khung
mv m v dv
Từ (1) và (2) suy ra: B02(1 2 x b vdt) 2 Rmdv
B x b dxRmdv (3)
Gọi v1 là vận tốc của khung khi nó bắt đầu nằm trọn trong vùng có từ trường Theo định luật bảo toàn năng lượng:
mv mv
Q
Kể từ giai đoạn trên cho đến khi dừng lại, theo định luật bảo toàn năng lượng:
2
2
mv
Suy ra: 1 0
2
v
v
Tích phân 2 vế của pt (3):
1 0
0
0
(1 2 )
v b
v
2 3
B b b Rm v v
2 3 0
0
1 1 2
R
mv
2 Gọi s1 là quãng đường khung đi được kể từ thời điểm toàn bộ khung bắt đầu nằm trong vùng có từ trường Khi khung đã nằm trọn trong vùng có từ trường thì dòng điện trong khung là:
NP MQ
i
Tương tự như trên: dQ i Rdt 2 mvdv
2 4 2 2
0
B b v
dt mvdv R
2 4 2
0
B b dxRmdv
Lấy tích phân 2 vế:
1
1
0
2 4 2 0
b s
10
M N
Q P
x
v B
x y
Trang 112 4 2 0
2
Rmv
B b s Rmv 1 2 4 20
Rmv s
B b
Thay R ở câu a) vào và biến đổi ta được:
(1 )
2 1
b s
b
Quãng đường cần tìm =
(1 )
2 1
b
b s b
b
Bài 8: Một vòng dây mảnh siêu dẫn cùng trục đối xứng với 1 nam châm hình trụ
và ở phía trên như hình vẽ Từ trường gây bởi thanh nam châm có tính đối xứng
trụ Bz B0 1 z với z = 0 là tâm vòng siêu dẫn lúc đầu và Br B r0 Ban
đầu trong vòng không có dòng điện, vòng được thả tự do và rơi theo phương thẳng
đứng
1 Xác định quy luật chuyển động của vòng dây
2 Tính dòng điện cực đại trong vòng dây
Áp dụng số m = 50 mg; r0 = 0,5 cm; L = 1,3.10-8 H; B0 = 0,01T; = 2 m-1; = 32 m-1
Giải
1 Ở độ cao z, bảo toàn từ thông cho vòng dây siêu dẫn ta được
2 0
1
B z r
i
L
Ta có thành phần từ trường Bz kéo dãn vòng, thành phần Bx gây lực tác dụng theo phương z
0
2
t
Theo định luật II Niuton: F mgt mz
2 4 2
0
2 4 2
0
2
0 2
0
r B
z mg mz L
r B
z g z mL
0
2
mgL
Z z
r B
, ta có phương trình
2 4 2 0
2
mL
Suy ra vòng dây dao động điều hòa với tần số góc: 2
0
2
r B
mL
2 4 2
0
2
mgL
r B
Tại t = 0 thì 0
0
z
z
Từ đó suy ra 2 4 2
0
2
mgL