đề tài PHưƠNG TRÌNH ELLIPTIC

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƢ PHẠM BỘ MÔN SƢ PHẠM TOÁN HỌC ------------ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: PHƢƠNG TRÌNH ELLIPTIC Giáo viên hướng dẫn TS. Phùng Kim Chức Sinh viên thực hiện Trịnh Thị Hiến MSSV: 1100100 Lớp: SP Toán – Tin K36 Cần Thơ, 5/2014 1 DANH MỤC KÝ HIỆU Trong tài liệu này, trừ các trƣờng hợp đặc biệt đƣợc nói rõ ở mỗi mục, còn lại sử dụng các kí hiệu sau:  là không gian Euclide điểm ( ) ( chiều ) . Cho hai )., tích vô hƣớng đƣợc xác định bởi ( công thức ∑ và khoảng cách giữa chúng đƣợc xác định bởi công thức ⁄ |  là một miền trong ̅ trụ trong ) + , tức là một tập mở liên thông, với biên sao cho ̅̅̅ . Nếu , thì ta viết . Kí hiệu Giả sử ( (∑( | ( ) . Mặt xung quanh của nó là . *( ( ) ) ( *( )+ là ) )+.  ) là đa chỉ số với ( | | . Giả sử (suy rộng) cấp ( là các số nguyên không âm, . Khi đó ) . Đạo hàm đƣợc kí hiệu là | | | | ⁄ Đặc biệt, ( Trƣờng hợp ( ) * , để chỉ đạo hàm (suy rộng) cấp theo biến ta viết ⁄  Giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tất cả các điểm mà hàm đó khác không và kí hiệu là supp. Kí hiệu ( ) là tập hợp tất cả các hàm có đạo hàm 2 o liên tục đến cấp trong miền o ( ) C k () ( ) , C () o ( ), ở đó C () là tập hợp tất cả các hàm liên tục trong thuộc và có giá compact .  là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm ( ) ( ) khả tổng cấp ‖ ‖  với chuẩn theo Lebesgue trong ( | ( )| ( ) ) là không gian với chuẩn ⁄ ‖ ‖  ( (∫ :∫ | ( ) )| ; , ( ) là không gian Sobolev bao gồm tất cả các hàm ( ), sao cho ( ) với mọi | | ( ) ( ) và có chuẩn đƣợc xác định bởi công thức ⁄ ‖ ‖ : ∑ ∫| ( ) )| ; | | o  W  m 2 o  () là bao đóng của C () trong chuẩn của ( ). ) là không gian Hilbert bao gồm tất cả các hàm ( ( tồn tại các đạo hàm suy rộng theo thuộc ( đến cấp thuộc ) ( ), sao cho ) và theo đến cấp ( ) với chuẩn sau ⁄ ‖ ‖ ( ) : ∑ ∫| )| ; | |  các hàm *( o W2m,l ( ( ) ) thuộc *( Kí hiệu ) là bao đóng trong không gian ) ( + ) sao cho ( ( ) +. | | là khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ. Ta có các định nghĩa của các không gian hàm sau. 3 ) của tập hợp tất cả khi ( )  ( ) là không gian tất cả các hàm ( ) có đạo hàm suy rộng đến cấp thuộc ( ), sao cho ( ) ( ) và chuẩn đƣợc xác định bởi công thức ⁄ ‖ ‖ ( :∑ ∫ ( ) | | )| )| ; | |  ( ) là không gian với chuẩn đƣợc xác định bởi ⁄ ‖ ‖ ( ) :∑ ∫ ( | | )| )| ; ∑ ∫| | | |  ) là không gian mà trong đó trang bị chuẩn ( ⁄ ‖ ‖ ( ) : ∑ ∫ | | ( ) | )| ; | |  các vết của ( ) (hoặc ( ) trên biên ( ) là một phần của (hoặc trên ) 4 ) là không gian bao gồm LỜI CẢM ƠN Trƣớc tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Trƣờng Đại học Cần Thơ, Khoa Sƣ phạm và Bộ môn Toán đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi, cung cấp nguồn tài nguyên kiến thức vô giá. Và đặc biệt tôi xin trân trọng cảm ơn Tiến sĩ Phùng Kim Chức đã đọc kỹ bản thảo và góp cho tôi nhiều ý kiến xác đáng và bổ ích giúp tôi hoàn thành luận văn. Dù đã cố gắng nghiên cứu, thu thập tài liệu nhƣng luận văn này vẫn còn hạn chế về số lƣợng bài tập để bạn đọc có thể hiểu sâu rộng hơn về hai nội dung chính của tài liệu. Và tuy đã đƣợc kiểm tra kỹ lƣỡng nội dung của luận văn nhƣng không tránh khỏi sai sót về cả nội dung và hình thức, tôi hy vọng sẽ nhận đƣợc ý kiến đóng góp để tài liệu đƣợc hoàn thiện hơn. 5 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 8 Chƣơng 1 1.1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM ........................................................................ 10 Không gian tuyến tính định chuẩn và không gian Hilbert. ................................... 10 1.1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn. ..................................................................... 10 1.1.2 Phiếm hàm tuyến tính. ................................................................................... 10 1.1.3. Không gian Hilbert. ....................................................................................... 12 1.1.4 Sự trực giao trong không gian Hilbert. .......................................................... 14 1.1.5 Sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert. ........................................................ 17 1.2 Không gian ( )................................................................................................. 19 1.2.1. Không gian ( ) ......................................................................................... 19 1.2.1 Không gian ( ) 1.3 Một số tính chất của .............................................................................. 25 ( ) . ....................................................................... 31 1.3.1 Tính khả li. ..................................................................................................... 31 1.3.2 Tính liên tục toàn cục của các hàm thuộc 1.3.3 Trung bình hóa. .............................................................................................. 34 1.3.4 Không gian 1.4 ( ). .......................................... 32 ( ). ........................................................................................ 36 Không gian Sobolev. ............................................................................................. 38 1.4.1 Đạo hàm suy rộng. ......................................................................................... 38 1.4.2 Không gian ( ) . .................................................................. 41 o m 1.4.3 Không gian Wp ( ) 1.4.4 Không gian ( . .............................................................. 47 ). .................................................................................. 48 BÀI TẬP CHƢƠNG I ................................................................................................. 51 Chƣơng 2 2.1 PHƢƠNG TRÌNH LOẠI ELLIPTIC .............................................. 57 Phƣơng trình Elliptic đều ...................................................................................... 57 2.1.1 Bài toán biên thứ nhất và định lý duy nhất nghiệm. ...................................... 57 2.1.2 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet. ....................................... 60 2.1.3 Về ba định lý Fredholm. ................................................................................ 62 2.1.4 Bài toán biên thứ hai và thứ ba. ..................................................................... 67 2.2 Phƣơng trình Elliptic trong . ............................................................................ 70 2.2.1 Các khái niệm cơ bản. .................................................................................... 70 2.2.2 Bất đẳng thức tiên nghiệm. ............................................................................ 72 2.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm. ...................................................................... 77 2.3 Phƣơng trình Elliptic trong nửa không gian. ......................................................... 81 6 2.3.1 Tính giải đƣợc của phƣơng trình Elliptic trong 2.3.2 Tính trơn của nghiệm. .................................................................................... 83 2.4 . ...................................... 81 Phƣơng trình elliptic trong miền bị chặn. ............................................................. 86 2.4.1 Điều kiện Lopatinsky. .................................................................................... 86 2.4.2 Tính trơn của nghiệm. .................................................................................... 94 2.5 Phƣơng trình Elliptic mạnh. .................................................................................. 96 2.5.1 Bất đẳng thức Garding. .................................................................................. 97 2.5.2 Tính loại trừ Fredholm. ................................................................................ 100 BÀI TẬP CHƢƠNG II .............................................................................................. 103 PHẦN KẾT LUẬN ....................................................................................................... 108 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 109 7 PHẦN MỞ ĐẦU I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phƣơng trình đạo hàm riêng là một chuyên ngành quan trọng và rất phát triển trong toán học. Nó có liên quan chặt chẽ đến nhiều ngành khoa học và công nghệ khác. Các hiện tƣợng vật lý trong tự nhiên thƣờng rất phức tạp nên thƣờng phải mô tả bằng các phƣơng trình đạo hàm riêng. Chính vì thế các tài liệu về phƣơng trình đạo hàm riêng trên thế giới chiếm một tỷ lệ khá cao so với nhiều lĩnh vực khác trong khoa học và công nghệ. Tuy nhiên ở nƣớc ta các loại sách giáo khoa, sách tham khảo và chuyên khảo về phƣơng trình đạo hàm riêng và về các ứng dụng khoa học – công nghệ do ngƣời Việt Nam biên soạn vẫn còn hạn chế. Chính vì thế, tôi chọn đề tài về một phần của ngành này đó là: “Phƣơng trình Elliptic” nhằm tập trung chủ yếu vào tìm hiểu về các không gian hàm và các phƣơng trình loại Elliptic. Luận văn này cũng đƣợc nghiên cứu nhằm giúp cho ngành khoa học về phƣơng trình đạo hàm riêng đƣợc phổ biến sâu rộng hơn. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trọng tâm của luận văn là đi vào tìm hiểu về các không gian hàm và phƣơng trình loại Elliptic. Mức độ nghiên cứu trong tài liệu này chỉ là ở mức bƣớc đầu tiếp cận và biết sơ lƣợc về các kiến thức này. Đồng thời nó còn giúp tôi bƣớc đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học. III. TÓM TẮT NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chƣơng 1: Các không gian hàm. 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn và không gian Hilbert. 1.2 Không gian ( ) 1.3 Một số tính chất của không gian ( ) 1.4 Không gian Sobolev Một số bài tập tham khảo Chƣơng 2: Phƣơng trình Elliptic 2.1 Phƣơng trình Elliptic đều. 2.2 Phƣơng trình Elliptic trong 2.3 Phƣơng trình Elliptic trong nửa không gian 2.4 Phƣơng trình Elliptic trong miền bị chặn 2.5 Phƣơng trình Elliptic mạnh Một số bài tập tham khảo 8 IV. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU Các không gian hàm và các phƣơng trình loại Elliptic. V. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đề tại này chủ yếu dựa vào quyển “Phƣơng trình đạo hàm riêng – phần II” của tác giả Nguyễn Mạnh Hùng. Phƣơng pháp chủ yếu để nghiên cứu đề tài này là nghiên cứu các tài liệu có liên quan của nhiều tác giả khác nhau, từ đó tổng hợp, so sánh, phân loại và lựa chọn những bài toán điển hình cho từng dạng. 9 PHẦN NỘI DUNG Chƣơng 1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn và không gian Hilbert. 1.1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn. ( Một tập hợp đƣợc gọi là không gian tuyến tính định chuẩn trên trường là trƣờng số thực hoặc phức) nếu: (i) là không gian tuyến tính trên trƣờng ; (ii) Mỗi phàn tử đặt tƣơng ứng đƣợc với một số thực, gọi là chuẩn của , ký hiệu là ‖ ‖, thỏa mãn các tiên đề: ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ | |‖ ‖ ; ‖ ‖; . Một không gian nhƣ vậy sẽ trở thành một không gian Metric nếu đƣa vào ( ) ‖ ‖. Sự hội tụ của dãy { } khoảng giữa hai phần tử và các ‖ phần tử của tới phần tử đƣợc xác định nhƣ sau: ‖ khi , ký hiệu viết tắt là . Một tập hợp đƣợc gọi là trù mật khắp nơi trong E nếu với một phần tử bất kỳ tồn tại một dãy { } thuộc , sao cho . Nếu trong E tồn tại một tập hợp đếm đƣợc trù mật khắp nơi, thì không gian E đƣợc gọi là khả li. Nếu đối với một dãy bất kỳ { } thuộc không gian E, sao cho : ‖ ‖ khi , đều hội tụ trong E thì E đƣợc gọi là không gian đầy. Không gian tuyến tính định chuẩn đầy đƣợc gọi là không gian Banach. 1.1.2 Phiếm hàm tuyến tính. Nếu trong ( hoặc ) chuẩn của một phần tử đƣợc lấy là module của nó, thì trở thành một không gian Banach. Giả sử là không gian tuyến tính định chuẩn trên trƣờng . Một toán tử tuyến tính bị chặn tác động từ vào đƣợc gọi lag một phiếm hàm tuyến tính trên . Nhƣ vậy, toán tử ( ) đƣợc gọi là phiếm hàm tuyến tính trên nếu có các tính chất sau: 10 (i) Nếu (ii) Nếu âm , thì ( ) ; , thì (∑ ) ∑ ( ). Một phiếm hàm tuyến tính ( ) đƣợc gọi là bị chặn nếu tồn tại một số không sao cho: | ( )| ‖ ‖ Cận dƣới của hằng số trong bất đẳng thức này đƣợc gọi là chuẩn của phiếm hàm tuyến tính bị chặn và ký hiệu là ‖ ‖. Ta có: ‖ ‖ 8 | ( )| 9 ‖ ‖ ( ) Từ đó suy ra | ( )| ‖ ‖‖ ‖. Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên là một không gian Banach với chuẩn đƣợc xác định bằng công thức (1.1), nó đƣợc gọi là không gian liên hợp với và ký hiệu là Giả sử là không gian con tuyến tính của không gian và là phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên . Theo định lý Hahn – Banach về thác triển các phiếm hàm tuyến tính bị chặn, ta có thể thác triển đến phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên toàn không gian sao cho ‖ ‖ ‖ ‖ ở đây chữ và viết dƣới ‖ ‖ để nói rõ chẩn trên và tƣơng ứng. Đối với một phần tử tùy ý tồn tại một phiếm hàm tuyến tính bị chặn sao cho ‖ ‖ và ( ) ‖ ‖. Từ đó rút ra cùng với (1.1) có thể viết: ‖ ‖ 8 | ( )| 9 ‖ ‖ ( ) Định lí 1.1. Giả sử là không gian Banach và là không gian khả li. Khi đó một tập con bị chặn trong E chứa một dãy con { } sao cho với mọi dãy số { ( )} hội tụ. Chứng minh: Giả sử * + là dãy các phần tử trong không gian sao cho bao tuyến tính của nó trù mật trong , tức là với mỗi và mỗi ∑ ‖ nhỏ tùy ý, tồn tại các số sao cho ‖ . Giả sử * + là một * + dãy bị chặn trong không gian . Dãy số ( ) bị chặn, do đó có thể tìm ( ) ( ) * + đƣợc một dãy con hội tụ. Dãy chứa một dãy con 11 * + , sao cho dãy số tƣơng ứng ( ) ( ) hội tụ. Tiếp tục quá trình này ta tìm đƣợc một tập hợp đếm đƣợc các dãy, mà mỗi một dãy trong đó đƣợc chứa trong dãy trƣớc. Dãy tạo thành dãy số { ( )} hội tụ khi đối với mọi . Bây giờ giả sử là một phần tử tùy ý của . Ta sẽ chứng minh { ( )} là dãy hội tụ. Giả sử là một số cố định và là các số sao cho ‖ ∑ ‖ . Khi đó tồn tại một số sao cho | || ( )| với mà . Ta có | ( ) ( | ( ) )| ( )| ∑ ‖ ‖ ‖ Đối với | ( ) ∑ ( )| ∑| ( )| ‖ đủ lớn. Do đó { ( )} là dãy Cauchy, nên nó hội tụ. Định lí đƣợc chứng minh. Đối với phiếm hàm tuyến tính ( ), bây giờ ta cố định và coi chính phiếm hàm đƣợc thay đổi và chạy khắp không gian . Do phần tử cố định, còn phiếm hàm là thay đổi, nên có thể kí hiệu sự phụ thuộc này là ( ),. Khi đó ( ) trở thành một phiếm hàm tuyến tính trên . Do công thức (1.2), chuẩn của phiếm hàm ( ) trùng với chuẩn nhƣ một phần tử của không gian . Từ ( ) là một phiếm hàm tuyến tính trên suy ra ( ) là một phần tử thuộc . Do đó, có thể coi đƣợc chứa trong không có sự thay đổi chuẩn, tức là . Nếu là không gian Banach thì nó đóng trong . Do đó, không là không gian con tuyến tính đóng trong . 1.1.3. Không gian Hilbert. Một trƣờng hợp đặc biệt của không gian Banach là không gian Hilbert. Một không gian Banach thực trở thành một không gian Hilbert thực nếu với hai phần tử bất kì và xác định đƣợc một tích vô hƣớng ( ) , tức là cho tƣơng ứng với một số thực thỏa mãn các tiên đề sau: (i) (ii) (iii) (iv) ( ( ( ( ) ( ) ) ) ( ( ); ( ); ) ) ( ); . 12 Trong không gian Hilbert phức tích vô hƣớng ( ) là một số phức thỏa ) (̅̅̅̅̅̅̅). mãn các tiên đề từ (ii) đến (iv), còn tiên đề (i) đƣợc thay bằng ( ) ( Trong không gian Hilbert, chuẩn của phần tử đƣợc lấy là ‖ ‖ √( ). Đối với ta có bất đẳng thức Cauchy |( )| ‖ ‖‖ ‖ bất đẳng thức này có tên đầy đủ là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiakovsky – Schwarz. Trong không gian Hilbert ngoài sự hội tụ theo chuẩn còn có sự hội tụ yếu. Một dãy { } đƣợc gọi là hội tụ yếu trong đến phần tử nếu ( ) với mọi , kí hiệu là Bây giờ ta cố định phần tử phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên khi khi ( ) . . Khi đó tích vô hƣớng ( thay đổi. Nếu kí hiệu: ) là một ( ) ( ) thì ‖ ‖ ‖ ‖. Ngƣợc lại, theo định lí Riesz đối với phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên không gian tồn tại một phần tử , sao cho: ( ) Nhƣ vậy, đối với các phiếm hàm ∑ ( ) tức là, giữa các phiếm hàm ứng đơn trị ( ) ( tồn tại các phần tử : ∑̅ , sao cho: ; và các phần tử ∑ ) thiết lập đƣợc sự tƣơng ∑̅ Từ (1.3) suy ra ‖ ‖ ‖ ‖. Nếu bây giờ kí hiệu ( ) là phiếm hàm tuyến tính tùy ý trên ( ), thì ̅̅̅̅̅̅ ( ) là phiếm hàm tuyến tính bị chặn đối với . Vì thế, theo định lí Riesz tồn tại một phần tử sao cho: ̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ) đối với mọi . Do đó, ( ) ( ( ), tức là . Khẳng định này cũng đúng với không gian Hilbert thực. 13 1.1.4 Sự trực giao trong không gian Hilbert. ) Các phần tử đƣợc gọi là trực giao ( ) nếu ( ) đƣợc gọi là trực giao với tập hợp nếu ( với mọi ) hợp và thuộc đƣợc gọi là trực giao ( ) nếu ( , . Nếu trực giao với một tập hợp trù mật trong thì ) giả sử dãy { } khi . Bởi vì ( . Phần tử . Hai tập với mọi . Thật vậy, , hơn nữa ( ) ‖ ‖ nên ‖ ‖ , tức là . Một phần tử đƣợc gọi là chuẩn hóa nếu ‖ ‖ . Tập hợp đƣợc gọi là trực chuẩn (hệ trực chuẩn) nếu các phần tử của nó là chuẩn hóa và đôi một trực giao. Một tập hợp trực chuẩn là độc lập tuyến tính. Một tập hợp độc lập tuyến tính đếm đƣợc các phần tử { } có thể đƣợc biến đổi thành một tập hợp trực chuẩn đếm đƣợc bằng phƣơng pháp Schmidt: ‖ ‖ , ( ) ‖ ( ( ) ‖ ) ‖ ( ) ,… ( ) ( ) ‖ ,…. Giả sử là một phần tử tùy ý của , còn * + là một hệ trực chuẩn trong (nếu là không gian hữu hạn chiều thì hệ trực chuẩn đƣợc lấy là một số hữu hạn phần tử). Ký hiệu ( ) là không gian con của sinh bởi các phần tử , tức là một phần tử tùy ý của ( ) có dạng ∑ với các hằng số nào đó . Ta có: ‖ ∑ ‖ ( ∑ | ∑| ở đó ( ∑| + | đƣợc gọi là hệ Fourier của phần tử ) Nhƣ vậy đại lƣợng ‖ tức là: ∑ ( ) theo hệ * + . ‖ đạt giá trị nhỏ nhất khi ∑ ‖ ‖ ‖ ∑ ‖ 14 ‖ ∑ ‖ , ( ) Đối với tất cả các số . Bất đẳng thức (1.6) biểu thị tính chất tối thiểu của các hệ số Fourier và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi , . ∑ Ký hiệu . Khi đó, là phần tử trong không gian ( ) „gần nhất‟ với các phần tử đƣợc gọi là hình chiếu của phần tử lên không gian con ( ). Từ đẳng thức (1.5) với suy ra với bất kỳ và bất kỳ ta có: ∑| Điều đó có nghĩa là chuỗi ∑ | | ‖ ‖ | hội tụ và có bất đẳng thức Bessel: ∑| | ‖ ‖ Chuỗi ∑ đƣợc gọi là chuỗi Fourier của phần tử theo hệ Từ bất đẳng thức Bessel suy ra { } là một dãy cơ bản trong . Do đó chuỗi Fourier của một phần tử tùy ý theo hệ trực chuẩn tùy ý hội tụ trong . Tuy nhiên, chƣa chắc nó đã hội tụ đến phần tử . Mỗi hệ trực chuẩn đếm đƣợc đƣợc gọi là một cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert nếu một phần tử bất kì có thể khai triển đƣợc thành chuỗi Fourier theo hệ này, tức là: ∑ Định lí 1.2. Để hệ trực chuẩn cần và đủ là: (i) Hoặc đối với phần tử bất kỳ ‖ ‖ là cơ sở trực chuẩn của ta có đẳng thức Parseval: ∑| | (ii) Hoặc đối với hai phần tử bất kì ( ) điều kiện ( ) ta có đẳng thức Parseval mở rộng: ( ∑ 15 ) ( ) (iii) Hoặc tập hợp các phần tử có dạng số bất kì là một tập hợp trù mật trong Chứng minh: (i) Từ đẳng thức (1.5) với ‖ ∑ ‖ với mọi và các . ta nhận đƣợc ‖ ‖ ∑‖ ‖ ( ) Nếu * + là cơ sở trực chuẩn thì khai triển đƣợc thành chuỗi Fourier. Do đó, với mọi tìm đƣợc một số ( ), sao cho vế trái của (1.7) cũng nhỏ hơn . Từ đó nhận đƣợc đẳng thức Parseval. Điều ngƣợc lại đƣợc chứng minh tƣơng tự. (| | | | | ), nên chuỗi ∑ (ii) Do | hội tụ tuyệt đối. Hơn nữa, nếu khai triển đƣợc thành chuỗi Fourier, thì ( ) ( ) (∑ + ∑ ( ) ∑ ∑ tức là có đẳng thức Parseval mở rộng. Ngƣợc lại, từ đẳng thức Parseval mở rộng ta nhận đƣợc đẳng thức Parseval. Do đó, từ (i) ta nhận đƣợc kết quả. (iii) Nếu * + là cơ sở trực chuẩn trong , thì một phần tử bất kì có thể đƣợc xấp xỉ theo chuẩn trong với một tổng riêng trong khai triển Fourier của chính hàm này. Tổng riêng này là một tổ hợp tuyến tính của hệ * + . Do đó, điều kiện cần đƣợc chứng minh. số Bây giờ giả sử ( ) và các số là một phần tử tùy ý của ( ) ( ) sao cho: ‖ ∑ . Đối với tùy ý tìm đƣợc ( ) ‖ Từ đây và do (1.7) ta có đƣợc đẳng thức Pareval. Do đó, hàm thành chuỗi Fourier theo hệ * + . Định lí đƣợc chứng minh. đƣợc khai triển Định lí 1.3. Trong không gian Hilbert khả li tồn tại một cơ sở trực chuẩn. hiệu Chứng minh: Giả sử là một tập hợp đếm đƣợc trù mật trong . Kí là phần tử đầu tiên khác không ( ) của tập hợp này, 16 là phần tử đầu tiên của tập hợp tạo với thành một cặp độc lập tuyến tính. Tiếp tục quá trình này ta nhận đƣợc hệ * + độc lập tuyến tính. Nhờ quá trình trực giao hóa Schmidt và điều kiện (iii) trong định lí 1.2 ta nhận đƣợc một cơ sở trực chuẩn trong không gian . Định lí đƣợc chứng minh. 1.1.5 Sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert. Trong mục này ta đi xét một số tính chất của dãy hội tụ yếu trong không gian Hilbert thực. Định lí 1.4. Nếu dãy { } thì tồn tại một hằng số các phần tử của không gian Hilbert hội tụ yếu, ‖ ‖ sao cho với mọi . . Bởi vì dãy { ( )} Chứng minh: Giả sử hội tụ, nên dãy số này bị chặn. Kí hiệu là tập hợp tất cả các phiếm hàm | ( )| . Khi đó tập hợp đóng, và sao cho ⋃ ( ) * ‖ ‖ Ta chứng minh tồn tại một tập hợp chứa hình cầu + với nào đó và . Thật vậy, giả sử ngƣợc lại, khi đó tập hợp không * + ‖ ‖ chứa ít nhất một phần tử sao cho . Bởi vì đóng, nên * ‖ +, sao cho ‖ tồn tại một hình cầu và . Tập hợp không chứa ít nhất một phần tử và tồn tại một hình cầu * ‖ + sao cho ‖ và Tiếp tục các lí luận này ta nhận đƣợc một dãy các hình cầu Sao cho . Giao và với mọi . Nhƣng khi đó tập hợp ⋂ của tất cả các không chứa toàn bộ không gian . Điều này mâu thuẫn với (1.8) ‖ ‖ thuộc và từ đó | ( )| Nếu , thì hàm với mọi . Do đó, | ( )| Đối với , ở đó ‖ ‖ |( )( )| là hằng số sao cho | 17 ‖ ‖ ( )| ( . ) Giả sử ( ) ( đẳng thức ‖ ‖ ). Khi đó | ( )| ‖ ‖ và ‖ ‖ ‖ ‖. Ta nhận đƣợc bất ( ), tức là { } bị chặn. Định lí đƣợc chứng minh. Định lí 1.5. Dãy * mãn hai điều kiện sau: hội tụ yếu đến phần tử + nếu và chỉ nếu thỏa (i) Tồn tại một hằng số sao cho ‖ ‖ với mọi ; (ii) ( ) hội tụ đến ( ) với mọi thuộc một tập hợp con trong tuyến tính của các phần tử của nó trù mật trong . mà bao Chứng minh. Do định lí 1.4 ta chỉ cần chứng minh điều kiện đủ. Giả sử các điều kiện (i) và (ii) thỏa mãn đối với dãy * + và giả sử là một hàm tùy ý thuộc , còn * + là dãy các tổ hợp tuyến tính các phần tử của tập hợp đƣợc nói trong (ii) sao cho hội tụ đến . Ta có | ( ) Giả sử ) ( )| ( | ) ( )| là số dƣơng nhỏ tùy ý. Khi đó tồn tại số với mọi sao cho | , ở đây ( ) | ( ( )| ) | ( ( )| * ( )| sao cho ‖ ‖ ‖ ‖+, là hằng số trong (i). Mặt khác, tồn tại số với mọi . Do đó, ( )| ‖ ( ) | ‖‖ ‖ | ( ) ( )| ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖ Từ đó suy ra * + hội tụ yếu đến . Định lí đƣợc chứng minh. Từ định lí 1.1 và do đẳng cự tuyến tính với ta có định lí sau. Định lí 1.6. Giả sử là một không gian Hilbert khả li. Khi đó từ một dãy bị chặn trong có thể trích ra được một dãy con hội tụ yếu. Hiển nhiên một dãy hội tụ (theo chuẩn) thì hội tụ yếu. Điều khẳng định ngƣợc lại không đúng. Tuy nhiên ta có định lí sau: Định lí 1.7. Giả sử dãy * + hội tụ yếu tới phần tử sao cho ‖ trong . là dãy các phần tử trong không gian Hilbert ‖ ‖ ‖ . Khi đó * + hội tụ tới Chứng minh. Ta có đồng nhất thức ‖ ‖ ( ) ‖ 18 ‖ ( ) ( ) ‖ ‖ ) ( ) Bởi vì ( . Định lí đƣợc chứng minh. ‖ ‖ , nên ta nhận đƣợc ‖ ‖ Định lí 1.8. Giả sử dãy * + là dãy các phần tử trong không gian Hilbert hội tụ yếu tới phần tử . Khi đó tồn tại một dãy con { } sao cho dãy các trung bình cộng: ( ) hội tụ tới u. Chứng minh. Thay thế ) mỗi cố định, ( khi |( )| Mặt khác, dãy * , ta có thể coi , nên tồn tại các số |( ‖ ∑ ‖ trong . Do đó ‖ ∑ . ( ( . Bởi vì với sao cho )| hội tụ yếu nên bị chặn: ‖ + ‖ ‖ Do đó, bằng ) / * . Định lí đƣợc chứng minh. Định lí 1.9. Nếu dãy * ‖ ‖ + hội tụ yếu tới u trong không gian Hilbert H, thì ‖ ‖ ‖ ‖ Hơn nữa, vế phải của bất đẳng thức này là hữu hạn. 1.2 Không gian 1.2.1. Không gian ( ) ( ) Chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản nhất của tích phân Lebesgue. Một hàm ( ) xác định trên một tập hợp đƣợc gọi là hàm đơn giản nếu nó đo đƣợc và nhận một số hữu hạn hay đếm đƣợc các giá trị. Giả sử ( ) là một hàm đơn giản, sao cho ( ) nếu và với . Nếu chuỗi ∑ ( ) hội tụ tuyết đối, ở đó ( ) là độ đo của tập hợp , thì hàm ( ) đƣợc gọi là khả tổng trên hay ( ) ( ). Khi đó biểu thức 19 ∫ ∑ ( ) ( ) đƣợc gọi là tích phân của hàm trên tập . Giả thiết tập hợp có độ đo hữu hạn. Hàm đo đƣợc ( ) khả tổng trên hay ( ) ( ), nếu có một dãy * ( )+ các hàm đơn giản xác định trên hội tụ đến tới , sao cho tồn tại giới hạn ∫ ∫ ( ) Giới hạn (2.2) đƣợc gọi là tích phân của hàm trên tập . Dễ dàng kiểm tra đƣợc giới hạn này không phụ thuộc vào việc chọn dãy hàm * ( )+ . Nếu độ đo ( ) là vô hạn và giả sử: ( ) Nếu tồn tại giới hạn ∫ ( Và giới hạn này không phụ thuộc vào cách chọn là khả tổng trên hay ( ) và viết , thì hàm ) ( ) đƣợc gọi ∫ ( ) Tới đây ta định nghĩa đƣợc hàm khả tổng trên một tập hợp , ở đây hàm đƣợc nói tới là hàm đo đƣợc trên tập hợp (vì một hàm là đo đƣợc nếu tồn tại một dãy hàm đơn giản hội tụ đều tới nó trên ). Khi đó các biểu thức (2.1), (2.2), (2.3) hoặc (2.4) đƣợc gọi là tích phân của hàm ( ) trên . Trƣờng hợp đƣợc lấy là độ đo Lebesgue chiều ta viết và gọi nó là tích phân Lebesgue. Tích phân Lebesgue có các tính chất sau: (i) (ii) (iii) (iv) Nếu ( ), thì ( ) với mọi số phức . Nếu ( ), thì | | ( ) và ngƣợc lại, nếu | | ( ) thì Nếu bị chặn và đo đƣợc trên tập có độ đo hữu hạn, thì ( ). Nếu ( ) ( ) hầu khắp nơi trong (tức là đối với tất cả một tập có độ đo không) và ( ) và 20 ( ). trừ ra ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) Định lí 2.1 (Lebesgue). Giả sử ( ) ( ) | ( )| ( ). Ngoài ra, sự hội tụ tới hàm . Khi đó ( ) và ∫ ( ) ∫| ( ) ∫ ( ) Định lí 2.2 (Fatou). Nếu hội tụ tới hàm hầu khắp trong ∫ ở đó ở đó hầu khắp trong và khi ( )| , là các hàm khả tổng không âm trong khi và giả sử ( ) là hằng số không phụ thuộc vào . Khi đó ( ) và ∫ ( ) ( ) ( ) Định lí 2.3 (Levi) Nếu và ( ) ∫ ( ) là hằng số không phụ thuộc vào k. Khi đó tồn tại giới hạn ∫ ( ) Định lí 2.4 (Fubini). Nếu ( . Khi đó tích phân: ∫ ( ) ∫ ( tồn tại với hầu khắp , là hàm khả tổng trong ) ) và 21 ( ∫ ) ∫:∫ ( ( Hệ quả. Nếu ở đó ( ) nếu ( ) * ( ) ; ) ) ( ) . Khi đó: ∫ ( ) ∫ ( ) ∫: ∫ ( ( ) + và meas là độ đo Lebesgue và các hàm khả tổng thì ∫ ( ) ( ) ∫: ∫ ( ) ) ; chiều. Hơn nữa, ; ( ) ( *( ) Chứng minh. Giả sử và + ) là hàm đặc trƣng của . Nhờ định lí Fubini ta có ∫ ( ) ∫:∫ ( ) ; ∫ :∫ ( ( ) ) ; ( ) ( )∫ ( ) Bởi vì ∫ ( ), nên điều khẳng định thứ nhất đƣợc chứng minh. Để chứng minh khẳng định thứ hai ta cũng làm tƣơng tự nhƣ trên đối với tích phân ∫ ( ) ( ) Hệ quả đƣợc chứng minh. Trong một tập hợp mở và liên thông đƣợc gọi là một miền. Giả sử là một miền trong và xét tập hợp tất cả các hàm giá trị phức khả tổng đƣợc xác định trên . Tập hợp này là một không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn: ‖ ‖ Định lí 2.5. ( ) ∫ | ( )| ( ) là không gian đầy. 22 Chứng minh. Giả sử { ( )} là dãy Cauchy trong ( ) sao cho ‖ mỗi số nguyên tồn tại một số nguyên với mọi ( ). Giả sử 2 3 là dãy con sao cho ‖ ‖ ( ). Khi đó với ‖ đối ( ) . Đặt ( ) và ( ) Ta có { } | ( )| ( ) | ( )| ( )| là dãy các hàm không âm, tăng dần và ∫| ( )| Do định lí 2.3 tồn tại một hàm ( ) hầu khắp tới nó, ( ) | ( ) ( ) sao cho dãy { } hội tụ ( ) và ( ) ∫| ( )| Bởi vì chuỗi ( ) hội tụ tuyệt đối hầu khắp trong đƣợc ( ). Do | ( )| ( , nên dãy { } ) hội tụ hầu khắp tới một hàm đo ( ), nên theo định lí 2.1 hàm ( ) khả tổng và ( ) ∫| ( )| Hơn nữa, ∫| ( ) ( )| ∫| ∫| Bởi vậy ∫ | ( ) ( )| Định lí đƣợc chứng minh. ( ) ( )| ( ) ( )| . 23 ∫| ( ) ( )| Bây giờ ta đi xem xét sự xấp xỉ một hàm thuộc ( ) bằng một hàm liên tục. Định lí 2.6. Nếu ( ), thì với mọi ( ) ( ) với giá compact sao cho ∫| ( ) tồn tại một hàm liên tục ( )| Chứng minh. Giả sử ban đầu là miền bị chặn. Từ định nghĩa tích phân Lebesgue suy ra là giới hạn trong ( ), của một dãy các hàm đơn giản khả tổng. Mỗi hàm đơn giản khả tổng trong lại là giới hạn trong ( ) của một dãy ( ) các hàm đơn giản nhận một số hữu hạn giá trị. Thật vậy, nếu trên tập hợp , thì ∫ ( ) ∑ ( ) Do đó ∫| ( ) ( )| ở đó ( ) ( ) trên đối với và trên nếu . Nhƣ vậy, tập hợp các hàm có giá compact nhận một số hữu hạn giá trị là trù mật trong không gian ( ). Bởi vì mỗi hàm đơn giản là một tổ hợp tuyến tính của ( ) cũng chỉ nhận các hàm chỉ nhận hai giá trị 0 và 1, nên có thể coi mỗi hàm hai giá trị này. Bây giờ giả sử ( ) đối với và ( ) ở đó là một tập hợp đo đƣợc bị chặn. Do định nghĩa độ đo Lebesgue với mỗi tồn tại một tập đóng và một tập mở sao cho và | ( ) ( )| . Cố định và tập hợp . Đặt ( ) ( ( ) ) ( ) ở đó ( ) là khoảng cách từ đến tập hợp . ( ) ( ) Nhƣ vậy nếu và nếu ) liên tục khi đóng. Hơn nữa liên tục do hàm khoảng cách ( Do đó 24 ( ) . Hàm ( ) . ∫| ( ) ( )| ( ) ∫| ( ( )| ) Nhƣ vậy, một hàm khả tổng lấy hai giá trị có thể xấp xỉ đƣợc trong bởi một hàm liên tục với giá compact. ( ) Từ các lí luận trên rút ra kết luận của định lí cho trƣờng hợp miền bị chặn. Trƣờng hợp miền không bị chặn, đặt ( ) ngoài và coi rằng ( ). Bây giờ giả sử ( ) ( ) đối với | | và ( ) với | | . Khi đó ∫| ( ) ( )| ∫ | ( )| | | Hàm ( ) thuộc trên, với mỗi | | và (* | | +) và triệt tiêu khi | | . Theo chứng minh ở ( ) sao cho ( ) tồn tại một hàm liên tục với ‖ ( ) Do đó, với đủ lớn ta có ‖ ( ) Định lí đƣợc chứng minh. 1.2.1 Không gian ( )‖ ( )‖ ( ( ) ) . ( ) Không gian Định lí 2.7 ( ( ) bao gồm các hàm ( ) sao cho | ( )| ̈ ( ) ). Giả sử ( ). ( ) , ở đó . Khi đó: |∫ ( ) ( ) | :∫ | ( )| ; :∫ | ( )| ; Chứng minh. Trƣớc tiên ta đi chứng minh bất đẳng thức cơ bản ( 25 ) Thật vậy, xét hàm ⁄( nhất tại điểm ) ). Hàm này chỉ đạt giá trị lớn trên , của biến và giá trị lớn nhất đó bằng . Do đó, Vậy, (2.5) đƣợc chứng minh. Bây giờ đặt | | :∫ | ( )| | | :∫ | ( )| ; ; Từ (2.5) ta có | || | :∫| ( )| | | :∫ | | :∫ | ( )| ; ; | | :∫ | | ; ; Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức này ta nhận đƣợc |∫ | ∫| | :∫ | | ; :∫ | | ; Định lí đƣợc chứng minh. Định lí 2.8 (Minkovsky). Nếu :∫ | ( ) ( )| ; ( ) :∫ | ( )| Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức ∫| ( ) ( )| ∫| ( ) ̈ | ( )| ( )| 26 . Khi đó: ( ), ; :∫ | ( )| ; ta nhận đƣợc ∫| ( ) ( )| | ( )| :∫| ( ) ( )| ; :∫| ( )| ; Do đó :∫ | ( ) ( )| :∫ | ( )| ; :∫ | ( )| ; ; Định lí đƣợc chứng minh. Từ bất đẳng thức Minkovsky suy ra ( ) nếu ( ) và là hai số bất kì. Nhƣ vậy ( ) là một không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn sau ‖ ‖ Định lí 2.9. :∫| ( )| ( ) ; ( ) là không gian đầy. Chứng minh. Giả sử { } là dãy Cauchy trong nguyên , tồn tại một số nguyên ( ), sao cho ‖ ( ). Giả sử 2 với mọi ‖ Đặt ( ) là một dãy con sao cho 3 ‖ ( ). Khi đó với mỗi số ‖ ( ( ) ) và ( ) | ( )| | ( ) Bởi vì dãy các hàm không âm ( )| {| ( )| } Minkovsky, ta có 27 | ( ) ( )| tăng và nhờ bất đẳng thức ( )| :∫ | :∫ | ( )| ; ; ( )| :∫| ; ( ) sao cho | ( )| khả tổng và dãy Theo định lí 2.3 tồn tại một hàm ( ) {| ( )| } hội tụ tới hàm | ( )| hầu khắp. Vì chuỗi ( hội tụ tuyệt đối hầu khắp trong ) khắp nơi tới hàm đo đƣợc ( ). Dãy { đo đƣợc | hội tụ hầu hội tụ hầu khắp nơi tới hàm } ( ). Mặt khác ( ) | , nên dãy { } (| | | |) ( )| | | ( )| Nhờ định lí 2.1 ta có ∫| ∫| ( ) | ⁄ Từ đây và từ (2.6) ta nhận đƣợc .∫ | ( ) hạn của trong ( ). Hơn nữa :∫ | ( ) :∫ | ( )| ( ) ; ( )| ( )| / :∫ | ( ) ( )| :∫ | ( ) ( )| Do đó 28 ; ( )| tức ; ; là giới ∫| ( ) ( )| Định lí đƣợc chứng minh. Định lí 2.10. Giả sử là một miền trong . Tập hợp tất cả các hàm liên tục trong với giá compact trù mật trong không gian ( ) . Chứng minh. Ta đi chứng minh định lí cho trƣờng hợp miền bị chặn. Trƣờng hợp miền không bị chặn đƣợc suy ra từ trƣờng hợp bị chặn và các lập luận nhƣ trong phần cuối chứng minh định lí 2.6. ( ) . Đặt ( ) ( ) Giả sử ( ) nếu | ( )| và nếu | ( )| . Khi đó ∫| ( ) ( )| ( ) Thật vậy, ta có ∫ | ( )| ∑ ∫| ( )| * Bởi vậy, với mọi | ( )| + , tồn tại một số , sao cho ∫| ( ) ( )| Từ đó nhận đƣợc (2.7). Vì hàm bị chặn, nên nó khả tổng. Do vậy, từ định lí 2.6 suy ra tồn tại một ( ) , sao cho hàm liên tục trong miền với giá compact ∫ | ( ) ( )| . Bởi vì | ( )| , nên ta luôn coi | ( )| . Với ( ). Do đó, ta có những mà | ( )| , ta thay ( ) bởi ∫| ( ) ( )| ∫| ( ) 29 ( )|| ( ) ( )| ∫| ( ) ( )| Từ đó ta rút ra bất đẳng thức :∫ | ( ) ( )| :∫ | ( ) ; ( )| :∫| ( ) Do đó .∫ | ( ) ( )| ( )| ; ; . Định lí đƣợc chứng minh. / Bây giờ ta xét không gian liên hợp của ( ). Ta nhắc lại khái niệm đẳng cự tuyến tính của hai không gian tuyến tính định chuẩn. Không gian tuyến tính định chuẩn đƣợc gọi là đẳng cự tuyến tính với không gian tuyến tính định chuẩn nếu tồn tại một toán tử tuyến tính từ lên toàn chuẩn. Định lí 2.11. Giả sử là một miền trong Khi đó ( ) đẳng cự tuyến tính với xạ, tức là ( ) ( ). ( ) Chứng minh. Giả sử ( ) và ( ). Hơn nữa . ( ) là không gian phản ( ). Khi đó ∫ ( ) ( ) ( ) là một toán tử tuyến tính. Hơn nữa, nhờ định lí 2.7 toán tử này bị chặn. Do vậy, (2.8) xác định một phiếm tuyến tính . Ngoài ra, nhờ định lí 2.7 ta nhận đƣợc ‖ ‖ ‖ ‖ ( ). Mặt khác, nếu chọn ( ) ( )| ( )| , thì ( )‖ ‖ Và ( ) ‖ ‖ ( ). ( ) Do đó ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ( ) ( ). Điều khẳng định ngƣợc lại cũng đúng. Nếu là một phiếm hàm tuyến tính ( ), thì tồn tại một hàm ( ) trong ( ) sao cho có đẳng thức (2.8) đối với mọi ( ) ( ) và ‖ ‖ ‖ ‖ ( ). Định lí đƣợc chứng minh. 30 1.3 Một số tính chất của ( ) . 1.3.1 Tính khả li. Định lí sau chứng tỏ không gian ( ) là khả li với mọi Định lí 3.1. Giả sử và là một miền thuộc . Tồn tại một tập hợp ( ) con đếm được các phần tử của không gian , sao cho bao tuyến tính của nó trù mật trong ( ). Chứng minh. Giả sử là một số hữu tỉ nào đó, hình hộp: ( ) * | | Giả sử ( ) ( ) và Đặt ( ) hàm thuộc ( ). Chọn đủ lớn, sao cho ∫ | ( ) Lấy ( hợp ( ) và xét nhƣ một liên tục trong ( ), sao cho ) ), nên nó liên tục đều trên ( ( ( )| ) ( )| ). Do vậy, | với là một số nguyên nào đó để đủ nhỏ. Chia hình hộp √ ) thành các hình hộp nhỏ không giao nhau có độ dài cạnh là và xét tập bao gồm các hàm đặc trƣng ( ) của các hình hộp này với mọi . Đặt ( ) ở đó với ( )| Bởi vì hàm liên tục trên ( tồn tại một số sao cho | + ) Nhờ các định lí 2.6 và 2.10, tồn tại một hàm ( ) là | ( )| ∫ ( . Kí hiệu ( ∑ ( ) ( ) là tâm của hình hộp nhỏ. Khi đó | ( ) ( )| | ( ) 31 ( )| nếu thuộc vào hình hộp với tâm là . Ta có ∫ | ( đặt ( ) ( ) | ) đối với ) , ta nhận đƣợc ( ⁄ : ∫| ( ) ( )| ; ⁄ : ∫ | ( ) ( ( )| ⁄ ; : | ( )| ∫ ) ( ; ) ⁄ : ∫ | ( ) ( ( )| ⁄ ( ) : ∫ | ; ) ( ( )| ; ) ⁄ : | ( )| ∫ ( ; ) ⁄ ∫ | ( ) : ( ( )| ⁄ ( ) : ∫ | ; ) ( ( )| ; ) ⁄ : ∫ ( | ( )| ; ) do vậy, tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các hàm Định lí đƣợc chứng minh. trù mật trong 1.3.2 Tính liên tục toàn cục của các hàm thuộc ( ). ( ) ( ). Một trong những ứng dụng quan trọng của các hàm thuộc không gian là tính liên tục toàn cục của nó. Định lí 3.2. Giả sử ngoài . Khi đó với mỗi là một miền trong tồn tại một số 32 ( ) sao cho: ( ) bên ∫| ( ) Với mọi thỏa mãn | | )| ( . Chứng minh. Trƣớc tiên xét trƣờng hợp là miền bị chặn. Nhờ định lí 2.6 và 2.10 với mỗi tồn tại một hàm ( ) ( ) với giá compact, sao cho ∫| ( ) ( )| Bởi vì ( ) có giá compact nên ( ) liên tục đều. Do đó, tồn tại số ( ) ( ) nếu | | . Từ đây suy ra sao cho ⁄ : ∫| ( ) ( )| ; ⁄ : ∫| ( ) ( )| ⁄ : ∫| ( ) ; )| ( ; ⁄ : ∫| ( ) ( )| ( ) ( Nếu chọn sao cho minh định lí đối với miền bị chặn. Nếu miền không bị chặn, chọn miền ∫ | ( )| ( ; ∫| ( ⁄ ) ⁄ ) . Khi đó ta nhận đƣợc chứng bị chặn sao cho )| | | Khi đó, áp dụng kết quả của miền bị chặn ta nhận đƣợc kết quả của định lí cho miền không bị chặn. Định lí đƣợc chứng minh. Một miền thuộc đƣợc gọi là miền sao đối với điểm , nếu với mỗi điểm , đoạn thẳng nối với cũng thuộc miền . Trƣờng hợp đặc biệt, miền lồi là miền sao đối với mọi điểm thuộc miền đó. Dƣới đây là một định lý về tính liên tục toàn cục trong miền hình sao của một hàm thuộc không gian ( ). 33 ( ) Định lí 3.3. Giả sử là một miền hình sao đối với tọa độ và ( ) bên ngoài . Khi đó với mỗi tồn tại một số sao cho: ∫| ( ) nếu | | )| ( . ( ) ). Do là miền sao đối với Chứng minh. Bởi vì ( ) ( ) gốc tọa độ, nên ( . Từ đây và từ định lí 3.2 suy ra kết luận của định lí. Định lí đƣợc chứng minh. 1.3.3 Trung bình hóa. o Giả sử ( ) là một không gian thực thuộc lớp C  ( ) sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) nếu | | và ∫ ( ) . Hàm ( ) đƣợc gọi là nhân trung bình hóa. Ta có thể lấy ví dụ: ( ) ( > | | ( ) * | | | | Với hằng số đƣợc chọn thích hợp. ( ) Nếu thì hàm ( ) đƣợc xác định trong trung bình của hàm . ∫ / ( ) và trơn vô hạn. Nó đƣợc gọi là trung bình hóa hay hàm Định lí 3.4. Nếu ( ) Chứng minh. Đặt ( ) ( ) . ∫ . , thì đối với / ( ) Bởi vậy 34 ‖ ‖ ( ) . Khi đó, ∫ ( ) ( ) . | ( ) ( ) ∫ ( ), ( ) ( )- ( ) ( )| ∫| ( ) ( )| | | Sau khi lấy tích phân bất đẳng thức này theo lí Fubini ta nhận đƣợc ∫| ( ) ( )| và đổi thứ tự lấy tích phân nhờ định ∫| ( ) ( )| | | Do định lí 3.2, tích phân sau cũng dần đến không khi minh. Định lí 3.5. Nếu . Định lí đƣợc chứng ( ), thì ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) Chứng minh. Theo định nghĩa trung bình hóa ta có ∫ ∫ :∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ . . / ( ) / ( ) ; ( ) ∫ ( ) ( ) Định lí đƣợc chứng minh. Định lí 3.6 Nếu hầu khắp nơi. thì ( ) và ∫ ( ( ) ( )) với mọi C ( ), o  C ( ), sao cho Chứng minh. Với |∫ ( ) ( ) o  | ∫| ( ( ) 35 ( ))| ∫| | Khi đó ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) Do đó và vì ‖ Định lí đƣợc chứng minh. ‖ ∫| | 1.3.4 Không gian trên ( ) ∫| | , nên ( ) ∫| | hầu khắp nơi. ( ). Giả sử là một miền trong không gian . Giả sử ( ) là một hàm đo đƣợc và bị chặn hầu khắp nơi trong . Khi đó tồn tại một hằng số sao cho | ( )| Với hầu khắp mãn (3.1) là ( thuộc . Kí hiệu cận dƣới đúng của tập hợp các số ) thỏa ( ) hoặc ( ) trên Ta đi chứng minh điều khẳng định sau đây: Nếu ( ) là một hàm đo đƣợc và bị chặn hầu khắp nơi thì: | ( )| ( ) Thật vậy, ký hiệu giảm hội tụ đến ( ) và { } là dãy các số đơn điệu . Khi đó: | ( )| { } có độ đo không với mọi j. Do đó có độ đo không và | ( )| với ⋃ mọi . Kí hiệu ( ) là tập hợp các hàm ( ) đo đƣợc trên và bị chặn hầu khắp trong . Không khó khăn ta có thể thử đƣợc ( ) là một không gian tuyến tính định chuẩn nếu đƣa vào nó chuẩn: ‖ ‖ ( ) ( ) 36 ( ) Định lí 3.7. ( ) là không gian đầy. Chứng minh. Giả sử { ( )} với mỗi là một dãy Cauchy trong ( ) sao cho tồn tại một số nguyên ‖ ‖ ( ). Khi đó ( ) ( ) ( ) Kí hiệu | ( ) { ( )| ‖ ‖ ( )} ⋃ Do mỗi có độ đo không, nên | ( ) với mọi có độ đo không. Từ đó ( )| ‖ ‖ ( ) { ( )} ( ). Vậy với mỗi và mọi số Cauchy, nên nó hội tụ tới một số thực ( ). Với mỗi trong công thức trên ta nhận đƣợc | ( ) Với mọi Mặt khác Từ (3.3) ta có đặt ( ) ( )| ‖ . Cho ( và mọi ( ). Nên do đó ( ( ), nên ‖ là một dãy ) ( ). ) thuộc ( ). ( ) với mọi ( ). Từ đây ta nhận đƣợc * + gian ( ). Định lí đƣợc chứng minh. hội tụ đến hàm trong không Tới đây ta đã xét đƣợc các không gian ( ). với , ở đó các hàm đƣợc xét là các hàm giá trị thực. Trong trƣờng hợp các hàm giá trị phức ( ) ( ) ( ) ( ) và ( ) là các hàm giá trị thực, ta chỉ cần lƣu ý rằng hàm ( ) đƣợc gọi là đo đƣợc trên tập hợp nếu ( ) và ( ) là các hàm đo đƣợc trên , còn ( ) đƣợc gọi là khả tổng nếu các hàm ( ) ( ) là khả tổng. Khi đó ∫ ∫ ∫ 37 Hơn nữa trong không gian ( ), tích vô hƣớng đƣợc hiểu là ( ) ∫ ( )̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ở đó ̅̅̅̅̅̅ ( ) là hàm phức liên hợp với ( ). Các kết quả đã trình bày đối với các hàm giá trị thực cũng đúng đối với các hàm giá trị phức. 1.4 Không gian Sobolev. 1.4.1 Đạo hàm suy rộng. Giả sử hàm ( ) ( ) nếu: là một miền không nhất thiết bị chặn trong không gian ( ) đƣợc gọi là đạo hàm suy rộng cấp của hàm ∫ ( ) ( ) )| | ∫ ( ) ( . Một ( ) ( ) o với mọi C  ( ) ở đó ( )| | và: | | Từ công thức Green cổ điển suy ra một hàm có đạo hàm liên tục cấp thì nó có đạo hàm suy rộng cấp . Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng và từ định lí 3.6 rút ra hàm có không quá một đạo hàm suy rộng. Thật vậy, giả sử và là hai đạo hàm suy rộng của hàm . Khi đó: ∫( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) Do đó hầu khắp nơi trong . Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm (theo nghĩa cổ ( ) điển). Ta lấy ví dụ ( ) ( ). Khi đó: Với các hàm ( ), nhƣng có thể các đạo hàm (cổ điển) cấp một và cấp hai không tồn tại khắp nơi trong . 38 Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp trong miền thì nó cũng có đạo hàm suy rộng cấp trong miền . Khi đó đạo hàm suy rộng trong miền đƣợc gọi là thu hẹp của đạo hàm suy rộng trong vào . Dễ kiểm tra đƣợc rằng: ( ) ( ) ở đó và là các hằng số tùy ý. Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng thấy ngay đƣợc rằng các đạo hàm suy rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Nói chung đạo hàm suy rộng bảo toàn đƣợc nhiều tính chất của đạo hàm (cổ điển). Tuy nhiên không phải tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp không suy ra đƣợc sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn . Ta xét một định lí về sự liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và trung bình hóa. Định lí 4.1. Giả sử là một miền trong không gian , là miền con của sao cho khoảng cách giữa và bằng . Khi đó, đối với và , ta có: ( ) ( ) ( ) o C  ( ) đối với Chứng minh. Do và , và hàm . / , nên sử dụng định nghĩa đạo hàm suy rộng, ta nhận đƣợc ( ) ∫ . ∫ . )| ∫( / ( ) / ( ) ( | . / ( ) ) ( ) Định lí đƣợc chứng minh. Bây giờ ta đi xét trƣờng hợp và các mối liên hệ giữa đạo hàm suy rộng, đạo hàm cổ điển và tính liên tục tuyệt đối của một hàm trên một khoảng hữu hạn ( ). Ta nhớ lại rằng, một hàm ( ) liên tục tuyệt đối trên khoảng ( ) nếu tồn tại một hàm khả tổng ( ) trên đoạn này sao cho ( ) ∫ ( ) ( 39 ) Định lí sau đây nói lên mối liên hệ tuyệt đối và đạo hàm cổ điển của một hàm. Định lí 4.2. Giả sử ( ) liên tục tuyệt đối trên khoảng hữu hạn ( ). Khi đó tồn tại đạo hàm cổ điển ( ) hầu khắp trong ( ). Hơn nữa, ( ) là khả tổng trên ( ) và: ( ) ( ) ∫ ( ) Định lí 4.3. Nếu hàm ( ) liên tục tuyệt đối trên một khoảng hữu hạn ( thì nó có đạo hàm suy rộng trên khoảng này. ), o  C ( ). Khi đó Chứng minh. Giả sử cũng là hàm liên tục tuyệt đối trên khoảng ( ) Theo định lí 4.2 tồn tại đạo hàm cổ điển hầu khắp nơi trong ( ) và ∫ ( ) ( ) ∫( ( ) ( )) ∫ ( ) Do đó ( ) là đạo hàm suy rộng của ( ) trong ( Định lí đƣợc chứng minh. ∫ ( ) ( ) ( ) ) Các điều khẳng định ngƣợc lại đƣợc xem xét trong định lí sau. Định lí 4.4. Giả sử ( ) có đạo hàm suy rộng trên khoảng hữu hạn ( ). Khi đó ( ) là hàm liên tục tuyệt đối trên khoảng ( ) và hầu khắp nơi trong khoảng ( ) nó có đạo hàm cổ điển ( ). Chứng minh. Giả sử đó ∫ ( có đạo hàm suy rộng là ). Giả sử , ở đó ( ) o  C ( ) và ∫ là hằng số, sao cho ∫ trong khoảng ( ( ) . Đặt C ( ) ta có ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ∫∫ ( ) ∫ ( ) ( ) 40 ( ) . Khi đó với mỗi ( ) ( ) o ( ) ( ) ) Khi ( ) o Đặt ∫ ( ) ( ) ( ) ( )∫ ( ) ( ) . Ta có C ( ) và . Từ đó ta nhận đƣợc ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) o ( Với mọi ( ) C  ( ). Do đó ( ) và ( ) ∫ ( ) , , tức là là hàm liên tục tuyệt đối và ( ) ( ) hầu khắp nơi trong ). Định lí đƣợc chứng minh. ( ) 1.4.2 Không gian . ( ) là không gian bao gồm tất cả các hàm ( ) Không gian ( ), sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp | | thuộc ( ) và đƣợc trang bị chuẩn: ⁄ ‖ ‖ : ∑ ∫| ( ) ( )| ; ( ) | | ( ) là không gian Banach với Dễ dàng kiểm tra đƣợc và là không ( ) với chuẩn (4.1) đƣợc gọi là không gian gian Hilbert với . Không gian Sobolev. Định lý 4.5. Giả sử là một miền trong ( ) là một không gian Banach. . Khi đó và ( ) là một không gian tuyến tính Chứng minh: Dễ dàng kiểm tra đƣợc định chuẩn với chuẩn (4.1). Bây giờ chúng ta chứng minh nó là không gian đầy. Giả ( ), tức là với mỗi số tự nhiên : sử { } là dãy Cauchy trong ∑ ∫| ( )| | | Đối với mỗi dãy { } là dãy Cauchy trong không gian đầy, nên tồn tại một hàm ( ) sao cho: 41 ( ). Bởi vì ( ) là ∫| Đặc biệt ( ( )| ) ( ) tức là: ∫| | ( ) ( ) Theo định nghĩa đạo hàm suy rộng cấp , ta có hệ thức: ∫ ( ) | | o  C ∫ ( ) Từ (4.2) và (4.3) suy ra có thể chuyển qua giới hạn đẳng thức (4.4) khi . Kết quả ta nhận đƣợc: ∫ ( Điều đó chứng tỏ rằng, ) | | o  C ∫ là đạo hàm suy rộng cấp ( ) của hàm trong miền và: ‖ ‖ ( ) Định lý đƣợc chứng minh. Ta xét vấn đề xấp xỉ một hàm thuộc không gian ( ). ̅ Định lý 4.6. Giả sử là một miền thuộc ( ), thì: . Nếu ‖ ‖ ( và ( ) bằng các hàm thuộc là miền con của ) Chứng minh. Do định lí 4.1, ta có ⁄ ‖ ‖ ( ) : ∑ ∫| | | 42 ( )| ; sao cho ⁄ ) : ∑ ∫ |( )| ; ( ) ( ) | | Đặt . Từ định lí 3.4 suy ra ∫ |( ) )| Từ đây và (4.5) ta nhận đƣợc ‖ ‖ ( ) Định lí đƣợc chứng minh. Định lý 4.7. Giả sử dãy { } các phần tử của không gian ( ) bị chặn: ‖ ‖ ( ) Ngoài ra, giả sử dãy này hội tụ yếu trong không gian ( ) tới một hàm ( ) khi . Khi đó { } hội tụ yếu trong không gian ( ) tới hàm ( ) ( ) và: ‖ ‖ ( ) Chứng minh. Ta có ∫ ( ) ở đó ( ) o  C ( ) tới hàm ∫ ( ) ( ) )| | ∫ ( ( ) ( ) . Điều này kéo theo dãy { ( ) ( )} hội tụ yếu trong ( ). Ta có ( ) Do đó đạo hàm suy rộng ( ) | | ∫ ( ) ( ) tồn tại và bằng 43 ( ) ( ) ( ). Hơn nữa, o  C ( ) ‖ ( )‖ ∫| ( ) ( )| ( )‖ ‖ ( ) ( ) ( )‖ ‖ ( ) ( ) Từ đó nhận đƣợc ( )‖ ‖ ( ) Định lí đƣợc chứng minh Định lý 4.8. Nếu ( ). trong là miền sao trong , thì không gian ( ̅ ) trù mật Chứng minh. Giả sử là miền sao trong đối với gốc tọa độ. Nếu ( ) , thì hàm ( ) đƣợc xác định trong * + , ở đó ( ). Hơn nữa, với mọi và ( ) tồn tại một số ( ) (định lí 3.3) sao cho ‖ ( Nếu | ) ( )‖ ( ) ( ). Mặt khác từ định lí 4.6 ta có | ‖ ( ) ( ‖ ( ) ( )‖ )‖ ( ) Do đó ( ) Bởi vì ( ̅ ), nên Định lí đƣợc chứng minh. Kí hiệu . ( ̅ ) trù mật trong ( ). /, ta có định lí sau. Định lý 4.9. Giả sử là miền lồi trong ( ) dương. Giả sử rằng . Khi đó: ∫| | ( ) ( ) ∫| | ( ) , ( )- 44 và , là tập con của ( )-( )⁄ ∫| có độ đo | ở đó ( ) là đường kính của miền , số không phụ thuộc vào hàm . là độ đo Lesbesgue chiều, C là hằng Chứng minh. Bởi vì là miền lồi, nên là miền sao. Do đó ( ̅ ) trù ( ), nên ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức trong định lí mật trong không gian với hàm ( ̅ ). miền lồi, ta có Do | ( ) ở đó ( ) là các điểm tùy ý trong , | ∫ là đạo hàm theo hƣớng | , còn | là phần tử độ dài. Nhờ bất đẳng thức H ̈ lder ta nhận đƣợc ( | ( )| | ( )| | | ) ( ∫ | )| ở đó ( ) là độ dài đoạn nối điểm và điểm giao của và có phƣơng là | |. Tích phân bất đẳng thức này theo ( ( )| ( )| ∫ | ( )| Bây giờ lấy tích phân theo ( ( ) với tia xuất phát từ . Kết quả là ) | ∫ | ( )| | bất đẳng thức nhận đƣợc, ta đƣợc ) ∫ | ( )| ( ) ( ) ∫ | ( )| ∫| ( )| ∫ | | Mặt khác, ∫ | | ∫ | | | | ∫ | | 45 | | ( ) ( )⁄ với mỗi , ở đó là diện tích mặt cầu đơn vị trong . Đặt ta nhận đƣợc kết quả của định lí. Định lí đƣợc chứng minh. Định lí sau đây miêu tả sự thác triển một hàm thuộc ( ) ra một miền rộng hơn. Định lí 4.10. Giả sử Q là một hình hộp trong : { } . Khi đó tồn tại một hàm và: ( ) Và ( ) với mọi ( ) ( ) , sao cho { ( ) } hơn nữa: ‖ ( )‖ ( ‖ ( )‖ ) ( ) ở đó là hằng số không phụ thuộc vào hàm . Cách thác triển đã làm trong chứng minh định lí có tên là thác triển Whitney Chứng minh. Đặt ( ) ∑ ( ) Đối với . Các hằng số ∑ ( ) ( thỏa mãn ) Đây là một hệ đại số với định mức khác không nên có nghiệm. Nhƣ vậy ta đã xác định đƣợc hàm trong hình hộp { } Hơn nữa, ‖ ( )‖ ( ‖ ( )‖ ) ở đó ( ) là hằng số không phụ thuộc vào . Chú ý thêm rằng, ( ) nếu ( ). Cũng làm nhƣ vậy ta có thể thác triển đƣợc hàm ra các phía khác của hộp . Định lí đƣợc chứng minh. Cách thác triển đã làm trong chứng minh trên có tên là thác triển Whitney 46 o m 1.4.3 Không gian Wp ( ) . o m p là bao đóng của Không gian W ( ) ( ). của không gian o  C ( ) trong chuẩn Định lí 4.11 (Friedrichs). Giả sử là một miền bị chặn trong tại một hằng số , phụ thuộc vào sao cho: . Khi đó tồn ⁄ ‖ ‖ :∫ ∑ | ( ) | ; o với mọi hàm * Wp1 ( ). o  C ( ) và giả sử ngoài . Khi đó Chứng minh. Giả sử +. Đặt ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) nằm trong dải ∏ Do đó, | ( )| ∫ Và nhờ bất đẳng thức H ̈ lder ta nhận đƣợc | ( )| ở đó ( ) là các số sao cho ⁄ ∫| ( ) | . Sau khi lấy tích phân của hai vế của bất đẳng o thức này trên ∏ , ta nhận đƣợc kết luận của định lí đối với mọi hàm o Bởi vì không gian o  1 p W ( ) là làm đầy của C ( ), nên kết luận của định lí cũng đúng cho mọi hàm Định lí đƣợc chứng minh. Wp1 ( ). ( ) trong chuẩn của o  C ( ) Bây giờ ta đi xét một số tính chất của các hàm trong không gian Sobolev. 47 Định lí 4.12. Giả sử ( ) ( ) Khi đó ( ) và o ( ) Wpm ( ). Chứng minh. Giả sử ( ) là trung bình hóa của hàm ( ). Bởi vì ( ) khả vi vô hạn và có giá compact, hơn nữa ( ) ( ) trong không gian ( ) khi . Từ đó nhận đƣợc điều khẳng định của định lí. Định lí đƣợc chứng minh. o m Từ định nghĩa không gian Wp ( ) và định lí 4.7 ta có định lí sau: o m trong không gian Wp ( ) Định lí 4.13. Giả sử { ( )} yếu trong không gian , hội tụ ( ) tới hàm ( ), hơn nữa dãy này bị chặn. Khi đó ( ) o cũng bị chặn và Wpm ( ). ( ) o m Định lí 4.14. Các không gian Wp ( ) và ( ) là trùng nhau. o Wpm ( Chứng minh. Giả sử ( ) ( ) với và ( ) đó: ( ∑ ∫| ( ) ) và ( ) . Đặt ( ) với ( ))| ∑| ∫ | | ( ) là hàm sao cho ( ) (| | ). Khi ( )| | | | | o . Do định lí 4.12 hàm khi ( ) Wpm ( ). với mọi . Từ đây và định lí o m 4.13 suy ra ( ) Wp ( Định lí đƣợc chứng minh. ). ( ). 1.4.4 Không gian Giả sử ( ) là một miền trong và . Kí hiệu + ( ) và gọi nó là trụ với chiều cao và đáy . ( ) là không gian Sobolev bao gồm tất cả các hàm ( ) ( ), sao cho tồn tại tất cả các đạo hàm suy rộng theo đến tận cấp và theo đến tận cấp thuộc ( ), trong đó trang bị chuẩn: *( ) ⁄ ‖ ‖ ( ) : ∑ ∫| | ∑ | | | | 48 ∫| | ; ( ) Trƣờng hợp , số hạng thứ hai trong vế phải của (4.7) coi nhƣ không có. Dễ dàng kiểm tra đƣợc ( ) là một không gian Banach, hơn nữa, nó là không gian Hilbert với tích vô hƣớng đƣợc sinh ra từ chuẩn (4.7). o m ,l 2 W ) là không gian con của ( ( ), bao gồm tất cả các hàm ( o m ,l 2 bằng không gần biên ( ). Điều đó có nghĩa là, ( ) W ( ) ( ) khi ( ) khi và chỉ khi tồn tại một dãy * ( )+ ) ( ) o *( ) *( ) + + và ( ) cũng là một không gian Hilbert. Đặt o m ,l 2 W ( o m ,l 2 8 ) ( trong W ( ( ) ) khi ) m ,l . W2 9 o Giả sử { ( ) W2m ( )} là một hệ trực chuẩn trong o ( ), sao cho bao o m ,l m ,l đóng của bao tuyến tính của hệ này trong W2 ( ) trùng với W2 ( ). Kí hiệu: {∑ Định lí 4.15. Giả sử đó tập hợp ( ) ( ) ( ) ( ) là một miền (không nhất thiết bị chặn) trong o m,l 2,0 trù mật trong không gian W ⋃ } ( . Khi ). Chứng minh. Sử dụng phƣơng pháp trực giao hóa Gram – Smith ta xây o dựng dãy * m ( )+ trực chuản trong W2 ( ) từ dãy * {∑ ( ) ( ) ( ) ( )+ . Kí hiệu ( ) } ⋃ Ta đi chứng minh o m,l 2,0 trù mật trong W ( ). o Thật vậy lấy một hàm bất kì ( dạng chuỗi Fourier với hầu khắp m,l W2,0 ( ) , -: 49 ), ta có biểu diễn hàm ( ) dƣới ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ‖ ( )‖ ( ) ∑| ( )| ‖ ∑ ( ) ∫ ‖ ( ) Do ( o m,l 2,0 ( W ) ) nên . Đặt ( ) ( o ) ( ) ∑ o Do C  ( ) trù mật trong ), nên tồn tại ̅ ( ) ( ‖ ( ) ̅ ( )‖ ( C ( ) sao cho ) nhỏ tùy ý. Đặt với ̅̅̅ Khi đó ̅̅̅ ∑ ̅( ) ( ) ( ) ‖ ̅̅̅‖ ( ) và ‖ ‖ ( ) ̅̅̅‖ ‖ ( ) Ta đi đánh giá từng số hạng trong vế phải của bất đẳng thức này. Ta có ‖ Vì ( ) ∫‖ ( Từ đó suy ra ‖ o m ,1 2,0 W ( ) ( ) ‖ ‖ ( ) ‖ ‖ / ( ) ) , nên ( ‖ .‖ ‖ ( ) )‖ ‖ ( ) ( ) ∫ ‖ ( . Mặt khác 50 ) ( )‖ ( ) ( ). ‖ ̅̅̅‖ ( ) ‖∑( ̅) ‖ ̅| ∑| ( ) Do vậy ‖ ̅̅̅‖ ( ∑‖ ) ̅‖ ( ) Từ những lí luận trên ta nhận đƣợc ‖ ̅̅̅‖ ( ) Lập luận tƣơng tự, ta có thể chỉ ra o m ,1 2,0 trù mật trong W ( ) . Từ đó suy ra Định lí đƣợc chứng minh. ( trong o m ,1 2,0 trù mật trong W ( ). Nhƣ vậy ) . BÀI TẬP CHƢƠNG I Câu 1: Tìm các miền trên mặt phẳng mà các phƣơng trình sau đây là elliptic, hyperbolic và parabolic a) b) ( ) . Giải: a) b) | | Elliptic nếu Parabolic nếu Hyperbolic nếu Elliptic nếu ; parabolic nếu hyperbolic nếu Câu 2: Đƣa các phƣơng trình sau đây về dạng chính tắc: a) b) c) Giải a) , với phép đổi biến: 51 √ √ √ b) √ √ với phép biến: √ √ √ √ √ c) √ với phép biến: √ √ √ √ √ √ Câu 3: Đƣa các phƣơng trình sau đây về dạng chính tắc trong mỗi miền của mặt phẳng mà dạng của nó đƣợc bảo toàn. a) b) c) d) e) f) g) Giải: a) , phƣơng trình là eliptic. Với phép đổi biến √ 52 Phƣơng trình đƣa về dạng , phƣơng trình là heperbolic. Với phép đổi biến √ ( √ ) ( ) Phƣơng trình đƣa về dạng ( b) ) ( ) , phƣơng trình là elliptic. Với phép đổi biến √ Phƣơng trình đƣa về dạng , phƣơng trình là hyperbolic. Với phép đổi biến ( ) ( ) c) Dùng các phép đổi biến của bài b) ( ( ) * ( ( ) ( ( * ) , phƣơng trình là elliptic, với phép đổi biến √| | 53 ) | | Phƣơng trình đƣợc đƣa về dạng , phƣơng trình là hyperbolic. Trong trƣờng hợp , bằng phép đổi biến √ và √ Phƣơng trình đƣợc đƣa về dạng ( d) Với ) ( ) ( ) ( ) phƣơng trình là elliptic. Bằng phép đổi biến | | | | Phƣơng trình đƣợc đƣa về dạng: e) Với phƣơng trình là hyperbolic. Với phép đổi biến: Phƣơng trình đƣợc đƣa về dạng ( f) Phƣơng trình là parabolic khi Với phép đổi biến Phƣơng trình đƣợc đƣa về dạng: 54 ) Câu 4: Chứng minh định lí Lesbegue về hội tụ bị chặn: Giả sử * + là một dãy các hám số phức đo đƣợc trên tập hợp X thỏa mãn các điều kiện sau: ( ) a) ( ) với mọi . | ( )| ( ) với mọi , và với mọi , trong đó khả tích trên . Khi đó hàm số khả tích trên , và b) ∫| là một hàm số | Từ đó suy ra ∫ ∫ Giải Vì các hàm số đều đo đƣợc trên đƣợc trên X. Từ a) và b) suy ra | ( )| ( ) với mọi Do đó vì hàm số | ( ) nên từ a) suy ra f là một hàm số đo ( )| | ( ) khả tích trên nên hàm số khả tích trên . Vì ( ) và ( )| với mọi nên theo định lí Lesbegue về hội tụ bị chặn (đối với các hàm số thực), ta có | . ∫ | Câu 5: Chứng minh rằng tập hợp các hàm đơn giản đo đƣợc trù mật trong không gian Giải Giả sử một tập hợp ( ) và ( ) là một số dƣơng cho trƣớc bất kì. Khi đó tồn tại và một số sao cho 55 | ( )| tức là ( với mọi ) , - , - là hình tròn trong : , - * + | | - thành các tập hợp Boren Chia , có đƣờng kính nhỏ hơn Khi đó ( )⋂ ( ) là những tập hợp đo đƣợc, Trong mỗi tập hợp , lấy một số phức ∑ ‖ Hàm số là một hàm đơn giản đo đƣợc trên và ‖ Câu 6: . . ( ) và * + là một dãy hàm số thuộc Cho ( ). Chứng minh rằng nếu → trên ‖ ‖ thì ‖ ‖ Giải Vì → Fatu, ta có trên ∫| | tức là ‖ ‖ nên | | → ∫ | | | | trên . Áp dụng bổ đề ∫| | ‖ ‖ . Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. 56 Chƣơng 2 PHƢƠNG TRÌNH LOẠI ELLIPTIC Trong chƣơng này ta nghiên cứu phƣơng trình elliptic tuyến tính. Để thuận lợi, trƣớc tiên ta đƣa vào phƣơng trình elliptic tuyến tính cấp hai và xét các bài toán biên cơ bản đối với nó. Sau đó ta nghiên cứu phƣơng trình elliptic dạng tổng quát. Các khái niệm suy rộng, nghiệm hầu khắp nơi cũng đƣợc đƣa vào. Phƣơng trình Elliptic đều 2.1 2.1.1 Bài toán biên thứ nhất và định lý duy nhất nghiệm. Giả sử cấp hai dạng: là một miền bị chặn thuộc ∑ 4 5 . Xét trong phƣơng trình tuyến tính ∑ ( ( ) ( ) ở đây ( ) là các hàm đo đƣợc và trình (1.1) đƣợc gọi là elliptic đều trong nếu với thức hai chiều: ∑ ở đó và ) . Phƣơng , có bất đẳng ∑ là các hằng số dƣơng. Bài toán biên thứ nhất hay bài toán Dirichlet đối với phƣơng trình (1.1) là bài toán tìm hàm u(x) thỏa mãn trong phƣơng trình (1.1) và điều kiện biên: | ( ) Một hàm ( ) đƣợc gọi là nghiệm suy rộng của baì toán (1.1), (1.2) trong o không gian ( ) nếu hàm ( ) ∑∫ ∑∫ W21 ( ) và thỏa mãn đồng nhất thức tích phân: ∫ 57 ∫ ( ) o với W21 ( ). Trong mục mày ta xét tính duy nhất của nghiệm suy rộng của bài toán (1.1), (1.2). Giả sử u(x) là nghiệm suy rộng của bài toán (1.1), (1.2). Hơn nữa giả sử rằng (1.1) là phƣơng trình elliptic đều trong miền và: (∑ ở đó, + ( ) là các hằng số. Nhờ bất đẳng thức Cauchy ta nhận đƣợc: ( ∑∫ ) ∫( | ( với mọi ∑∫ )‖ . Chọn ( ) | ‖ ( ) ‖ ‖ ∫ ( )‖ ‖ 4 5‖ ‖ ( ) ( ) 4 5‖ ‖ ( ) ( ) ( ) ( ) ta đƣợc: ) ‖ ‖ ( ) Vế phải của (1.5) nhờ bất đẳng thức Friedrichs không nhỏ hơn biểu thức: 6( Với ( -, ở đây ) 7‖ ‖ ( ) là hằng số trong bất đẳng thức Friedrichs. Bởi vậy: ( ) ‖ ‖ ( ) ở đó: 6( ) 58 7 Nếu thì từ (1.6) và (1.7) ta nhận đƣợc: ‖ ‖ )6 ( ( ) 8 97 hay: ‖ ‖ ( ( ) ) ( ) ở đó: 6 mọi 8 97 Do ( ) là nghiệm suy rộng của bài toán (1.1), (1.2), nên ta nhận đƣợc với : ( ) ‖ ‖ ∫ ( )‖ ‖ ‖ ‖ ( ) ‖ ‖ ( ) ( ( ) ) Bất đẳng thức này gọi là bất đẳng thức năng lượng của bài toán (1.1), (1.2). Định lí 1.1. Giả thiết toán tử là elliptic đều trong miền và điều kiện (1.4) được thực hiện. Nếu , thì bài toán (1.1), (1.2) có không quá một nghiệm suy rộng trong không gian ( ). Chứng minh. Giả sử bài toán (1.1), (1.2) có hai nghiệm suy rộng ( ) trong không gian ( ). ( ) Đặt ( ) (1.1), (1.2) trong không gian (1.9) suy ra ( ) Khi đó ( ) là nghiệm suy rộng của bài toán ( ) ứng với ( ) . Từ đây và bất đẳng thức ( ) ‖ ‖ ( ) Hay ‖ ‖ ‖ ‖ ( ) ( ) Theo bất đẳng thức Friedrichs, từ đây ta có ‖ ( ) và ‖ ‖ ( ) 59 ‖ ( ) Chọn trong bất đẳng thức này, ta nhận đƣợc ‖ ‖ ( ) o W21 ( ). nên Bởi vì Định lí đƣợc chứng minh trong hay trong . Nhận xét: Điều kiện đƣợc thực hiện đối với phƣơng trình (1.1) với các hệ số thỏa mãn điều kiện elliptic đều và điều kiện (1.4), nếu hằng số „đủ nhỏ‟ hoặc cận trên của hệ số ( ) là một số âm „đủ lớn‟ theo module. Đặc biệt phƣơng trình: với hệ số „đủ lớn‟. Khi đó và nhƣ vậy phƣơng trình này có không quá một nghiệm suy rộng trong không gian ( ). 2.1.2 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet. Trong phần này ta sẽ chỉ ra rằng bài toán (1.1), (1.2) giải đƣợc theo Fredholm trong không gian ( ). Ta vẫn đi xét phƣơng trình (1.1) với các giả thiết đã cho. Định lí 1.2. Giả sử bài toán (1.1), (1.2) có không quá một nghiệm suy rộng ( ), thì bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm trong không gian ( ). Nếu ( ) suy rộng trong không gian ( ). o Chứng minh. Ta đƣa vào W21 ( ) một tích vô hƣớng mới , Do tính elliptic đều của - ∫ ∑ và nhờ bất đẳng thức Friedrichs chuẩn trong ‖ ‖ √, - ‖ ‖ ( ) tƣơng đƣơng với các chuẩn ‖ ‖ ( ) o trong không gian W21 ( ).Từ định nghĩa nghiệm suy rộng trong , - ( ) 60 ( ) ( ) ta có ở đó ( ) ∫∑ ( ∫ ) ∫ Do giả thiết (1.4) ta nhận đƣợc ( ) ‖ ‖ ( )‖ ‖ *| | | |+ ‖ ‖ ( ) ( )‖ ‖ ( ) ‖ ‖ ‖ ‖ ( ) o Từ đó suy ra ( ) là một phiếm hàm tuyến tính của 1 trong W2 ( ) khi o cố định một phần tử tùy ý đƣợc biểu diễn dƣới dạng W21 ( ). Theo định lí Riesz, phiếm hàm ( ( ) ( ) , ) o - W21 ( ) o ở đó là một toán tử bị chặn trong W21 ( ) với chuẩn không vƣợt quá hằng số trong bất đẳng thức (1.10). Cũng nhƣ vậy, biểu thức ( ) xác định một phiếm o hàm tuyến tính bị chặn của trong không gian W21 ( ), nên tồn tại duy nhất một o phần tử W21 ( ) sao cho ( ) , o - W21 ( ) Từ những lí luận ở trên suy ra đồng nhất thức tích phân của định nghĩa nghiệm suy rộng (1.3) tƣơng đƣơng với đồng nhất thức , - , - , - o W21 ( ) hay tƣơng đƣơng với phƣơng trình toán tử ( 61 ) Bây giờ ta chứng minh o W21 ( ). Thật vậy, giả sử * tử bị chặn, nên * + là một toán tử hoàn toàn liên tục trong không gian o là một dãy hội tụ yếu trong W21 ( ). Do đó toán o hội tụ yếu đến + W21 ( ), ở đây ( ) là giới hạn o o yếu của * + trong W21 ( ). Ngoài ra, do W21 ( ) đƣợc nhúng compact vào + trong ( ), nên các dãy * + và * hội tụ trong ( ), tới các phần tử ( ) và ( ) tƣơng ứng. Ta có , ( ) ( )(( ‖ ‖ ( )‖ *| | | |+ ‖ ‖ ( )‖ ) ( ‖ )) ( ) ‖ ( ) vế phải của bất đẳng thức này dần đến không, do đó * Khi o trong không gian W21 ( ). Từ đó suy ra + hội tụ là toán tử hoàn toàn liên tục trong o W21 ( ). Từ những lí luận trên đây suy ra định lí Fredholm thứ nhất đúng cho phƣơng o W21 ( ) là hệ quả trình (1.11). Tính giải đƣợc của phƣơng trình (1.11) với của định lí duy nhất nghiệm đối với nó. Do tính tƣơng đƣơng của (1.11) với đồng nhất thức tích phân (1.3) nên điều khẳng định của định lí là đúng. Định lí đƣợc chứng minh. Từ định lí 1.1 và 1.2 ta suy ra hệ quả sau. Hệ quả: Giả thiết là toán tử elliptic đều trong miền và điều kiện (1.4) ( ) và đƣợc thỏa mãn. Nếu ( ) thì bài toán (1.1), (1.2) có duy nhất một nghiệm suy rộng trong không gian ( ). 2.1.3 Về ba định lý Fredholm. Xét một họ phƣơng trình với tham số phức: ( ) ở đây toán tử đƣợc giả thiết là elliptic đều trong miền , thỏa mãn điều kiện (1.4) và các hệ số của là các hàm thực. Trong mục này nghiệm ( ) của phƣơng trình ( ) ( ) . Các không gian ( ) (1.12) đƣợc xem là hàm giá trị phức ( ) o và W21 ( ) hoặc ( ) đƣợc coi là các không gian phức và vẫn giữ nguyên ký hiệu. Khi đó các phần tử của các không gian này là các hàm giá trị phức của các biến , còn tích vô hƣớng trong chúng đƣợc xác định bằng các đẳng thức: 62 ( ) ∫ ( ) ̅ ( ) ( ) ( ̅̅̅̅ ̅ ) Nghiệm suy rộng của bài toán (1.12), (1.2) trong không gian ( ) là hàm o W21 ( ), thỏa mãn đồng nhất thức tích phân: ( ) ( ̅) ̅̅̅ ∑∫ ∑∫ ̅ ∫ ̅ o ∫ ̅ ∫ ̅ W21 ( ) ( ) ( ) Xét bài toán phổ tƣơng ứng với bài toán (1.12), (1.2): | Giá trị đƣợc gọi là phổ suy rộng của bài toán (1.14) nếu tƣơng ứng với nó có ít nhất một hàm ( ) không tầm thƣờng là nghiệm suy rộng của bài toán (1.14) o trong không gian không thỏa mãn: ( ), tức là tồn tại hàm ( ) ( W21 ( ) không đồng nhất bằng o ̅) ( ∑ 4 ̅) W21 ( ) ( ) Kí hiệu: 5 ∑ ( ) Và gọi nó là toán tử liên hợp với toán tử . Khi đó, bài toán liên hợp với bài toán (1.14) có dạng: | ( ) o Nghiệm suy rộng của bài toán (1.15) trong không gian là hàm mãn đồng nhất thức: ( ̅) ∑∫ ̅̅̅ ∑∫ 63 ̅̅̅ ( ) W21 ( ) thỏa ∫ ̅ ∫ ( ) ̅ Định lí 1.3. Giả sử là toán tử elliptic đều trong miền (1.4) được thỏa mãn. Khi đó có các điều khẳng định sau: (i) và giả sử điều kiện ( ), thì bài toán (1.12), (1.2) có nghiệm suy rộng duy nhất trong Nếu không gian ( ) với tất cả các giả trị trừ ra một tập hợp không quá đếm được * + , các giá trị phổ của bài toán (1.14). (ii) Mỗi số có bội hữu hạn, tức là số nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (1.14) với là hữu hạn. Điểm giới hạn duy nhất của {̅̅̅} có thể là . ̅̅̅ cũng thuộc phổ của bài toán (1.15) và tập hợp * + tạo thành phổ của bài toán (1.15). Bội của và ̅̅̅ đối với (1.14) và (1.15) là trùng nhau. có nghiệm suy rộng trong không gian (iii) Bài toán (1.12), (1.2) với ( ) khi và chỉ khi: ∫ ̅̅̅̅ ̅̅̅. Khi đó nghiệm ở đó là nghiệm suy rộng bất kỳ của bài toán (1.15) với suy rộng của bài toán (1.12), (1.2) không duy nhất. Nghiệm suy rộng tổng quát là tổng của một nghiệm riêng nào đó và ∑ ở đây là các hằng số tùy ý, còn (1.14) với . ( ) ( ) là các nghiệm suy rộng của các bài toán o Chứng minh. Sử dụng kí hiệu tích vô hƣớng , - trong W21 ( ) và lí luận tƣơng tự nhƣ chứng minh định lí (1.2) ta đƣa bài toán (1.12), (1.2) về phƣơng trình toán tử o W21 ( ) ở đó ( o và là các toán tử đƣợc xác định trên toàn không gian W21 ( ) và 64 ) , - ∑∫ , - ∫ ∫ ̅ , ̅ - ̅ ∫ ̅ o W21 ( ) Hơn nữa, và là các toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục, với mọi thêm vào đó đối xứng và không âm (do đó, tự liên hợp). Do đó, có toán tử ngƣợc trên miền giá trị của mình ( ) Ta viết phƣơng trình (1.16) dƣới dạng ( ) ( ) với là một số thực đủ lớn. Đặt . Khi đó có toán tử ngƣợc bị chặn. Thật vậy, kí hiệu . Đẳng thức này tƣơng đƣơng với (1.13) khi . Bởi vậy ( ̅̅̅ ∑∫ ̅) ∫ ∑∫ ∫ ̅ ∫ ̅ ̅ ( ) ̅ Thay vào đẳng thức này và nhờ các lí luận nhƣ chứng minh bất đẳng thức (1.6) ta nhận đƣợc ( ̅) ‖ ‖ ( ) 5‖ ‖ 4 ( ) ở đó ‖ ‖ ∫| ( ) | ‖ ‖ ( ) - ( ∫| | Ta có , - ,( ‖ Từ đây với ) ‖ ( ) ̅) 5‖ ‖ 4 ta nhận đƣợc 65 ‖ ‖ ( ) ( ) ‖ ‖ Nhƣ vậy, ‖ ‖ ‖ ‖ có toán tử ngƣợc bị chặn nếu chọn Đặc biệt, lấy . và viết phƣơng trình (1.17) dƣới dạng ( ) ( ) Toán tử là tích của một toán tử bị chặn và một toán tử hoàn toàn liên tục, nên nó là một toán tử hoàn toàn liên tục. Do đó áp dụng đƣợc ba định lí Fredholm vào phƣơng trình (1.18). Do tính tƣơng đƣơng của phƣơng trình (1.18) và đồng nhất thức (1.13) với o W21 ( ), định lí Fredholm thứ nhất đảm bảo sự tồn tại nghiệm suy rộng mọi ( ) trong không gian ( ) của bài toán (1.12), (1.2) với ( ) ( ) nếu bài toán này không thể có hai nghiệm suy rộng khác nhau trong ( ). Từ đó nhận đƣợc điều khẳng định (i) của định lí. Định lí Fredholm thứ hai khẳng định tính duy nhất nghiệm bị phá vỡ chỉ đối với một tập hợp các giá trị * + nào đó không quá đếm đƣợc với một điểm giới hạn duy nhất có thể là vô cùng. Tập hợp các giá trị này chính là phổ của bài toán (1.14). Hơn nữa, có bội hữu hạn và ̅̅̅ là phổ của phƣơng trình (1.15). Định lí Fredholm thứ hai cũng đảm bảo bài toán (1.14) có nghiệm không tầm thƣờng ( ) trong ( ) chỉ đối với các giá trị * + , còn bài toán (1.15) có nghiệm không tầm thƣờng trong không gian ( ) chỉ đối với các giá trị {̅̅̅} và mỗi ̅̅̅ có cùng bội với . Ngoài ra, do các hệ số của toán tử là thực, nên nếu là một giá trị phổ của bài toán (1.14) thì ̅̅̅ cũng là một giá trị phổ của bài toán này. Do đó các tập hợp * + và {̅̅̅} của các bài toán (1.14) và (1.15) là trùng nhau. Từ đó nhận đƣợc điều khẳng định (ii) của định lí. Ta chuyển sang định lí Fredholm thứ ba. Nếu thì bài toán (1.18) giải đƣợc với các số hạng trực giao với tất cả các nghiệm của bài toán ( ở đây là toán tử liên hợp của ) . Điều đó có nghĩa là , - Ta sẽ chứng minh rằng, điều kiện này tƣơng ứng với ∫ ̅ 66 ở đây là một nghiệm suy rộng bất kì của bài toán (1.15). Thật vậy, do định nghĩa của toán tử liên hợp ta có , - , - , - ∫ ̅ Từ đó suy ra khẳng định ( ) của định lí. Định lí đƣợc chứng minh. 2.1.4 Bài toán biên thứ hai và thứ ba. Ở mục trƣớc, biên của miền đƣợc cho tùy ý. Tuy nhiên ở mục này đòi hỏi một số điều kiện ràng buộc của biên. Cụ thể, giả sử là một miền bị chặn với biên thỏa mãn các điều kiện để các hàm thuộc không gian ( ) ( ) . Hơn nữa, đúng đƣợc định lí về nhúng compact có vết thuộc ( ) vào ( ) và vào ( ), cũng nhƣ đúng đƣợc công thức tích phân từng phần. Một ví dụ về miền có biên nhƣ vậy là miền trơn từng khúc. Xét bài toán tìm nghiệm của phƣơng trình: ∑ 4 5 ∑ ( ) ( ) Thỏa mãn điều kiện biên | ở đó ( ) là hàm đo đƣợc trên , ∑ ( ) là pháp véc tơ ngoài tới , các hệ số và đƣợc giả thiết nhƣ ở mục 1.1.1 còn và ( ) coi là có giá trị phức. Nếu ( ) , ta gọi bài toán (1.19), (1.20) là bài toán đơn biên thứ hai hay bài toán Neumann đối với phƣơng trình (1.20), còn nếu ( ) ta gọi nó là bài toán biên thứ ba đối với phƣơng trình (1.20). hàm Nghiệm suy rộng trong không gian ( ) của bài toán (1.19), (1.20) là ( ) ( ), thỏa mãn đồng nhất thức tích phân: 67 ̅̅̅ ∑∫ ∑∫ ∫( ̅ ) ∫ với ∫ ̅ ̅ ̅ ( ) ( ). Nhận xét: Đồng nhất thức tích phân (1.21) có nghĩa với bất kì hàm và thuộc không gian ( ). Điều này đƣợc suy ra từ khái niệm vết của hàm thuộc không gian ( ). Nhƣ vậy các giá trị biên ( ) ( ) đƣợc hiểu là các hàm thuộc ( ). Từ các giả thiết về biên của miền có thể chứng minh đƣợc rằng nếu ( ) là nghiệm thông thƣờng (cổ điển), còn các hệ số của toán tử là các hàm đủ trơn, thì ( ) là nghiệm suy rộng của bài toán (1.19), (1.20). Việc nghiên cứu bài toán biên thứ hai và thứ ba hoàn toàn đƣợc tiến hành nhƣ đã làm đối với bài toán biên thứ nhất, chỉ khác là thay đổi vai trò của không o gian hàm cơ bản trong bài toán biên thứ nhất là W21 ( ), bây giờ ta đi xét không gian ( ). Ta chỉ trình bày ngắn gọn cách tiến hành nhƣ sau. Đƣa vào ( ) một tích vô hƣớng mới: , - ̅̅̅̅ ∫ :∑ ̅; Khi đó đồng nhất thức tích phân (1.21) có thể viết dƣới dạng , ở đó các toán tử - , - , - , - , - đƣợc xác định nhờ các công thức song tuyến tính: và , - ∑∫ , - ∫ , - ∫( ̅ , ̅ ∫ ̅ 68 - ) ∫ ( ) ̅ ̅ Cũng nhƣ trong phần 1.1.1 ta có thể chứng minh đƣợc và là các toán tử hoàn toàn liên tục trong ( ). Hơn nữa, tính hoàn toàn liên tục của là hệ quả của ( ). Đối với khẳng định sau cùng đòi hỏi định lý nhúng compact ( ) vào phải bổ sung một vài điều kiện nào đó cho biên . Tiếp theo ta nghiên cứu phƣơng trình: Và bài toán (1.19), (1.20) đƣợc đƣa về áp dụng ba định lí Fredholm. Phƣơng pháp nghiên cứu ở đây tƣơng tự nhƣ đã làm trong 1.1.3, chỉ chú ý là bài toán liên hợp với bài toán (1.19), (1.20) có dạng: ∑ 4 5 ( ∑ ( ∑ ) ) | ( ) ( ) Bài toán này đƣợc suy ra từ ∫ ̅ đúng với ∫ ∫( ̅ ̅ ̅ ∑ ( ) ̅+ ( ), nếu có các điều kiện về elliptic đều (1.4) và các hàm tồn tại và bị chặn. Nghiệm suy rộng của bài toán (1.22), (1.23) đƣợc xác định nhƣ hàm thuộc ( ), thỏa mãn đồng nhất thức tích phân ∑∫ ̅̅̅ ̅̅̅ ∑∫ ∫ ̅ ∫ ̅ ∫( ) ̅ ( ) Nhận xét: hoàn toàn tƣơng tự cách làm trên đây, ta có thể nghiên cứu bài toán tổng hợp với phƣơng trình (1.19) với các điều kiện biên hỗn hợp dạng: 69 | ở đó hàm ( ) ∑∫ | ( . Nghiệm suy rộng trong không gian ( ) thỏa đồng nhất thức tích phân: ̅̅̅ ∑∫ ∫( ̅ ∫ ̅ ) ( ) của bài toán này là ) ̅ ∫ ( ) ̅ ( ) ở đó ( ) là không gian con của ( ) mà tập hợp trù mật trong nó là tập các ̅ ( ) +. Đối với các hàm thực ( ), bằng không trong ( ) * hàm ( ) ( ) nghiệm đúng bất đẳng thức ∫ ở đây 2.2 ( ) ∫| ( ) là hằng số chỉ phụ thuộc vào Phƣơng trình Elliptic trong | và có „diện tích‟ dƣơng. ( ) ( . 2.2.1 Các khái niệm cơ bản. Xét toán tử vi phân ( ) ∑ ) | | ở đó ( ) là các hàm có giá trị phức đo đƣợc, nào đó mà | | , thì bậc của đƣợc coi bằng là ( ) ∑ . Nếu ( ) với một . Đa thức đặc trưng của toán tử ( ) | | ở đây ( ) và của nó phụ thuộc vào . Toán tử . Đó là đa thức của với các hệ số đƣợc gọi là elliptic tại điểm nếu 70 ( ) * + ( ) Toán tử đƣợc gọi là elliptic trong một miền nếu nó là elliptic tại mỗi điểm của miền. Điều kiện elliptic có thể viết dƣới dạng sau: | ( )| | | ( ở đó vì trên mặt cầu đơn vị | ( )| nhất bậc của . Hằng số đƣợc gọi là hằng số elliptic. Giả sử là một miền trong . Phƣơng trình ( ) và ( ) ) là hàm thuần ( ) ( ) . Hàm đƣợc gọi là phƣơng trình elliptic trong miền . Giả thiết ( ) ( ) đƣợc gọi là nghiệm của phƣơng trình (2.3) nếu đẳng thức ( ) đƣợc thỏa mãn với hầu khắp . Định lí 2.1. Tính elliptic là bất biến qua phép đổi biến số với Jacobian khác không. Chứng minh. Giả sử phƣơng trình elliptic tại điểm đổi biến số ( ) ( ) ‖ ‖ . Ta thực hiện phép ( ) Qua phép biến đổi này (2.3) chuyển thành phƣơng trình | | ∑ ( ) ( | | Đa thức đặc trƣng của có dạng ( ) ( ∑ + Từ đó ∑ | | ( ) ( ) ∑ | | 71 ∑ ) ‖ Bởi vì ( ) nên sự triệt tiêu của ‖ đƣơng với sự triệt tiêu của ( ) ∑ . ) tại điểm ( ( ) tại điểm tƣơng ứng ( ( ) mà ) tƣơng ( ) và Định lí đƣợc chứng minh. Định lí 2.2. Nếu số chiều của không gian trình elliptic là chẵn. Chứng minh. Giả sử ( ) lớn hơn 2, thì bậc của phương * +. Xét đa thức của với mọi biến ( ) ( ) là toán tử elliptic, nên phƣơng trình ( ) không có nghiệm thực nếu ( ) . Giả sử số các nghiệm với phần ảo dƣơng bằng và số nghiệm với phần ảo âm bằng . Bởi vì Do ( nên ( ) ) ( ( ) ( ) ). ) dịch Đƣờng tròn là liên thông. Do vậy, khi điểm ( ) dọc theo đƣờng tròn này thì các nghiệm của phƣơng chuyển đến điểm ( trình ( ) thay đổi một cách liên tục. Hơn nữa nếu một nghiệm của phƣơng ) nào đó, thì khi ( ) dịch chuyển khắp trình này có phần ảo dƣơng với ( đƣờng tròn nghiệm này vẫn luôn có phần ảo dƣơng vì phần ảo không ( ) ( ) ( ), điều này bị triệt tiêu. Từ đó nhận đƣợc có nghĩa là và là số chẵn. 2.2.2 Bất đẳng thức tiên nghiệm. Kí hiệu | | ∑| | | | . Ta có bổ đề sau. Bổ đề 2.1. Giả sử là hình cầu mở ∑ với mỗi tồn tại một hằng số sao cho | ∫ đúng với mọi ( ) | ∫ | ( ) 72 và | ( ) ( ) ∫| | | | . Khi đó | | 2 Chứng minh. Đặt Áp dụng bất đẳng thức nội suy ta nhận đƣợc ∫| | ∫| Từ đây sau khi đổi biến | ∫ Đổi lại kí hiệu | ∫ | ( ) ∫ | ( )| ta nhận đƣợc | bằng 3 ∫ | | ( ) ∫ | ( )| ∫ | | ( ) ∫ | ( )| ta có | Bất đẳng thức này đúng cho hình hộp bất kì có kích thƣớc Trƣớc hết, giả sử và . ⋃ * +. Mỗi miền | | ở đó có thể đƣợc phủ bởi các hộp đóng với các phần trong không giao nhau và kích thƣớc của nó bằng . / . Hơn nữa, các hình hộp này nằm trong . Từ đây và √ (2.4) ta nhận đƣợc ∫ ( ) | | ∫ √ ∫ ( ) ở đây là một tập rỗng và trong ( | ( )| có bất đẳng thức ( ) | | nên 73 ) | | | ∫ | | ∫ √ | ( )| ∫ ( ) | Từ đó suy ra | ∫ | | ∫ | ( ) ∫| | . / với √ Trƣờng hợp là hình cầu * ∑ ⁄ ) . Lặp lại các lập luận nhƣ trƣờng hợp (∑ ( )| ∑ ∫ | ( )| ∫ ∑ | | + . Đặt ta đƣợc ( ) ( ) ∫| ( )| | | | ( Bởi vì với | | ) ta có ( ) ( ) ( ) nên từ (2.5) ta suy ra ∫ | | | ∫ | ( ) ∫| | Bổ đề đƣợc chứng minh Định lí 2.2. Giả sử là miền bị chặn trong và các hệ số ( ) của toán ̅ tử elliptic liên tục trong khi | | và bị chặn khi | | . Khi đó đối với bất kì một miền con , tồn tại một hằng số , sao cho: ‖ ‖ với mọi ( ( ). Hằng số ) ‖ [‖ ( ) ‖ ‖ chỉ phụ thuộc vào , 74 ( )] và ( ). Chứng minh. Kí hiệu một số sao cho nếu ‖ ‖ ̅ bán chỉ ra rằng tồn tại là hình cầu tâm thì ( ‖ [‖ ) ‖ ‖ ( ) ( )] Kí hiệu ( ) ∑ ∑, | | ( ) ( )- | | Khi đó phƣơng trình (2.3) có dạng ( ) Áp dụng phép biến đổi Fourier vào hai vế của phƣơng trình này ta đƣợc ( Từ tính elliptic của toán tử ̃( ) ) ̃( ) ta suy ra | ̃ ( )| | | | ̃ ( )| Lấy tích phân cả hai vế của bất đẳng thức này theo thức Parseval, kết quả nhận đƣợc bất đẳng thức ∑‖ ‖ ( ‖ ( )‖ ) ( và nhờ vào đẳng ) | | (‖ ‖ ( ) ∑‖ ‖ ( ) | | ( ) | ∑ ( )|‖ ‖ ( )+ | | ở đây là các hằng số. Nếu và | ( ) ( )| ‖ ( [‖ đƣợc chọn sao cho thì từ (2.6) rút ra ∑‖ ) ‖ | | ( ) ∑‖ | | 75 ‖ ( )] ( ) Áp dụng bất đẳng thức nội suy: định lí 4.8 chƣơng II – tài liệu Phương trình đạo hàm riêng phần II trang 144: Giả sử là một miền bị chặn tùy ý thuộc . Khi đó, với mỗi tồn tại một hằng số ( ) (chỉ phụ thuộc vào và ), sao cho ‖ ‖ ‖ ‖ ( ) ( )‖ ‖ ( ) ( ) o m W2 ( ) Với mọi hàm vào bất đẳng thức này, ta nhận đƣợc ∑‖ ‖ ( ∑‖ ) | | ‖ ( ( ) ∑‖ ) | | ‖ ( ) ‖ ( ) | | vào bất đẳng thức này, ta nhận đƣợc ∑‖ ‖ ( ∑‖ ) | | ‖ ( ( ) ∑‖ ) | | Lấy | | ta có ∑‖ ‖ ( ) [‖ ‖ ( ∑‖ ) | | ‖ ( )] ( ) | | Bất đẳng thức này đƣợc chứng minh với giả thiết ( ) ( ) | | ) với | | thiết này đi, ta chọn hàm ( )( | | . Khi đó với | | ta có ( | | ) ∑ ( ) . Nếu bỏ giả ( ) với | | | | | | ở đó | ( )| ( | | | | | | ) Từ đó nhận đƣợc ( | | ) ∑ ( ) | | | | ở đây | vậy ( )| ( | | )| | . Hàm ( ) thỏa mãn bất đẳng thức (2.7). Do 76 ∑‖ ‖ ( ‖ 0‖ ) ( ‖ ) ‖ ( )1 ( ) | | ‖ [‖ ( | | )| ∑ ‖( ) | ‖ ] | | . Từ đây và sử dụng định nghĩa của hàm | | ) ∑ ‖( ‖ ( ( ) ta nhận đƣợc ‖ ) ‖ ( ) | | | | )| ∑ ‖( | ‖ ( ) | | Đánh giá tổng sau cùng của bất đẳng thức này nhờ bổ đề 2.1 và việc chọn đủ nhỏ, kết quả nhận đƣợc ∑ ‖( | | ) ‖ ( ‖ ) ‖ ( ∑‖ ‖ ) | | ( ) | | . Do đó ∑‖ ‖ . ‖ ⁄ / | | ‖ ( ∑‖ ‖ ) ( ( ) ) | | phủ ̅̅̅ bởi một tập hữu hạn các hình cầu sao cho ⁄ lấy tổng từ 1 đến . Ta nhận đƣợc bất đẳng thức trong định lí 2.1. Định lí đƣợc chứng minh. và 2.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Ký hiệu với | | ( ) là không gian gồm tất cả các hàm sao cho ∫ Bổ đề 2.2. Nếu ( ) ( ) | | thì với | | | ̃( )| ( ) ( ) ) có bất đẳng thức | | ‖ ‖ 77 ( ( ) ( ) ở đó là hằng số không phụ thuộc vào hàm ( ). Chứng minh. Vì ( ) ̃( ) Do với | | ( ) ( ) ( ) nên | | nên ∫ ( ) ) ( ) và từ (2.9) suy ra ̃( ) ∫( ) ( ) với mọi | | Từ biểu diễn (2.11) và ( ) khi | | suy ra ̃( ) đây và (2.12) khi sử dụng khai triển Taylor, ta nhận đƣợc | ̃( ) | với | | ( | | | | ̃( )| | | | ). Từ ( . Do đó | ̃( ) | | | ‖ ( )‖ ( ) | | Bổ đề đƣợc chứng minh Định lí 2.2. Giả sử các hệ số ( ) là hằng số với | | và ( ) với | | , còn là toán tử elliptic cấp m và ( ) . Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm của phương trình (2.3) và có bất đẳng thức ‖ ‖ ở đó hằng số ( ‖ ‖ ) ( ) ( ) không phụ thuộc vào ( ) Chứng minh. Trƣớc hết ta đi chứng minh bất đẳng thức (2.13). Giả sử ( ) là nghiệm của phƣơng trình (2.13), tức là ∑ ( ) ( ) ( ) | | với hầu khắp đƣợc . Tác động biến đổi Fourier vào cả hai vế của (2.14), ta nhận 78 ∑ ̃( ) ( ) ̃ | | Từ đây và do tính elliptic của toán tử ̃( ) ∑| | suy ra ̃( ) ( ) * + Do vậy, từ điều kiện (2.2’) ta nhận đƣợc | ̃ ( )| | ̃( )| | | * + Sau khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với ( ta đƣợc ∫( | | ) | ̃ ( )| ∫( | | ) và lấy tích phân trên | | ) | ̃( ) | , * + ( ) Ta đi đánh giá vế phải của (2.15). Ta có ∫( | | ) | ̃( ) | ∫( | | ) | ̃( ) | | | ∫( )| ̃( )| | | ∫| | | ̃( ) | ∫ | ̃( ) | | | | | Từ bổ đề 2.2 ta có ∫| | | | | ̃( )| ∫‖ ‖ | | | | Từ đây và các bất đẳng thức (2.15), (2.16) ta nhận đƣợc 79 ( ) ( ) ∫( | | ) | ̃ ( )| ‖ ‖ ( ∫ | ̃( ) | ) | | ‖ ‖ ( ∫ | ̃( ) | ) Khi sử dụng đẳng thức Paseval vào số hạng cuối cùng của vế phải bất đẳng thức. Kết quả nhận đƣợc ∫( | | ) | ̃ ( )| ‖ ‖ ( ) Từ bất đẳng thức này và định lí 1.4, 1.5 chƣơng II ta suy ra (2.13). Từ 2.13 ta nhận đƣợc tính duy nhất của nghiệm Cuối cùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm ta đặt ( ) ∑| | ̃( ) ( ) ( ) Từ điều kiện elliptic (2.2’) và từ ∫ | ( )| | ̃( )| ∫| | ‖ ‖ ( ) ( ). Do vậy tồn tại phép biến đổi Fourier ngƣợc của suy ra ( ) kí hiệu nó là ( ). Từ (2.17) suy ra ∑ ( ) ( ) ( ) mà ta ̃( ) | | Hay ∑ ( ) ̃( ) ̃( ) | | Tác động của phép biến đổi Fourier vào hai vế của (2.18), ta nhận đƣợc ∑ ( ) | | 80 ( ) ( ) Nhƣ vậy, ( ) chính là nghiệm cần tìm. Định lí đƣợc chứng minh 2.3 Phƣơng trình Elliptic trong nửa không gian. Trong mục này ta xét phƣơng trình (2.3) trong nửa không gian. Kí hiệu * + và xét phƣơng trình ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) | | ( ) thỏa mãn điều kiện (2.2) trong ở đó . Ta đi nghiên cứu tính trơn của nghiệm theo vế phải và các hệ số của phƣơng trình. 2.3.1 Tính giải đƣợc của phƣơng trình Elliptic trong Xét phƣơng trình (3.1) với các hệ số là hằng số và đó (3.1) trở thành . với | | . Khi ( ) ∑ ( ) | | ( ) và ( ) Bổ đề 3.1. Giả thiết ( ) với ( ) của phương trình (3.2) sao cho đó tồn tại nghiệm ( ) ‖ ‖ ( ‖ ( )‖ ) ( . Khi ) với là hằng số không phụ thuộc vào hàm ( ). đặt Chứng minh. Ta thác triển hàm ( ) ra toàn bộ không gian ( ) với | | và ( ) | | nhƣ sau: | | ∑ | | ở đó đƣợc chọn sao cho ∫ ( ) với tất cả thỏa mãn | | . Các hằng số 81 tìm đƣợc nhờ phƣơng trình: ∑ ∫ | | tính ( ) ∫ | | | | | | Định thức của hệ này là định thức Gramian đối với các hệ hàm độc lập tuyến , bởi vậy nó không triệt tiêu và ∫ | ( )| | | ‖ ‖ ( ) | | . Hàm đƣợc thác triển ta vẫn dùng kí hiệu là ( ). Khi đó hàm ( ) đƣợc xác định trong toàn bộ và ‖ ‖ ‖ ‖ ( ) | ̃( ) ( ) ( ) Đặt ( ) ∑| ̃( ) ( * + ∫ ( ) ) Khi đó ̃( ) Bởi vì ̃( ) ( ( ∫( ) ) | | ( ) ), nên theo công thức Taylor ta nhận đƣợc | ̃( ) | | | | | | | ̃( ) | | | | Do đó | ̃( ) | | | ‖ ‖ ( ) | | Bởi vì |∑ | | ( ) | | | nên | | | ( )| ‖ ( )‖ 82 ( ) | | | ̃( ) | | | | || || ( )| | | Nhƣ vậy ∑ ∫| | | | ‖ ( )‖ | ( )| ( ) | | Giả sử ( ) ( ) sao cho ̃ Fourier ngƣợc của ( ). Khi đó ‖ ( )‖ ( ‖ ( )‖ ) ( ) là phép biến đổi ( ) , tức là ( ) Ngoài ra, ta có ∑ ( ) ( ) ̃( ) | | Áp dụng biến đổi Fourire ngƣợc vào hai vế của đẳng thức này ta nhận đƣợc . Bổ đề đƣợc chứng minh Từ bổ đề 3.1 và phép biến đổi ta nhận đƣợc định lí sau. ( ) Định lí 3.1. Giả sử thỏa mãn các điều kiện của bổ đề 3.1, ( ) ( ) của phương và ( ) với . Khi đó tồn tại nghiệm ( ) trình sao cho: ∑ | | ‖ ‖ ( ) ‖ ( )‖ ( ) | | ở đó là hằng số không phụ thuộc vào hàm ( ) và ( ). 2.3.2 Tính trơn của nghiệm. Trong mục này ta sẽ chứng tỏ tính trơn của nghiệm của phƣơng trình (3.1) phụ thuộc vào tính trơn của các hệ số và của vế phải của phƣơng trình. Ta có định lí sau: ( ) ( ) ( ). Định lí 3.2 Giả thiết và ( ) ̅ Hơn nữa,giả thiết các hệ số của toán tử ó đạo hàm liên tục trong đến cấp . ( ) và Khi đó, với bất kì miền sao cho ̅ ta có ( ) ‖ ( )‖ ( ) 0‖ ( )‖ ở đó C là hằng số không phụ thuộc vào và . 83 ( ) ‖ ( )‖ ( )1 Chứng minh. Ta chứng minh định lí bằng quy nạp theo Với , điều khẳng định của định lí suy ra từ định lí 2.1. Bây giờ giả sử định lí đã đúng với ( ) và các hệ số của có các đọa hàm liên tục đến cấp ( ) . Giả ( )| | sử . Đặt ( ) . Khi đó hàm thỏa mãn phƣơng trình ( ) ở đây | ( )| ∑ | | ( ) | ( )| | | Do đó ( ) ( Do giả thiết quy nạp ta có ‖ ( )‖ ( Do vậy, ( ) ) ( ‖ ( )‖ ‖ ‖ ( ) ( ( ) ) ( ) ) và 0‖ ( )‖ ( ) ‖ ‖ ( )1 ) và 0‖ ( )‖ 0‖ ( )‖ ( ) ‖ ‖ ( )1 ( ) ( ) ‖ ‖ ( )1 ( ) Xét hàm [ ( ) Nếu | | đủ bé, thì hàm này thỏa mãn trong ∑ ( )] phƣơng trình ( ) | | ∑ ( ) ( ) | | Kí hiệu vế phải của phƣơng trình này là ( ). Theo định lí 4.5 - chƣơng II tài liệu Phương trình đạo hàm riêng phần II, trang 139: Giả sử là miền bị chặn trong . Giả sử là một miền hình sao đối với tâm của hình hộp Q. Với mọi số | | : 84 (i) ∫ (ii) ∫ , Khi đó với có bất đẳng thức và mọi ∫| ∑ | ∫ ∑| | | | | | ở đó C là hằng số không phụ thuộc vào hàm u(x). và định lí 4.6 - chƣơng II - tài liệu Phương trình đạo hàm riêng phần II, trang 142: Giả sử là miền bị chặn trong . Giả sử là một miền hình sao đối ( ) với tâm của hình hộp Q và . Nếu thì ∫ ∑| ∫ ∑ ,| | | | | | - | | | ở đó C là hằng số không phụ thuộc vào hàm u(x). và các bất đẳng thức (3.3), (3.4) ta đƣợc ( ) ‖ ‖ ( ) 0‖ ( )‖ ‖ ‖ ( 0‖ ( )‖ ) Bởi vì ‖ ‖ ( ( ) ∑‖ ‖ ( ) ( )1 ( ) và ‖ ( )‖ ( , nên ) ‖ ( )‖ ( ) Từ đây và do giả thiết quy nạp suy ra ( ) và ( )1 ) và ( ) | | ∑ [...]... bất kì và xác định đƣợc một tích vô hƣớng ( ) , tức là cho tƣơng ứng với một số thực thỏa mãn các tiên đề sau: (i) (ii) (iii) (iv) ( ( ( ( ) ( ) ) ) ( ( ); ( ); ) ) ( ); 12 Trong không gian Hilbert phức tích vô hƣớng ( ) là một số phức thỏa ) (̅̅̅̅̅̅̅) mãn các tiên đề từ (ii) đến (iv), còn tiên đề (i) đƣợc thay bằng ( ) ( Trong không gian Hilbert, chuẩn của phần tử đƣợc lấy là ‖ ‖ √( ) Đối với ta... hợp đếm đƣợc trù mật trong Kí là phần tử đầu tiên khác không ( ) của tập hợp này, 16 là phần tử đầu tiên của tập hợp tạo với thành một cặp độc lập tuyến tính Tiếp tục quá trình này ta nhận đƣợc hệ * + độc lập tuyến tính Nhờ quá trình trực giao hóa Schmidt và điều kiện (iii) trong định lí 1.2 ta nhận đƣợc một cơ sở trực chuẩn trong không gian Định lí đƣợc chứng minh 1.1.5 Sự hội tụ yếu trong không... * + là một * + dãy bị chặn trong không gian Dãy số ( ) bị chặn, do đó có thể tìm ( ) ( ) * + đƣợc một dãy con hội tụ Dãy chứa một dãy con 11 * + , sao cho dãy số tƣơng ứng ( ) ( ) hội tụ Tiếp tục quá trình này ta tìm đƣợc một tập hợp đếm đƣợc các dãy, mà mỗi một dãy trong đó đƣợc chứa trong dãy trƣớc Dãy tạo thành dãy số { ( )} hội tụ khi đối với mọi Bây giờ giả sử là một phần tử tùy ý của Ta sẽ... thì hàm ) ( ) đƣợc gọi ∫ ( ) Tới đây ta định nghĩa đƣợc hàm khả tổng trên một tập hợp , ở đây hàm đƣợc nói tới là hàm đo đƣợc trên tập hợp (vì một hàm là đo đƣợc nếu tồn tại một dãy hàm đơn giản hội tụ đều tới nó trên ) Khi đó các biểu thức (2.1), (2.2), (2.3) hoặc (2.4) đƣợc gọi là tích phân của hàm ( ) trên Trƣờng hợp đƣợc lấy là độ đo Lebesgue chiều ta viết và gọi nó là tích phân Lebesgue Tích phân... minh Giả sử là một số hữu tỉ nào đó, hình hộp: ( ) * | | Giả sử ( ) ( ) và Đặt ( ) hàm thuộc ( ) Chọn đủ lớn, sao cho ∫ | ( ) Lấy ( hợp ( ) và xét nhƣ một liên tục trong ( ), sao cho ) ), nên nó liên tục đều trên ( ( ( )| ) ( )| ) Do vậy, | với là một số nguyên nào đó để đủ nhỏ Chia hình hộp √ ) thành các hình hộp nhỏ không giao nhau có độ dài cạnh là và xét tập bao gồm các hàm đặc trƣng ( ) của các hình... mãn | | )| ( Chứng minh Trƣớc tiên xét trƣờng hợp là miền bị chặn Nhờ định lí 2.6 và 2.10 với mỗi tồn tại một hàm ( ) ( ) với giá compact, sao cho ∫| ( ) ( )| Bởi vì ( ) có giá compact nên ( ) liên tục đều Do đó, tồn tại số ( ) ( ) nếu | | Từ đây suy ra sao cho ⁄ : ∫| ( ) ( )| ; ⁄ : ∫| ( ) ( )| ⁄ : ∫| ( ) ; )| ( ; ⁄ : ∫| ( ) ( )| ( ) ( Nếu chọn sao cho minh định lí đối với miền bị chặn Nếu miền không