Bài giảng nguyên lý chuồng bồ câu trần vĩnh đức

Nguyên lý chuồng bồ câu Nguyên lý chuồng bồ câu1 Trần Vĩnh Đức HUST Ngày 17 tháng năm 2014 Tham khảo: R A Brualdi, Introductory Combinatorics, Fifth Edition Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 / 44 Nội dung Nguyên lý chuồng bồ câu Nguyên lý chuồng chim bồ câu dạng tổng quát Định lý Ramsey Chứng minh định lý Ramsey Ví dụ tổng qt hóa Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu ịnh lý Đ Nếu bỏ n + đối tượng vào n hộp có hộp có nhiều hai đối tượng í dụ V Trong 13 người có người sinh tháng Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 / 44 Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu í dụ V Cho m số nguyên a1 , a2 , , am , tồn số nguyên k ℓ với ≤ k < ℓ ≤ m cho ak+1 + ak+2 + · · · + aℓ chia hết cho m Nói cách khác, ln có dãy liên tiếp cho tổng chúng chia hết cho m Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 / 44 Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu hứng minh C Ta xét m tổng a1 , a1 + a2 , , a1 + a2 + · · · + am Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu hứng minh C Ta xét m tổng a1 , a1 + a2 , , a1 + a2 + · · · + am Nếu có tổng chia m ta có Đpcm Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu hứng minh C Ta xét m tổng a1 , a1 + a2 , , a1 + a2 + · · · + am Nếu có tổng chia m ta có Đpcm Nếu khơng có tổng chia hết cho m, có nghĩa phần dư chúng cho m số 1, 2, , m − Vậy có hai số k, ℓ k < ℓ cho a1 + · · · + ak a1 + · · · + aℓ có phần dư r chia cho m: a1 + a2 + · · · + ak = bm + r, a1 + a2 + · · · + aℓ = cm + r Trừ hai tổng ta ak+1 + · · · + aℓ = (c − b)m Vậy ak+1 + ak+2 + · · · + aℓ chia hết cho m Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 / 44 Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu í dụ V Trong tháng 30 ngày đội bóng chuyền phải thi đấu ngày trận, khơng chơi q 45 trận Chứng minh có ngày liên tiếp tháng đội chơi 14 trận Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 / 44 Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu hứng minh C Gọi tổng số trận thi đấu đội ngày thứ i Khi a1 , a2 , , a30 dãy tăng chặt thỏa mãn ≤ ≤ 45 Và a1 + 14, a2 + 14, , a30 + 14 dãy tăng chặt thỏa mãn 15 ≤ + 14 ≤ 59 Dãy sau gồm 60 số nguyên dương a1 , a2 , , a30 , a1 + 14, a2 + 14, , a30 + 14 nhỏ 59 Vậy phải có hai số Nhưng hai dãy có phần tử phân biệt, có số hai số i, k cho = ak + 14 Có nghĩa có giai đoạn từ ngày k đến ngày i đội thi đấu 14 trận Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 / 44 Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu í dụ V Một cờ thủ có 11 tuần để chuẩn bị đấu giải Anh ta tâm chơi ngày trận, để giữ sức không chơi 12 trận tuần Chứng minh có giai đoạn (gồm ngày liên tiếp) chơi 21 trận Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 / 44 Nguyên lý chuồng bồ câu | Chứng minh định lý Ramsey Bước quy nạp Giả sử m ≥ n ≥ tồn r(m, n − 1) r(m − 1, n) Đặt p = r(m − 1, n) + r(m, n − 1) Ta Kp → Km , Kn Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 36 / 44 Nguyên lý chuồng bồ câu | Chứng minh định lý Ramsey Chứng minh Kp → Km , Kn Xét điểm x Kp Đăt Rx tập điểm nối với x cạnh màu đỏ, Bx tập điểm nối với x cạnh màu xanh Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 37 / 44 Nguyên lý chuồng bồ câu | Chứng minh định lý Ramsey Chứng minh Kp → Km , Kn Xét điểm x Kp Đăt Rx tập điểm nối với x cạnh màu đỏ, Bx tập điểm nối với x cạnh màu xanh Vậy |Rx | + |Bx | = p − = r(m − 1, n) + r(m, n − 1) − (1) |Rx | ≥ r(m − 1, n), (2) |Bx | ≥ r(m, n − 1) Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 37 / 44 Nguyên lý chuồng bồ câu | Chứng minh định lý Ramsey Nếu |Rx | ≥ r(m − 1, n), ta đặt q = |Rx | q ≥ r(m − 1, n) Xét Kq điểm Rx , ta thấy Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 38 / 44 Nguyên lý chuồng bồ câu | Chứng minh định lý Ramsey Nếu |Rx | ≥ r(m − 1, n), ta đặt q = |Rx | q ≥ r(m − 1, n) Xét Kq điểm Rx , ta thấy m − điểm Kq (cũng thuộc Kp ) có tồn cạnh màu đỏ Ta có Km−1 đỏ, tất m − điểm nối với x cạnh màu đỏ Vậy ta có Km đỏ Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 38 / 44 Nguyên lý chuồng bồ câu | Chứng minh định lý Ramsey Nếu |Rx | ≥ r(m − 1, n), ta đặt q = |Rx | q ≥ r(m − 1, n) Xét Kq điểm Rx , ta thấy m − điểm Kq (cũng thuộc Kp ) có tồn cạnh màu đỏ Ta có Km−1 đỏ, tất m − điểm nối với x cạnh màu đỏ Vậy ta có Km đỏ n điểm Kq tồn cạnh màu xanh Vậy ta có Kn xanh Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 38 / 44 Nguyên lý chuồng bồ câu | Chứng minh định lý Ramsey Nếu |Rx | ≥ r(m − 1, n), ta đặt q = |Rx | q ≥ r(m − 1, n) Xét Kq điểm Rx , ta thấy m − điểm Kq (cũng thuộc Kp ) có tồn cạnh màu đỏ Ta có Km−1 đỏ, tất m − điểm nối với x cạnh màu đỏ Vậy ta có Km đỏ n điểm Kq tồn cạnh màu xanh Vậy ta có Kn xanh Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 38 / 44 Nguyên lý chuồng bồ câu | Chứng minh định lý Ramsey Lập luận tương tự với |Bx | ≥ r(m, n − 1) Ta kết luận quy nặp số r(m, n) tồn với m, n ≥ Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 39 / 44 Nội dung Nguyên lý chuồng bồ câu Nguyên lý chuồng chim bồ câu dạng tổng quát Định lý Ramsey Chứng minh định lý Ramsey Ví dụ tổng qt hóa Nguyên lý chuồng bồ câu | Ví dụ tổng qt hóa Cận số Ramsey Chứng minh định lý Ramsey r(m, n) ≤ r(m − 1, n) + r(m, n − 1) Xét với m, n ≥ (2) ( ) m+n−2 f(m, n) = m−1 Dùng đẳng thức Pascal ta ( ) ( ) ( ) m+n−2 m+n−3 m+n−3 = + m−1 m−1 m−2 Vậy ta công thức tương tự (2): f(m, n) = f(m − 1, n) + f(m, n − 1) Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 41 / 44 Nguyên lý chuồng bồ câu | Ví dụ tổng quát hóa Cận số Ramsey (tiếp) Vì r(2, n) = n = f(2, n) r(m, 2) = m = f(m, 2), ta có r(m, n) ≤ ( ) ( ) m+n−2 m+n−2 = m−1 n−1 Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 42 / 44 Nguyên lý chuồng bồ câu | Ví dụ tổng qt hóa Một vài số Ramsey r(3, 3) = 6, r(3, 4) = r(4, 3) = 9, r(4, 4) = 18, r(3, 5) = r(5, 3) = 14, r(4, 5) = r(5, 4) = 25, r(3, 6) = r(6, 3) = 18, 35 ≤ r(4, 6) ≤ 49, r(3, 7) = r(7, 3) = 23, 43 ≤ r(5, 5) ≤ 49, r(3, 8) = r(8, 3) = 28, 40 ≤ r(3, 10) = r(10, 3) ≤ 43, 58 ≤ r(5, 6) = r(6, 5) ≤ 87, r(3, 9) = r(9, 3) = 36, 102 ≤ r(6, 6) ≤ 165 Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 43 / 44 Nguyên lý chuồng bồ câu | Ví dụ tổng qt hóa Tổng qt hố Nếu n1 , n2 n3 ba số nguyên dương lớn hai, có tồn số nguyên p cho Kp → Kn1 , Kn2 , Kn3 Có nghĩa cạnh Kp tô xanh, đỏ, vàng có Kn1 tơ màu xanh có Kn2 tô màu vàng Kn3 tô màu đỏ Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 44 / 44 Nguyên lý chuồng bồ câu | Ví dụ tổng qt hóa Tổng qt hố Nếu n1 , n2 n3 ba số nguyên dương lớn hai, có tồn số nguyên p cho Kp → Kn1 , Kn2 , Kn3 Có nghĩa cạnh Kp tô xanh, đỏ, vàng có Kn1 tơ màu xanh có Kn2 tơ màu vàng Kn3 tơ màu đỏ Ví dụ r(3, 3, 3) = 17 Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 44 / 44 Nguyên lý chuồng bồ câu | Ví dụ tổng qt hóa Tổng qt hoá Nếu n1 , n2 n3 ba số nguyên dương lớn hai, có tồn số nguyên p cho Kp → Kn1 , Kn2 , Kn3 Có nghĩa cạnh Kp tơ xanh, đỏ, vàng có Kn1 tơ màu xanh có Kn2 tơ màu vàng Kn3 tơ màu đỏ Ví dụ r(3, 3, 3) = 17 Mở rộng tự nhiên cho m màu Kp → Kn1 , Kn2 , · · · , Knm Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 44 / 44 ... dung Nguyên lý chuồng bồ câu Nguyên lý chuồng chim bồ câu dạng tổng quát Định lý Ramsey Chứng minh định lý Ramsey Ví dụ tổng quát hóa Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng bồ câu ịnh lý. .. tượng Trần Vĩnh Đức | HUST | Ngày 17 tháng năm 2014 15 / 44 Nguyên lý chuồng bồ câu | Nguyên lý chuồng chim bồ câu dạng tổng quát Nguyên lý chuồng chim bồ câu Nguyên lý chuồng chim bồ câu. .. Nội dung Nguyên lý chuồng bồ câu Nguyên lý chuồng chim bồ câu dạng tổng quát Định lý Ramsey Chứng minh định lý Ramsey Ví dụ tổng quát hóa Nguyên lý chuồng bồ câu | Chứng minh định lý Ramsey