GIẢI TÍCH VECTOR TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG

10 1.2 CÁC TOÁN TỬ GRADIENT, DIVERGENCE, CURL TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES .... Có rất nhiều phương pháp toán học ứng dụng trong vật lý, đặc biệt là vật lý hiện đại như các phép biến đổi tí

Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện:

TS NGUYỄN THANH PHONG MAI THỊ THÙY VÂN

Mã số SV: 1100273 Lớp: Sư phạm vật lý Khóa: 36

Cần Thơ, năm 2014

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 3

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 3

2 MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI 4

3 GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI 4

4 PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN THỰC HIỆN 4

5 CÁC BƯỚC THỰC HIỆN 4

PHẦN NỘI DUNG 5

CHƯƠNG 1: TOÁN TỬ VI PHÂN VECTOR TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG 5

1.1 CÁC HỆ TỌA ĐỘ TRỰC GIAO TRONG KHÔNG GIANR 5 3 1.1.1 Các hệ tọa độ trực giao trong R 5 3 1.1.2 Định thức Jacobi 8

1.1.2.1 Định thức Jacobi tổng quát 8

1.1.2.2 Định thức Jacobi trong hệ tọa độ cực 10

1.2 CÁC TOÁN TỬ GRADIENT, DIVERGENCE, CURL TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES 10

1.2.1 Toán tử Gradient  10

1.2.2 Toán tử Divergence   16

1.2.3 Toán tử Curl  : 17

1.3 CÁC TOÁN TỬ VI PHÂN VECTOR TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG 18

1.3.1 Toán tử Gradient 18

1.3.2 Toán tử Divergence 19

1.3.3 Toán tử Curl 21

CHƯƠNG 2: CÁC TOÁN TỬ GRADIENT, DIVERGENCE VÀ CURL TRONG CÁC HỆ TỌA ĐỘ ĐẶC BIỆT 23

2.1 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ 23

2.1.1 Giới thiệu hệ tọa độ trụ 23

2.1.2 Các toán tử liên quan đến   trong hệ tọa độ trụ 26

2.1.3 Một số vấn đề vật lý được giải trong hệ tọa độ trụ 30

2.1.3.1 Số hạng Navier – Stoke 30

2.1.3.2 Định luật diện tích cho chuyển động của các hành tinh 31

2.2.3.3 Phương trình Laplace trong hệ tọa độ trụ 33

2.2 HỆ TỌA ĐỘ CẦU 35

2.2.1 Giới thiệu hệ tọa độ cầu 35

2.2.2 Các toán tử liên quan đến   trong hệ tọa độ cầu 38

2.2.3 Một số vấn đề vật lý được giải trong hệ tọa độ cầu 41

2.2.3.1 Phương trình Schrodinger trong hệ tọa độ cầu 41

2.2.3.2 Nguyên tử Hydro 58

2.2.3.3 Phương trình Laplace trong hệ tọa độ cầu 65

CHƯƠNG 3: BÀI TẬP 67

PHẦN KẾT LUẬN 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

PHẦN MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Toán học và vật lý là hai môn học có mối tương quan sâu sắc Các vấn đề trong vật lý sẽ được khái quát lên thành bài toán cho toán học giải quyết Và sau đó, kết quả của các bài toán này lại được nhà vật lý kiểm chứng thông qua thí nghiệm Đôi khi chính các kết quả toán học lại mở ra một hướng nghiên cứu mới cho ngành vật lý Ví dụ, năm 1928, nhà vật lý học người Anh, Paul Dirac đã giải một phương trình toán lý và tìm ra những “điện tử mang năng lượng âm” mà xưa nay các nhà vật lý cho rằng không thể có được Dirac cũng cảm thấy băn khoăn Ông giải phương trình sai chăng? Không, ông đã kiểm tra lại nhiều lần rồi Lời giải của ông hoàn toàn đúng Chỉ còn một cách thừa nhận rằng có tồn tại những điện tử mang năng lượng âm mà thôi Bảy năm sau, các nhà vật lý đã tìm ra được điện tử mang năng lượng âm này qua thực nghiệm – đó chính là những hạt positron Kết quả này đã giúp các nhà vật lý đi đến quan niệm phản vật chất – một quan niệm mới mẻ trong vật lý học hiện đại Chính vì vậy, để có thể lĩnh hội cũng như nghiên cứu về vật lý thì trước tiên chúng ta cần phải trang bị cho mình kiến thức toán thật vững vàng, có thể nói toán học là công cụ không thể thiếu cho một nhà vật lý

Có rất nhiều phương pháp toán học ứng dụng trong vật lý, đặc biệt là vật lý hiện đại như các phép biến đổi tích phân, phương trình vi phân, đại số tuyến tính…Nhưng việc sử dụng chúng trong vật lý của sinh viên chưa được tốt, nhất là khi học về vật lý lý thuyết, đòi hỏi lượng kiến thức toán phải rộng và sâu hơn nữa Có những bài tập khi ta giải trong hệ tọa độ này thì rất phức tạp thế nhưng nếu giải trong hệ tọa độ khác lại vô cùng đơn giản Do đó đòi hỏi các bạn cần phải nắm rõ các phép toán trong các hệ tọa độ cũng như sự chuyển đổi qua lại giữa chúng để có thể áp dụng khi cần thiết Luận văn “Giải tích vector trong hệ tọa độ cong” tổng hợp những kiến thức cơ bản và hữu ích về các phép toán vector nhưng không phải trong hệ Descartes mà được mở rộng cho các hệ tọa độ khác, cụ thể là hệ tạo độ cong trực giao (gồm hệ tọa độ trụ và cầu) Hy vọng đề tài này giúp sinh viên thuận lợi hơn trong việc nghiên cứu và học tập sau này

2 MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI

- Mở rộng phần giải tích vector trong hệ tọa độ cong trên cơ sở của hệ tọa độ Descartes

- Ứng dụng toán giải tích vector trong các hệ tọa độ qua một số bài toán vật lý cụ thể

3 GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI

- Phần giải tích vector chủ yếu trình bày về các phép tính gradient, divergence, curl và

Laplace trong hệ tọa độ cong trực giao gồm hệ tọa độ trụ và cầu

- Một số bài toán được giải tổng quát nhằm cụ thể việc áp dụng toán học cho vật lý chứ

không đi sâu vào ý nghĩa vật lý của từng bài

4 PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN THỰC HIỆN

- Sử dụng phương pháp tìm kiếm và nghiên cứu các tài liệu khác có nội dung liên quan đến

đề tài

- Phương pháp tổng hợp, phân tích tài liệu rồi hệ thống lại cho phù hợp với mục đích nghiên

cứu

5 CÁC BƯỚC THỰC HIỆN

- Xác định mục đích, phương pháp và giới hạn của đề tài nghiên cứu

- Tiến hành tìm kiếm tài liệu có liên quan

- Tổng hợp, phân tích tài liệu để viết bài

- Trao đổi với giáo viên hướng dẫn, sửa chữa và hoàn chỉnh luận văn

- Báo cáo luận văn

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: TOÁN TỬ VI PHÂN VECTOR TRONG HỆ TỌA ĐỘ

CONG

1.1.1 Các hệ tọa độ trực giao trong 3

R

Trong hệ tọa độ Descartes, ta giải bài toán vật lý bằng các họ mặt phẳng vuông góc từng

đôi một:xconst,yconst,zconst.Bây giờ ta sẽ tìm hiểu hệ tọa độ khác đƣợc biểu diễn

bởi 3 mặt q i x,y,z với i 1 , 2 , 3 ,các mặt này không nhất thiết phải trực giao và phẳng Tuy

nhiên để đơn giản chúng ta sẽ xét các mặt vuông góc lẫn nhau vì hệ tọa độ trực giao rất phổ

biến trong ứng dụng vật lý

Hình thức chung của hệ tọa độ cong trực giao xuất phát từ việc tính vi phân tọa độ trong

hình học, sử dụng các yếu tố độ dài, yếu tố diện tích, yếu tố thể tích và toán tử vector

Để biểu diễn vị trí của 1 điểm, trong hệ tọa độ Descartes ta sử dụng bộ ba số x ,,y z, còn

trong hệ tọa độ cong ta sử dụng bộ số mới là q1,q2,q3 Ví dụ trong không gian ta có điểm

x y z

A , , , điểm này sẽ đƣợc biểu diễn trong hệ tọa độ cong bởi các mặt q1 const,

,

2 const

Hệ tọa độ cong tổng quát Hệ tọa độ trụ

Các đại lượng q1,q2,q3 gọi là các tọa độ cong, q i const gọi là mặt tọa độ và giao tuyến của

hai mặt tọa độ cho ta đường cong tọa độ Mỗi mặt q i const ta chọn 1 vector đơn vị qˆ i

vuông góc với mặt này và hướng theo chiều tăng của q i Một cách tổng quát, các q i const

phụ thuộc vị trí trong không gian Khi đó vector V

có thể biễu diễn như sau:

dq q

x dq q

x dq q

x dx

dq q

y dq q

y dq q

y dy

dq q

z dq q

z dq q

z dz

z dq q

z dq q

z j dq q

y dq q

y dq q

y i dq q

x dq q

x dq

3 2 2 1 1 3

3 2 2 1

1

3 3 3

3 2

2 2

2 1 1 1

1

dq k q

z j q

y i q

x dq

k q

z j q

y i q

x dq

k q

z j q

y i

1

dq q

r dq q

r dq

i

i i

dq q

r r

Trong hệ tọa độ Descartes thì bình phương khoảng cách giữa hai điểm kế cận là:

ds2 dx2 dy2dz2 d r2 d rd r

(1.5) Thay (1.4) vào (1.5) ta được:

3 2 2 1 1

2

dq q

r dq q

r dq q

r dq

q

r dq q

r dq q

r dq

dq q

r q

r

j i ij

ij dq dq

g (1.6) Trong đó:

j i j i j i j i ij

q

r q

r q

z q

z q

y q

y q

x q

x q

q q g

,,( 1 2 3

i j q

Các giá trị khác 0 của g ij nói lên rằng các mặt của hệ tọa độ là không trực giao (tức là các

vector qˆ i không trực giao) Tuy nhiên, thông thường ta xét các hệ tọa độ là trực giao Do đó:

ij q q

g

ˆˆ0

với ij gọi là ký hiệu Kronecker

Đặt g ij h i2 0 thì (1.6) được viết lại như sau:



i i

i dq h dq

h dq h dq h





(1.8) Chú ý rằng q1,q2,q3không nhất thiết phải là độ dài, nhưng hệ số h icó thể phụ thuộc vàoq ivà

tích h i dq i phải có đơn vị dài Khi đó:

ˆ ˆ

i dq q h q

dq h q dq h q dq h r

d

Sử dụng các thành phần của vector trong hệ tọa độ cong thì tích phân đường được viết:

  

i i i

i V h dq r

B A B

A B

q q A B

A ˆ ˆ   

Và tích có hướng của hai vector được viết dưới dạng định thức như sau:

1 1 1

ˆ

B A

q B

A 

2 2 2

ˆ

B A q

3 3 3

ˆ

B A q

1.1.2 Định thức Jacobi

1.1.2.1 Định thức Jacobi tổng quát

Yếu tố mặt và yếu tố khối là một phần của tích phân, rất phổ biến trong ứng dụng vật lý như xác định khối tâm hay moment quán tính của vật (định lý Gauss đã chuyển tích phân thể tích thành tích phân mặt và định lý Stoke chuyển tích phân mặt thành tích phân đường) Trong hệ tọa độ trực giao các yếu tố diện tích và thể tích chỉ đơn giản là tích vô hướng của yếu tố độ dài h i dq i

Trong trường hợp tổng quát, ta sử dụng ý nghĩa hình học của vector tiếp tuyến

q

r q q r q dq q

q

r q q r dq q

q

y q

x q

y q

x r

d r d

định thức (1.11) được gọi là định thức Jacobi (hay đơn giản là Jacobian)

Tương tự, yếu tố thể tích cũng trở thành tích vô hướng của 3 vector

i i

q

r dq r d

1 1 1

q z q y q x

q z q y q x

q z q y q x

1dq dq dq

Đối với hệ tọa độ trực giao hệ thức Jacobian chỉ đơn giản là tích của các vector tiếp tuyến thành tích của các h i, ví dụ như đối với định thức thể tích :

3 2 1 3 2 1 3 2

1.1.2.2 Định thức Jacobi trong hệ tọa độ cực

Chúng ta sẽ minh họa sự chuyển đổi giữa hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ cực với yếu tố

cossin

sincos

coscos

r r r

cossin

sinsin

coscos

sinsin

r

r



)sin()1( 1 2 r 

cossin

sinsin

r dxdydz 2 sin

1.2 CÁC TOÁN TỬ GRADIENT, DIVERGENCE, CURL TRONG HỆ TỌA ĐỘ

Giả sử không gian là đẳng hướng, các hệ thống vật lý được phân tích và các định luật vật

lý có liên quan không phụ thuộc vào sự lựa chọn và hướng của các trục tọa độ Do đó, một

giá trị số S nào đó sẽ không thay đổi dưới sự quay của hệ trục tọa độ trong không gian ba

chiều, ta gọi đó là giá trị vô hướng (ví dụ như khối lượng, tích vô hướng giữa hai vector…)

Tương tự, một đại lượng mà các thành phần của nó sẽ biến đổi dưới sự quay thì ta gọi đó là

vector và trong phép quay tọa độ này, vector vẫn được bảo toàn như một thực thể hình học

(mũi tên trong không gian) và độc lập với hướng của hệ tọa độ

Mối quan hệ giữa các thành phần của vector r 

trong hai hệ tọa độ là:

sincos

' '

y x

y

y x

bằng vector A

bất kỳ với (A , x A y là các thành phần của vector A

), ta định nghĩa vectorA

khi các thành phần của nó biến đổi dưới sự quay của hệ tọa độ:

sin cos

' '

y x

y

y x

x

A A

A

A A

phần của vector Mỗi thành phần của vector A

đều bị thay đổi độ dài khi quay hệ tọa độ nhưng độ lớn của vector là số vô hướng Ta thấy cặp số ' '

, y

x A

A là hai thành phần của vector

có độ lớn và hướng giống với vector tạo bởi A , x A y trong hệ tọa độxy ,hay nói cách khác một vector bất kỳ là bất biến khi ta quay hệ trục tọa độ

Khi không gian không phải là hai chiều mà là ba hoặc nhiều hơn nữa, ta sử dụng kí hiệu đơn giản sau, giả sử:

j j ij

V 



1

i

a x

x 



 '

(1.17) Ngược lại khi    :





' (1.18)

Từ (1.16), (1.17), (1.18) ta được:

j i j N j j j i N j

x

x V

x

x

1 '

Ta có biến phân toàn phần của hàm F x,y là dFdưới dạng tổng của hai số gia, một hoàn

toàn theo hướng của trụcxvà phần còn lại theo hướng của trụcy:

F dx x F

y x F dy y x F dy y x F dy y dx x F

bao gồm hai biến độc lập theo hướng của trục x và y

Đối với hàm  gồm 3 biến thì:

dx,y,zxdx,ydy,zdz   x,ydy,zdz 

x,ydy,zdz   x,y,zdz x,y,zdz   x,y,z  (1.21)

dz z

dy y

x,y,z, hàm  có giá trị như nhau tại mỗi điểm trong không gian và không phụ thuộc vào

sự quay của hệ trục tọa độ, hay:

3 ' 2 ' 1 '

,,,

x x x

x x x x

x x



' '

3 2 1 '

' 3 ' 2 ' 1 '

, , ,





Vector này gọi là gradient của  được biểu diễn như sau:

z

j y

i x z y x

z

j y

i x

r V i x

r V r V

r dV x

r r

V x

r V

2 2 2 2

r

x z

y x

x x

z y x x

r dV x

r r

V x

r dV y

r r

V y

r dV z

r r

V z

r V

dV r

r dr

dV r k z j y i x k r

z dr

dV j r

y dr

dV i r

x dr

dV r







Nhân vô hướng  và d r:

dz z

dy y

dx x r d

(hình 1.2) Khi P tiến đến Q thì hàm  được cho bởi:

có giá trị nhỏ nhất khi nó song song với cos 1,hay với một d r

cho trước, sự biến thiên của hàm vô hướng  là lớn nhất khi chọn d r

song song với  Điều này cho thấy rằng  là một vector có chiều theo chiều biến thiên nhanh nhất

(theo không gian) của 

V x

x 



 v dx dydz x

v dydz v

x x x

dx x x

+ Lưu lượng thực của chất lỏng chảy ra ngoài (tính theo trục y) là:  v dxdydz.

+ Lưu lượng thực của chất lỏng chảy ra ngoài (tính theo trục z) là:  v dxdydz.

Từ (1.31), (1.32) và (1.33) ta có lưu lượng tổng cộng đi ra khỏi yếu tổ thể tích là (tính trong

1 đơn vị thời gian):

x

v x

 là thông lượng của vector V

đi ra khỏi thể tích 1m3 trong 1 giây

1.2.3 Toán tử Curl  : tác dụng toán tử  lên một vector ta sẽ thu được một vector

V x

x

i V

(1.35) gọi là curl của vector V

- Ý nghĩa vật lý của curl:

Xét lưu số của vector V

dọc theo đường cong kín (1,2,3,4) trong mặt phẳngxy (hình 1.5) là:            

4 3

0

dxdy x

V x V

dy y x V dx dy y

V y

x V dy dx x

V y

x V dx y x

V

y y

y x

x y

y x



 là lưu số của vector V

dọc theo đường cong kín giới hạn diện tích 2

1m

1.3 CÁC TOÁN TỬ VI PHÂN VECTOR TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG

1.3.1 Toán tử Gradient

Điểm khởi đầu của việc phát triển toán tử gradient, divergence, curl trong hệ tọa độ cong

là giải thích ý nghĩa hình học của gradient Gradient của một trường vô hướng là một vector

mà theo hướng của nó hàm sẽ tăng với vận tốc lớn nhất Từ đó ta có thể tìm được thành phần của  theo hướng vuông góc với mặt phẳng q1const là:

1 1 1 1 1

1ˆ

q h s

x0 , 0

dy y

   

1

3 2 , 1 3

2 , 1 1 0

,,

lim

q q q q

q q q

3 2 , 1 3

2 , 1 1 0

1

,,

lim

q q

q q q q

q q q

1ˆ

q h s

1ˆ

q h s

1ˆ

q h s

q h

q q h

q q h

q s

q s

q s q q q q

1ˆ1

ˆ1

ˆˆ

ˆˆ

),,(

3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1



(1.38)

1.3.2 Toán tử Divergence

Toán tử divergence của trường vector V

trong hệ tọa độ cong là (dựa vào ý nghĩa của V

q q V

2

1, , lim (1.39)

Tử số của (1.39) là thông lượng của V

ra khỏi mặt kín , mẫu số là thể tích kín giới hạn bởi



Xét yếu tố thể tích cong như hình 1.6:

Hình 1.6: Yếu tố thể tích trong hệ tọa độ cong

Ta có thể tích của yếu tố này là:

d V hinhhoph1h2h3dq1dq2dq3

(1.40) Bây giờ ta đi tính thông lượng của vector V

qua các mặt của yếu tố này

Thông lượng của trường vector qua mặt q1 là: V1h2h3dq2dq3 (dấu âm vì V

đi vào trong thể

90,n 

V 

)

Thông lượng của trường vector qua mặt (q1 q1) là:  1 2 3 1 2 3

1 3 2

q h h

q dq dq h h V dq dq dq h h V q h h V

1 h dq

ds 

2 2

2 h dq

ds 

3 3

3 h dq

ds 

       3 1 2 1 2 3

3 1 3 2 2 3 2 1 1 3

2

q h h V q h h V q d

q q q V

1 ,

q h h V q h h V q h h h q q q

2 1 3 2

2

1 3 2 1

1

3 2 1 3 2 1 3 2 1

1,

,

q h

h h q q

h

h h q q

h

h h q h h h q q

tổng quát Để cho đơn giản, ta đi xét từng thành phần của toán tử này Trước tiên ta chọn mặt q1 const và yếu tố diện tích trên mặt này như hình 1.7:

Hình 1.7: Yếu tố diện tích nằm trên mặt cong q1const

Diện tích của yếu tố vi phân mặt được giới hạn bởi (1,2,3,4) là:

2 h dq

q Vh h dq dq Vd r

3 2 3 2 1

2

q h V dq dq h V q h V dq h V r d q q q

dq dq V h q V h

1

V h q V h q h h

V



(1.46) Tương tự cho mặt q2 const,q3 const là:

1

V h q V h q h h

1

V h q V h q h h

3 2 1

ˆ1

V h q

h q

h h h

2 2

ˆ

V h q

h q





3 3 3

3 3 ˆ

V h q

h q





(1.49)

Chú ý rằng phép toán trên là không đồng nhất với tích hữu hướng của hai vector,  không

phải là vector thông thường mà là toán tử vector Giải tích hình học về gradient và sử dụng

định lý Gauss, định lý Stoke (hay định nghĩa về divergence và curl) đã giúp chúng ta thu

được những con số mà không cần phải lấy vi phân vector đơn vị qˆ i Có nhiều cách để xác

định grad, div và curl dựa trên việc lấy vi phân theo hướng của qˆ i

CHƯƠNG 2: CÁC TOÁN TỬ GRADIENT, DIVERGENCE VÀ

CURL TRONG CÁC HỆ TỌA ĐỘ ĐẶC BIỆT

2.1 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ

2.1.1 Giới thiệu hệ tọa độ trụ

Trong hệ tọa độ trụ thì 3 tọa độ cong q1,q2,q3 là   ,  , z  Chúng ta sử dụng cho khoảng

cách vuông góc tính từ trục z(thay cho khoảng cách rtính từ gốc tọa độ), giới hạn của

Các mặt của hệ tọa độ này:

 Các mặt trụconstcó trụczlàm trục chung: x2 y22 const

y i

y x

x j

cos

2 2 2 2

x i

y x

y j

sin

2 2 2

Hình 2.1: Hệ tọa độ trụ

Vector đơn vị  ˆ là pháp tuyến của mặt trụ, hướng theo chiều tăng của bán kính

Vector đơn vị  ˆ là tiếp tuyến của mặt trụ, vuông góc với nửa mặt phẳng constvà hướng theo chiều tăng của góc phương vị 

Vector đơn vị zˆ cũng giống như trong hệ tọa độ Descartes

Vector định vị trong hệ tọa độ trụ:

rx iˆ y jˆ z kˆ   cos cos   ˆ  sin   ˆ  sin sin   ˆ  cos   ˆ zˆ

cos2ˆcossinˆsin2ˆcossinˆzˆ z

y x

y x

V V

V V

V

V V

sincos

Công thức liên hệ của vector V

trong hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ trụ dưới dạng ma trận là:

ˆ



x

y z

ˆ

0cos

V V V

1 0 0

cos





z y x

V V

V

0cos

V





1 0 0

Các hệ sốh itrong hệ tọa độ trụ là:

11

sin

2 2

x h

2 2

cossin

11

2 2

y z

x h

Khi đó, vi phân vector định vị là:

z

ds z ds ds r

dˆ ˆ  ˆ ˆds ˆdszˆds z

Yếu tố thể tích trong hệ tọa độ trụ:

dz d d

dV   

y z

 ˆ

 ˆ

zˆ



Ví dụ 2.1: Chứng minh rằng gia tốc của một hạt đƣợc biểu diễn trong hệ tọa độ trụ tại thời điểm bất kỳ nhƣ sau:

v ˆ ˆˆVới:

d dt d

Nên:

z

r ˆˆ ˆVector gia tốc:

z r

v

a  ˆˆˆˆˆ ˆVới

d dt d

1ˆ1

ˆ1

ˆˆ

ˆˆ

),,(

q h

q q h

q q h

q s

q s

q s q q q q

Trong hệ tọa độ trụ thì q1,q2,q3 là   ,  , z , h 1,h ,h z 1, thay vào công thức tổng quát ta thu đƣợc gradient trong hệ tọa độ trụ:

z z z

1 ,

q h h V q h h V q h h h q q q

h h h

h h

V z V

2 1 3 2

2

1 3 2 1

1

3 2 1 3 2 1 3 2 1

1,

,

q h

h h q q

h

h h q q

h

h h q h h h q q

h h z h

h h h

h h h

h h

z z



2 2 2 2 2

11

11

z

z z

1 1

3 2 1

ˆ1

V h q

h q

h h h

2 2

ˆ

V h q

h q





3 3 3

3 3 ˆ

V h q

h q





h h h

h z

z V z

z





ˆ

Ví dụ 2.2: Xác minh lại định lý Gauss trên một hình trụ có mặt bên song song với trục z có

bán kính là 2 và chiều cao là 5 với:

2

sin 2 ˆ

1 1

dz d da

F da

n F

S S

2

300 2 2 75 3

z F da n

S S





z V z

A z

2 2

1cos

B A

Như vậy trong trường hợp đặc biệt này vzˆv  số hạng phi tuyến không tồn tại

2.1.3.2 Định luật diện tích cho chuyển động của các hành tinh

Trước tiên ta chứng minh định luật Kepler, đó là “vector bán kính quét được những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau bất kỳ” từ sự bảo toàn moment động lượng

Thật vậy, chúng ta coi Mặt Trời như là tâm của nguồn hấp dẫn F  f r ˆr, moment động lượng quỹ đạoL r m v

r d m dt

r d dt

r d v

Và :

m v

m r

L dt d

A

2 2

2

1 2

Với  là chu kỳ quay của hành tinh đó quanh mặt trời,Lconst

Bây giờ ta chứng minh định luật I Kepler nói rằng quỹ đạo của các hành tinh này là một hình ellipse, chúng ta sẽ rút ra phương trình quỹ đạo của hành tinh là   và phương trình này

có dạng ellipse trong hệ tọa độ cực (là trường hợp riêng của hệ tọa độ trụ khi z0)

Hình 2.3: Ellipse trong hệ tọa cực

Ta coi Mặt Trời là một trong hai tiêu điểm của ellipse và nằm tại gốc tọa độ của hệ tọa độ

trụ Theo đặc điểm hình học của ellipse thì ta có ' a với alà bán trục lớn; khoảng cách

giữa hai tiêu điểm luôn thỏa mãn 02a 2a hay 01,  là tâm sai hay độ lệch tâm của

ellipse, nếu 0 thì ellipse trở thành hình tròn Áp dụng định lý Pythagora trong tam giác

vuông tại nơi mà 'a ta được:

a

b a

a a

1 cos

1

cos 4 4 4

Ngoài ra, ta sẽ tìm phương trình quỹ đạo trong hệ tọa độ Descartes bằng cách thayx  cos  :

1 1

x x

Chúng ta thu được:

x a

2.2.3.3 Phương trình Laplace trong hệ tọa độ trụ

Ta có toán tử Laplace trong hệ tọa độ trụ là:

01

1

2 2 2 2 2

01

1

2 2 2 2 2 2

,,zR      P Z z (2.3) Thay (2.3) vào phương trình (2.2):

0

2 2 2

2 2 2

P d RZ d

R d PZ d

dR PZ

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2

2

11

11

01

11

1

dz

Z d Z d

P d P d

R d R d

dR R

dz

Z d Z d

P d P d

R d R d

dR R

Z (2.6)

2 2 2 2 2

2

11

R d R d

dR

R (2.7)

Ở phương trình (2.7) ta nhân cho2:

2 2 2 2 2

2 2

R d R d

dR R

2

2 2

2 2

2 2

R d R d

dR

P (2.9)

2 2 2 2

2 2

2



 Z dz

Z

d  (2.11) Dạng nghiệm của phương trình (2.11) là:

Be Ae z

Phương trình trên là phương trình Bessel và có nghiệm là hàm BesselJ n  

Cuối cùng ta được hàm  trong hệ tọa độ trụ là:

0

2.2 HỆ TỌA ĐỘ CẦU

2.2.1 Giới thiệu hệ tọa độ cầu

Trong hệ tọa độ cầu các tọa độ q1 ,q2 ,q3 là r,  ,  với:

 Mặt cầu nhận gốc tọa độ làm tâm:

Mối quan hệ giữa các tọa độ trên với các tọa độ trọng hệ tọa độ Descartes là:

xrsincos yrsinsin z  r cos 

Hình 2.4: Yếu tố diện tích trong hệ tọa độ cầu

Mối liên hệ giữa các vector đơn vị:

rˆsincosiˆsinsinˆjcoskˆ

ˆcoscosiˆcossinˆjsinkˆ

ˆ siniˆcosˆj

Tương tự ta cũng có:

iˆsincosrˆcoscosˆsinˆ

ˆjsinsinrˆcossinˆcosˆ

kˆ cosrˆsin  ˆ

Vector định vị trong hệ tọa độ cầu:

k z j

cos

ˆcosˆsincosˆsinsinsinsinˆ

sinˆcoscosˆcossincos

r r

r r

r

r r

r r

r r

cos

ˆcosˆsincosˆsinsinsinsinˆ

sinˆcoscosˆcossincos

V

 sincos sinsin cos ˆ coscos cossin sinˆ

z y

x z

sin sin

cos cos

cos

cos sin

sin cos

sin

y x

z y

x

z y

x r

V V

V

V V

V

V

V V

V

V

Ta có công thức liên hệ của vector V

trong hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ cầu dưới dạng

cos sin

V V

sin cos

sin sin

V V V

0 sin

cos





Và ngược lại:

sin sin

cos sin

z y x

V V

sincos

sincos

V r

0 cos sin

Các hệ sốh itrong hệ tọa độ cầu:

1 1

cos sin

sin cos

2 2

y r

x

r h r r

r r

z y

2 2

sin sin

cos cos

2 2

r h r

r r

z y

r r

Vì vậy:

2 2 2 2 2 2 2

sin  

 r d d

r dr r d r d

ˆ1

ˆˆ

ˆˆ

),,(

q h

q q h

q q h

q s

q s

q s q q q q

Trong hệ tọa độ cầu thì q1,q2,q3 là  r ,  ,  , h 1,h r,h z rsin, thay vào công thức

tổng quát ta thu đƣợc gradient trong hệ tọa độ cầu:

ˆ , ,

r r

r r

- Toán tử divergence trong hệ tọa độ cong tổng quát:

1 ,

q h h V q h h V q h h h q q q

V r

r r

rV V

r V

r r r

r

r

sin sin

sin sin 1

sin sin

sin 1

2 2

2 2

- Toán tử Laplace trong hệ tọa độ cong tổng quát là: