Lý thuyết chương tích phân

Tài liệu là tổng hợp toàn bộ kiến thức chương nguyên hàm tích phân của THPT cùng các dạng bài tập tích phân cơ bản hay xuất hiện trong đề thi đại học.

Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn Đ Nguyờn hm I. Khỏi nim nguyờn hm - Cho hm s f xỏc nh trờn K. Hm s F gl nguyờn hm ca f trờn K nu: F '( x ) f ( x ) , x K - Nu F(x) l mt nguyờn hm ca f(x) trờn K thỡ h nguyờn hm ca f(x) trờn K l: f ( x)dx F( x) C , C R. - Mi hm s f(x) liờn tc trờn K u cú nguyờn hm trờn K. II. Tớnh cht f '( x )dx f ( x ) C f ( x) g( x)dx f ( x)dx g( x)dx kf ( x)dx k f ( x)dx (k 0) III. Nguyờn hm ca nhng hm s cn nh : 1. Hm s s cp : 0dx = C 1. dx x C 2. x dx 3. x dx ln x C x x C 4. Vi k l hng s khỏc sin kxdx kx e dx cos kx C k e kx C k 5. cos 6. ax b a ln ax b C 7. 8. 9. 10. x cos kxdx x a dx dx tan x C , x dx sin k axb x ax C ln a a dx cot x C , x k d ax b a ax b C axb e C a sinax bdx a cosax b C dx cos ax b a tanax b C, ax b k dx sin ax b a cot ax b C, ax b k e sin kx C k dx ax b ax b dx a cosax bdx a cosax b C C , a 2. Hm s hp : du u C du ln u C u u e Hong Ngc Phỳ u du u u C du e u C Page Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn au C a ln a sin udu cos u C a u dx sin u a u cos du cot u C du cos udu sin u C arcsin u c a a du u u du tan u C u c 3. Mt s hm s m rng : 1. cos ax b dx a sin ax b + C cos ax b c a tg ax b dx ln cos ax b c a cotg ax b dx ln sin ax b c a ax e a sin bx b cos bx eax sin bx dx c a b2 eax a cos bx b sin bx eax cos bx dx c a b2 x x arcsin dx x arcsin a x c a a x x arccos dx x arccos a x c a a x x a arctg dx x arctg ln a x c a a x x a arc cotg dx x arc cotg ln a x c a a dx ax b ln tg c sin ax b a sin ax b dx 2. 3. 4. x a2 x2 a2 x arcsin c 2 a dx x arcsin c a a2 x2 dx x u c (vi sin u , a > 0) CM: a a2 x2 dx d a sin u x du u c t sin u ,u , 2 a a2 x2 a sin u dx ln x x a c 2 x a dx CM: ln x x2 a c 2 x a 5. a x dx Hong Ngc Phỳ Page Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn x2 a2 Ly o hm ta cú: ln x x a c x x2 a2 x x a 2 2 2 2 x a x x a x a x a dx x arctg c 2 a a a x 2 x x a 6. CM: a dx x a x x dx a a dx dx x2 7. a x u c (vi tg u ) a a x a x t tg u , u , CM: a dx x d a tg u a tg u a du a u c dx ax ln c 2a a x x xa ln c; 2a x a a dx x ax ln c 2a a x 1 dx dx x a c dx ln 2a x a x a 2a x a x a 2a x a 1 dx d a x ax ln c dx 2a a x a x 2a a x a x 2a a x dx x arccos c 2 a a x x a 8. a x2 a2 ln c a x x x2 a2 b ln ax b dx x ln ax b x c a dx IV. Phng phỏp tớnh nguyờn hm 1. Phng phỏp i bin s Nu f (u)du F(u) C v u u( x) cú o hm liờn tc thỡ: f u( x).u '( x)dx F u( x) C 2. Phng phỏp tớnh nguyờn hm tng phn Nu u, v l hai hm s cú o hm liờn tc trờn K thỡ: udv uv vdu Hong Ngc Phỳ Page Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn Đ Tớch Phõn b b f x dx F x a F b F a I. nh ngha : a II. Tớnh cht : a 1. f x dx a b 2. a f x dx f x dx a 3. b b c a b c f x dx f x dx f x dx a b 4. b a a f x g x dx f x dx g x dx a 5. b b b a a kf x dx k f x dx vi k R * Ghi nh : - Mun tớnh tớch phn bng nh ngha ta phi bin i hm s di du tớch phõn thnh tng hoc hiu ca nhng hm s ó bit nguyờn hm. - Nu hm s di du tớch phõn l hm s hu t cú bc ca t ln hn hoc bng bc ca mu ta phi thc hin phộp chia t cho mu. - Nu hm s di du tớch phõn cú cha du giỏ tr tuyt i, ta phi xột du biu thc nm du giỏ tr tuyt i. Tip theo phõn on cn tớnh tớch phõn thnh nhng on cho trờn mi on biu thc nm du giỏ tr tuyt i khụng i du. p dng nh ngha giỏ tr tuyt i kh du giỏ tr tuyt i. III. Mt s phng phỏp tớnh tớch phõn : 1. Phng phỏp i bin s : Cụng thc tng quỏt : Dng 1: Nu hm s di du tớch phõn cú dng tớch ca f x (hm s theo bin l x ) vi o hm ca hm x thỡ ta t t x dt ' x dx Ghi nh : Khi tớnh tớch phõn bng phng phỏp i bin s thỡ phi i cn. Ta cú cỏch t c th : f sin x .cos xdx Hong Ngc Phỳ Page Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn TH 1: f sin x .cos xdx t t = sinx Hoc t = psinx + q (p, q R ) Hoc t n p sin x q nu nh biu thc p sin x q nm du n f cos x.sin xdx TH : t t = cosx Hoc t = pcosx + q (p, q R ) Hoc t n p cos x q nu nh biu thc p cos x q nm TH : f lnf xln. xxdx. dx x t t = lnx Hoc t = plnx + q (p, q R ) Hoc t n p ln x q nu nh biu thc p ln x q nm TH : n tanx x dxdx f ftan cosx x cos 11 n t t = tanx 2 Hoc t = ptanx + q (p, q R ) Hoc t n p tan x q nu nh biu thc p tan x q nm n TH : f cot x sin x t t = cotx dx Hoc t = pcosx + q (p, q R ) Hoc t n p cot x q nu nh biu thc p cot x q nm n Dng 2: Gi s cn tớnh tớch phõn f x dx . t x t , t K v a, b K thừa a , b thỡ cụng thc (*) cho ta : Nu gp m nx hoc Hong Ngc Phỳ m nx b f x dx f t . ' t dt dx thỡ t x a m sin t , t ; n 2 Page Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn dx hoc Nu gp m nx m nx dx thỡ t x m tan t , t ; n 2 Chỳ ý s cỏc tớch phõn cú th thay bng x 2. Phng phỏp tng phn : Gi s cho u = u(x) v v = v(x) cú o hm liờn tc D, ú : +) Cụng thc tớnh nguyờn hm tng phn : udv uv vdu b +) Cụng thc tớnh tớch phõn tng phn : b b uv ' dx uv vu ' dx a a a . b b b udv uv vdu Vit gn: a a a Nhn dng : hm di du tớch phõn thng l tớch ca hai loi hm s khỏc nhau. Chỳ ý : Ta chn u cho d tớnh du nht v chn v cho d tỡm nguyờn hm dv nht. Dng 1: du P ' x dx u Px cos ax b sin ax b a sin ax b P x cos ax b dx dv cosax b v sin ax b a e axb axb e axb e a Vớ d : I x sin x cos xdx Gii : Cỏch 1: sin 3x sin x sin x sin x sin x sin 3x Ta cú 2 sin x cos x sin x sin x sin x sin x sin x sin x sin 3x 1 sin x cos x sin x sin x sin x sin x sin 3x sin x sin 3x 4 1 1 Suy : I xsin x sin 3x dx x sin xdx x sin 3xdx I1 I 4 4 ux du dx du dx Ta tớnh I1 x sin xdx . Ta cú v sin xdx dv sin xdx v cos x I1 x sin xdx = x cos x cos xdx x cos x sin x C1 ux dv sin 3xdx Ta tớnh I x sin 3xdx . Ta cú Hong Ngc Phỳ du dx du1 dx v sin 3xdx v cos 3x Page Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn 1 1 I x sin 3xdx cos 3x cos 3xdx x cos x sin x C2 3 Cỏch 2: du dx du dx ux du dx v sin x cos xdx v cos xd cos x v cos x dv sin x cos xdx 1 1 I x cos x cos xdx x cos x cos x cos xdx 3 3 1 1 I x cos x sin x cos xdx x cos x sin x d sin x 3 3 1 I x cos x sin x sin x C 3 f ' x u ln f x du f x Dng 2: Px ln f x dx dv P x dx v Px dx Ta cú: a u ln ax b du Px lnln ax bdx dv Px dx ax b v Px dx Ta thng gp dng c bit sau: I x x x ln x x dx Vớ d : Gii : 2x x2 x ' 2x du dx du dx du dx u ln x x x x x x x x Chn dv x x x dx v x x x v x x x v 3x x x 12 1 2x Suy I 3x x x ln x x 3x x x 2 dx 12 12 x x I 1 2x 3x x x ln x x 3x x x 2 dx 12 12 x x I 1 3x x x ln x x 3x x x dx 12 12 x 1 3x x x ln x x K 12 12 K 3x x x dx x I Ta tớnh 3x x x K x x x dx x 3x x xx 5x K x x x dx x Hong Ngc Phỳ Page Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn 11 K x x 11x dx x x x x ln x C x 1 11 3x x x ln x x x x x x ln x C 12 12 sin ln x x cosln x du cosln x cos ln x u Dng 3: I x k dx sin ln x x sin ln x dv x k dx k v x k dx x k Vy I Dng 4: u e axb sin x dx dv cos x ax b sin x e cosx dx sin x u cos x dv e axb 3. Cụng thc Walliss ( dựng cho trc nghim ) : (n 1)!! , neỏu n leỷ n !! . (n 1)!! . , neỏu n chaỹn n !! cosn xdx sin n xdx Trong ú : n!! c l n walliss v c nh ngha da vo n l hay chn. Chng hn: 0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; !! 2.4; 5!! 1.3.5; 6!! 2.4.6; !! 1.3.5.7; !! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10 . Vớ d 1. cos11 xdx 10 !! 11!! sin10 xdx !! . 10 !! 2. 2.4.6.8.10 1.3.5.7.9.11 256 . 693 1.3.5.7.9 . 2.4.6.8.10 63 . 512 IV. Phõn loi mt s dng tớch phõn : b 1. Tớch phõn hm hu t : Xột Px Qx dx a * Nu bc P(x) Q(x) ta chia P(x) cho Q(x) * Nu bc ca P(x) < bc Q(x), ta phõn tớch (P(x), Q(x) l cỏc a thc) P x R x (bc ca R(x) < bc ca Q(x)) H x Q x Q x Px thnh tng cỏc phõn thc n gin. Qx * Trong chng trỡnh THPT ta thng gp cỏc trng hp sau õy : 1. A1 A1 A1 P x . x a1 x a2 .x an x a1 x a2 x an Hong Ngc Phỳ Page Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn Cỏc a thc A1, A2, , An c xỏc nh bng phng phỏp a thc ng nht hoc phng phỏp giỏ tr riờng 2. P x . ax bx c Nu ax bx c cú nghim a1 v a2 P x P x v phõn tớch theo trng hp trờn. ax bx c ax a1 x a2 Px Nu ax bx c cú nghim kộp a biu thc v dng u x P x Nu ax bx c vụ nghim a biu thc v dng ux a 2. Tớch phõn hm vụ t n gin : f x b 1. n , a x dx n = 2m t x = asint, t ; 2 n = 2m + t u a x n = 2m t x = atant, t ; n = 2m + t u x a n = 2m t x n = 2m + t u x a a f x b 2. n , x a dx 2 a f x b 3. n , x a dx a b 4. f x, m a ax b dx cx d t t = m a , t ; , t sin t 2 ax b cx d 3. Tớch phõn hm lng giỏc : b Dng : sin ax cos bxdx bin i tớch thnh tng a b Dng : f sin x, cos x dx vi f sin x, cos x l hm hu t phng phỏp chung t a u tan u x 2u , lỳc ú sin x , cos x u u + Nu f sin x, cos x = f sin x, cos x , t u = tanx, lỳc ú sin x cos x u2 , u 1 u + Nu f sin x, cos x = f sin x, cos x , t u = sinx + Nu f sin x, cos x = f sin x, cos x , t u = cosx Hong Ngc Phỳ Page Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn b Dng : sin m x cos n xdx m, n Z a + Nu m l, n chn : t u = cosx + Nu m chn, n l : t u = sinx + Nu m, n chn : t u = tanx + Nu m, n chn v dng : dựng cụng thc h bc sin x cos x cos x cos x , dx asinx b cos x c x 2dt t t tan dx t2 Dng : I t2 2t Ta cú: sin x v cos x t2 t2 I dx asinx b cos x c 2dt c b t 2at b c dx a sin x b sin x cos x c cos x d dx I a d sin x b sin x cos x c d cos x Dng : I dx cos x a d tan x b tan x c d t t tgx dt Dng : dx I cos x I dt ó tớnh c. a d t bt c d m sin x n cos x p dx a sin x b cos x c +)Tỡm A, B, C cho: Hong Ngc Phỳ Page 10 Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn m sin x n cos x p A a sin x b cos x c B a cos x b sin x C , x +) Vy I m sin x n cos x p dx = a sin x b cos x c = A dx B Tớch phõn a cos x b sin x dx dx C a sin x b cos x c a sin x b cos x c dx tớnh c a cos x b sin x dx ln a sin x b cos x c C Tớch phõn a sin x b cos x c Tớch phõn dx a sin x b cos x c tớnh c. 4. Tớch phõn hm phõn thc : Gi s phi tớnh tớch phõn I = f ( x)dx ,trong ú : P( x) a m x m a m1 x m1 . a1 x a0 f(x) = ; (a m , bn 0) Q( x) bn x n bn1 x n1 . b1 x b0 *Khi m n thỡ chia P(x) cho Q(x) c tng ca mt a thc vi mt phõn thc thc s (phõn thc ỳng). *Khi m < n thỡ f(x) l mt phõn thc ỳng. Vỡ mi a thc bc n vi h s thc Q(x) luụn phõn tớch c thnh tớch nhng tha s l nh thc bc nht hoc tam thc bc hai vụ nghim ú cú th cú nhng tha s trựng .Do vy cỏc phõn thc ỳng ta chỳ ý n bn dng phõn thc c bn sau : Dng I: A xa ; Dng II : A ( x a) k ; Dng III : Ax B x px q ; Dng IV: Ax B ( x px q) k Trong ú k N ; k 2v A,B,a,p,q R ; p2- 4q < (tc l x2+px+q vụ nghim). *Mt phõn thc ỳng cú th phõn tớch thnh tng ca nhng phõn thc c bn nờu trờn (Dựng phng phỏp ng nht hai a thc). Tng quỏt cho cỏch phõn tớch : A A1 A2 P( x) P( x) . x a ( x a) Q( x) ( x a) ( x b) ( x px q) ( x lx s) ( x a) B P x Q M x N B1 B2 M x N1 P x Q1 . 21 . 21 . . x b ( x b) ( x b) x px q ( x px q) x lx s ( x lx s) *Cỏch tớnh tớch phõn ca cỏc phõn thc dng c bn : Dng : Hong Ngc Phỳ A x a dx A ln x a c . Page 11 Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn A Dng : ( x a) Dng : (x Dng : Phng phỏp : dx A ( x a) k d ( x a) dx bx c a. A1 a . dx bx c dx ax bx c A ( x a) k c k Ax B du dt b1 k b2 k px q) u (t a ) k ax Vớ d : ax k dx mx n p dx mx n p mx n arctg c mp p mx n p ln c 2mp mx n p dx dx d 2x 2x ln c 2 x 8x x x 2x b. A1 dx 3x 4x c. 4x dx 6x d. 5x dx 8x C th : Vi ax bx c vi mi x a, b . Xột b 4ac . dx +) Nu = thỡ I = +) Nu > thỡ I = dx b b . Trong ú x1 ; x2 a x x1 x x2 2a 2a b a x 2a tớnh c. I x x1 ln ax1 x2 x x2 dx dx 2 ax bx c b a x 2a 4a b tan t dx tan t dt , ta tớnh c I. t x = 2 a 4a 2a mx n a Dng : dx x px q +) Nu < thỡ I Phng phỏp : B mx n ax bx c dx m 2ax b n mb 2a 2a dx ax bx c m d ax bx c mb m mb n A ln ax bx c n A 2a 2a 2a 2a ax bx c C th : Hong Ngc Phỳ Page 12 Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn Nu mu cú nghim kộp x x tc l ax bx c a( x x0 ) thỡ ta gi s: mx n x ax bx c x x0 x x0 2 Quy ng v phi v ng nht h s hai v tỡm , . Vi , va tỡm ta cú: B mx n ax bx c dx ln x x0 x x0 c Nu mu cú nghim phõn bit x1 , x : ax bx c a( x x1 )( x x ) thỡ ta gi s mx n x ax bx c x x1 x x2 Quy ng v phi v ng nht h s hai v tỡm , . Vi , va tỡm ta cú: B Vớ d : dx ln x x1 ln x x2 c d x x 11 d 3x 11 ln 3x c 2 9 3x 9 3x 9x 6x 3x dx 4x b. Phng phỏp : C C d. 7x ax bx c x 10 x dx dx p mx n dx 8x x 54 ln x mx n k mx n arcsin m p dx c. 3x x 45 16 dx c p x d. 10 x x 45 c 16 dx x 12 x mx + n dx ax + bx + c 2ax b dx x d x x d x x 4x x 4x m d ax bx c mb C 2a 2a ax bx c ax bx c mb ax bx c 2a a. D1 = dx dx x dx 5x Dng : D = Hong Ngc Phỳ m Phng phỏp : D 2a 3x 4dx 2x ax + bx + c dx dx ln mx n 2 ax bx c mx n k m a. C b. c. 6x Dng : C = Vớ d : ax bx c 18 x 11 2x + dx d x 18 x d x 11 dx a. B1 = 2 9x 6x 9x 6x 9x 6x 9x 6x + Vớ d : mx n dx dx x 4x Page 13 Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn d x x dx 2 x 4x x 1 x x ln x x x 10 ln 10 ln 10 ln b. x dx 3x x Dng : E = px + q dx ax bx c a. E1 = Khi ú: E1 dt pt x - dt x 2x t 12 ln t t x 2x x 3x I dx x 2x 2 Hong Ngc Phỳ c. 3x 2x 3x ; E3 dx d. x 3x dx mx n dx m p t t dx x x2 dx x x2 mx + n dx px + q ax + bx + c F 3x px q a. F1 dt 22 ln F Phng phỏp : x 3x ; E2 Dng : F = Vớ d : dx 4x 6x t t t t dx E1 ln ln 12 b. 8x 11dx dt t b q q c t pt 12 t x t t x t dx . t x x ; t t x - 2x + dt dx t dx x-1 dt 1 ; x q. pt t a t p2 Vớ d : x x11 10 ax + bx + c t px q d. dx Phng phỏp : t px q p dx Khi ú: E 3x dx c. ax bx c px q mq n p ax bx c dx x d x x x x dx x m px q n mq p p dx ax bx c px q ax bx c dx x 2x ln x x dx x ln mq m C n E p p dx x 2x 2I J Page 14 Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn x t 1 dx . t x x t . Khi ú: t x2 x dx dt t2 x J 12 J t dt t 1t 1t 2 F1 2I + J ln b. F2 = -2 dx x 4x x 4x x J t2 22 ln 2x 22 x 2 dx x x x I J 2 arcsin x dt ln x 4x x 1t 1 1 t t ln 12 dx dx dt 2t ln t t 2 x t 1 t dx t . t x x ; x 2 t t x 4x dt dx t2 J 12 dx I dt x + dx 2x + -x - 4x - -3 t3 dt 5t 6t arcsin 5t arcsin arcsin 2 Vy F2 I J arcsin arcsin 12 x 7dx c. x x x Dng 10 : G = d. x 7dx x x2 x xdx ax + b cx + d t2 d t dt ; x dx c c dt A at bc ad c Phng phỏp : t t cx2 d t cx d x Khi ú: G t dt 2 c a t d c b t c Vớ d : a. G1 = Hong Ngc Phỳ x t xdx . t t x x t . 2 - 2x 6x + x dx t dt Page 15 Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn Khi ú: G1 16 t b. x t dt t dt 1 t ln ln 16 42 t 2 t xdx x c. 5x xdx Dng 11 : H = 11 3x dx ax + b cx + d Phng phỏp : t xt cx d x t cx d x d td.dt xdx t c t c 2 td.dt t c xdx dt . Khi ú ta cú: 2 t c td t c cx d x xt dx H ax dx b cx d Vớ d : a. H = x dt dt A ad b t c bt ad bc t c dx -2 x2 + . x t x2 t xt x t x x t 3t dt v x t x t x x x dx t t 12 3t dt t x dx dt . t 3t t x x xt dx t dt ln Khi ú ta cú: H 2t 10 t 2 b. 3x c. 5x 2 Dng 12 : I = Phng phỏp : I m Vớ d : a. I = Hong Ngc Phỳ dx x ln 10 2 15 14 15 14 dx 3x x 3x mx + n dx ax + b cx + d xdx ax2 b cx d n ax 4x + dx x - 2x - 3x - 6x + dx b cx d x dx x mG nH x Page 16 Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn 4u du u u du 14 tdt 3u dt 4J 7L t2 tdt udu 3 17 ln 14 t 17 t 17 17 14 17 17 14 17 ln ln ln 17 17 14 17 17 17 14 17 Xột L du 3u ln ln 17 u Xột J u Xột L 2u u udu u udu t tdt t 2 Hong Ngc Phỳ ln 2u t 70 17 17 x dx x 12 x 12 70 17 17 udu 13 t 2u 3tdt 70 17 17 u du 2u . t t 2u u du dt 17 5t 70 17 17 2u 17 17 14 17 85 udu 2u u 85 x + 2x + 2x + 4x - ln 2x + dx 2u du -1 14 17 14 -1 b. I = 14 dt t t 17 t I1 4J 7L 17 t 17 14 du t 2tdt t udu dt . Khi ú: 2 t 2t t 3u u ut du t u . t ut 3u u t 3u u u 3u 2tdt udu J 3u u t 17 t t 17 5 . t t 3u u 14 3u u 3u udu udu L u udu J 3u Xột J 2J L t2 tdt udu 2 dt arctg arctg 13 13 13 13 . t ut 2u u t 2u u t2 3tdt t udu dt . Khi ú: t2 3t t 2u u ut du Page 17 Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn L u du 2u 13 t 1 ln 13 13 t dt t2 2t dt 51 13 5t dt 13 t 78 26 ln ln 65 78 26 78 26 arctg ln arctg 13 13 13 65 78 26 I2 2J L Dng 13 : ax b n dx cx d n2 Phng phỏp : ax bn dx ax b n . dx . T õy t cx d n2 cx d cx d Vớ d : x 33 dx x 15 a. t ax b cx d x 25 dx 3x 55 b. V. Mt s lp tớch phõn c bit : a Bi toỏn 1: a. Nu f(x) liờn tc v l hs l trờn on a, a thỡ : I f x dx a a a a b. Nu f(x) liờn tc v l hs chn trờn on a, a thỡ : I f x dx f x dx a a a. I f x dx f x dx Bi gii : x a t a x t Ta tớnh I f x dx , t x = -t dx = -dt, i cn a I a Vy I = 0 I a a a a f x dx = f t dt f t dt f x dx (Vỡ f l hm s l nờn f t f t b. Tng t cõu a. vỡ f l hm s chn nờn f t f t nờn ta cú : a a a f x dx = f t dt f t dt f x dx Bi toỏn : Nu f(x) liờn tc trờn on 0,1 thỡ : f sin x dx f cos x dx x 0t Bi gii : t x t dx dt , i cn x t 2 Hong Ngc Phỳ Page 18 Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn f sin x dx = f sin t dt f cos t dt f cos x dx 0 Bi toỏn : Nu f(x) liờn tc trờn 0,1 thỡ : x. f sin x dx = f sin x dx x t x t Bi gii : t x t dx dt , i cn I = x. f sin x dx t f sin t dt f sin x dx x. f sin x dx 2I = f sin x dx I = f sin x dx Bi toỏn : Nu a > v f(x) chn, liờn tc trờn R thỡ ta cú: Bi gii : Ta tớnh f x dx f x dx f x dx x x x a a a f x dx f x dx a x x a t f x dx : t x t dx dt , i cn : x x 0t a f x dx a x f xdx f xdx f t dt a' f t dt a x f x dx = x a'1 a x a x ax a a a Bi toỏn : CMR: x a x dx x n a x m dx n m x t a x a t Bi gii : t x a t dx dt , i cn : a a m n n x a x dx a t t dt x a x dx n m m a VI. Mt s cụng thc tớch phõn c bit : xf(sin x)dx 1. 2. f(sin x)dx sinn x dx sinn x cosn x cosn x dx sinn x cosn x ,n 3. Vi a > 0, > hm s f(x) chn v liờn tc trờn on ; thỡ f(x) a x dx f(x)dx . VII. Cỏc cụng thc tớch phõn c bn : 1. Nhúm hm ly tha : Hong Ngc Phỳ Page 19 Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn x n1 x dx n C x dx ln x C x dx x C x n m n n x dx n m x n x dx m n n dx C x dx x C n n n1 x C n n C n 1x n1 dx n n n1 x C x n n M rng : n ax b ax b dx an C n n d ax b ax b C ax b n dx m ax b m n n ax b n C an m n ax bdx an ax b n n 1 ax b dx a ln ax b C ax b n C dx ax b n dx C aax b C n an 1ax b dx n ax b an ax b n n n C 2. Nhúm hm lng giỏc : sin xdx cos x C dx cos x cos xdx sin x C dx sin tan x C tan xdx ln cos x C x cot x C cot xdx ln sin x C M rng : sinax bdx a cosax b C cosax bdx a sinax b C cos ax b a tanax b C cos ax b a cot ax b C tanax bdx a ln cosax b C cot ax bdx a ln sinax b C dx dx 3. Nhúm hm m logarit : e dx e x x a dx x e C ax C ln a Hong Ngc Phỳ a x dx e x C ln xdx xln x C x Page 20 Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn M rng : e axb dx e axb C a a axb a axb dx C a ln a a ln ax bdx a ax bln ax b C ax b 4. Nhúm hm phõn thc : ( a > ) dx arctan x C x x dx x arctan C a a a dx x ln C x x x dx xa ln C 2a x a a M rng : dx ax b ax b arctan C a dx ax b ax b C ln 2a ax b 5. Nhúm hm cn thc : ( a > ) dx x2 dx x arcsin x C ln x x C a x dx x 2 a2 x a x arcsin C 2 a dx arcsin a2 x2 dx x a x C a ln x x a C x a dx x a2 x a ln x x a C 2 M rng : dx ax b ax b dx ax b dx arcsin ax b C a dx ax b ln ax b ax b2 C ax b a2 ax b 2ax b arcsin C 2 ax b ax b2 ln ax b ax b2 2 C VIII. Vi phõn ca hm hp : 1. Nhúm hm ly tha: x 2dxx d x n nx n1dx d d ax b adx dx d x x Hong Ngc Phỳ Page 21 Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn 2. Nhúm hm lng giỏc : d sin x cos xdx d tan x dx tan x dx cos x d cos x sin xxdx d cot x dx sin x 3. Nhúm hm lng giỏc ngc : d arcsin x dx d arccos x dx dx dx x2 dx d arc cot x dx x2 x dx d arctan x dx x2 4. Nhúm hm m v logarit : d ln x d log a x dx x x x d e e dx dx x ln a x x d a a ln adx IX. Phng phỏp tớnh nhanh tớch phõn : Ly o hm u Ly tớch phõn dv + du v du + v n v Vi n l bc ca a thc P(x) Vớ d : a. x x 5cos xdx x 7x cos x + 2x + + + sin x cos x sin x Khi ú kt qu tớch phõn l : x x Hong Ngc Phỳ sin x cos x sin x x 4 Page 22 Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn x b. x 5x 6.e x dx ex x x 5x + e x 3x x ex 6x + e x ex Khi ú kt qu tớch phõn l : x x 5x .e x 3x 8x .e x x 8.e x 6.e x Hong Ngc Phỳ Page 23 Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn Đ Din tớch ca hỡnh phng v th tớch vt th trũn xoay I. Tớnh tớch phõn ca hm s cha du giỏ tr tuyt i : b I f x dx a Xột : f(x) = cú cỏc trng hp sau: a . f(x) khụng cú nghim khỏc a, b trờn a, b thỡ f(x) khụng i du trờn on ú nờn ta cú : b I f x dx a b. f(x) cú cỏc nghim c, d a, b a, b vi c < d thỡ ta cú : c d b a c d c d I f x dx f x dx f x dx I f x dx a f x dx c b f x dx d II. Din tớch ca hỡnh phng c gii hn bi : C1 : y f x; C2 : y g x; x a; x b (trong ú hai ng thng cú th thiu hoc c 2) b b Cụng thc : S S fxfx gxg dx x dx a (2) a Cỏc bc thc hin : Bc : Nu hai ng x a; x b bi cho thiu mt hoc c hai thỡ gii phng trỡnh f(x) = g(x) (Phng trỡnh honh giao im ca (C1) v (C2)) tỡm. Bc : p dng cụng thc (2) Bc : Rỳt gn biu thc f(x) g(x), sau ú xột du ca hiu ny. Bc : Dựng phộp phõn on tớch phõn v ỏp dng nh ngha giỏ tr tuyt i kh du giỏ tr tuyt i Chỳ ý: Nu bi toỏn ny c cho chung bi kho sỏt hm s thỡ ta dựng hỡnh v kh du giỏ tr tuyt i s d dng hn. Cú ngha l, nu trờn mt on tớch phõn no ú trờn hỡnh v, (C1) nm trờn (C2) thỡ hiu f(x) g(x) v ngc li (C1) nm di (C2) thỡ hiu f(x) g(x) III. Din tớch ca hỡnh phng c gii hn bi cỏc ng khụng nm TH 1: Bc : V hỡnh (khụng cn phi kho sỏt) Bc : Chia hỡnh cn tớnh thnh cỏc hỡnh nh cho mi hỡnh nh tớnh c din tớch bng cụng thc (2) Bc : Dựng cụng thc (2) tớnh din tớch cỏc hỡnh nh sau ú tớnh tng din tớch cỏc hỡnh nh. IV. Th tớch ca hỡnh trũn xoay quay hỡnh phng gii hn bi cỏc ng sau õy quanh trc : Hong Ngc Phỳ Page 24 Lý thuyt chng Nguyờn hm - Tớch phõn Quanh trc Ox : C : y f x ; Ox ; x a; x b (trong ú hai ng x a; x b cú th thiu hoc c 2) 2 b b Cụng thc : VV f fxx dx dx (3) a a Cỏc bc thc hin : Bc : Nu hai ng x a; x b bi cho thiu mt hoc c hai thỡ gii phng trỡnh f(x) = (Phng trỡnh honh giao im ca (C1) v trc Ox) tỡm. Bc : p dng cụng thc (3) Quanh trc Oy : C : x f y ; Oy ; y a; y b b b a a y dy f y f2dy Cụng thc : S S Hong Ngc Phỳ Page 25 [...].. .Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân m sin x  n cos x  p  A  a sin x  b cos x  c   B  a cos x  b sin x   C , x +) Vậy I  m sin x  n cos x  p dx = a sin x  b cos x  c = A dx  B  Tích phân a cos x  b sin x dx dx  C  a sin x  b cos x  c a sin x  b cos x  c  dx tính được a cos x  b sin x dx  ln a sin x  b cos x  c  C Tích phân  a sin x  b cos x  c Tích phân. .. pháp tính nhanh tích phân : Lấy đạo hàm u Lấy tích phân dv + du – v – du + v  1 n 0 v Với n là bậc của đa thức P(x) Ví dụ : a  x 2  7 x  5cos 2 xdx x 2  7x  5 cos 2 x + – 2x + 7 – 2 + + 0 1 sin 2 x 2 1  cos 2 x 4 1  sin 2 x 8 Khi đó kết quả tích phân là : x 2  7 x  5 Hoàng Ngọc Phú sin 2 x cos 2 x sin 2 x  2 x  7   2 4 4 Page 22 Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân  x b 3 ... x 2  5x  6 +  e x 3x 2  8 x  5 – ex 6x  8 +  e x 6 – ex Khi đó kết quả tích phân là :  x 3  4 x 2  5x  6 e  x  3x 2  8x  5 e  x  6 x  8.e  x  6.e  x 0 Hoàng Ngọc Phú     Page 23 Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân § Diện tích của hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay I Tính tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối : b I   f x  dx a Xét : f(x) = 0 có... được 4 Tích phân hàm phân thức :  Giả sử phải tính tích phân I =  f ( x)dx ,trong đó :  P( x) a m x m  a m1 x m1   a1 x  a0 f(x) =  ; (a m , bn  0) Q( x) bn x n  bn1 x n1   b1 x  b0 *Khi m  n thì chia P(x) cho Q(x) để được tổng của một đa thức với một phân thức thực sự (phân thức đúng) *Khi m < n thì f(x) là một phân thức đúng Vì mỗi đa thức bậc n với hệ số thực Q(x) luôn phân tích. ..  x  dx n m 0 m a 0 VI Một số công thức tích phân đặc biệt : xf(sin x)dx 1 0 2 2 0 2 f(sin x)dx 0 sinn x dx sinn x cosn x 2 0 cosn x dx sinn x cosn x 4 ,n 3 Với a > 0,  > 0 hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn ; thì f(x) a x 1 dx f(x)dx 0 VII Các công thức tích phân cơ bản : 1 Nhóm hàm lũy thừa : Hoàng Ngọc Phú Page 19 Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân x n1  x dx  n  1  C 1  x dx ... cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện tích bằng công thức (2)  Bước 3 : Dùng công thức (2) để tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích các hình nhỏ IV Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục : Hoàng Ngọc Phú Page 24 Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân Quanh trục Ox : C  : y  f x ; Ox ; x  a; x  b (trong... Q1     21   2   21   2 2   x  b ( x  b) ( x  b) x  px  q ( x  px  q) x  lx  s ( x  lx  s)  *Cách tính tích phân của các phân thức dạng cơ bản :  Dạng 1 : Hoàng Ngọc Phú A  x  a dx  A ln x  a  c Page 11 Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân A  Dạng 2 :  ( x  a)  Dạng 3 :  (x 2   Dạng 4 : Phương pháp :  2 dx  A ( x  a) k d ( x  a)  dx   bx  c a A1... Cụ thể : Hoàng Ngọc Phú Page 12 Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân • Nếu mẫu có nghiệm kép x  x 0 tức là ax 2  bx  c  a( x  x0 ) 2 thì ta giả sử: mx  n     x ax  bx  c x  x0  x  x0 2 2 Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm ,  Với ,  vừa tìm ta có: B    mx  n  ax  bx  c 2 dx   ln x  x0   x  x0 c • Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2 : ax 2  bx... ln a Hoàng Ngọc Phú 0  a  1 x dx  e  x  C  ln xdx  xln x 1  C x  0 Page 20 Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân Mở rộng :   0 e axb  1 dx  e axb   C a a axb  a axb  dx  C a ln a 0  a  1 1  ln ax  bdx  a ax  bln ax  b 1  C ax  b  0 4 Nhóm hàm phân thức : ( a > 0 ) dx  arctan x  C 1 x 2 x 2 dx 1 x 1  ln C 1 2 x  1 x x dx 1... Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối Chú ý: Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử dấu giá trị tuyệt đối sẽ dễ dàng hơn Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó trên hình vẽ, (C1) nằm trên (C2) thì hiệu f(x) – g(x) 0 và ngược lại (C1) nằm dưới (C2) thì hiệu f(x) – g(x) 0 III Diện tích của . in sincos Tích phân  dx tính được Tích phân Ccxbxadx cxbxa xbxa     cossinln cossin sincos Tích phân   cxbxa dx cossin tính được. 4. Tích phân hàm phân thức : Giả sử phải tính tích. )( 22 11 22 11 2 21 slxx QxP slxx QxP qpxx NxM qpxx NxM bx B bx B bx B                   . *Cách tính tích phân của các phân thức dạng cơ bản :  Dạng 1 : caxAdx ax A    ln . Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân Hoàng Ngọc Phú Page 12  Dạng. số có đạo hàm liên tục trên K thì: udv uv vdu  Lý thuyết chương Nguyên hàm - Tích phân Hoàng Ngọc Phú Page 4 § Tích Phân I. Định nghĩa :         aFbF a b xFdxxf b a  