Trong , phương trình 2 2 10 x x + += có nghiệm là: A. 1 2 ( ) ( ) 1 1 1 7; 1 7 4 4 x ix i = −− = −+ B. 1 2 ( ) ( ) 1 1 1 7; 1 7 4 4 x ix i =+ =− C. 1 2 ( ) ( ) 1 1 1 7; 1 7 4 4 x ix i = −+ = − D. 1 2 ( ) ( ) 1 1 1 7; 1 7 4 4 x ix i = + = −− Hướng dẫn giải: Ta có: 2 2 2 ∆= − = − =−
TÁN ĐỔ TỐN PLUS VIP CHỦ ĐỀ 15 TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa Cho f hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F nguyên hàm f [a; b] Hiệu số F (b) − F (a ) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [a; b] hàm số f ( x), kí hiệu b ∫ f ( x)dx a Ta dùng b )dx ∫ f ( x= kí hiệu để b F (= x) a F (b) − F (a ) hiệu số F (b) − F (a ) Vậy b F (= x) a F (b) − F (a ) a Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu b ∫ f ( x)dx b hay ∫ f (t )dt Tích phân a a phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f liên tục không âm đoạn [a; b] tích phân b ∫ f ( x)dx diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục Ox hai a b đường thẳng= x a= , x b Vậy S = ∫ f ( x)dx a Tính chất tích phân a ∫ b f ( x)dx = a b ∫ ∫ a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx a b c c b b b a a a f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ( a < b < c )4.= ∫ k f ( x)dx k.∫ f ( x)dx (k ∈ ) a b ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = a b b ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx a a B KỸ NĂNG CƠ BẢN Một số phương pháp tính tích phân I Dạng 1: Tính tích phân theo cơng thức Ví dụ 1: Tính tính phân sau: dx (1 + x ) a) I = ∫ b) I = ∫ x dx x +1 2x + dx x+3 c) I = ∫ x dx 4− x d) I = ∫ Hướng dẫn giải Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ Tán đổ Toán Plus d (1 + x) (1 + x ) dx (1 + x ) 1 1 2(1 + x) Chủ đề 15 Tích phân a) I = == − = ∫ ∫ 3 x dx = − ln ( x ln( x + 1) ) 10 = 1 − dx =− ∫ x +1 x +1 0 b) I = ∫ 0 2x + dx = + 6ln − 3ln ( x + 3ln( x + 3) ) = 2+ dx = ∫ x+3 x +3 0 1 c) I = ∫ ( ) 1 d 4− x x dx = − = ln | − x | = ln ∫ 2 4− x 4− x d) I = ∫ Bài tập áp dụng ∫( 1) I = 3) I = ∫x ) 2) = I ( x − 1) dx 0 16 ∫x x + x + dx dx x+9 − x 4) I = ∫ − xdx 0 II Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân b Sử dụng tính chất ∫ [f ( x) + g ( x)]dx = a Ví dụ 2: Tính tích phân= I b b a a ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ∫ | x + 1| dx −2 Hướng dẫn giải x + 1, − x − 1, Nhận xét: x + = −1 −1 ≤ x ≤ Do − ≤ x < −1 −1 −1 x2 x2 I =+ | x 1| dx | x 1| dx | x 1| dx x dx x dx x =+ + + = − + + + = − + + + x = ∫ ∫ ∫ ∫( ) ∫( ) 2 −2 −2 −1 −2 −1 −2 −1 2 Bài tập áp dụng 1) = I 2 ∫ | x − | dx 2) = I ∫| x − x − x + | dx −1 −4 π 3) = I x ∫ | − | dx 4) I = π ∫π − | sin x | dx 5)= I ∫ + cos xdx III Dạng 3: Phương pháp đổi biến số 1) Đổi biến số dạng Cho hàm số f liên tục đoạn [a; b] Giả sử hàm số u = u ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] α ≤ u ( x) ≤ β Giả sử viết f ( x) g (u ( x))u '( x), x ∈ [a;b], với g liên tục = đoạn [α ; β ] Khi đó, ta có Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Toán Plus b = I f ( x)dx ∫= a Chủ đề 15 Tích phân u (b ) ∫ g (u )du u (a) π Ví dụ 3: Tính tích phân I = ∫ sin x cos xdx Hướng dẫn giải π π Đặt u = sin x Ta có du = cos xdx Đổi cận: x = ⇒ u (0) = 0; x =⇒ u = 2 π Khi = I 2 xdx ∫ sin x cos= u du ∫= 0 31 = u 3 Bài tập áp dụng 1) I = ∫ x x + 1dx ∫x 2) I = e 3) I = ∫ x + 1dx e2 + ln x dx x 4) I = dx + ln x ∫ 2x e Dấu hiệu nhận biết cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt t= Có Có (ax + b) n = t ax + b Có a f ( x ) t = f ( x) Có f ( x) dx ln x x x Có e dx Có sin xdx Ví dụ I =∫ f ( x) = I ∫0 x( x + 1) π I =∫4 t = ln x biểu thức chứa ln x I =∫ chứa e x t = cos x e t = e x biểu thức = I x3 dx Đặt= t x +1 dx Đặt t= x − e tan x +3 = t tan x + dx Đặt cos x ln xdx Đặt= t ln x + x(ln x + 1) ln 2 x ∫0 2016 x +1 e = t 3e x + 1dx Đặt 3e x + π I = ∫ sin x cos xdx Đặt t = sin x Có cos xdx dx Có cos x dx Có sin x t = sin xdx t = tan x I =∫ π I = ∫ π sin x = t 2cos x + dx Đặt 2cos x + 1 dx = cos x π ∫04 (1 + tan x) dx cos x Đặt t = tan x π t = cot x Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ = I ecot x = ∫π − cos x dx ∫ ecot x dx Đặt t = cot x 2sin x Tán đổ Tốn Plus Chủ đề 15 Tích phân 2) Đổi biến số dạng Cho hàm số f liên tục có đạo hàm đoạn [a; b] Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm liên tục đoạn [α ; β ](*) cho= ϕ (α ) a= ,ϕ ( β ) b a ≤ ϕ (t ) ≤ b với t ∈ [α ; β ] Khi đó: b β a α ∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng π π đặt x | a | sin t ; t ∈ − ; a − x := 2 x − a : đặt = x π π x += a : x | a | tan t ; t ∈ − ; 2 a+x a−x |a| π π ; t ∈ − ; \ {0} sin t 2 a−x : đặt x = a.cos 2t a+x Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt dấu hiệu 1, 2, với x mũ chẵn Ví dụ, để tính tích phân I = x dx ∫ phải đổi biến dạng với tích phân I = ∫ x2 + 0 x3 dx x2 + nên đổi biến dạng Ví dụ 4: Tính tích phân sau: a)= I ∫ dx + x b) I = ∫ − x dx Hướng dẫn giải a) Đặt x = sin t ta có dx = cos tdt Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = π π 2 0 π π Vậy I =∫ − x dx =∫ | cos t |dt =∫ cos tdt =sin t |02 =1 b) Đặt x = tan t , ta có dx= π dx Vậy = = I ∫ 1+ x ∫ dt= x = → t = + tan t dt Đổi cận: π x = → t = ( π t= |04 π ) IV Dạng 4: Phương pháp tính tích phân phần Định lí : Nếu u = u ( x) v = v( x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] b ( x)v '( x)dx ∫ u= a b ( u ( x)v( x) ) a − ∫ u '( x)v( x)dx , b a b b b a a a hay viết gọn ∫ udv = uv |ba − ∫ vdu Các dạng bản: Giả sử cần tính I = ∫ P ( x).Q( x)dx Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Toán Plus P(x): Đa thức Dạng hàm P(x): Đa thức P(x): Đa thức P(x): Đa thức cos ( kx ) Q(x): e kx Q(x): ln ( ax + b ) Q(x): * u = P( x) * u = P( x) Q(x): sin ( kx ) hay * u ln ( ax + b ) * dv Phần lại * dv Phần = biểu thức lại biểu thức * dv = P ( x ) dx dấu tích phân dấu tích phân Cách đặt Chủ đề 15 Tích phân 1 hay cos x sin x * u = P( x) * dv Phần lại biểu thức dấu tích phân Thơng thường nên ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” π Ví dụ 5: Tính tích phân sau : a) I = ∫ x sin xdx e −1 b) I = ∫ x ln( x + 1)dx 0 Hướng dẫn giải u = x ta có dv = sin xdx a) Đặt du = dx v = − cos x π Do I = ( − x cos x ) ∫ x sin xdx = π |02 π π + ∫ cos xdx = + sin x |02 = 0 du = dx = u ln( x + 1) x +1 ta có b) Đặt dv = xdx v = x − e −1 I= ∫ e −1 e −1 x2 − 1 e − 2e + x − − x x ln( x + 1)dx = ln( x + 1) − ∫ ( x − 1)dx = 0 2 2 e −1 e − 2e + e − 4e + e + = − = 2 Bài tập áp dụng π 1) = I ∫ (2 x + 2)e dx x 2) I = ∫ x.cos xdx Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 2π 3) I = ∫ x x sin dx 2 4)= I ∫ ( x + 1) 2x e dx Tán đổ Tốn Plus Chủ đề 15 Tích phân BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu Cho hai hàm số f , g liên tục đoạn [a; b] số thực k tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai? b A b a a b ∫ B a a b C ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx a Câu b b ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b b b a a ∫ xf ( x)dx = x ∫ f ( x)dx D a Cho hàm số f liên tục số thực dương a Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? a A ∫ a f ( x)dx = B ∫ a f ( x)dx = ∫ C a a a f ( x)dx = −1 D ∫ f ( x)dx = f (a) a a Câu Tích phân ∫ dx có giá trị A −1 Câu B Cho số thực a thỏa mãn a ∫e x +1 C D dx= e − , a có giá trị −1 B −1 A Câu Câu D Trong hàm số đây, hàm số có tích phân đoạn [0; π ] đạt giá trị ? A f ( x) = cos x B f ( x) = sin x x π C = f ( x) cos + 4 2 x π D = f ( x) sin + 4 2 Trong tích phân sau, tích phân có giá trị khác ? e2 A ∫ ln xdx B ∫ 2dx Câu C π A f ( x) = e B f ( x) = cos x D Trong hàm số đây, hàm số thỏa mãn x C ∫ sin xdx ∫ xdx −1 −2 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ? C f ( x) = sin x D f ( x)= x + Câu dx có giá trị x Tích phân I = ∫ A 3ln B ln C ln D ln π Câu Tích phân I = ∫ π dx có giá trị sin x A 1 ln B ln C ln D ln Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Toán Plus ∫ (4 − e Câu 10 Nếu − x /2 Chủ đề 15 Tích phân ) dx = K − 2e giá trị K −2 A 12,5 B Câu 11 Tích phân I = ∫ A C 11 D 10 C −2 ln D ln dx có giá trị x −x−2 2 ln B − ln 5 1 ∫ f ( x)dx = ∫ g ( x)dx = Câu 12 Cho hàm số f g liên tục đoạn [1;5] cho −4 Giá trị ∫ [ g ( x) − f ( x)] dx A −6 B Câu 13 Cho hàm số f liên tục đoạn [0;3] Nếu D −2 C ∫ f ( x)dx = tích phân ∫ [ x − f ( x)] dx có 0 giá trị A B Câu 14 Cho hàm số f liên tục đoạn [0;6] Nếu C D ∫ f ( x)dx = 1 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx có giá trị A B −5 C Câu 15 Trong phép tính sau đây, phép tính sai? −2 A ∫ e dx = ( e x ) x B C ∫ x dx = ( ln x ) −2 −3 −3 2π D −9 2π ∫ cos xdx = ( sin x ) π x2 D ∫ ( x + 1) dx = + x 1 π Câu 16 Cho hàm số f liên tục đoạn [a; b] có nguyên hàm hàm F đoạn [a; b] Trong phát biểu sau, phát biểu sai ? b A ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) a B F '( x) = f ( x) với x ∈ (a; b) b C ∫ f ( x)dx = f (b) − f (a) a D Hàm số G cho G= ( x) F ( x) + thỏa mãn b ∫ f ( x)dx = G(b) − G(a) a Tài liệu KYS Ni dưỡng ước mơ Tán đổ Tốn Plus Chủ đề 15 Tích phân Câu 17 Xét hàm số f liên tục số thực a , b , c tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai? b ∫ A a b ∫ C a b a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx c c c b f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx a b B ∫ a b D c ∫ a c b a c c c a b f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx Câu 18 Xét hai hàm số f g liên tục đoạn [ a; b ] Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? b A Nếu m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (a − b) a b ∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) B Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] a C Nếu f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] b ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) a D Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] b ∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) a Câu 19 Cho hai hàm số f g liên tục đoạn [a; b] cho g ( x) ≠ với x ∈ [a; b] Xét khẳng định sau: b I b b ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx a II III a a b b b a a a ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx b b b a a a ∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx b b IV ∫ a f ( x) dx = g ( x) ∫ f ( x)dx a b ∫ g ( x)dx a Trong khẳng định trên, có khẳng định sai? A B Câu 20 Tích phân ∫ x( x − 1)dx C D có giá trị với giá trị tích phân tích phân đây? A ∫ ( x + x − 3) dx 3π B ∫ sin xdx π ln 10 C ∫ 2x e dx D ∫ cos(3 x + π )dx Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Tốn Plus Chủ đề 15 Tích phân Câu 21 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Nếu hàm số f liên tục đoạn [ a; b ] , cho b ∫ f ( x)dx ≥ f ( x) ≥ ∀x ∈ [a; b] a ∫ f ( x)dx = B Với hàm số f liên tục đoạn [−3;3] , ln có −3 C Với hàm số f liên tục , ta có b ∫ a a f ( x)dx = ∫ f ( x)d (− x) b D Với hàm số f liên tục đoạn [1;5] ∫ [ f ( x)] [ f ( x)] dx = Câu 22 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Nếu f hàm số chẵn ∫ f ( x)dx = B Nếu C Nếu −1 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx −1 f hàm số chẵn đoạn [−1;1] f hàm số lẻ đoạn [−1;1] −1 D Nếu ∫ f ( x)dx = f hàm số chẵn đoạn [−1;1] −1 Câu 23 Giả sử F nguyên hàm hàm số y = x sin x khoảng (0; +∞) Khi ∫x sin xdx có giá trị A F (2) − F (1) B − F (1) D F (1) − F (2) C F (2) Câu 24 Cho hàm số f liên tục hai số thực a < b Nếu b ∫ f ( x)dx = α tích phân a b2 ∫ f (2 x)dx có giá trị a A α B 2α C α D 4α Câu 25 Giả sử F nguyên hàm hàm số y = x sin x khoảng (0; +∞) Khi tích phân ∫ 81x3 sin xdx có giá trị A [ F (6) − F (3) ] B F (6) − F (3) C [ F (2) − F (1) ] Câu 26 Giả sử hàm số f liên tục đoạn [0; 2] thỏa mãn D F (2) − F (1) ∫ f ( x)dx = Giá trị tích phân π ∫ f (2sin x) cos xdx A −6 B Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ C −3 D Tán đổ Tốn Plus e Câu 27 Bài tốn tính tích phân I = ∫ Chủ đề 15 Tích phân ln x + ln x dx học sinh giải theo ba bước sau: x I Đặt ẩn phụ= t ln x + , suy dt = ln x + ln x dx = x e II I = ∫ dx x x e t t ( t − 1) dt ∫ 1+ III I = t − = ∫1 t ( t − 1) dt = t 1 Học sinh giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nào? A Bài giải B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I π D Sai Bước III sin x ∫ + cos x dx Thực phép đổi biến t = cos x , ta đưa Câu 28 Xét tích phân I = I dạng sau π A I = − ∫ π 2t dt 1+ t B I = ∫ 2t dt 1+ t 1 2t dt 1+ t 2t C I = − ∫ dt 1+ t D I = ∫ 2 Câu 29 Cho hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [a; b] Trong bất đẳng thức sau, bất đẳng thức đúng? b A ∫ b f ( x) dx > a ∫ B a b C ∫ b f ( x)dx f ( x) dx ≥ a ∫ b b a a a b ∫ f ( x)dx b f ( x ) dx ≥ ∫ f ( x) dx a ∫ f ( x ) dx > ∫ D a f ( x) dx Câu 30 Trong khẳng định đây, khẳng định sai? 1 B ∫ (1 + x) x dx = A ∫ sin(1 − x)dx = ∫ sin xdx 0 π π x C ∫ sin dx = ∫ sin xdx 0 ∫x D −1 2017 (1 + x)dx = 2019 Câu 31 Cho hàm số y = f ( x) lẻ liên tục đoạn [−2; 2] Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? A 2 −2 ∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx C ∫ −2 B f ( x)dx = ∫ f ( x)dx D ∫ −2 −2 Câu 32 Bài toán tính tích phân= I ∫ f ( x)dx = −2 ∫ ( x + 1) 2 f ( x)dx = −2 ∫ f ( x)dx dx học sinh giải theo ba bước sau: −2 I Đặt ẩn phụ = t ( x + 1) , suy = dt 2( x + 1)dx , 10 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Toán Plus e II I = ∫ ln x + ln x dx = x Chủ đề 15 Tích phân t ( t − 1) dt ∫ III I = 1+ t − = ∫1 t ( t − 1) dt = t 1 Vây học sinh giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nào? A Bài giải B Sai từ Bước II π C Sai từ Bước I D Sai Bước III sin x ∫ + cos x dx Thực phép đổi biến t = cos x , ta đưa Câu 63 Xét tích phân I = I dạng sau π 2t A I = ∫ dt 1+ t ∫ B I = 2t dt 1+ t π 2t C I = − ∫ dt 1+ t D I = − ∫ 2t dt 1+ t Câu 64 Cho hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [a; b] Trong bất đẳng thức sau, bất đẳng thức đúng? A b b a a ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ b C b ∫ f ( x) dx ∫ B a f ( x) dx ≥ a b f ( x) dx > b b ∫ f ( x)dx ∫ D a a ∫ f ( x)dx a b f ( x ) dx > ∫ f ( x) dx a Câu 65 Trong khẳng định đây, khẳng định sai? A ∫ (1 + x) x dx = 0 π π 1 0 B ∫ sin(1 − x)dx = ∫ sin xdx x C ∫ sin dx = ∫ sin xdx 0 ∫x D 2017 −1 (1 + x)dx = 2019 Câu 66 Cho hàm số y = f ( x) lẻ liên tục đoạn [−2; 2] Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? A ∫ −2 C 2 f ( x)dx = −2 ∫ f ( x)dx B −2 −2 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx D ∫ f ( x)dx = −2 Câu 67 Bài tốn tính tích phân= I ∫ −2 f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ ( x + 1) dx học sinh giải theo ba bước sau: −2 I Đặt ẩn phụ = t ( x + 1) , suy = dt 2( x + 1)dx , II Từ suy 16 dt dt = dx ⇒ = dx Bảng giá trị 2( x + 1) t x −2 t Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Toán Plus Chủ đề 15 Tích phân III Vậy I =∫ ( x + 1) dx =∫ dt = t = 3 1 t −2 t Vây học sinh giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nào? A Sai Bước III B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Bài giải Câu 68 Một học sinh định lên bảng làm tốn tích phân Mỗi giải 2,5 điểm, giải sai (sai kết sai bước tính nguyên hàm) điểm Học sinh giải tốn sau: Đề Bài Bài giải học sinh ∫e x2 x2 xdx 1 ∫0 x − x − dx= ∫0 x − x − dx 1 x2 ( ) e x e −1 e = xdx e d= x = ∫0 ∫ 20 2 [ln x − x − ] 0= ln − ln 2= Đặt t = cos x , suy dt = − sin xdx Khi x = t = ; x = π t = −1 Vậy π ∫ sin x cos xdx π π + (4 − 2e) ln x dx = ∫1 x e + (4 − 2e) ln x dx ∫1 x e −1 2t = = − == sin x cos xdx sin x cos xdx t dt ∫0 ∫0 ∫1 −1 e ∫ [1 + (4 − 2e) ln x ] d ( ln x ) e = x + (4 − 2e) ln x =3 − e Số điểm mà học sinh đạt bao nhiêu? A 7,5 điểm B 2,5 điểm C 5,0 điểm D 10,0 điểm Câu 69 Cho hai hàm số liên tục f g có nguyên hàm F G đoạn [a; b] Đẳng thức sau đúng? b A a a a b B [ F ( x)G ( x)] a − ∫ F ( x) g ( x)dx b [ f ( x) g ( x)] a − ∫ F ( x) g ( x)dx ∫ f= ( x)G ( x)dx a b a b b a b D b f ( x)G ( x)dx ∫= a C b f ( x)G ( x)dx [ F ( x) g ( x) ] − ∫ F ( x)G ( x)dx ∫= b b f ( x)G ( x)dx [ F ( x)G ( x) ] − ∫ f ( x) g ( x)dx ∫= b a a a Câu 70 Tích phân I = ∫ xe −x dx có giá trị −2 A −2e + B 3e − Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ C −e + D −e − 17 Tán đổ Toán Plus Câu 71 Ta biết cơng thức tích phân phần b F ( x) g ( x)dx ∫= a Chủ đề 15 Tích phân b [ F ( x)G ( x)] a − ∫ f ( x)G ( x)dx , b a F G nguyên hàm f g Trong biến đổi sau đây, sử dụng tích phân phần trên, biến đổi sai? e e ( ln x ) xdx x ln x − ∫ xdx , F ( x) = ln x , g ( x) = x A ∫ = 1 1 e 1 B ∫ = xe x dx ( xe x ) − ∫ e x dx , F ( x) = x , g ( x) = e x 0 π π π C ∫= x sin xdx ( x cos x ) − ∫ cos xdx , F ( x) = x , g ( x) = sin x 0 1 x +1 x +1 D ∫= x dx x dx , F ( x) = x , g ( x) = x +1 −∫ ln ln 0 x +1 π Câu 72 Tích phân π ∫ x cos x + dx có giá trị (π − ) (π + ) (π − ) (π + ) B − C D − 2 2 Câu 73 Cho hai hàm số liên tục f g có nguyên hàm F G đoạn [0; 2] Biết A F (0) = , F (2) = , G (0) = −2 , G (2) = ∫ F ( x) g ( x)dx = Tích phân ∫ f ( x)G( x)dx có giá trị A C −2 B D −4 Câu 74 Cho hai hàm số liên tục f g có nguyên hàm F G đoạn [1; 2] Biết F (1) = , ∫ F ( x) g ( x)dx F (2) = , G (1) = , 2 G (2) = 67 ∫ f ( x)G( x)dx = 12 Tích phân có giá trị A 11 12 B − 145 12 C − Câu 75 Cho hai số thực a b thỏa mãn a < b 11 12 b ∫ x sin xdx = π , D 145 12 đồng thời a cos a = a b b cos b = −π Tích phân ∫ cos xdx có giá trị a A 18 145 12 B π C −π D Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Toán Plus − ln x u dx Đặt = 2x e Câu 76 Cho tích phân: I = ∫ 1 − ln x Khi I B I = − ∫ u du A I = ∫ u du 2 1 Câu 77 Tích phân I = ∫ Chủ đề 15 Tích phân u2 C I = ∫ du D I = − ∫ u du x2 dx có giá trị x − 7x + 12 A 5ln − ln B + ln − ln C + 5ln − ln D + 25ln − 16 ln Câu 78 Tích phân I = ∫ x5 dx có giá trị là: A 19 B 32 C 16 D 21 C D 12 xdx + x ( 1) Câu 79 Tích phân I = ∫ A − B π 2 − x, dv = sin xdx I ∫ (2 − x) sin xdx Đặt u = Câu 80 Cho tích phân= I π π π π 0 π π π B −(2 − x) cos x 02 + ∫ cos xdx A −(2 − x) cos x 02 − ∫ cos xdx π C (2 − x) cos x 02 + ∫ cos xdx D (2 − x) 02 + ∫ cos xdx 0 Câu 81 Tích phân x7 ∫0 (1 + x )5 dx (t − 1)3 dt ∫1 t Câu 82 Tích phân I = ∫ x( x A ln (t − 1)3 ∫1 t dt C (t − 1)3 dt ∫1 t D (t − 1)3 dt ∫1 t C ln D ln A B + 1) 2 dx B ln 2 Câu 83 Cho hai tích phân I = ∫ x dx , J = ∫ xdx Tìm mối quan hệ I J 0 A I J = B I J = Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 32 128 C I − J = 64 D I + J = 19 Tán đổ Toán Plus Chủ đề 15 Tích phân a Câu 84 Cho số thực a thỏa mãn ∫ e x +1dx= e − e , a có giá trị A −1 B C D 2 Câu 85 Tích phân ∫ ke dx (với k số )có giá trị x B e − A k (e − 1) Câu 86 D e − e C k (e − e) Với số k , tích phân sau có giá trị khác với tích phân lại ? C ∫ 3ke3 x dx B ∫ ke x dx A ∫ k (e − 1)dx D ∫ ke x dx 0 Câu 87 Với số thực k , xét phát biểu sau: 1 (I) ∫ dx = ; (II) ∫ kdx = 2k ; Số phát biểu A (IV) ∫ 3kx dx = 2k (III) ∫ xdx = x ; −1 −1 1 −1 B C D Câu 88 Cho hàm số f g liên tục đoạn [1;5] cho 5 ∫ f ( x)dx = ∫ g ( x)dx = −7 và 1 19 Giá trị k ∫ [ g ( x) − kf ( x)] dx = là: A B D −2 C Câu 89 Cho hàm số f liên tục Nếu ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx có giá trị bằng: B −6 A Câu 90 Cho hàm số f liên tục đoạn [0;3] Nếu D −9 C 2 1 −1 ∫ f ( x)dx = tích phân ∫ [ kx − f ( x)] dx = giá trị k A B C D e Câu 91 Tích phân ∫ (2 x − 5) ln xdx e A − ( x − x) ln x − ∫ ( x − 5)dx e 1 e C ( x − x) ln x − ∫ ( x − 5)dx e 1 e B ( x − x) ln x + ∫ ( x − 5)dx e 1 e D ( x − 5) ln x − ∫ ( x − x)dx e π Câu 92 Tích phân I = ∫ cos x cos xdx có giá trị A 20 −5π B π C 3π D π Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Toán Plus π Câu 93 Tích phân I = ∫ A 2π Câu 94 Tích phân I = ∫ 4sin x dx có giá trị + cos x B Chủ đề 15 Tích phân C D 1 + sin xdx có giá trị A B C D − π Câu 95 Tích phân I = ∫ sin x tan xdx có giá trị A ln − Câu 96 B ln − C ln − D ln − Cho hàm số f(x) liên tục f ( x) + f (− x) = cos x với x ∈ Giá trị tích π ∫ phân I = f ( x)dx −π A −2 B ∫ (5 − e Câu 97 Nếu −x 3π 16 C ln − D ln − C D 12,5 ) dx = K − e giá trị K là: −2 A 11 B π Câu 98 Cho tích phân= I ∫ Đặt u + 3cos x sin xdx = 3cos x + Khi I B ∫ u du 30 A ∫ u du 31 Câu 99 Tích phân I = ∫ 8ln x + dx x A −2 B e Câu 100 Tích phân ∫x 13 C u D ∫ u du C ln − D ln − C D 12,5 C D C −2 D − x − dx có giá trị −1 A B 64 Câu 101 Tìm a để ∫ (3 − ax)dx = −3 ? A Câu 102 Nếu B ∫k ( − x3 ) dx = −549 giá trị k là: A ±2 B Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 21 Tán đổ Toán Plus x2 − x + ∫2 x + dx Câu 103 Tích phân A Chủ đề 15 Tích phân + ln 3 + ln B − ln C Câu 104 Cho hàm số f liên tục thỏa f ( x) + f (− x) = D + ln + cos x , với x ∈ Giá trị π ∫ tích phân I = f ( x)dx −π B −7 A C D −2 C D.2 122 Câu 105 Tìm m để ∫ (3 − x) dx = ? m A B 4.2 TÍCH PHÂN I VẬN DỤNG THẤP Câu 106 Giá trị tích phân I = ∫ A π dx − x2 B π π C D π dx + x2 Câu 107 Giá trị tích phân I = ∫ AI = π B I = Câu 108 Giá trị tích phân I = −1 ∫ A I = 5π 12 Câu 109 Tích phân = I ∫x C I = π D I = 3π 12 D I = 5π dx x + 2x + 2 B I = 3π π C I = π 12 x + 5dx có giá trị A 10 6− 3 Câu 110 Tích phân ∫ B 10 7− 10 6− C D 10 6− − x dx có giá trị A π B Câu 111 Tích phân = I ∫x π π C D π x + 1dx có giá trị A 22 −1 B 2 −1 2 −1 C D −1 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Toán Plus Câu 112 Tích phân I = ∫x Chủ đề 15 Tích phân x + 1dx có giá trị −1 A − 28 B − 28 C 28 D 28 C 16 − 10 D 16 − 11 C 166 D 165 C 52 D 51 x dx ( x + 1) x + Câu 113 Giá trị tích phân I = ∫ A 16 − 10 B 16 − 11 ∫ x (1 − x ) dx Câu 114 Giá trị tích phân = I A 167 B 2x2 + x −1 dx x +1 Câu 115 Giá trị tích phân I = ∫ A 53 3− x dx 1+ x π 54 B Câu 116 Giá trị tích phân I = ∫ A 168 − 2+2 Câu 117 Giá trị tích phân B π − 2+2 C π − 3+2 D π − 3+2 ∫ ( x + 1) dx A 30 B 60 Câu 118 Giá trị tích phân ∫x A ln D 30 C ln D ln 4x + dx + x +1 B ln Câu 119 Giá trị tích phân C 60 dx ∫ (2 x − 1) A B Câu 120 Giá trị tích phân ∫ 3 A + 3ln D x −3 dx x +1 + x + 3 B + ln Câu 121 Giá trị tích phân: I = ∫ A ln − C (1 + x +1 1+ 2x ) B ln − Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ B −3 + ln 2 D −3 + 3ln dx C ln − D ln − 23 Tán đổ Toán Plus Chủ đề 15 Tích phân ( x − 1)99 Câu 122 Giá trị tích phân: I = ∫ dx 101 ( x + 1) A 1 2100 − 1 900 B 2101 − 1 900 C 299 − 1 900 D 298 − 1 900 C 2001.21002 D 2002.21002 x 2001 dx có giá trị (1 + x )1002 Câu 123 Tích phân I = ∫ A 2002.21001 Câu 124 Giá trị tích phân B 2001.21001 2π ∫ cos(3x − π 2π )dx 3 A − B − C − D − D 2 π Câu 125 Giá trị tích phân I = ∫ cos x cos xdx A π B π π C π π x sin x dx cos x + Câu 126 Giá trị tích phân: I = ∫ A π2 B π2 C π2 D π2 π Câu 127 Giá trị tích phân J = ∫ ( sin x + 1) cos xdx A B D C ln D ln D ln D 12 19 C π Câu 128 Giá trị tích phân I = ∫ π sin x − cos x dx + sin x A ln B ln π sin x dx + 3cos x Câu 129 Giá trị tích phân I = ∫ A ln B ln ln C Câu 130 Giá trị tích phân = I ∫ − cos3 x sin x.cos5 xdx A 24 21 91 B 12 91 C 21 19 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Tốn Plus Chủ đề 15 Tích phân π cos x dx (sin x + cos x)3 Câu 131 Giá trị tích phân I = ∫ A B C D C D π Câu 132 Giá trị tích phân I = sin xdx ∫ ( sin x + cos x) A B π Câu 133 Giá trị tích phân I = ∫ cos x sin xdx A I = π 32 B I = π C I = 16 π D I = π π 4 6 Câu 134 Giá trị tích phân I = ∫ (sin x + cos x)(sin x + cos x)dx A I = 32 π 128 B I = 33 π 128 C I = 31 π 128 D I = 30 π 128 π Câu 135 Giá trị tích phân I = ∫ A B sin x sin x + cos x dx C D π xdx sin x + Câu 136 Giá trị tích phân I = ∫ A I = π B I = π C I = π D I = π π sin 2007 x dx 2007 2007 sin x + cos x Câu 137 Giá trị tích phân I = ∫ A I = π B I = π C I = 3π D I = 5π π Câu 138 Giá trị tích phân ∫ cos 11 xdx A 250 693 B 254 693 C 252 693 D 256 693 π Câu 139 Giá trị tích phân ∫ sin10 xdx Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 25 Tán đổ Toán Plus A 67π 512 61π 512 B Chủ đề 15 Tích phân 63π 512 C D 65π 512 dx + ex Câu 140 Giá trị tích phân I = ∫ e B ln e +1 2e A ln e +1 Câu 141 Giá trị tích phân I = ln e x dx ∫ ex −1 ln A 2e D ln e +1 10 B Câu 142 Giá trị tích phân = I e C ln e +1 C 20 D C −π D −π ln ∫ e x − 1dx B −π A −π Câu 143 Giá trị tích phân I = ln ∫ A 2 − (e Câu 144 Giá trị tích phân I = e x + 1) dx −1 B ex dx ∫ x ln x − C D 2 − e A ln B ln Câu 145 Giá trị tích phân: I = ln ∫e ln A ln − ln Câu 146 Cho M = ∫e A e x dx x −1 + ex − B 2ln3 – C ln D ln C ln − D ln − 2e + e − dx Giá trị e M x 2x + e − e +1 3x 2x 3x B C 11 D B 3 − 8 C 3 − 8 D 3 4 − 8 ln x + ln x dx x e Câu 147 I = ∫ A 3 5 − 8 ln(1 + x) dx + x2 Câu 148 Giá trị tích phân I = ∫ A I = 26 π ln B I = π ln C I = π ln D I = π ln Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Tốn Plus Chủ đề 15 Tích phân Câu 149 Cho hàm số f(x) liên tục thỏa f (− x) + f ( x) = cos x Giá trị tích phân π I= ∫π − f ( x)dx II VẬN DỤNG CAO A I = B I = C I = D I = Câu 150 Tìm hai số thực A, B cho f ( x) A sin π x + B , biết f '(1) = ∫ f ( x)dx = = A = B B = − π A = −2 A B = − π A = −2 C B = π 2 A = − D π B = Câu 151 Giá trị a để đẳng thức ∫ a + (4 − 4a ) x + x dx = ∫ xdx đẳng thức A B Câu 152 Giá trị = tích phân I a ∫x A π 4a B C D dx ( a > 0) + a2 π2 4a C − π2 4a D − π 4a π cos x dx + cos x Câu 153 Giá trị tích phân I = ∫ A π B π 2 C 4π D −π dt Tích phân sau có giá trị với giá trị tích phân cho 1+ t2 x Câu 154 Cho I = ∫ x x dt 1+ t dt 1+ t2 A − ∫ B ∫ x x dt 1+ t dt 1+ t C ∫ D − ∫ π Câu 155 Giá trị tích phân I = ∫ π ln(sin x)dx sin x A − ln + + π C − ln − − π π B ln + − D − ln + − π Câu 156 Giá trị tích phân I = ∫ {1, x } dx A B Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ C 3 D − 27 Tán đổ Toán Plus Câu 157 Giá trị tích phân I = −3 dx dx 1− x ∫x −8 A ln Chủ đề 15 Tích phân C − ln B D ln x3 − ln x ∫1 x dx= + ln Giá trị của a là a Câu 158 Biết I= A C π B ln Câu= 159 Cho I1 π π 2 sin x dx Khẳng định sau sai ? (sin 2) x + ∫ cos x 3sin x + 1dx , I = ∫ A I1 = D 14 3 B = I 2 ln + 2 B I1 > I D I 2 ln − = m ∫ ( x + 5) dx = Câu 160 Tất giá trị tham số m thỏa mãn B m = −1, m = −6 A m = 1, m = −6 D = m 1,= m C m = −1, m = π Câu 161 Cho hàm số h( x) = sin x a cos x b cos x Tìm để tính I = = h ( x ) + ∫0 h( x)dx (2 + sin x) (2 + sin x) 2 + sin x A a = 2; I = −4, b = + ln 2 B a =4, b =−2; I =− − ln 3 C a= 2, b= 4; = I − + ln 3 D a = 4; I = −2, b = + ln Câu 162 Giá trị trung bình hàm số y = f ( x ) [ a; b ] , kí hiệu m ( f ) tính theo cơng b thức m ( f ) = f ( x ) dx Giá trị trung bình hàm số f ( x ) = sin x [ 0; π ] b − a ∫a A π B π C π D π π dx Câu 163 Cho ba tích phân I = ∫ = , J 3x + có giá trị A K 4 ∫ ( sin x − cos x ) dx K= B I + x + 1) dx Tích phân −1 C J a ∫x a−2 2a − ∫ (x 21 ? Câu 164 Với < a < , giá trị tích phân sau A ln B ln a−2 a −1 D J K dx dx là: − 3x + C ln a−2 ( a − 1) D ln a−2 2a + 1 x3 dx = Khi đó giá trị 144m − bằng ( 2) x + Câu 165 Cho 3m − ∫ 28 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP Tán đổ Toán Plus A −2 B − C Chủ đề 15 Tích phân D − Câu 166 Cho hàm số f liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm liên tục ( a; b ) , đồng thời thỏa mãn f (a ) = f (b) Lựa chọn khẳng định khẳng định sau b A ∫ f '( x).e b f ( x) dx = B a ∫ f '( x).e f ( x) dx = f ( x) dx = a b C ∫ f '( x).e b f ( x) dx = −1 D a ∫ f '( x).e a Câu 167 Kết phép tính tích phân I = ∫ dx có dạng = I a ln + b ln ( a, b ∈ ) Khi x 3x + a + ab + 3b có giá trị A B C D π ∫ (1 − cos x ) Câu 168 Với n ∈ , n ≥ , tích phân= I n sin xdx có giá trị A 2n B n −1 C n +1 D n π Câu 169 Với n ∈ , n > , giá trị tích phân ∫ A − π B Câu 170 Giá trị tích phân π n sin x dx n cos x + n sin x C 3π D − 3π 2017π ∫ − cos 2xdx B −4043 A 3034 C 3043 D 4034 C ln − D −2 ln − π (1 + sin x)1+ cos x Câu 171 Giá trị tích phân ∫ ln dx + cos x B −2 ln − A ln − b Câu 172 Có giá trị b thỏa mãn ∫ (3 x − 12 x + 11)dx = A B b Câu 173 Biết ∫ 6dx = A Câu 174 Biết D a ∫ xe dx = a Khi biểu thức b x + a + 3a + 2a có giá trị B C D bπ a ∫x C dx B = A , ∫ 2dx = B (với a, b > ) Khi giá trị biểu thức 4aA + +a 2b A 2π B π Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ C 3π D 4π 29 Tán đổ Toán Plus Chủ đề 15 Tích phân ĐÁP ÁN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A B A A A C D C D B A D B B C C D B C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C A A A B D D D C B B C A B C D B D C A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 C B B C B C D D D D B A A C D B A A C A 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A D A B A D B C B D C D C A D B D A C B 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A D A B A D B C B D C D C A D B D D C A 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A D A B A D B C B D C D C A D B A C B B 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 D A B A A A C D C D B A D B B C C D B C 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 C A A A B D D D C B B C A B C D B D C A 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 C B B C B C D D C D B A A C D B A A C A 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 A D A B A D B C B D C D C A Contact us: Hotline: 099.75.76.756 Admin: fb.com/tritranbk Email: tailieukys@gmail.com Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser 30 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ... thức lại biểu thức * dv = P ( x ) dx dấu tích phân dấu tích phân Cách đặt Chủ đề 15 Tích phân 1 hay cos x sin x * u = P( x) * dv Phần lại biểu thức dấu tích phân Thơng thường nên ý: “Nhất log, nhì... f ( x)dx = Giá trị tích phân π ∫ f (2sin x) cos xdx A −6 B Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ C −3 D Tán đổ Toán Plus e Câu 27 Bài tốn tính tích phân I = ∫ Chủ đề 15 Tích phân ln x + ln x dx... Câu 55 Tích phân ∫ x( x − 1)dx C D có giá trị với tích phân tích phân ? π A ∫ cos(3 x + π )dx 3π ln 10 C ∫ ( x + x − 3) dx B ∫ sin xdx D ∫ e x dx 0 Câu 56 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?