2.2.1 Các khái niệm cơ bản.
Xét toán tử vi phân
( ) ∑ ( ) | |
( )
ở đó ( ) là các hàm có giá trị phức đo đƣợc, . Nếu ( ) với một nào đó mà | | , thì bậc của đƣợc coi bằng . Đa thức đặc trưng của toán tử
là
( ) ∑ ( ) | |
ở đây ( ) và . Đó là đa thức của với các hệ số của nó phụ thuộc vào . Toán tử đƣợc gọi là elliptic tại điểm nếu
( ) * + ( )
Toán tử đƣợc gọi là elliptic trong một miền nếu nó là elliptic tại mỗi điểm của miền. Điều kiện elliptic có thể viết dƣới dạng sau:
| ( )| | | ( )
ở đó vì trên mặt cầu đơn vị | ( )| và là hàm thuần nhất bậc của . Hằng số đƣợc gọi là hằng số elliptic.
Giả sử là một miền trong . Phƣơng trình
( ) ( ) ( )
đƣợc gọi là phƣơng trình elliptic trong miền . Giả thiết ( ) ( ) . Hàm
( ) ( ) đƣợc gọi là nghiệm của phƣơng trình (2.3) nếu đẳng thức đƣợc thỏa mãn với hầu khắp .
Định lí 2.1. Tính elliptic là bất biến qua phép đổi biến số với Jacobian khác không.
Chứng minh. Giả sử phƣơng trình elliptic tại điểm . Ta thực hiện phép đổi biến số
( ) ‖ ( )
‖ ( )
Qua phép biến đổi này (2.3) chuyển thành phƣơng trình
∑ ( ) | | | | ( ) Đa thức đặc trƣng của có dạng ( ) ( ∑ + Từ đó ∑ ( ) | | ∑ ( ) | | ∑
Bởi vì ‖ ( )
‖ nên sự triệt tiêu của ( ) tại điểm ( ) tƣơng đƣơng với sự triệt tiêu của ( ) tại điểm tƣơng ứng ( ) mà ( ) và
∑ ( ) . Định lí đƣợc chứng minh.
Định lí 2.2.Nếu số chiều của không gian lớn hơn 2, thì bậc của phương trình elliptic là chẵn.
Chứng minh. Giả sử ( ) với mọi * +. Xét đa thức của biến
( ) ( )
Do là toán tử elliptic, nên phƣơng trình ( ) không có nghiệm thực nếu
( ) . Giả sử số các nghiệm với phần ảo dƣơng bằng và
số nghiệm với phần ảo âm bằng . Bởi vì
( ) ( ) ( )
nên ( ) ( ).
Đƣờng tròn là liên thông. Do vậy, khi điểm ( ) dịch chuyển đến điểm ( ) dọc theo đƣờng tròn này thì các nghiệm của phƣơng trình ( ) thay đổi một cách liên tục. Hơn nữa nếu một nghiệm của phƣơng trình này có phần ảo dƣơng với ( ) nào đó, thì khi ( ) dịch chuyển khắp
đƣờng tròn nghiệm này vẫn luôn có phần ảo dƣơng vì phần ảo không
bị triệt tiêu. Từ đó nhận đƣợc ( ) ( ) ( ), điều này có nghĩa là và là số chẵn.
2.2.2 Bất đẳng thức tiên nghiệm.
Kí hiệu | | ∑| | | | . Ta có bổ đề sau.
Bổ đề 2.1. Giả sử là hình cầu mở ∑ và ( ) | | . Khi đó với mỗi tồn tại một hằng số sao cho
∫ | | ∫ | | ( ) ∫| |
Chứng minh. Đặt 2 | | 3 Áp dụng bất đẳng thức nội suy ta nhận đƣợc
∫ | | ∫ | | ( ) ∫ | ( )|
Từ đây sau khi đổi biến ta nhận đƣợc
∫ | | ∫ | | ( ) ∫ | ( )|
Đổi lại kí hiệu bằng ta có
∫ | | ∫ | | ( ) ∫ | ( )|
Bất đẳng thức này đúng cho hình hộp bất kì có kích thƣớc . Trƣớc hết, giả sử và
⋃
ở đó * | | +. Mỗi miền có thể đƣợc phủ bởi các hộp đóng với các phần trong không giao nhau và kích thƣớc của nó bằng
.
√ / . Hơn nữa, các hình hộp này nằm trong . Từ đây và
(2.4) ta nhận đƣợc ∫ ( ) | | √ ∫ ( ) | | ( ) ∫ | ( )| ở đây là một tập rỗng và trong có bất đẳng thức | | ( )
∫ | | √ ∫ | | ( ) ∫ | ( )| Từ đó suy ra ∫ | | ∫ | | ( ) ∫ | | với . √ / Trƣờng hợp là hình cầu * ∑ + . Đặt ( ) (∑ ) ⁄ . Lặp lại các lập luận nhƣ trƣờng hợp ta đƣợc ∑ ∫ ( )| | | | ∫ ∑ ( )| | | | ( ) ∫| ( )| ( ) Bởi vì với | | ta có ( ) ( ) ( ) nên từ (2.5) ta suy ra ∫ | | ∫ | | ( ) ∫ | | Bổ đề đƣợc chứng minh
Định lí 2.2. Giả sử là miền bị chặn trong và các hệ số ( ) của toán tử elliptic liên tục trong ̅ khi | | và bị chặn khi | | . Khi đó đối với bất kì một miền con , tồn tại một hằng số , sao cho:
‖ ‖ ( ) [‖ ‖ ( ) ‖ ‖ ( )]
Chứng minh. Kí hiệu là hình cầu tâm ̅ bán chỉ ra rằng tồn tại một số sao cho nếu thì
‖ ‖ ( ) [‖ ‖ ( ) ‖ ‖ ( )] Kí hiệu ∑ ( ) | | ∑ , ( ) ( )- | | Khi đó phƣơng trình (2.3) có dạng ( )
Áp dụng phép biến đổi Fourier vào hai vế của phƣơng trình này ta đƣợc
( ) ̃( ) ̃( )
Từ tính elliptic của toán tử ta suy ra
| | | ̃( )| | ̃( )|
Lấy tích phân cả hai vế của bất đẳng thức này theo và nhờ vào đẳng thức Parseval, kết quả nhận đƣợc bất đẳng thức ∑ ‖ ‖ ( ) | | ‖ ( )‖ ( ) (‖ ‖ ( ) ∑ ‖ ‖ ( ) | | ∑ | ( ) ( )|‖ ‖ ( ) | | + ( )
ở đây là các hằng số. Nếu và đƣợc chọn sao cho
| ( ) ( )|
thì từ (2.6) rút ra
Áp dụng bất đẳng thức nội suy: định lí 4.8 chƣơng II – tài liệu Phương trình đạo hàm riêng phần II trang 144: Giả sử là một miền bị chặn tùy ý thuộc . Khi đó, với mỗi tồn tại một hằng số ( ) (chỉ phụ thuộc vào và ), sao cho ‖ ‖ ( ) ‖ ‖ ( ) ( )‖ ‖ ( ) Với mọi hàm W2 o m ( ) vào bất đẳng thức này, ta nhận đƣợc ∑ ‖ ‖ ( ) | | ∑ ‖ ‖ ( ) | | ( ) ∑ ‖ ‖ ( ) | | vào bất đẳng thức này, ta nhận đƣợc ∑ ‖ ‖ ( ) | | ∑ ‖ ‖ ( ) | | ( ) ∑ ‖ ‖ ( ) | | Lấy ta có ∑ ‖ ‖ ( ) | | [‖ ‖ ( ) ∑ ‖ ‖ ( ) | | ] ( )
Bất đẳng thức này đƣợc chứng minh với giả thiết ( ) . Nếu bỏ giả thiết này đi, ta chọn hàm ( ) ( )( | | ) với | | ( ) với
| | . Khi đó với | | ta có ( | | ) ∑ ( ) | | | | | | ở đó | ( )| ( | | ) | | | | Từ đó nhận đƣợc ( | | ) ∑ ( ) | | | | ở đây | ( )| ( | | )| |. Hàm ( ) thỏa mãn bất đẳng thức (2.7). Do vậy
∑ ‖ ‖ ( ) | | 0‖ ‖ ( ) ‖ ‖ ( )1 [‖ ‖ ( ) ∑ ‖( | | )| | ‖ ( ) | | ]
. Từ đây và sử dụng định nghĩa của hàm ( ) ta nhận đƣợc
∑ ‖( | | ) ‖ ( ) | | ‖ ‖ ( ) ∑ ‖( | | )| | ‖ ( ) | |
Đánh giá tổng sau cùng của bất đẳng thức này nhờ bổ đề 2.1 và việc chọn đủ nhỏ, kết quả nhận đƣợc ∑ ‖( | | ) ‖ ( ) | | ‖ ‖ ( ) ∑ ‖ ‖ ( ) | | . Do đó ∑ ‖ ‖ . ⁄ / | | ‖ ‖ ( ) ∑ ‖ ‖ ( ) | | ( )
phủ ̅̅̅ bởi một tập hữu hạn các hình cầu
⁄ sao cho và lấy tổng từ 1 đến . Ta nhận đƣợc bất đẳng thức trong định lí 2.1.
Định lí đƣợc chứng minh.
2.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm.
Ký hiệu là không gian gồm tất cả các hàm ( ) ( ) ( )
với | | sao cho
∫ ( ) | | ( )
Bổ đề 2.2. Nếu ( ) thì với | | có bất đẳng thức
ở đó là hằng số không phụ thuộc vào hàm ( ).
Chứng minh. Vì ( ) ( ) nên ( ) | | nên
̃( ) ∫ ( ) ( )
Do ( ) với | | và từ (2.9) suy ra
̃( ) ∫ ( ) ( ) ( )
với mọi | |
Từ biểu diễn (2.11) và ( ) khi | | suy ra ̃( ) ( ). Từ đây và (2.12) khi sử dụng khai triển Taylor, ta nhận đƣợc
| ̃( )| | |
| | | | | ̃( )|
với | | . Do đó
| ̃( )| | | ‖ ( )‖ ( ) | |
Bổ đề đƣợc chứng minh
Định lí 2.2. Giả sử các hệ số ( ) là hằng số với | | và ( ) với
| | , còn là toán tử elliptic cấp m và ( ) . Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm của phương trình (2.3) và có bất đẳng thức
‖ ‖ ( ) ‖ ‖ ( ) ( )
ở đó hằng số không phụ thuộc vào ( )
Chứng minh. Trƣớc hết ta đi chứng minh bất đẳng thức (2.13). Giả sử
( ) là nghiệm của phƣơng trình (2.13), tức là
∑ ( ) | |
( ) ( )
với hầu khắp . Tác động biến đổi Fourier vào cả hai vế của (2.14), ta nhận đƣợc
∑ ( ) ̃ | |
̃( )
Từ đây và do tính elliptic của toán tử suy ra
̃( ) ̃( )
∑| | ( ) * +
Do vậy, từ điều kiện (2.2’) ta nhận đƣợc
| ̃( )| | | | ̃( )| * +
Sau khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với ( | | ) và lấy tích phân trên , ta đƣợc
∫ ( | | ) | ̃( )| ∫ ( | | )| ̃( )| * + ( )
Ta đi đánh giá vế phải của (2.15). Ta có
∫ ( | | )| ̃( )| ∫ ( | | )| ̃( )| | | ∫ ( | | )| ̃( )| | | ∫ | | | ̃( )| | | ∫ | ̃( )| | | ( ) Từ bổ đề 2.2 ta có ∫ | | | ̃( )| | | ∫ ‖ ‖ ( ) | | Từ đây và các bất đẳng thức (2.15), (2.16) ta nhận đƣợc
∫ ( | | ) | ̃( )| ‖ ‖ ( ) ∫ | ̃( )| | |
‖ ‖ ( ) ∫ | ̃( )|
Khi sử dụng đẳng thức Paseval vào số hạng cuối cùng của vế phải bất đẳng thức. Kết quả nhận đƣợc
∫ ( | | ) | ̃( )| ‖ ‖ ( )
Từ bất đẳng thức này và định lí 1.4, 1.5 chƣơng II ta suy ra (2.13). Từ 2.13 ta nhận đƣợc tính duy nhất của nghiệm
Cuối cùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm ta đặt
( ) ̃( )
∑| | ( ) ( )
Từ điều kiện elliptic (2.2’) và từ
∫ | ( )| ∫ | | | ̃( )| ‖ ‖ ( )
suy ra ( ) ( ). Do vậy tồn tại phép biến đổi Fourier ngƣợc của ( ) mà ta kí hiệu nó là ( ). Từ (2.17) suy ra ∑ ( ) | | ( ) ̃( ) Hay ∑ ( ) | | ̃( ) ̃( ) ( )
Tác động của phép biến đổi Fourier vào hai vế của (2.18), ta nhận đƣợc
∑ | |
Nhƣ vậy, ( ) chính là nghiệm cần tìm. Định lí đƣợc chứng minh
2.3 Phƣơng trình Elliptic trong nửa không gian.
Trong mục này ta xét phƣơng trình (2.3) trong nửa không gian. Kí hiệu
* + và xét phƣơng trình
( ) ∑ ( ) | |
( ) ( )
ở đó ( ) thỏa mãn điều kiện (2.2) trong . Ta đi nghiên cứu tính trơn của nghiệm theo vế phải và các hệ số của phƣơng trình.
2.3.1 Tính giải đƣợc của phƣơng trình Elliptic trong .
Xét phƣơng trình (3.1) với các hệ số là hằng số và với | | . Khi đó (3.1) trở thành
∑ | |
( ) ( )
Bổ đề 3.1. Giả thiết ( ) ( ) và ( ) với | | . Khi đó tồn tại nghiệm ( ) ( ) của phương trình (3.2) sao cho
‖ ‖ ( ) ‖ ( )‖ ( )
với là hằng số không phụ thuộc vào hàm ( ).
Chứng minh. Ta thác triển hàm ( ) ra toàn bộ không gian nhƣ sau: đặt ( ) với | | và ( ) ∑ | | | | ở đó đƣợc chọn sao cho ∫ ( )
∑ | | ∫ | | ∫ ( ) | | | |
Định thức của hệ này là định thức Gramian đối với các hệ hàm độc lập tuyến tính , bởi vậy nó không triệt tiêu và
| | ∫ | ( )| | |
‖ ‖ ( ) .
Hàm đƣợc thác triển ta vẫn dùng kí hiệu là ( ). Khi đó hàm ( ) đƣợc xác định trong toàn bộ và ‖ ‖ ( ) ‖ ‖ ( ) Đặt ( ) ̃( ) ∑| | ( ) * + ̃( ) ( ) ∫ ( ) Khi đó ̃( ) ( ) ∫ ( ) ( ) | |
Bởi vì ̃( ) ( ), nên theo công thức Taylor ta nhận đƣợc
| ̃( )| | | | | | | | ̃( )| | | Do đó | ̃( )| | | ‖ ‖ ( ) | | Bởi vì | ∑ ( ) | | | | | nên | | | ( )| ‖ ( )‖ ( ) | |
| || || ( )| | ̃( )| | | | | Nhƣ vậy ∑ ∫ | | | || ( )| | | ‖ ( )‖ ( )
Giả sử ( ) ( ) sao cho ̃ ( ), tức là ( ) là phép biến đổi Fourier ngƣợc của ( ). Khi đó
‖ ( )‖ ( ) ‖ ( )‖ ( )
Ngoài ra, ta có
∑ ( ) ( ) | |
̃( )
Áp dụng biến đổi Fourire ngƣợc vào hai vế của đẳng thức này ta nhận đƣợc
. Bổ đề đƣợc chứng minh
Từ bổ đề 3.1 và phép biến đổi ta nhận đƣợc định lí sau.
Định lí 3.1. Giả sử thỏa mãn các điều kiện của bổ đề 3.1, ( ) ( )
và ( ) với . Khi đó tồn tại nghiệm ( ) ( ) của phương trình sao cho:
∑ | |‖ ‖ ( ) | |
‖ ( )‖ ( )
ở đó là hằng số không phụ thuộc vào hàm ( ) và ( ).
2.3.2 Tính trơn của nghiệm.
Trong mục này ta sẽ chứng tỏ tính trơn của nghiệm của phƣơng trình (3.1)
phụ thuộc vào tính trơn của các hệ số và của vế phải của phƣơng trình. Ta có định lí sau:
Định lí 3.2 Giả thiết ( ) ( ) và ( ) ( ) . Hơn nữa,giả thiết các hệ số của toán tử ó đạo hàm liên tục trong ̅ đến cấp . Khi đó, với bất kì miền sao cho ̅ ta có ( ) ( ) và
‖ ( )‖ ( ) 0‖ ( )‖ ( ) ‖ ( )‖ ( )1
Chứng minh. Ta chứng minh định lí bằng quy nạp theo Với , điều khẳng định của định lí suy ra từ định lí 2.1. Bây giờ giả sử định lí đã đúng với
( ) ( ) và các hệ số của có các đọa hàm liên tục đến cấp . Giả sử . Đặt ( ) ( ) | | . Khi đó hàm thỏa mãn phƣơng trình ( ) ở đây | ( )| ∑ | ( ) ( )| | | | | Do đó ( ) ( ) ( )
Do giả thiết quy nạp ta có ( ) và
‖ ( )‖ ( ) 0‖ ( )‖ ( ) ‖ ‖ ( )1 Do vậy, ( ) ( ) và ‖ ( )‖ ( ) 0‖ ( )‖ ( ) ‖ ‖ ( )1 ( ) ‖ ‖ ( ) 0‖ ( )‖ ( ) ‖ ‖ ( )1 ( ) Xét hàm [ ( ) ( )]
Nếu | | đủ bé, thì hàm này thỏa mãn trong phƣơng trình
∑ | | ( ) ∑ ( ) ( ) | |
Kí hiệu vế phải của phƣơng trình này là ( ). Theo định lí 4.5 - chƣơng II tài liệu Phương trình đạo hàm riêng phần II, trang 139: Giả sử là miền bị chặn trong . Giả sử là một miền hình sao đối với tâm của hình hộp Q. Với mọi số
(i) ∫ ,
(ii) ∫
Khi đó với và mọi có bất đẳng thức
∑ ∫ | | | |
∫ ∑ | | | |
ở đó C là hằng số không phụ thuộc vào hàm u(x).
và định lí 4.6 - chƣơng II - tài liệu Phương trình đạo hàm riêng phần II, trang 142: Giả sử là miền bị chặn trong . Giả sử là một miền hình sao đối với tâm của hình hộp Q và . Nếu ( ) thì
∫ ∑ | | | |
∫ ∑ ,| | | | - | |
ở đó C là hằng số không phụ thuộc vào hàm u(x).
và các bất đẳng thức (3.3), (3.4)ta đƣợc ( ) ( ) và
‖ ‖
( ) 0‖ ( )‖ ( ) ‖ ( )‖ ( )1
Từ đây và do giả thiết quy nạp suy ra ( ) ( ) và
‖ ‖ ( ) 0‖ ( )‖ ( ) ‖ ( )‖ ( )1 Bởi vì , nên ( ) và ‖ ‖ ( ) ∑ ‖ ‖ ( ) | | ∑ <∑ ‖ ‖ ( ) ‖ ‖ ( )= | | ‖ ‖ ( ) 0‖ ( )‖ ( ) ‖ ( )‖ ( )1
Do là miền con tùy ý nên điều khẳng định của định lí là đúng. Định lí đƣợc chứng minh
2.4 Phƣơng trình elliptic trong miền bị chặn.
Trong mục này ta đi xét phƣơng trình elliptic trong một miền bị chặn
. Điều đó có nghĩa là xét các bài toán biên đối với phƣơng trình elliptic
(2.3). Cụ thể đi tìm nghiệm trong miền của phƣơng trình (2.3) sao cho nó thỏa mãn điều kiện biên
| ∑ ( ) | |
( )
ở đó các hệ số ( ) đƣợc giả thiết là các hàm giá trị phức đo đƣợc trên .
2.4.1 Điều kiện Lopatinsky.
Giả sử , là pháp tuyến đơn vị ngoài với biên tại điểm . Xét đa thức
( ) ( )
ở đây là đa thức đặc trƣng của toán tử , là véc tơ trực giao với . Giả thiết phƣơng trình đại số ( ) có nghiệm với phần thực âm:
( ) ⁄ ( )
kí hiệu
( ) ( ( )) . ⁄ ( )/ ( ) ∑ ( )( )
| |
Điều kiện Lopatinsky đòi hỏi các đa thức ( ) độc lập tuyến tính theo module đối với đa thức ( ), tức là không có tổ hợp tuyến tính nào dạng
∑ ( ) ⁄ ∑| | ⁄ là bội của ( ).
Điều kiện Lopatinsky chứng tỏ sự ràng buộc giữa các toán tử và là cần thiết. Không khó khăn có thể kiểm tra đƣợc tính bất biến của điều kiện Lopatinsky qua phép biến đổi biến số ( ) ‖
Định lí 4.5. Giả thiết các hệ số ( ) liên tục trong ̅ với | | , còn các hệ số còn lại của toán tử là bị chặn. Giả thiết các hệ số ( ) liên tục với
| | và các hệ số còn lại của toán tử là bị chặn trên . Giả sử biên là mặt trơn và hàm ( ) ( ) thỏa mãn phương trình
hầu khắp nơi trong và các điều kiện biên
∑ ( ) | |
( )
trên một tập con mở . Nếu miền con sao cho ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ và điều kiện Lopatinsky được thỏa mãn, thì
‖ ‖ ( ) <‖ ‖ ( ) ∑‖ ‖ ⁄
( ) ⁄
‖ ‖ ( )=
ở đó là hằng số không phụ thuộc vào và .
Chứng minh. Giả sử là hình cầu tâm , bán kính , và
.
Trƣớc tiên giả sử nằm trên mặt phẳng nằm trong nửa không gian và ( ) khi không thuộc . Ngoài ra, giả thiết ( ) ( ) với | | ( ) ( ) với | |
( ) với | | Từ bổ đề 3.1 rút ra sự tồn tại hàm
( ) trong và
∑ ‖ ‖ ( ) | |
‖ ‖ ( )
Khi đó hàm là nghiệm của bài toán biên
( ) ( )
Từ định nghĩa chuẩn trên biên ta nhận đƣợc
‖ ‖ ⁄ ‖ ‖ ⁄
( ) ‖ ‖ ( )
̃( ) ∫ ( )
( )
Với điều kiện hầu khắp ta có
| | ⁄ ̃ ( )
Thực hiện phép biến đổi Fourier theo biến cho (4.8), (4.9) ta thu đƣợc
(
* ̃ (
* ̃| ̃( ) ( )
Đây chính là phƣơng trình vi phân thƣờng với hàm cần tìm ̃( ), các hệ số của nó không phụ thuộc vào . Tất cả các nghiệm của phƣơng trình (4.10) có dạng ̃ ∑ ∫ ( ) ( ) ( )
ở đây ( ) là các hàm tùy ý của biến và ( ) là các chu tuyến trong mặt phẳng phức chứa các nghiệm của phƣơng trình
( )
Hơn nữa, các nghiệm này là các hàm của hoặc là hàm tăng hoặc là hàm giảm (theo số mũ). Tuy nhiên với hầu khắp ta có
∫ | |
và hàm bị chặn với hầu khắp và . Do vậy, ta chỉ quan tâm đến các nghiệm bị chặn của phƣơng trình.
Nghiệm bị chặn của phƣơng trình vi phân thƣờng có thể viết đƣợc dƣới dạng ( ) ∑ ∫ ( ) ( ) ( ) ⁄
ở đây ( ) là các hàm tùy ý của
( ) ( ( )) ( ⁄ ( ))
và ( ) là nghiệm của phƣơng trình
( )
với phần ảo dƣơng. Chu tuyến ( ) đƣợc xây dựng nhƣ sau: lấy một đƣờng cong trơn đóng tùy ý trong nửa mặt phẳng của mặt phẳng phức sao cho nó bao quanh một miền chứa các nghiệm
( ) ⁄ ( )
với | | và
( ) {
| | }
để tìm ( ) ta cho điều kiện biên đƣợc thỏa mãn. Khi đó ( ) thỏa mãn phƣơng trình ∑ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ̃ ( ) ⁄
Ta chứng minh định thức của hệ này
: ∫ ( ) ( ) ( ) ;
không triệt tiêu khi * +. Giả sử ngƣợc lại nó triệt tiêu tại một điểm