Một trong những ứng dụng quan trọng của các hàm thuộc không gian
( ) là tính liên tục toàn cục của nó.
Định lí 3.2. Giả sử là một miền trong ( ) ( ) bên ngoài . Khi đó với mỗi tồn tại một số sao cho:
∫ | ( ) ( )|
Với mọi thỏa mãn | | .
Chứng minh. Trƣớc tiên xét trƣờng hợp là miền bị chặn. Nhờ định lí 2.6 và 2.10 với mỗi tồn tại một hàm ( ) ( ) với giá compact, sao cho
∫ | ( ) ( )|
Bởi vì ( ) có giá compact nên ( ) liên tục đều. Do đó, tồn tại số sao cho
( ) ( ) nếu | | . Từ đây suy ra
: ∫ | ( ) ( )| ; ⁄ : ∫ | ( ) ( )| ; ⁄ : ∫ | ( ) ( )| ; ⁄ : ∫| ( ) ( )| ; ⁄ ( ) ⁄
Nếu chọn sao cho ( ( ) ⁄ ) . Khi đó ta nhận đƣợc chứng minh định lí đối với miền bị chặn.
Nếu miền không bị chặn, chọn miền bị chặn sao cho
∫ | ( )|
∫ | ( )|
| |
Khi đó, áp dụng kết quả của miền bị chặn ta nhận đƣợc kết quả của định lí cho miền không bị chặn. Định lí đƣợc chứng minh.
Một miền thuộc đƣợc gọi là miền sao đối với điểm , nếu với mỗi điểm , đoạn thẳng nối với cũng thuộc miền . Trƣờng hợp đặc biệt, miền lồi là miền sao đối với mọi điểm thuộc miền đó. Dƣới đây là một định lý về tính liên tục toàn cục trong miền hình sao của một hàm thuộc không gian ( ).
Định lí 3.3. Giả sử là một miền hình sao đối với tọa độ và ( ) ( ) bên ngoài . Khi đó với mỗi tồn tại một số sao cho:
∫ | ( ) ( )|
nếu | | .
Chứng minh. Bởi vì ( ) ( ( ) ). Do là miền sao đối với gốc tọa độ, nên ( ) . Từ đây và từ định lí 3.2 suy ra kết luận của định lí. Định lí đƣợc chứng minh.