Bài giảng nguyên lý chuồng bồ câu trần vĩnh đức

Nội dung2 Nguyên lý chuồng chim bồ câu dạng tổng quát 3 Định lý Ramsey 4 Chứng minh định lý Ramsey... Nếu có một tổng chia m vậy ta có Đpcm.Nếu không có tổng nào chia hết cho m, có nghĩa

Trang 1

Nguyên lý chuồng bồ câu1

Trần Vĩnh Đức

HUST

Ngày 17 tháng 2 năm 2014

Trang 2

Nội dung

2 Nguyên lý chuồng chim bồ câu dạng tổng quát

3 Định lý Ramsey

4 Chứng minh định lý Ramsey

Trang 3

Định lý

Nếu bỏ n + 1 đối tượng vào n hộp thì có ít nhất một hộp có nhiều hơn hoặc bằng hai đối tượng.

Trang 4

Ví dụ

Cho m số nguyên a1, a2, , a m , luôn tồn tại các số nguyên k và ℓ

với 0≤ k < ℓ ≤ m sao cho

a k+1 + a k+2+· · · + a ℓ

chia hết cho m.

Nói cách khác, luôn có dãy liên tiếp các a i sao cho tổng của chúng

chia hết cho m.

Trang 5

Nếu có một tổng chia m vậy ta có Đpcm.

Nếu không có tổng nào chia hết cho m, có nghĩa rằng phần dư của chúng cho m là một trong các số 1, 2, , m − 1 Vậy thì có hai số k, ℓ

và k < ℓ sao cho a1+· · · + a k và a1+· · · + a ℓ có cùng phần dư là r khi chia cho m:

a1+ a2+· · · + a k = bm + r, a1+ a2+· · · + a ℓ = cm + r Trừ hai tổng này ta được a k+1+· · · + a ℓ = (c − b)m Vậy

a k+1 + a k+2+· · · + a ℓ chia hết cho m.

Trang 6

a k+1 + a k+2+· · · + a ℓ chia hết cho m.

Trang 7

Chứng minh.

Ta xét m tổng

a1, a1+ a2, , a1+ a2+· · · + a m Nếu có một tổng chia m vậy ta có Đpcm.

Trang 8

Ví dụ

Trong một tháng 30 ngày một đội bóng chuyền phải thi đấu mỗi ngày ítnhất một trận, nhưng không chơi quá 45 trận Chứng minh rằng cónhững ngày liên tiếp trong tháng đội chơi đúng 14 trận

Trang 9

Chứng minh.

Gọi a i là tổng số trận thi đấu của đội cho đến ngày thứ i Khi đó

a1, a2, , a30 là một dãy tăng chặt và thỏa mãn 1≤ a i ≤ 45 Và

a1+ 14, a2+ 14, , a30+ 14 cũng là dãy tăng chặt và thỏa mãn

15≤ a i+ 14≤ 59

Dãy sau gồm 60 số nguyên dương

a1, a2, , a30, a1+ 14, a2+ 14, , a30+ 14

nhưng đều nhỏ hơn 59 Vậy phải có hai trong các số này bằng nhau

Nhưng vì hai dãy trên đều có các phần tử phân biệt, vậy có số hai số i, k sao cho a i = a k + 14 Có nghĩa rằng có một giai đoạn từ ngày k đến

Trang 10

Ví dụ

Một cờ thủ có 11 tuần để chuẩn bị đấu giải Anh ta quyết tâm chơi mỗingày một trận, nhưng để giữ sức anh ta quyết không chơi quá 12 trậnmột tuần Chứng minh rằng có một giai đoạn (gồm những ngày liên tiếp)

anh ta chơi đúng 21 trận.

Trang 11

Ví dụ

Chọn 101 số từ 200 số nguyên 1, 2, , 200 Chứng minh rằng trong các

số vừa chọn có hai số sao cho một số chia hết cho số kia

Trang 12

Chứng minh.

Bằng cách chia liên tiếp cho 2 ta thấy rằng mọi số nguyên có thể viếtdưới dạng 2k × a, với k ≥ 0 và a là số lẻ Với các số nguyên giữa 1 và

100, a là một trong 100 số 1, 3, , 199 Vậy trong 101 số được chọn có

ít nhất hai số viết được dưới dạng 2r × a và 2 s × a và r > s Vậy số thứ

nhất chia hết cho số thứ hai

Chú ý rằng số 101 là giá trị nhỏ nhất có thể chọn vì ta có thể chọn 100

số từ 1, 2, , 100 mà không có số nào là ước của số nào (ví dụ, 100 số

101, 102, , 199, 200).

Trang 13

Hai số nguyên là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng

là 1 Vậy 12 và 35 là nguyên tố cùng nhau, nhưng 12 và 15 thì không phải Ví dụ (Định lý phần dư Trung Hoa)

Xét m và n là hai số nguyên tố cùng nhau, và xét a và b là hai số nguyên

với 0≤ a ≤ m và 0 ≤ b ≤ n − 1 Vậy có một số nguyên x sao cho x chia cho m dư a và x chia cho n dư b; có nghĩa rằng x có thể viết dưới dạng

x = pm + a và x = qn + b.

Trang 14

Chứng minh Xét dãy n số nguyên

a, m + a, 2m + a, , (n − 1)m + a (1)

Ta sẽ chỉ ra rằng các phần dư của n số này chia cho n là khác nhau từng

đôi một Thậy vậy, giả sử ngược lại rằng có hai số 0≤ i < j ≤ n − 1 sao cho im + a và jm + a có cùng phần dư là r khi chia cho n Có nghĩa rằng

Trang 15

Vậy theo nguyên lý chuồng chim bồ câu, phần dừ của các số trong dãy (1)

chia cho n phải là

0, 1, , n − 1 trong đó có số b Xét x là số nguyên dạng pm + a chia cho n dư b Khi đó

số

x = pm + a và x = qn + b

là số thỏa mãn yêu cầu

Trang 16

Nội dung

1 Nguyên lý chuồng bồ câu

Trang 17

Định lý

Xét các số nguyên dương q1, q2, , q n Nếu

q1+ q2+· · · + q n − n + 1 đối tượng được đặt trong n chiếc hộp, vậy hộp thứ nhất chứa ít nhất q1đối tượng, hoặc hộp thứ hai chứa ít nhất q2 đối tượng, , hoặc hộp thứ

n chứa ít nhất q n đối tượng.

Trang 18

Nguyên lý chuồng chim bồ câu

Nguyên lý chuồng chim bồ câu là trường hợp riêng khi

q1 = q2 =· · · = q n= 2Tức là nếu có

2 + 2 +· · · + 2 − n + 1 = 2n − n + 1

= n + 1 đối tượng đặt trong n chiếc lồng, thì có lồng chứa ít nhất hai đối tượng.

Trang 19

Hệ quả

Xét hai số nguyên dương r và n Nếu

n(r − 1) + 1 đối tượng được đặt trong n chiếc hộp, vậy có hộp chứa ít nhất r đối tượng.

Đây là trường hợp khi

q1= q2 =· · · = q n = r

Trang 22

Ví dụ

Một giỏ quả gồm ba loại táo, chuối, và cam Hỏi trong giỏ cần ít nhấtbao nhiêu quả để chắc rằng trong đó có ít nhất 8 quả táo hoặcít nhất 6quả chuốihoặcít nhất 9 quả cam?

Trang 23

Ví dụ

Có hai đĩa kích thước khác nhau Mỗi đĩa chia thành 200 sector

Trên đĩa lớn, ta chọn ngẫu nhiên 100 sector và sơn chúng màu đỏ;

100 sector còn lại sơn màu xanh

Trên đĩa nhỏ ta sơn hoặc màu xanh hoặc mầu đỏ một cách ngẫunhiên lên mỗi sector

Đặt đĩa nhỏ lên trên đĩa lớn sao cho đồng tâm Chứng minh rằng ta cóthể điều chỉnh hai đĩa sao cho số lượng sector của đĩa nhỏ có màu trùngvới sector tương ứng của đĩa lớn ít nhất là 100

Trang 25

Nội dung

5 Ví dụ và tổng quát hóa

Trang 26

Lý thuyết Ramsey

Lý thuyết Ramsey, theo tên của FrankPlumpton Ramsey, một nhà toán họcngười Anh Nói chung, lý thuyếtRamsey giải quyết những bài toán về

sự phân bố các tập con của một tập

Trang 27

Nguyên lý chuồng bồ câu | Định lý Ramsey

Khẳng định

Trong sáu người bất kỳ luôn tồn tại ba người sao cho hoặc là họ quen

nhau từng đôi một hoặc họ khôngquen nhau từng đôi một

Viết lại khẳng định trên một cách ngắn gọn dùng ký hiệu ”mũi tên” nhưsau:

K6 → K3, K3

với ý nghĩa

K6= “6 đối tượng và 15 cặp không thứ tự của các đối tượng này”

K3, K3 = “Ba đối tượng quen nhau từng đôi một”, “Ba đối tượngkhông quen nhau từng đôi một”

Trang 28

Khẳng định

Viết lại khẳng định trên một cách ngắn gọn dùng ký hiệu ”mũi tên” như

sau:

K6→ K3, K3

với ý nghĩa

Trang 29

Khẳng định

Viết lại khẳng định trên một cách ngắn gọn dùng ký hiệu ”mũi tên” như

sau:

K6→ K3, K3

với ý nghĩa

Trang 30

K3, K3 = “Ba đối tượng quen nhau từng đôi một”, “Ba đối tượng

Trang 31

K n = “một tập n đối tượng và mọi cặp không thứ tự (cạnh) các đối tượng này”

Trang 32

Nếu ta xem mỗi cặp không thứ tự như một cạnh Cặp đối tượng quen

nhau xem như cạnh tô màu xanh Cặp đối tượng không quen nhau

như các cạnh tô màu đỏ

Trang 33

Nếu ta xem mỗi cặp không thứ tự như một cạnh Cặp đối tượng quen

nhau xem như cạnh tô màu xanh Cặp đối tượng không quen nhau

như các cạnh tô màu đỏ

Trang 34

Nếu ta xem mỗi cặp không thứ tự như một cạnh Cặp đối tượng quennhau xem như cạnh tô màu xanh Cặp đối tượng không quen nhaunhư các cạnh tô màu đỏ.

Trang 35

Chứng minh K6 → K3, K3

Xét một đối tượng p của K6 Vì có 5 cạnh liên quan đến p có mầu đỏ

hoặc xanh nên có ít nhất 3 cạnh cùng màu Ta giả sử 3 cạnh này

cùng màu đỏ (Nếu màu xanh ta lập luận tương tự.) Có ba đối tượng

a, b, c nối với p qua ba cạnh đỏ này.

Bây giờ, nếu tồn tại một cạnh nối giữa a − b

hoặc a − c hoặc b − c có màu đỏ, vậy ta

Trang 36

Chứng minh K6 → K3, K3

Xét một đối tượng p của K6 Vì có 5 cạnh liên quan đến p có mầu đỏ

hoặc xanh nên có ít nhất 3 cạnh cùng màu Ta giả sử 3 cạnh nàycùng màu đỏ (Nếu màu xanh ta lập luận tương tự.) Có ba đối tượng

a, b, c nối với p qua ba cạnh đỏ này.

Bây giờ, nếu tồn tại một cạnh nối giữa a − b

hoặc a − c hoặc b − c có màu đỏ, vậy ta

Trang 37

Khẳng định

K5→ K3, K3

làsaivì có cách tô màu cạnh K5 không tạo ra K3 đỏ hoặc K3 xanh Ví dụ,cách tô như trong hình dưới đây: nét liền tương ứng màu đỏ, nét đứttương ứng màu xanh

Trang 38

Định lý (Ramsey, dạng đơn giản)

K p thì luôn tìm được hoặc một K m đỏ hoặc một K n xanh.

Rõ ràng, với mọi q ≥ p ta luôn có

K p → K m , K n ⇒ K q → K m , K n

Trang 39

Với hai số nguyên m ≥ 2 và n ≥ 2, luôn tồn tại một số nguyên dương p

sao cho

K p → K m , K n

Nói cách khác, cho trước số nguyên m và n, luôn có số

nguyên dương p sao cho, nếu tô màu xanh hoặc đỏ lên cạnh của

K p → K m , K n ⇒ K q → K m , K n

Trang 40

Với hai số nguyên m ≥ 2 và n ≥ 2, luôn tồn tại một số nguyên dương p sao cho

K p → K m , K n

Nói cách khác, cho trước số nguyên m và n, luôn có số

nguyên dương p sao cho, nếu tô màu xanh hoặc đỏ lên cạnh của

K → K , K ⇒ K → K , K

Trang 41

Trang 42

Trang 48

Nội dung

Trang 49

Với hai số nguyên m ≥ 2 và n ≥ 2, luôn tồn tại một số nguyên dương p sao cho

K p → K m , K n

Trang 50

Nguyên lý chuồng bồ câu | Chứng minh định lý Ramsey

Chứng minh định lý Ramsey

Ta chỉ ra sự tồn tại của r(m, n) bằng quy nạp theo cả m và n.

Bước cơ sở:

Nếu m = 2 thì r(2, n) = n, nếu n = 2 thì r(m, 2) = m.

Trang 53

Trang 54

Trang 56

Chứng minh Kp → Km, Kn

Xét một điểm x của K p Đăt R x là tập điểm nối với x bằng một cạnh

màu đỏ, và B x là tập điểm nối với x bởi một cạnh màu xanh.

Vậy

|R x | + |B x | = p − 1

= r(m − 1, n) + r(m, n − 1) − 1

chỉ ra rằng(1) |R x | ≥ r(m − 1, n), hoặc

(2) |B x | ≥ r(m, n − 1).

Trang 58

Nếu|R x | ≥ r(m − 1, n), ta đặt

q = |R x | vậy q ≥ r(m − 1, n).

Xét K q trên các điểm của R x, ta thấy rằng

hoặc m − 1 điểm của K q (cũng thuộc K p) có toàn cạnh màu đỏ Ta có

K m −1 đỏ, và tất cả m − 1 điểm này đều nối với x bằng cạnh màu đỏ.

Vậy ta có K mđỏ.

hoặc n điểm của K q toàn cạnh màu xanh Vậy ta có một K n xanh.

Trang 59

q = |R x | vậy q ≥ r(m − 1, n).

Trang 60

q = |R x | vậy q ≥ r(m − 1, n).

Trang 61

q = |R x | vậy q ≥ r(m − 1, n).

Trang 62

Lập luận tương tự với|B x | ≥ r(m, n − 1) Ta kết luận bằng quy nặp rằng

số r(m, n) tồn tại với mọi m, n ≥ 2.

Trang 63

Nội dung

Trang 64

Cận trên của số Ramsey

Chứng minh định lý Ramsey cũng chỉ ra rằng

r(m, n) ≤ r(m − 1, n) + r(m, n − 1) với m, n ≥ 3. (2)Xét

(

m + n − 3

m − 2

)

Trang 65

Cận trên của số Ramsey (tiếp)

Trang 67

Nguyên lý chuồng bồ câu | Ví dụ và tổng quát hóa

Tổng quát hoá

Nếu n1, n2 và n3 là ba số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng hai, vậy

có tồn tại số nguyên p sao cho

K p → K n1, K n2, K n3

Có nghĩa rằng nếu mỗi cạnh của K p tô bởi xanh, đỏ, hoặc vàng thì có

K n1 tô màu xanh hoặc có K n2 tô màu vàng hoặc K n3 tô màu đỏ

Ví dụ

r(3, 3, 3) = 17.

Mở rộng tự nhiên cho m màu

K p → K n1, K n2, · · · , K n m

Trang 68

Nguyên lý chuồng bồ câu | Ví dụ và tổng quát hóa

Tổng quát hoá

K p → K n1, K n2, K n3

Ví dụ

r(3, 3, 3) = 17.

K p → K n1, K n2, · · · , K n m

Trang 69

Tổng quát hoá

K p → K n1, K n2, K n3

Ví dụ

r(3, 3, 3) = 17.

Định dạng
Số trang	69
Dung lượng	470,78 KB