Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Bài 8 :SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONG
Bài toán 1 :
Hai đường cong C : y = f x và C ' : y = g x tiếp xúc nhau khi và chỉ khi
( )
( )
( )
f x = g x
hệ phương trình sau:
f ' x = g ' x
( ) ( )
( ) ( )
( )
có nghiệm.
()
(
)
Ví dụ 1 : Tìm tham số thực m để đường thẳng d : y = m x − 3 tiếp xúc
1
với đồ thị C : y = − x 3 + 3x .
3
( )
Giải :
1 3
− x + 3x = m x − 3
d tiếp xúc với C khi hệ sau : 3
* có nghiệm.
−x 2 + 3 = m
x = 3
x = 3 ⇒ m = −6
2x 3 − 9x 2 + 27 = 0
2
⇔ 2x − 3x − 9 = 0 ⇔
* ⇔
2
x = − 3 ⇒ m = 3
m = −x + 3
m = −x 2 + 3
2
4
Ví dụ 2 : Tìm trên trục hoành những điểm mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị của
x2
hàm số : y =
hai tiếp tuyến tạo với nhau 1 góc 450 .
x −1
()
(
( )
)()
()
Giải :
Gọi M ∈ Ox ⇒ M x 0 ; 0 , đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k , phương
(
()
)
(
)
trình có dạng : d : y = k x − x 0 .
x2
= k x − x0
x 2− 1
d là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ sau có nghiệm : x − 2x
=k
2
x −1
(
()
(
-194-
)
)
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
x2
x 2 − 2x
=
x − x 0 ⇔ x x 0 + 1 x − 2x 0 = 0
2
x −1
x −1
(
)
(
)
(
)
x = 0
⇔
2x 0
x =
, x 0 ≠ −1
x0 + 1
x 2 − 2x
• x =0⇒k =
= 0.
2
x −1
(
• x =
2x 0
x0 + 1
)
⇒k =
−4x 0
(x
0
+1
)
2
• Tiếp tuyến qua M tạo với đồ thị của hàm số : y =
x2
hai tiếp tuyến tạo
x −1
với nhau 1 góc 450 khi và chỉ khi
k − k2
4x 0
tan 450 = 1
⇒
= 1 ⇒ x0 = 3 ± 2 2 .
2
1 + k1k2
x0 + 1
(
(
)(
)
Vậy M 3 − 2 2; 0 , 3 + 2 2; 0
)
Ví dụ 3 :Tìm tất cả các điểm trên trục hoành những điểm M mà qua đó vẽ
được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C ) : y = x 3 + 3x 2 mà trong đó có 2 tiếp
tuyến vuông góc với nhau .
Giải :
Gọi M a; 0 ∈ Ox , đường thẳng (t ) đi qua M và có hệ số góc
( )
k ⇒ (t ) : y = k ( x − a ) .
x 3 + 3x 2 = k (x − a )
(1)
(t ) tiếp xúc với (C ) khi hệ sau có nghiệm : 2
(2)
3x + 6x = k
Từ (1) , (2) suy ra : x 3 + 3x 2 = 3x 2 + 6x (x − a ) ⇔ 2x 3 + 3(a − 1)x 2 − 6ax = 0
x = 0
⇔ x 2x 2 − 3(a − 1)x − 6a = 0 ⇔ 2
2x − 3(a − 1)x − 6a = 0 (3)
-195-
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
• x = 0 ⇒ k = 0 ⇒ 1 tiếp tuyến.
Qua M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đến đồ thị (C ) mà trong đó có 2 tiếp tuyến
vuông góc với nhau .
Khi đó (3) có 2 nghiệm phân biệt x 1, x 2 ≠ 0 và k1k2 = −1
a ≠ 0
⇔ ∆ > 0
⇔
2
2
3x 1 + 6x 1 3x 2 + 6x 2 = −1
a ≠ 0
2
9 a − 1 + 48a > 0
2
9 x 1x 2 + 18x 1x 2 x 1 + x 2 + 36x 1x 2 = −1
(
(
)
)
(
)
1
vaø a ≠ 0
a < −3 ∨ a > −
3
⇔ 81a 2 − 81a a − 1 − 108a + 1 = 0
3(a -1)
vì x 1x 2 = - 3a ; x 1 + x 2 =
2
1
vaø a ≠ 0
1
a < −3 ∨ a > −
⇔
⇔a =
3
27
−27a + 1 = 0
1
Vậy M , 0 ∈ Ox thỏa bài toán .
27
(
)
Bài toán 2 :
( )
( )
(
( ) ) có
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y = f x tại điểm M x 0 ; f x 0
( )(
)
( )
dạng : y = f ' x 0 x − x 0 + f x 0 .
x −4
với tiếp tuyến (t ) ,
x −1
biết rằng tiếp tuyến (t ) tạo với đường thẳng (d ) : y = −2x + 2010 1 góc 450 .
Ví dụ 1 :Tìm tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) : y =
Giải :
{}
• D = »\ 1
-196-
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
3
• Ta có : y ' =
•
2
,x ≠ 1
( )
Gọi M ( x ; f ( x ) ) là tọa độ tiếp điểm cần tìm
x −1
k =
0
3
(x
0
−1
2
)
0
thì hệ số góc tiếp tuyến (t ) là
,x0 ≠ 1 .
1
k +2
k =−
• Vì (t ) và (d ) tạo nhau 1 góc 45 khi t a n 45 =
⇔
3
1 − 2k
k
=
3
1
3
1
* k =− ⇔
= − điều này không xảy ra .
2
3
3
x −1
0
(
* k =3⇔
)
0
3
(x
0
−1
0
2
)
x = 0 ⇒ y = 4 ⇒ M 0; 4
0
= 3 ⇔ x 02 − 2x 0 = 0 ⇔ 0
x 0 = 2 ⇒ y 0 = −2 ⇒ M 2; −2
( )
( )
2x + 3
, có đồ thị (C ) . Tìm tất cả các tham số
x −2
m để đường thẳng (t ) : y = 2x + m cắt (C ) tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp
tuyến tại đó song song với nhau.
Giải :
Đường thẳng (t ) : y = 2x + m cắt (C ) tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến tại
Ví dụ 2 : Cho hàm số y =
đó song song với nhau khi và chỉ khi phương trình
( )
nghiệm phân biệt x 1, x 2 thỏa mãn điều kiện y ' x 1
( )
(
2x + 3
= 2x + m có hai
x −2
= y ' x 2 . Khi đó phương
( )
)
trình g x = 2x 2 + m − 6 x − 2m − 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1, x 2 khác 2
và thỏa mãn điều kiện −
7
(
x1 − 2
2
)
7
=−
(
x2 − 2
-197-
2
)
⇔ x1 + x 2 = 4
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
2
∆ = m − 6 + 8 2m + 3 > 0
⇔ g 2 = 2.22 + m − 6 .2 − 2m − 3 ≠ 0 ⇔ m = 2 .
m −6
−
=4
2
2x
Ví dụ 3: Cho hàm số y =
có đồ thị là (C ) . Tìm trên đồ thị (C ) những
x +1
điểm M , sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm
(
()
)
(
(
)
)
1
.
4
phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác AOB có diện tích bằng
Giải :
(
) ( )
Gọi M x 0 ; y 0 ∈ C ⇒ y 0 =
2x 0
x0 + 1
2
⇒ y '0 =
(x
0
+1
Phương trình tiếp tuyến (t ) của (C ) tại M là : y 0 =
2
)
2
(x
0
+1
2
)
2x 02
x+
(x
+1
0
(
2
)
.
)
Tiếp tuyến (t ) cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm phân biệt A −x 02 ; 0 ,
2x 02
B 0;
x0 + 1
(
sao cho diện tích tam giác AOB có diện tích bằng 1 khi đó
2
4
)
2
2x 0
1
1
1
.OAOB
.
= ⇔ OAOB
.
= ⇔ x 02 .
2
4
2
x0 + 1
(
2
)
=
1
⇔ 4x 02 − x 0 + 1
2
(
2
)
=0
1
1
2x 02 + x 0 + 1 = 0
x 0 = − ⇒ M − ; −2
2
⇔
2
2
.
2x 0 − x 0 − 1 = 0
x 0 = 1 ⇒ M 1;1
1
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán M − ; −2 , M 1;1 .
2
( )
( )
()
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng nếu các tiếp tuyến (d ), t của đồ thị (C ) :
y = x 3 − 6x 2 + 9x song song với nhau thì hai tiếp điểm A, B đối xứng nhau
-198-
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
qua M (2;2) .
Giải :
(
) (
( )
)
tiếp điểm của (d ), (t ) và đồ thị (C ) . (d ) và (t ) song song với nhau khi
y ' ( x ) = y ' ( x ) ⇔ 3x − 12x + 9 = 3x − 12x + 9 ⇔ x + x = 4 .
x = 2 − t ⇒ y ( x ) = t − 3t + 2
Với x + x = 4 thì tồn tại t > 0 :
x = 2 + t ⇒ y ( x ) = −t + 3t + 2
( )
Gọi A x 1, y x 1 = x 13 − 6x 12 + 9x 1 , B x 2 , y x 2 = x 23 − 6x 22 + 9x 2 là tọa độ
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
3
1
1
1
2
2
2
3
x + x2
=2
x 0 = 1
2
Dễ thấy trung điểm đoạn AB có tọa độ
.
y
x
y
x
+
1
2
=2
y 0 =
2
Do đó hai tiếp điểm A, B đối xứng nhau qua M (2;2) .
2x 2
π
Ví dụ 5 : Cho hàm số y =
.Tìm α ∈ 0; sao cho điểm
x −1
2
M (1 + sin α ; 9 ) nằm trên đồ thị (C ) . Chứng minh rằng, tiếp tuyến của
(C ) tại điểm M cắt hai tiệm cận của (C ) tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua
điểm M .
( ) ( )
Giải :
Vì M (1 + sin α ; 9 ) nằm trên đồ thị (C ) nên:
sin α = 1
2
2 (1 + sin α )
2
2
= 9 ⇔ 2 sin α − 5 sin α + 2 = 0 ⇔
sin α = 2
1 + sin α − 1
π
1
π
3
Vì α ∈ 0; nên sin α = ⇒ α = ⇒ M ;9
2
2
6
2
3
3
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là: y = y ' x − + 9
2
2
hay (d ) : y = −6x + 18 .
Tiếp tuyến (d ) cắt tiệm cận đứng x = 1 tại: A (1;12 )
-199-
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Tiếp tuyến (d ) cắt tiệm cận xiên tai điểm B có tọa độ là nghiệm
y = −6x + 18
( x ; y ) hệ phương trình:
y = 2x + 2
xA
Dễ thấy:
y
A
x = 2
⇔
⇒ B ( 2; 6 )
y =6
+ xB 3
= = xM
2
2
+ yB
= 9 = yM
2
Suy ra, A, B đối xứng nhau qua điểm M (đpcm).
2x − 3
tại M cắt các đường
x −2
tiệm cận tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm tọa độ điểm M sao cho đường
tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất , với I là giao điểm hai
tiệm cận .
Giải :
()
Ví dụ 6: Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị (C ) : y =
(
) ( )
Gọi M x 0 ; y 0 ∈ C ⇒ y 0 =
2x 0 − 3
x0 − 2
, y '0 = −
()
1
(x
Phương trình tiếp tuyến d của (C ) tại M : y =
0
−2
)
2
−1
(x
0
−2
(x − x 0 ) +
2
)
2x 0 − 3
x0 − 2
2x 0 − 2
, B 2x 0 − 2;2 .
− 2
0
(d ) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt A 2; x
(
)
( )
Dễ thấy M là trung điểm AB và I 2;2 là giao điểm hai đường tiệm cận.
Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích
2
2x 0 − 3
1
2
2
S = π IM = π (x 0 − 2) +
− 2 = π (x 0 − 2)2 +
≥ 2π
2
x −2
(
x
2)
−
0
0
x 0 = 1 ⇒ y 0 = 1
1
Dấu đẳng thức xảy ra khi (x 0 − 2)2 =
⇔
x = 3 ⇒ y0 = 3
(x 0 − 2)2
0
( ) ( )
Vậy M 1;1 M 3; 3 thỏa mãn bài toán.
Bài toán 3 :
-200-
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
( )
( )
(
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y = f x đi qua điểm M x 1; y1
)
Cách 1 :
()
• Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M có hệ số góc là k có dạng :
(
)
y = k x − x 1 + y1 .
f x = k x − x + y
1
1
d tiếp xúc với đồ thị C khi hệ sau
có nghiệm.
f
'
x
=
k
Cách 2 :
•
()
( ) (
( )
( )
(
)
)
( )
()
• Gọi N x 0 ; y 0 là tọa độ tiếp điểm của đồ thị C và tiếp tuyến d qua điểm
()
(
)
M , nên d cũng có dạng y = y '0 x − x 0 + y 0 .
(d ) đi qua điểm M nên có phương trình : y = y ' (x − x ) + y (*)
• Từ phương trình ( * ) ta tìm được tọa độ điểm N ( x ; y ) , từ đây ta tìm được
phương trình đường thẳng (d ) .
•
1
0
0
1
0
0
0
x4
5
− 3x 2 +
Ví dụ 2: Cho hàm số : y =
có đồ thị là (C ) . Giả sử
2
2
M ∈ (C ) có hoành độ a . Với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C ) tại M
cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt khác M .
Giải :
a
5
Vì M ∈ (C ) nên M a ; yM =
− 3a 2 +
2
2
Tiếp tuyến tại M có hệ số góc yM' = 2a 3 − 6a
Tiếp tuyến tại M có dạng :
4
a4
5
− 3a 2 +
M
2
2
Tiếp tuyến d của (C ) tại M cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt khác M khi
()
y = yx' (x − x M ) + yM ⇒ d : y = (2a 3 − 6a )(x − a ) +
()
phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt :
x4
5
a4
5
− 3x 2 + = (2a 3 − 6a )(x − a ) +
− 3a 2 + hay phương trình
2
2
2
2
-201-
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
(x − a )2 (x 2 + 2ax + 3a 3 − 6) = 0 có 3 nghiệm phân biệt , nghĩa là phương trình
( )
g x = x 2 + 2ax + 3a 3 − 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt và khác a .
∆ ' = a 2 − (3a 2 − 6) > 0
a 2 − 3 < 0
a < 3
⇔ g (x )
⇔
⇔
2
g(a ) = 6a 2 − 6 ≠ 0
a ≠ ±1
a ≠ 1
a < 3
Vậy giá trị a cần tìm
a ≠ ±1
Bài tập tương tự :
1. Tìm m để tiếp tuyến đi qua điểm M 2; m + 2 của đồ thị hàm số
(
)
y = x 3 − 3x + m phải đi qua gốc tọa độ O .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1.
5
ax 2 − bx
a ) Tìm a, b biết rằng đồ thị của hàm số f x =
đi qua điểm A −1;
x −1
2
( )
( )
và tiếp tuyến tại O 0; 0 có hệ số góc bằng −3 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ
thị ứng với giá trị a, b vừa tìm được.
( )
b ) Tìm a, b biết rằng đồ thị của hàm số f x = 2x 2 + ax + b tiếp xúc với
hypebol a ) Tìm a, b biết rằng đồ thị của hàm số y =
1
1
tại điểm M ;2
x
2
2.
a ) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A 1; −2 và tiếp xúc với
(
)
parabol y = x 2 − 2x
5
x − 2, y = x 2 + x − 2 tiếp xúc nhau
4
tại M , viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó .
b ) Chứng minh hai đường cong y = x 3 +
-202-
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
c) Chứng minh rằg các đồ thị của ba hàm số
( )
( )
( )
f x = −x 2 + 3x + 6, g x = x 3 − x 2 + 4, h x = x 2 + 7x + 8 tiếp xúc nhau tại
(
)
điểm A −1;2 .
d ) Chứng minh rằng các đồ thị của ai hàm số
x2 3
3x
+ x, g x =
tiếp xúc nhau . Xác định tiếp điểm và viết
2 2
x +2
phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm đó .
( )
( )
f x =
( )
( )
e ) Chứng minh rằng các đồ thị của ai hàm số f x = x 3 − x , g x = x 2 − 1 tiếp
xúc nhau . Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai
đường cong tại điểm đó .
Hướng dẫn :
1.
a −1 2 − −1
5
= ⇔ a = −2
a)
2
−1 − 1
b = −3
f ' 0 = −3
9
b ) a = −6, b =
2
2. a ) d : y = m x − 1 − 2 ⇒ m = 2 y = 2x − 4 , m = −2 y = −2x
( ) ( )
()
()
(
)
(
)
(
)
1 5
9
b ) M ; − , y = 2x −
4
2 4
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A ( −1;2 ) các đồ thị của ba hàm số có tiếp tuyến chung , nói khác hơn là các đồ
thị của ba hàm số tiếp xúc nhau tại điểm A ( −1;2 ) .
c) f −1 = g −1 = h −1 = 2, f ' −1 = g ' −1 = h ' −1 = 5 , chứng tỏ tại
( )
d ) O 0; 0 , y =
3
x
2
-203-
... phương trình đường thẳng qua điểm A 1; −2 tiếp xúc với ( ) parabol y = x − 2x x − 2, y = x + x − tiếp xúc M , viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong b ) Chứng minh hai đường cong y =... + 4, h x = x + 7x + tiếp xúc ( ) điểm A −1;2 d ) Chứng minh đồ thị hàm số x2 3x + x, g x = tiếp xúc Xác định tiếp điểm viết 2 x +2 phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong điểm ( ) ( )... tham số x −2 m để đường thẳng (t ) : y = 2x + m cắt (C ) hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến song song với Giải : Đường thẳng (t ) : y = 2x + m cắt (C ) hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến Ví dụ