Đề tài toán nâng cao, số học trung học cơ sở bùi thị thuỳ trang

Toỏn nõng cao s hc THCS Lời nói đầu Trong môn Toán trờng phổ thông phần số học đợc xem phần khó, nhiều học sinh chí giỏi lo ngại tránh né học sinh cha hình thành đợc phơng pháp giải để học sinh ứng dụng vào việc giải toán số học Qua nội dung Bài tập lớn em xin trình bày, số chuyên đề số học ứng dụng việc chứng minh giải toán cã liªn quan Nh»m gióp häc sinh bít lóng tóng gặp toán số học, đặc biệt giúp cho em khá, giỏi nắm vững kiến thức có phơng pháp học tốt để có thĨ tham gia tèt k× thi häc sinh giái cấp THCS Đề tài gồm chuyên đề sau: Chuyên ®Ị 1: TÝnh chia hÕt Chuyªn ®Ị 2: Sè nguyªn tố Chuyên đề 3: Số phơng Chuyên đề 4: Bội ớc số Mỗi chuyên đề có trình bày lý thuyết, phơng pháp giải, Với mổi phơng pháp có phơng pháp cụ thể sau ví dụ minh hoạ, tập tự giải có hớng dẫn nhằm gúp học sinh rèn luyện đợc kỷ kiến thức phần số học/ SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Toán nâng cao – số học THCS Néi dung ®Ị tµi CHUN ĐỀ 1: TÍNH CHIA HẾT A Lý thuyết I Phép chia hết phép chia có dư Cho hai số tự nhiên a, b, b ≠ Nếu có số tự nhiên qsao cho a = bq ta nói a chia hết cho b, kí hiệu a M b, b chia hết cho a, kí hiệu b | a Số q (nếu có) xác định gọi thương a b, kí hiệu q = a : b q = a Quy tắc tìm thương hai số gọi phép chia b Tuy nhiên với hai số tự nhiên a, b khơng phải ln ln có a chia hết cho b b chia hết cho a, mà ta có định lí sau: Với cặp số tự nhiên a, b, b ≠ 0, tồn cặp số tự nhiên q, r cho: A = bq + r, ≤ r < b Số q r định lí phép chia có dư nói gọi thương dư phép chia số a cho số b II Phép đồng dư Cho m số nguyên dương Nếu hai số nguyên a b cho số dư chia cho m ta nói a, b đồng dư với theo mođun m kí hiệu: a ≡ b (mod m) Giả sử số dư r ta có: a = mq + r (1) b = mq’ + r (2) lúc a – b = m(q – q’) a – b chia hết cho m : a ≡ b(mod m) ⇔ a – b M m III Dấu hiệu chia hết Một số tự nhiên sẽ: - Chia hếtcho số chẵn, tận 0, 2, 4, 6, - Chia hết cho tận SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 - Toán nâng cao – số học THCS Chia hết cho số tạo hai chử số cuối chia hết cho - Chia hết cho số tạo chử số tận chia hết cho - Chia hết cho 25 số tạo hai chử số cuối chia hết cho 25 - Chia hết cho125 số tạo chử số cuối chia hết cho 125 - Chia hết cho tổng chử số số chia hết cho - Chia hết cho tổng chử số chia hết cho Chú ý: Số dư phép chia số N cho dư phép chia tổng chử số N cho B Các dạng tốn Dạng Xét trường hợp xảy số dư Muốn chứng minh biểu thức n A(n) chia hết cho q ta xét trường hợp số dư chia n cho q Bài Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Giải Giả sử A = n(n + 1), có trường hợp -Nếu n chẵn, n A chia hết cho - Nếu n lẻ n +1 chẵn (n +1) chia hết A chia hết cho Bài 2 Chứng minh A ( n ) = n ( n + 1) ( n + ) M5 Giải Xét trường hợp số dư chia n cho 5, ta có: - Nếu số dư n = 5k A(n) M - Nếu số dư ± ta có n = 5k ± n2 + = (5k ± 1)2 + 4= 25k2 ± 10k + M - Nếu số dư ± ta có n = 5k ± n2 + = ( 5k ± 2)2 + = 25k2 ± 20k + + M SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Toán nâng cao – số học THCS Vậy chia n cho dù số dư 0, ± 1, hay ± biểu thức A(n) chia hết cho Dạng 2: Tách thành tổng nhiều hạng tử Đây phương pháp thông dụng Muốn chứng minh A(n) chia hết cho q , ta tách A(n) thành tổng nhiều hạng tử cho hạng tử chia hết cho q Bài Chứng minh n5 + 10n4 – 5n3 – 10n2 + 4n chia hết cho 120 Giải Ta tách biểu thức cho sau: A = n5 – 5n3 + 4n + 10n4 – 10n2 = n(n4 – 5n2 + 4) + 10n2(n2 – 1) Hạng tử thứ : n(n4 – 5n2 + 4) = n(n2 – 1)(n2 – 4) = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) Đây tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.3.4.5 = 120 Hạng tử thứ hai là: 10n2(n + 1)(n – 1) Có số nguyên liên tiếp nên chia hết cho hạng tử chia hết cho n chẳn Cịn n lẽ (n + 1) n – chẳn nên tích (n + 1)(n – 1) chia hết cho Vậy hạng tử thứ hai chia hết cho 3.5.10 = 120 A tổn hai hạng tử chia hết cho 120 nên A chia hết cho 120 Bài Chứng minh với m thuộc Z ta có m3 – 13m chia hết cho Giải A = m3 – 13m = m3 – m – 12m = m(m2 – 1) – 12m = (m – 1)m(m + 1) – 12m SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Toán nâng cao – số học THCS Do m – 1, m, m + số nguyên liên tiếp nên tích (m – 1)m(m + 1) vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3, tức (m – 1)m(m + 1) chia hết cho Từ suy A chia hết cho Bài Chứng minh với m, n thuộc Z ta có mn(m2 – n2) chia hết cho Giải Ta có mn(m2 – n2) = mn[(m2 – 1) – (n2 – 1)] = mn(m2 – 1) – mn(n2 – 1) Mà m(m2 – 1) = (m – 1)m(m + 1) chia hết cho n(n2 – 1) = (n – 1)n(n + 1) chia hết cho Và Vậy mn(m2 – n2) chia hết cho Dạng Phân tích thành nhân tử Ta phân tích số bị chia thành nhân tử cho hạng tử có chứa số chia Muốn chứng minh A(n) chia hết cho q ta chứng minh : A(n) = q.B(n) Thông thường ta dùng đẳng thức có dạng an – bn an + bn Bài Chứng minh biểu thức : A = 75 ( 41975 + 41974 + + 42 + ) + 25 Chia hết cho 41976 Giải Ta viết A dạng A = 75 ( 41975 + 41974 + + + ) + 25 = 25.3 ( 41975 + 41974 + + + ) + 25 = 25 ( − 1) ( 41975 + 41974 + + 42 + + 1) + 25 = 25 ( 41976 − 1) + 25 = 25.41976 SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Toán nâng cao – số học THCS Vậy A chia hết cho 1976 Bài Chứng minh n5 – n chia hết cho ∀n ∈ Z Giải A = n5 – n = n(n4 – 1) Ta có = n(n2 – 1)(n2 + 1) = (n – 1)n(n + 1)(n2 + 1) Nếu n = 5k n chia hết cho A chia hết cho Nếu n = 5k + (n – 1) chia hết cho Nếu n = 5k + n2 + chia hết cho Nếu n = 5k + n2 + chia hết cho Nếu n = 5k + (n + 1) chia hết cho Vậy n2 – n chia hết cho , ∀n ∈ Z Dạng Sử dụng định lí Fermat định lí Euler Fermat nhà toán học Pháp (1601 – 1655) tiếng với định lí số nguyên tố Định lí Fermat sau hay dùng để giải toánvề chia hết: Nếu p số nguyên tố np – n chia hết cho p với số nguyên n n p ≡ n (mod p), p số nguyên tố Đặc biệt n, p nguyên tố n p −1 ≡ (mod p) Bài Chứng minh : 11991 + 2991 + + 19911991 chia hết cho 11 Giải Theo định lí Fermat a11 ≡ a (mod 11), a1991 ≡ a (mod 11) Vậy 11991 + 2991 + + 19911991 = + + + 1991 = 1991.966 ≡ 0(mod 11) Tức chia hết cho 11 SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Toán nâng cao – số học THCS Bài Chứng minh a + b + c chia hết cho 30 a5 + b5 + c5 chia hết cho 30 Giải Ta có : 30 = 2.3.5 a ≡ a (mod 2) ⇒ a ≡ a ≡ a (mod 2) ⇒ a ≡ a ≡ a (mod 2) a ≡ a (mod 3) ⇒ a ≡ a ≡ a(mod 3) a ≡ a (mod 5) Theo tính chất phép đồng dư ta có: a + b5 + c ≡ a + b + c (mod 2.3.5) Tức a + b+ c chia hết cho 30 a5 + b5 + c5 chia hết cho 30 Bài Chứng minh với số nguyên tố p, q , p ≠ q ta có A= p q-1 + q p −1 − chia hết cho p.q Giải Vì p, q số nguyên tố p ≠ q nên (p, q) = Theo định lí Fermat có : p q-1 ≡ 1(mod q) q p-1 ≡ 0(mod q)(do p ≥ ⇒ p-1 ≥ 1) Vậy A= pq-1 + q p −1 − ≡ 0(mod q) Do A chia hết cho p Bài Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p – 2p – chia hết cho 42p Giải Ta có 42p = 6p.7 = 2.3.p.7 Có : SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Toán nâng cao – số học THCS − − = ( − 1) − p M2 p p p p − p − = p − ( p + 1) M3 p Vì p la số lẻ nên + 1M( + 1) = Áp dụng định lí Fermat: 3p ≡ 3(mod p) va 2p ≡ 2(mod p) p p p p Do − − = ( − 3) − ( − ) Mp Một số nguyên tố p chia cho dư i) Nếu p = 6k + 3p − p − = ( 36 ) − ( 26 ) − ≡ − − ≡ 0(mod 7) k k (vi 36 ≡ 1(mod 7), va 26 ≡ 1(mod 7)) Nếu p = 6k + 3p − p − = 35.36 k − 25.26 k − ≡ 35 − 25 − ≡ 0(mod 7) ii) Vậy 3p − p − 1M7 Từ điều 3p − p − 1M2.3.7 p = 42 p (đpcm) Dạng Sử dụng nguyên tắc Dirichlet Ngun lí Dirichlet định lí có chứng minh dể dàng phản chứng sử dụng để chứng minh nhiều định lí tốn học Ngun lí thường phát biểu cách hình học đơn giản sau: Không thể nhốt thỏ vào lồng mà lồn không hai thỏ Nói cách khác: Nếu nhốt thỏ vào lồng sẻ có lồng chứa từ thỏ trở lên Một cách tổng quát phát biểu: Nếu đem n + vật xếp vào ngăn kéo có ngăn kéo chứa từ hai vật trở lên Nguyên lí giúp ta giải dể dàng toán chia hết Bài Chứng minh n + số nguyên có hai số mà hiệu chia hết cho n Giải SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Toán nâng cao – số học THCS Lấy n + số nguyên cho chia cho n n + số dư Nhưng chia số cho n số dư có giá trị 0, 1, 2, …, n – phép chia phải có hai số dư Khi hiệu số hai số sẻ chia hết cho n Bài Chứng minh số tự nhiên, có số k cho 1983 k – chia hết cho 105 Giải Ta cho k lấy 10 + giá trị liên tiếp từ trở lên, ta 10 + giá trị khác 1983k – sau chia giá trị cho 10 , ta có nhiều 105 số dư Vậy theo ngun lí Dirichlet, phải có hai số cho số dư chia cho 105 Giả sử số 1983m – 1983n – 1( với m > n) Như hiệu chúng (1983m – 1) – (`983n – 1) = 1983m – 1983n = 1983n(1983m-n – 1) phải chia hết cho 105 Nhưng 105 có ước số2, cịn khơng phải ước số 1983 n chúng nguyên tố nhau, 1983m-n – phải chia hết cho 105 Như k = m – n số phải tìm Bài Viết số tự nhiên từ đến 100 thành hàng ngang theo thứ tự tuỳ ý, tiếp cộng số số cho với số thứ tự vị trí đứng (tính từ trái sang phải) Chứng minh củng có hai tổng mà chử số tận hai tổng Giải Gọi 10 số tự nhiên từ đến 10 viết theo thứ tự từ trái sang phải a 1, a2,…, a10 Ta lập dãy b1, b2, …, b10 với b1 = a1 + 1, b2 = a2 + 2; ; b10 = a10 + bi tổng với vị trí thứ i mà đứng (i = 1, 2, …, 10) Ta có: b1 + b2 + …+ b10 = a1 + a2 + +a10 + + 2+ +10 = 2(1 + + …+ 10)= 110 Vì 110 số chẵn nên khơng xãy trường hợp có số b i lẻ số bj chẵn, hay nói cách khác số bi chẵn, số bj lẻ phải khác SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Toán nâng cao – số học THCS Do số b i lẻ lớn số b j chẵn lớn Mà từ đến 10 có vị trí lẻ vị trí chẵn nên theo nguyên tắc Dirichlet phải có hai số b i lẻ tận có hai số bj chẵn có chử số tận Bài Chứng minh 19 số tự nhiên liên tiếp ln tồn số có tổng chử số chia hết cho 10 Giải Trước hết ta chứng minh rằng: với 19 số tự nhiên liên tiếp ln tồn 10 số ngun liên tiếp có chử số hàng chục chử số hàng đơn vị liên tiếp từ đến Nếu 19 số tự nhiên liên tiếp có mặt chử số hàng chục khác rỏ ràng có chử số hàng chục(ở hai hàng chục kia) với chử số đơn vị liên tiếp từ đến Nếu 19 số tự nhiên liên tiếp có hai loại chử số hàng chục khác từ 19 = 2.9 + suy có 10 số có chử số hàng chục chử số đơn vị liên tiếp từ đến Tổng chử số số 10 số tự nhiên nói lập thành 10 số tự nhiên liên tiếp, phải có số chia hết cho 10 Vậy 19 số tự nhiên liên tiếp ln tồn số có tổng chử số chia hết cho 10 Dạng 6: Sử dụng phép quy nạp Ta làm sau: - Nhận xét mệnh đề với n = - Giả sử mệnh đề với n = k chứng mính với n = k+ (với k > n0) Lúc mệnh đề với n lớn Bài Chứng minh rằng: A = (n + 1)(n + 2)(n + 3)…(3n) chia hết cho 3n Giải Nếu n = ta có A = 2.3 chia hết cho SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 10 Toán nâng cao – số học THCS Giải Gọi số phải tìm a b ( a ≤ b ) Ta có (a, b) = nên a = 6a’, b = 6b’ (a’, b’ ) = Do a + b = 84 nên 6(a’ + b’) = 84 suy a’ + b’ = 14 Chọn cặp số a’ , b’ nguyên tố có tổng 14 ( a ' ≤ b ') ta được: a' b ' 13 11 a 18 30 b 78 66 54 Bài Tìm số tự nhiên có tích 300 , ƯCLN Giải Gọi số phải tìm a b ( a ≤ b) Ta có (a, b) = nên a = 5a’, b = 5b’ (a’, b’ ) = Do ab = 300 nên 25a’b’ = 300 suy a’b’ = 12 = 3.4 Chọn cặp số a’, b’ ngun tố có tích 12 ( a ' ≤ b ') ta được: a' b ' 12 a 15 b 60 20 Bài a) Tìm số a, b biết a + b = 66, (a, b) = hai số a, b có số chia hết cho b) Tìm a, b biết ab = 75 (a, b) = Giải a) Vì (a, b) = nên a = 6k, b = 6l với (k, l) = Từ a + b = 66 suy 6k + 6l = 66 ⇔ k + l = 11 Vì hai số a, b có số chia hết giả sử k M5 ⇒ k = k = 10, l = 6, l = Vậy a = 30, b = 36 a = 60, b = b) Vì (a, b ) = nên a = 5k , b = 5l với (k, l) = SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 69 Toán nâng cao – số học THCS Từ ab =75 suy 25kl = 75 ⇔ kl = Vậy k = 3, l = k = 1, l = Từ đo hai số cần tìm 15 Bài Tìm hai số tự nhiên a, b thoả : a + b = 128 (a, b) = 16 Giải Khơng tính tổng qt ta giả sử ( a ≤ b) Vì (a, b) = 16 nên a = 16a1 , b = 16b1 với (a1, b1) = Từ a + b = 128 suy 16(a + b1) = 128 ⇔ a1 + b1 = 8, với điều kiện ( a1 ≤ b1 ) (a1, b1) = ta có a1 = 1, b1 = a1 = 3, b1 = Từ ta có a = 16, b = 112 a = 48, b = 80 Bài a) ƯCLN hai số tự nhiên 4, số nhỏ Tìm số lớn b) ƯCLN hai số tự nhiên 16 , số lớn 96 Tìm số nhỏ Giải a) Gọi số lớn a = 4k ( k ∈ N ) Do số nhỏ = 4.2 nên k > (k, 2) = Vậy k = 2n + (n = 1, 2, 3…) Do số lớn có dạng 4(2n + 1) b) Đáp số 16 80 Bài Tìm hai số tự nhiên , biết : a) Hiệu chúng 84, ƯCLN 28, số khoảng từ 300 đến 440 b) Hiệu chúng băng 48, ƯCLN 12 Giải Gọi hai số phải tìm a b, ta có: a – b = 84, a = 28a’, b = 28b’ (a’, b’) = 1, suy a’ – b’ = Do 300 ≤ b < a ≤ 400 nên 11 ≤ b ' < a ' ≤ 15 SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 70 Toán nâng cao – số học THCS Trường hợp a’ = 15, b’ = 12 loại trái với (a’, b’) = Trường hợp a’ = 14, b’ = 11 cho a = 392, b = 308 b) Có vơ số đáp số: a = 12a’, b = 12b’ với a’ = 2n + 5, b’ = 2n + DẠNG 3: PHỐI HỢP GIỮA BCNN VÀ ƯCLN Tích hai số a, b tích ƯCLN với BCNN số ƯCLN(a, b) BCNN(a, b) = a.b Bài Tìm số tự nhiên a, b biết ƯCLN(a, b) = , BCNN(a, b) = 105 Giải Ta có : a.b = 5.105 = 52.7 Mặt khác : 105 = 3.5.7 Suy ra: a = 5, b = 105 a = 15, b = 35 Bài Cho a = 1980 b = 2100 a) Tìm (a, b) [a, b] b) So sánh [a, b].(a, b) với a.b Chứng minh nhận xét hai số tự nhiên a b khác tuỳ ý Giải a) 1980 = 22.32.5.11 2100 = 22.3.52.7 ƯCLN(1980, 2100) = 22.3.5 = 60 BCNN(1980, 2100) = 22.32.52.7.11 = 69300 b) [1980, 2100].(1980, 2100) = 1980.2100 = 4158000 Ta chứng minh [a ,b].(a, b) = a.b Cách 1: Trong cách giải này, thừa số riêng coi thừa số chung, chẳng hạn a chứa thừa số 11, b khơng chứa thừa số 11 ta coi b chứa thừa số 11 với số mũ Với cách viết này, ví dụ ta có: 1980 = 22.32.5.70.11 2100 = 22.3.52.7.110 SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 71 Toán nâng cao – số học THCS (1980, 2100) tích thừa số chung với số mũ nhỏ 22.3.5.70.110 = 60 [1980, 2100] tích thừa số chung với số mũ lớn nhât 22.32.52.7.11 = 69300 Bây ta chứng minh trường hợp tổng quát: [a, b].(a, b) = a.b (1) Khi phân tích thừa số nguyên tố, thừa số nguyên tố có a b Ta chứng tỏ hai vế chứa thừa số nguyên tố với số mũ tương tứng Gọi p thừa số nguyên tố tuỳ ý thừa số nguyên tố Giả sử số mũ p a x, số mũ p b y x y băng Khơng tính tổng quát giả sử x ≥ y Khi vế phải (1) chứa p với số mũ x + y Còn vế trái , [a, b] chứa p với số mũ x, (a, b) chứa p với số mũ y nên vế trái chứa p với số mũ x + y Cách 2: Gọi d = (a, b) a = da’, b = db’ (1), (a’,b’) = Đặt ab = m (2) , ta cần chứng minh [a, b] = m d Để chứng minh điều này, cần chứng tỏ tồn số tự nhiên x, y cho m = ax, m = by (x, y) = b d Thật từ (1) (2) suy m = a = ab ' m = b Vậy a = b.a ' Do ta chọn x = b’, y = a’, (x, y) = (a’, b’) = d ab = [ a, b ] tức [a, b].(a, b) = ab d Bài Tìm số tự nhiên biết ƯCLN chúng 10 BCNN chúng 900 Giải Gọi số phải tìm a, b, giả sử a ≤ b ta có (a, b) = 10 nên a = 10a’, b = 10b’, (a’, b’) = , a ' ≤ b ' Do ab = 100a’b’ (1) Mặt khác ab = [a, b].(a,b) = 900.10 = 9000 SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 (2) 72 Toán nâng cao – số học THCS Từ (1) (2) suy a’b’ = 90 Ta có trường hợp: a' b ' 90 45 18 10 Do a 10 20 50 90 b 900 450 180 100 Bài Tìm hai số tự nhiên a) Có tích 2700, BCNN 900 b) Có tích 9000, BCNN 900 Giải a) Gọi hai số phải tìn a b ƯCLN(a, b) = a.b 2700 = =3 BCNN ( a , b ) 900 a = 3a '  ƯCNN(a, b) = ⇔ b = 3b '  a ', b ' = ) ( Theo đề bài: a.b = 2700 Nên 3a’.ab’ = 2700 Suy a’.b’ = 300 = 22.3.52 Giả sử a ≥ b a ' ≥ b ' Chọn hai số a’, b’ có tích 300, ngun tố nhau, a ' ≥ b ' , ta a ' 300 100 75 25 b' 12 Suy a 900 300 225 75 b 12 36 Đáp số 900 3, 300 9, 225 12, 75 36 b) Đáp số 900 10; 450 20; 180 50; 100 90 Bài Tìm hai số tự nhiên a b, biết rằng: SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 73 a) Toán nâng cao – số học THCS ab = 360, BCNN(a, b) = 60 b) ƯCNN(a, b) = 12, BCNN(a, b) = 72 Giải a) (a, b) = ab : [a, b] = 360 : 60 = Đặt a = 6a’, b = 6b’ (a’ ,b’) = 1, a ' ≤ b ' (giả sử a ≤ b ) Do ab = 360 nên a’b’ = 10 Vậy a’ = 1, b’ = 10 a’ = 2, b’ = Tương ứng ta có: a = 6, b = 60 a = 12, b = 30 b)  a = 12a '  ƯCLN(a, b) = 12 ⇔ b = 12b '  a ', b ' = ) ( Ta có: a.b = ƯCLN(a, b).BCNN(a, b) = 12.72 Nên 12a’.12b’ = 12.72 Suy a’.b’ = Giả sử a ≥ b a ' ≥ b ' Chọn hai số a’, b’ có tích 6, ngun tố nhau, a ' ≥ b ' , ta : a' b' Đáp số : 72 12; a 72 36 b 12 24 36 24 DẠNG TÌM ƯCLN CỦA HAI SỐ BẰNG THUẬT TOÁN Ơ-CLIT Bài Cho số tự nhiên a b (a > b) a) Chứng minh a chia hết cho b (a, b) = b b) Chứng minh a không chia hết cho b ƯCLN hai số ƯCLN số nhỏ số dư phép chia số lớn cho số nhỏ c) Dùng nhận xét để tìm ƯCLN(72, 56) Giải a) Mọi ước chung a, b hiển nhiên ước b Đảo lại, a chia hết cho b nên b ước chung a b Vậy (a, b) = b 74 SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Toán nâng cao – số học THCS b) Gọi r số dư phép chia a cho b (a > b) Ta có a = kb + r ( k ∈ N ) cần chứng minh (a, b) = (a, r) a b chia hết cho d r chia hết cho d, ước chung a b ước chung b r ( 1) Đảo lại b r chia hết cho d a chia hết cho d, ước chung b r củng ước chung a b (2) Từ (1), (2) suy tập hợp ước chung a b tập hợp ước chung b r Do hai số lơn hai tập hợp băng nhau, tức (a, b ) =(b, r) c) 72 chia 56 dư 16 nên (72, 56) = (65, 16); 56 chia 16 dư nên (56, 16) = (16, 8); 16 chia hết nên (16, ) = Vậy (72, 56) = Bài Tìm ƯCLN(A, B), biết A số gồm 1991 chử số 2, B số gồm chử số Giải Ta có 1991 chia cho dư 7, chia cho dư Theo thuật toán Ơ-clit :   ( A, B ) =  22 2, { 22 { ÷ = (22 2, { 22 2) { = (22 2, { 2) =  1991 so so  so SO SO Bài Tìm hai số, biết bội chung nhỏ chung ước chung lớn chúng có tổng 19 Giải Gọi a b hai số phải tìm , d ƯCLN(a, b)  a = da '  ƯCLN(a, b) = d ⇔ b = db '  a ', b ' = ) ( a.b BCNN(a, b) = UCLN(a, b) = SV: Bùi Thị Thuỳ Trang da '.db ' = da ' b ' d Lớp CĐSP Toán – Tin K48 75 Toán nâng cao – số học THCS Theo đề : BCNN(a, b) + ƯCLN(a, b) = 19 Nên da’b’ + d = 19 Suy d(a’b’ + 1) = 19 Do a’b’ + ước 19, a ' b '+ ≥ Giả sử a ≥ b a ' ≥ b ' Ta : D a’b ’ + a’ b’ a’ b’ a b 19 18 = 18 18 9 Đáp số : 18 1; DẠNG HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU Hai số nguyên tố hai số có ƯCLN Nói cách khác, chúng có ước chung Bài Chứng minh a) Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) hai số nguyên tố b) Hai số lẻ liên tiếp hai số nguyên tố c) 2n + 3n + ( n ∈ N ) hai số nguyên tố Giải a) Gọi d ∈ UC (n, n + 1) ⇒ (n + 1) − n Md ⇒ 1Md ⇒ d = Vậy n n + hai số nguyên tố b) Gọi d ∈ UC (2n + 1, 2n + 3) ⇒ (2n + 3) − (2n + 1) Md ⇒ 2Md ⇒ d ∈ { 1, 2} Nhưng d ≠ d ước số lẻ Vậy d = c) Gọi d ∈ UC (2n + 1,3n + 1) ⇒ 3(2n + 1) − 2(3n + 1)Md ⇒ 1Md ⇒ d = Bài SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 76 Toán nâng cao – số học THCS Cho a b hai số nguyên tố Chứng minh củng hai số nguyên tố nhau: a a a + b b a2 a + b c ab a + b Giải a) Gọi d ƯC(a, a + b) ⇒ (a + b) − a Md ⇒ bMd Ta lại có a Md nên d ∈ ƯC(a, b), d = (vì a b hai số nguyên tố ) Vậy (a, a + b) = b) Giả sử a2 a + b chia hết cho số nguyên tố d a chia hết cho d, b chia hết cho d Như a b chia hết cho số nguyên tố d trái với giả thiết (a, b) = Vậy a2 a + b hai số nguyên tố c) Giả sử ab a + b chia hết cho số nguyên tố d Tồn hai thừa số a b, chẳng hạn a, chia hết cho d, b chia hết cho d, trái với (a, b) = Vậy (ab, a + b) = Bài Tìm số tự nhiên n để số 9n + 24 3n + số nguyên tố Giải Giả sử 9n + 24 3n + chia hết cho số nguyên tố d 9n + 24 – 3(3n + 4) Md ⇒ 12Md ⇒ d ∈ { 2,3} Điều kiện để (9n + 24, 3n + 4) = d ≠ d ≠ Hiển nhiên d ≠ 3n + không chia hết cho Muốn d ≠ phải có hai số 9n + 24 3n + không chia hết cho Ta thấy : 9n + 24 số lẻ ⇔ 9n lẻ ⇔ n lẻ 3n + số lẻ ⇔ 3n lẻ ⇔ n lẻ Vậy điều kiện để (9n + 24, 3n + 4) = n số lẻ Bài SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 77 Tốn nâng cao – số học THCS Tìm n ∈ Z để phân số sau tối giản a) 18n + 21n + b) 2n + n+7 Giải a) ta có: nên để 18n + 3 ( 6n + 1) = mà (3, 7) = (3, 3n + 1) = (6n + 1, 3n + 1) = 21n + 7 ( 3n + 1) 18n + phân số tối giản ta phải có (6n + 1, 7) = 21n + Mặt khác, 6n + = 7n – (n – 1), : ( 6n + 1, ) = ⇔ ( n − 1, ) = ⇔ n ≠ 7k + 1( k ∈ Z ) Vậy với n chia cho không dư b) Ta có 18n + phân số tối giản 21n + 2n + 11 = 2− tối giản ⇔ ( n + 7,11) = ⇔ n ≠ 11k − ( k ∈ Z ) n+7 n−7 DẠNG TÌM ƯCLN CỦA CÁC BIỂU THỨC SỐ Bài Tìm ƯCLN 2n – 9n + ( n ∈ N ) Giải Gọi d ∈ ƯC(2n – 1, 9n + 4) ⇒ 2(9n + 4) – 9(2n – 1) M d ⇒ 17Md ⇒ d ∈ { 1,17} Ta có 2n − 1M17 ⇔ 2n − 18M17 ⇔ ( n − ) M17 ⇔ n − 9M17 ⇔ n = 17k + ( k ∈ N ) Nếu n = 17k + 2n − 1M17 9n + =9(17k + 9) + = bội 17 + 85 M 17, (2n + 1, 9n + 4) = 17 Nếu n ≠ 17k + 2n – khơng chia hết cho 17, (2n – 1, 9n + 4) = Bài Tìm ƯCLN n ( n + 1) 2n + ( n∈N ) * Giải SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 78 Toán nâng cao – số học THCS  n ( n + 1) Gọi d ∈ ƯC    , 2n + 1÷ n(n + 1) M d 2n + M d  Suy n(2n +1) M d n2 M d suy n M d Ta lại có 2n + M d, M d, nên d = Vậy ƯCLN n ( n + 1) 2n + Bài Cho ƯCNN(a, b) = 1, tìm ƯCNN(11a + 2b, 18a + 5b) Giải Giả sử d = (11a + 2b, 18a + 5b), d | 18a + 5b d | 11a + 2b , suy d | 11(18a + 5b) – 18(11a + 2b) = 19b ⇒ d | 19 d | b i) Nếu d | b từ d | 5(11a + 2b) – 3(18a + 5b) = a – 5b ⇒ d | a ⇒ d | (a, b) = ⇒ d = ii) Nếu d | 19 d = 1, d = 19 Vậy (11a + 2b, 18a + 5b) băng 19 Bài Cho ƯCLN(m, n) = 1, tìm ƯCLN(m + n, m2 + n2) Giải Giả sử d = (m + n, m + n2) Khi d | m + n d | m + n2 suy d | (m + n)2 – (m2 – n2) = 2mn d | m + n d | 2mn suy d | 2m(m + n) – 2mn = 2m2 d | 2n(m + n) – 2mn = 2n2 Do d | (2m2,2n2) = 2(m2, n2) = ⇒ d = d = - Nếu m, n lẻ d = 2, - Nếu m,n khác tính chẳn lẻ d = C Bài tập Cho a b hai nguyên tố Chứng minh số sau nguyên tố a) b b – a (a > b) SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 79 Toán nâng cao – số học THCS 2 b) a + b ab Chứng minh số c nguyên tố với a với b c ngun tố với tích ab Cho (a, b) = tìm a) (a + b, a – b) b) (7a + 9b, 3a + 3b) Tìm ƯCLN 7n + 81 – Khi hai số nguyên tố nhau? Tìm n khoảng từ 40 đến 90 để chúng khơng ngun tố Tìm số tự nhiên nhỏ có : a) 10 ước b) 21 ước c) ước a) đến Tìm ƯCLN tất số tự nhiên có chín chử số gồm chử từ b) Tìm ƯCLN tất số tự nhiên có chử số, gồm chử số từ đế Tìm ƯCLN a) Hai số chẳn khác liên tiếp b) ab + ba 33 Tìm số tự nhiên nhỏ để phân số tối giản: 31 , , , n + n + 10 n + 33 Tìm dư phép chia [123456789, 987654321] cho 11 10 Dùng thuật toán Euclid để chứng minh: (n4 + 3n2 + 1, n3 + 2n) = 11 Chứng minh | kn – lm | = (ma + nb, ka + lb) = (a, b) Hướng dẫn giải a Gọi d ∈ ƯC(b, a – b) a – b M d, b M d, a M d Ta có (a, b) = nên d = b) Giả sử a2 + b2 ab chia hết cho số ngun tố d vơ lí SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 80 Toán nâng cao – số học THCS Giả sử ab c chia hết cho nguyên tố d vơ lí a) ƯCLN(a + b, a – b) = a b lẻ, avà b có số chẵn, số lẻ b) 29 (7n + 3, 8n – 1) băng 31 Nếu n ≠ 31k + (7n + 3,8n – 1) = Với 40 < n < 90 ta có n = 66 (7n + 3, 8n – 1) = 31 a) Xét dạng a9 a4b Đáp số: Số nhỏ 48 b) Đáp số: 26.32 = 576 c) Đáp số: 23.3 = 24 a) Hiệu hai số 123456789 987654321 9, nên ƯCLN phải tìm 1, 3, Chú ý số có chín chử số gồm chử số từ đến chia hết cho Vậy ƯCLN phải tìm b) ƯCLN phải tìm a) b) ƯCLN( ab + ba , 33) = 33 a + b M 3, 11 trường hợp lại k Các số cho có dạng k + ( n + ) ( k = 7, 8, …, 31) Mà k + ( n + 2) n+2 tối giản ⇔ (n + 2, k) = ⇔ n + nguyên tố k k với 7, 8, …, 31 n + nhỏ ⇔ n + = 37 ⇔ n = 35 = 1+ a = 123456789, b = 987654321 Ta có b – 8a = a, b M nên (a, b) = 9; [ a, b ] = 10 ab a a a = b mà = 11k + 3, b = 11l + ⇒ b = 11m + 9 9 Ta có: n + 3n + = ( n3 + 2n ) n + n + n3 + 2n = ( n + 1) n + n n + = n.n + n = 1.n + SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 81 Toán nâng cao – số học THCS Vậy : (n + 3n + 1, n + 2n) = 11 d | a, d | b d | ma + nb, d | ka + lb; d | ma + nb, d | ka + lb d | k(ma + nb) – m(ka + lb) = ± b ⇒ d | b Tương tự d | a môc lôc Lời mở đầu…………………………… ……………………………1 Nội dung đề tài…………………………………………………………… Chuyên đề 1: Tính chia hết SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 82 Toán nâng cao – số học THCS A Lý thuyết………………………………………………………… ………2 I Tính chia hết phép chia có dư…………………………… ……….2 II Phép đồng dư…………………………………… …………….…… III Dấu hiệu chia hết…………………………………………… ….… B Các dạng toán…………………………………………………………… Dạng 1: Xét trường hợp xảy số dư……… ……… ………….3 Dạng 2: Tách thành tổng nhiều hạng tử………………………… ………4 Dạng 3: Phân tích thành nhân tử……………………………… ……… Dạng 4: Sử dụng định lý Fermat định lý Euler……………… ……….6 Dạng 5: Sử dụng nguyên tắc Dirichlet…………… …………………… Dạng 6: Sử dụng phép quy nặp…………………….……………… ….10 C Bài tập…………………………………………………… …………… 12 Hướng dẫn giải………………………… …………………………….13 Chuyên đề 2: Số nguyên tố 15 A Lý thuyết……………………………………………………… ……… 15 I Số nguyên tố hợp số………………………………………… …….15 II Các định lý bản……………………………………… …………16 B Các dạng toán……………………………………………………………18 Dạng 1: Ước số………………………………………………….18 Dạng 2: Số nguyên tố tính chia hết…………………………………25 Dạng 3: Sử sụng phương pháp phân tích………… …………………32 C Bài tập……………………………………………………… ……….…38 Hướng dẫn giải…………………………………… .39 Chuyên đề 3: Số phương 41 A Lý thuyết……………………………………………………………… 41 I Định nghĩa………………………………………………………… 41 II Tính chất………………… ……………………………………… 41 B Các dạng toán…………………………………………………… …… 42 SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 83 ... 16 SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 41 Toán nâng cao – số học THCS Vì chử số hàng chục số 100b2 80b số chẵn nên chử số hàng chục N số lẽ 4, Khi phân tích thừa số nguyên tố , số phương... Ta SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 29 Toán nâng cao – số học THCS 6930 1386 693 231 Bài 9: Tìm số tự nhiên có chử số, số hàng nghìn chử số hàng đơn vị, chử số hàng trăm chử số hàng... 110 số chẵn nên khơng xãy trường hợp có số b i lẻ số bj chẵn, hay nói cách khác số bi chẵn, số bj lẻ phải khác SV: Bùi Thị Thuỳ Trang Lớp CĐSP Toán – Tin K48 Toán nâng cao – số học THCS Do số