Trong phần này ta sẽ chỉ ra rằng bài toán (1.1), (1.2) giải đƣợc theo Fredholm trong không gian ( ). Ta vẫn đi xét phƣơng trình (1.1) với các giả thiết đã cho.
Định lí 1.2. Giả sử bài toán (1.1), (1.2) có không quá một nghiệm suy rộng trong không gian ( ). Nếu ( ) ( ), thì bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm suy rộng trong không gian ( ).
Chứng minh. Ta đƣa vào 1 2 W o ( ) một tích vô hƣớng mới , - ∫ ∑
Do tính elliptic đều của trong và nhờ bất đẳng thức Friedrichs chuẩn
‖ ‖ √, -
tƣơng đƣơng với các chuẩn
‖ ‖ ( ) ‖ ‖ ( )
trong không gian 1 2
W
o
( ).Từ định nghĩa nghiệm suy rộng trong ( ) ta có
ở đó ( ) ∫ ∑ ∫ ( ) ∫ Do giả thiết (1.4) ta nhận đƣợc ( ) ‖ ‖ ( )‖ ‖ ( ) *| | | |+ ‖ ‖ ( )‖ ‖ ( ) ‖ ‖ ‖ ‖ ( )
Từ đó suy ra ( ) là một phiếm hàm tuyến tính của trong W21
o ( ) khi cố định một phần tử tùy ý ( ) 1 2 W o
( ). Theo định lí Riesz, phiếm hàm ( )
đƣợc biểu diễn dƣới dạng
( ) , - 1 2 W o ( ) ở đó là một toán tử bị chặn trong 1 2 W o
( ) với chuẩn không vƣợt quá hằng số trong bất đẳng thức (1.10). Cũng nhƣ vậy, biểu thức ( ) xác định một phiếm hàm tuyến tính bị chặn của trong không gian 1
2
W
o
( ), nên tồn tại duy nhất một phần tử 1 2 W o ( ) sao cho ( ) , - 1 2 W o ( )
Từ những lí luận ở trên suy ra đồng nhất thức tích phân của định nghĩa nghiệm suy rộng (1.3) tƣơng đƣơng với đồng nhất thức
, - , - , - 1 2
W
o
( )
hay tƣơng đƣơng với phƣơng trình toán tử
Bây giờ ta chứng minh là một toán tử hoàn toàn liên tục trong không gian
1 2
W
o
( ). Thật vậy, giả sử * + là một dãy hội tụ yếu trong 1 2
W
o
( ). Do đó toán tử bị chặn, nên * + hội tụ yếu đến 1
2
W
o
( ), ở đây ( ) là giới hạn yếu của * + trong 1
2 W o ( ). Ngoài ra, do 1 2 W o ( ) đƣợc nhúng compact vào trong ( ), nên các dãy * + và * + hội tụ trong ( ), tới các phần tử ( ) và ( ) tƣơng ứng. Ta có
, ( ) ( )- (( ) ( )) ‖ ‖ ( )‖ ‖ ( ) *| | | |+ ‖ ‖ ( )‖ ‖ ( )
Khi vế phải của bất đẳng thức này dần đến không, do đó * + hội tụ trong không gian 1
2
W
o
( ). Từ đó suy ra là toán tử hoàn toàn liên tục trong
1 2
W
o
( ).
Từ những lí luận trên đây suy ra định lí Fredholm thứ nhất đúng cho phƣơng trình (1.11). Tính giải đƣợc của phƣơng trình (1.11) với 1
2
W
o
( ) là hệ quả của định lí duy nhất nghiệm đối với nó. Do tính tƣơng đƣơng của (1.11) với đồng nhất thức tích phân (1.3) nên điều khẳng định của định lí là đúng. Định lí đƣợc chứng minh.
Từ định lí 1.1 và 1.2 ta suy ra hệ quả sau.
Hệ quả: Giả thiết là toán tử elliptic đều trong miền và điều kiện (1.4)
đƣợc thỏa mãn. Nếu ( ) ( ) và thì bài toán (1.1), (1.2) có duy nhất một nghiệm suy rộng trong không gian ( ).