Trong mục này ta sẽ chứng tỏ tính trơn của nghiệm của phƣơng trình (3.1)
phụ thuộc vào tính trơn của các hệ số và của vế phải của phƣơng trình. Ta có định lí sau:
Định lí 3.2 Giả thiết ( ) ( ) và ( ) ( ) . Hơn nữa,giả thiết các hệ số của toán tử ó đạo hàm liên tục trong ̅ đến cấp . Khi đó, với bất kì miền sao cho ̅ ta có ( ) ( ) và
‖ ( )‖ ( ) 0‖ ( )‖ ( ) ‖ ( )‖ ( )1
Chứng minh. Ta chứng minh định lí bằng quy nạp theo Với , điều khẳng định của định lí suy ra từ định lí 2.1. Bây giờ giả sử định lí đã đúng với
( ) ( ) và các hệ số của có các đọa hàm liên tục đến cấp . Giả sử . Đặt ( ) ( ) | | . Khi đó hàm thỏa mãn phƣơng trình ( ) ở đây | ( )| ∑ | ( ) ( )| | | | | Do đó ( ) ( ) ( )
Do giả thiết quy nạp ta có ( ) và
‖ ( )‖ ( ) 0‖ ( )‖ ( ) ‖ ‖ ( )1 Do vậy, ( ) ( ) và ‖ ( )‖ ( ) 0‖ ( )‖ ( ) ‖ ‖ ( )1 ( ) ‖ ‖ ( ) 0‖ ( )‖ ( ) ‖ ‖ ( )1 ( ) Xét hàm [ ( ) ( )]
Nếu | | đủ bé, thì hàm này thỏa mãn trong phƣơng trình
∑ | | ( ) ∑ ( ) ( ) | |
Kí hiệu vế phải của phƣơng trình này là ( ). Theo định lí 4.5 - chƣơng II tài liệu Phương trình đạo hàm riêng phần II, trang 139: Giả sử là miền bị chặn trong . Giả sử là một miền hình sao đối với tâm của hình hộp Q. Với mọi số
(i) ∫ ,
(ii) ∫
Khi đó với và mọi có bất đẳng thức
∑ ∫ | | | |
∫ ∑ | | | |
ở đó C là hằng số không phụ thuộc vào hàm u(x).
và định lí 4.6 - chƣơng II - tài liệu Phương trình đạo hàm riêng phần II, trang 142: Giả sử là miền bị chặn trong . Giả sử là một miền hình sao đối với tâm của hình hộp Q và . Nếu ( ) thì
∫ ∑ | | | |
∫ ∑ ,| | | | - | |
ở đó C là hằng số không phụ thuộc vào hàm u(x).
và các bất đẳng thức (3.3), (3.4)ta đƣợc ( ) ( ) và
‖ ‖
( ) 0‖ ( )‖ ( ) ‖ ( )‖ ( )1
Từ đây và do giả thiết quy nạp suy ra ( ) ( ) và
‖ ‖ ( ) 0‖ ( )‖ ( ) ‖ ( )‖ ( )1 Bởi vì , nên ( ) và ‖ ‖ ( ) ∑ ‖ ‖ ( ) | | ∑ <∑ ‖ ‖ ( ) ‖ ‖ ( )= | | ‖ ‖ ( ) 0‖ ( )‖ ( ) ‖ ( )‖ ( )1
Do là miền con tùy ý nên điều khẳng định của định lí là đúng. Định lí đƣợc chứng minh