... G2, G3 G4 đồ thị G, G2 G4 đồ thị bao trùm G, G5 đồ thị G Đơn đồ thị G’=(V,E’) gọi đồ thị bù đơn đồ thị G=(V,E) G G’ cạnh chung (E E’=) G G’là đồ thị đầy đủ Bậc đỉnh Cho đồ thị vô hướng... Đồ thị đầy đủ Đồ thị phẳng Đồ thị thành phần, đồ thị Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu Kn, đơn đồ thị mà hai đỉnh phân biệt liền kề Kn có n(n 1) cạnh đỉnh Kn có bậc n1 Đơn đồ thị n... d Định nghĩa Đồ thị vô hướng cạnh song song khuyên gọi đơn đồ thị vô hướng Định nghĩa Đồ thị vô hướng cho phép có cạnh song song khuyên gọi đa đồ thị vô hướng Định nghĩa Đồ thị vô hướng cho
Khái niệm Đồ thị có hướng & vơ hướng Đồ thị đặc biệt Chu trình & Đường Các tốn liên quan Định nghĩa 1: Đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm: i) V tập hợp khác rỗng mà phần tử gọi đỉnh (vertex) G ii) E đa tập hợp gồm cặp không thứ tự hai đỉnh Mỗi phần tử E gọi cạnh (edge) G Ký hiệu uv Nếu uv cung (cạnh) ta nói: Đỉnh u v kề Đỉnh u gọi đỉnh đầu (gốc), đỉnh v đỉnh cuối (ngọn) cung uv Đỉnh v đỉnh sau đỉnh u Hai cung có gốc gọi cung song song Cung có điểm gốc trùng gọi khuyên c b a e d b a h k g c d b a c d Định nghĩa Đồ thị vơ hướng khơng có cạnh song song khơng có khun gọi đơn đồ thị vô hướng Định nghĩa Đồ thị vô hướng cho phép có cạnh song song khơng có khuyên gọi đa đồ thị vô hướng Định nghĩa Đồ thị vơ hướng cho phép có cạnh song song có khuyên gọi giả đồ thị Đa đồ thị có hướng G =(V,E) gồm: i) V tập hợp khác rỗng mà phần tử gọi đỉnh G ii) E đa tập hợp gồm cặp có thứ tự hai đỉnh Mỗi phần tử E gọi cung (cạnh) G Ký hiệu uv Ta nói cung uv từ u đến v, cung uv kề với u,v b b a a d c d c Định nghĩa Đa đồ thị có hướng khơng chứa cạnh song song gọi đồ thị có hướng 10 Nếu G đồ thị liên thơng có q cạnh hành trình ngắn G có chiều dài : q + m(G) Với m(G) số cạnh mà hành trình qua hai lần xác định sau: Gọi V0(G) tập hợp đỉnh bậc lẻ (2k đỉnh) G Ta phân 2k phần tử G thành k cặp, tập hợp k cặp gọi phân hoạch cặp V0(G) Ta gọi độ dài đường ngắn từ u đến v khoảng cách d(u,v) Đối với phân hoạch cặp Pi, ta tính khoảng cách hai đỉnh cặp, tính tổng d(Pi) Số m(G) cực tiểu d(Pi): Tập hợp đỉnh bậc lẻ VO(G)={B, G, H, K} tập hợp phân hoạch cặp P={P1, P2, P3}, : P1 = {(B, G), (H, K)} d(P1) = d(B, G)+d(H, K) = 4+1 = 5, P2 = {(B, H), (G, K)} d(P2) = d(B, H)+d(G, K) = 2+1 = 3, P3 = {(B, K), (G, H)} d(P3) = d(B, K)+d(G, H) = 3+2 = m(G) = min(d(P1), d(P2), d(P3)) = Do GT có từ G cách thêm vào cạnh: (B, I), (I, H), (G, K) GT đồ thị Euler Vậy hành trình ngắn cần tìm theo chu trình Euler GT: A, B, C, D, E, F, K, G, K, E, C, J, K, H, J, I, H, I, B, I, A Đường Hamilton đường đồ thị vô hướng qua tất đỉnh đồ thị, đỉnh lần Một Chu trình Hamilton đường Hamilton sau qua tất đỉnh đồ thị trở đỉnh xuất phát Đường Hamilton Chu trình Hamilton Khơng Hamilton Định lý Dirac : Nếu G đơn đồ thị có n đỉnh đỉnh G có bậc khơng nhỏ n/2 G đồ thị Hamilton Hệ : Nếu G đơn đồ thị có n đỉnh đỉnh G có bậc khơng nhỏ (n-1)/2 G đồ thị nửa Hamilton Định lý Ore : Nếu G đơn đồ thị có n đỉnh hai đỉnh không kề có tổng số bậc khơng nhỏ n G đồ thị Hamilton Định lý: Nếu G đồ thị phe(phân đôi) với hai tập đỉnh V1, V2 có số đỉnh n (n 2) bậc đỉnh lớn n/2 G đồ thị Hamilton Đồ thị đầy đủ Kn với n lẻ n có (n-1)/2 chu trình Hamilton phân biệt Đồ thị G có đỉnh, đỉnh có bậc 4, nên G đồ thị Hamilton Đồ thị G có đỉnh bậc đỉnh bậc kề nên tổng số bậc hai đỉnh không kề 8, nên G đồ thị Hamilton Đồ thị phân đơi có bậc đỉnh (> 3/2), nên đồ thị Hamilton Đồ thị Hamilton với chu trình Hamilton A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, A Cây đồ thị vơ hướng liên thơng, khơng chứa chu trình có hai đỉnh Một đồ thị vơ hướng khơng chứa chu trình có hai đỉnh gọi rừng Trong rừng, thành phần liên thông Trong đồ thị liên thông G, ta loại bỏ cạnh nằm chu trình ta đồ thị liên thông Nếu loại bỏ cạnh chu trình khác đồ thị khơng cịn chu trình (vẫn liên thơng) ta thu nối đỉnh G Cây gọi khung hay bao trùm đồ thị G Trước hết xếp cạnh đồ thị G theo thứ tự không giảm trọng số : Bắt đầu từ đồ thị rỗng T có n đỉnh.Sắp xếp cạnh G theo thứ tự tăng dần trọng số Bắt đầu từ cạnh dãy này, ta thêm dần cạnh dãy xếp vào T theo nguyên tắc cạnh thêm vào không tạo thành chu trình T Lặp lại Bước số cạnh T n1, ta thu khung nhỏ cần tìm Sắp xếp cạnh đồ thị theo thứ tự trọng số tăng dần : {(v3, v5), (v4, v6), (v4, v5), (v5, v6), (v3, v4), (v1, v3), (v2, v3), (v2, v4), (v1, v2)}