1. Hàm số y x = sin • Tập xác định: D R = • Tập giác trị: 1;1 − , tức là −≤ ≤ ∀∈ 1 sin 1 x xR • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 2; 2) 2 2 π π −+ + k k π π , nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ( 2; 2) 2 2 π π + + k k π π . • Hàm số y x = sin là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. • Hàm số y x = sin là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π . • Đồ thị hàm số y x
TỔNG ƠN TỐN 11 VIP CHỦ ĐỀ 10 DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n, ta thực sau: • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = • Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k ≥ 1), chứng minh mệnh đề với n = k + Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) với với số nguyên dương n ≥ p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k ≥ p phải chứng minh mệnh đề với n = k + Dãy số u : * → Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, … n u ( n) Dãy số tăng, dãy số giảm • (un) dãy số tăng ⇔ un+1 > un với ∀ n ∈ N* ⇔ un+1 – un > với ∀ n ∈ N* ⇔ un +1 > với ∀n ∈ N* ( un > 0) un • (un) dãy số giảm ⇔ un+1 < un với ∀n ∈ N* ⇔ un+1 – un< với ∀ n ∈ N* ⇔ un +1 < với ∀n ∈ N* (un > 0) un Dãy số bị chặn • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃M ∈ R: un ≤ M, ∀n ∈ N* • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃m ∈ R: un ≥ m, ∀n ∈ N* • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃m, M ∈ R: m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N* B – BÀI TẬP DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ Câu 1: Cho dãy số có số hạng đầu là: −1,3,19,53 Hãy tìm quy luật dãy số viết số hạng thứ 10 dãy với quy luật vừa tìm B u10 = 71 A u10 = 97 Câu 2: Cho dãy số ( un ) với un = a ( n + 1) A un +1 = n+2 C u10 = 1414 D u10 = 971 an (a: số) un +1 số hạng sau đây? n +1 a ( n + 1) B un +1 = n +1 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học a.n + C un +1 = n +1 an D un +1 = n+2 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 10 Dãy số Câu 3: Cho dãy số có số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25; Số hạng tổng quát dãy số là: un 5(n − 1) A = B un = 5n C un = + n 5.n + D u= n Câu 4: Cho dãy số có số hạng đầu là: 8,15, 22, 29,36, Số hạng tổng quát dãy số là: 7n + A u= n B un = 7.n 7.n + C u= n D un : Không viết dạng công thức Câu 5: Cho dãy số có số hạng đầu là: 0; ; ; ; ; Số hạng tổng quát dãy số là: n +1 n n −1 n2 − n B un = C un = D un = n n n +1 n +1 Câu 6: Cho dãy số có số hạng đầu là: 0,1;0, 01;0, 001;0, 0001; Số hạng tổng quát dãy số A un = có dạng? 1 u 0, 00 01 = 0, 00 01 B C D u = u = n n n − n 10 10n +1 n chữ số n−1 chữ số Câu 7: Cho dãy số có số hạng đầu là: −1;1; −1;1; −1; Số hạng tổng quát dãy số có dạng A un = B un = −1 A un = C un = (−1) n D un = ( −1) n +1 Câu 8: Cho dãy số có số hạng đầu là: −2;0; 2; 4;6; Số hạng tổng quát dãy số có dạng? A un = −2n B un =( −2 ) + n C un = ( −2 ) (n + 1) D un =( −2 ) + ( n − 1) Câu 9: Cho dãy số có số hạng đầu là: A un = 1 3n +1 B un = 3n +1 1 1 ; ; ; ; ; ….Số hạng tổng quát dãy số là? 32 33 34 35 C un = 3n D un = 3n −1 u = Câu 10: Cho dãy số ( un ) với Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây? un + n un += A un = (n − 1)n C un = + (n + 1)n B un = + (n − 1)n D un = + (n + 1)(n + 2) u1 = Câu 11: Cho dãy số ( un ) với n Số hạng tổng quát un dãy số số hạng un +1 = un + ( −1) đây? A un = + n B un = − n C un = + ( −1) 2n D un = n u1 = Câu 12: Cho dãy số ( un ) với n +1 Số hạng tổng quát un dãy số số hạng un +1 = un + ( −1) đây? A un= − n B un không xác định Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 C un = − n D un = −n với n Chủ đề 10 Dãy số u1 = Câu 13: Cho dãy số ( un ) với Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây? un + n un += A un = + n ( n + 1)( 2n + 1) B un = + n ( n − 1)( 2n + ) C un = + n ( n − 1)( 2n − 1) D un = + n ( n + 1)( 2n − ) Câu 14: Cho dãy số ( un ) u1 = với un +1 − un = 2n − Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây? A un =2 + ( n − 1) C un =2 + ( n + 1) B un= + n D un =2 − ( n − 1) u1 = −2 Câu 15: Cho dãy số ( un ) với Công thức số hạng tổng quát dãy số là: u =− − n + un A un = − n −1 n B un = Câu 16: Cho dãy số ( un ) A un = + ( n − 1) Câu 17: Cho dãy số ( un ) ( −1) 2 C un = − n +1 n D un = − n n +1 u1 = với Công thức số hạng tổng quát dãy số là: un += un − 1 B un = − ( n − 1) C un= − 2n D un= + 2n u1 = −1 với un Công thức số hạng tổng quát dãy số là: un +1 = n A un = n +1 n B un = ( −1) 2 n +1 1 C un = 2 n −1 D un = ( −1) 2 n −1 u = Câu 18: Cho dãy số ( un ) với Công thức số hạng tổng quát dãy số : un +1 = 2un A un = n n −1 Câu19 : Cho dãy số ( un ) A un = −2n −1 B un = 2n C un = 2n +1 D un = u1 = với Công thức số hạng tổng quát dãy số này: un +1 = 2un B un = −1 2n −1 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học C un = −1 2n D un = 2n − Tổng ơn Tốn 11 Câu 20: Cho dãy số (un ) xác định un = A 11 17 25 47 ; ; ;7; 13 17 25 47 ; ; ;7; B Chủ đề 10 Dãy số n + 3n + Viết năm số hạng đầu dãy; n +1 C 11 14 25 47 ; ; ;7; D Câu 21: Dãy số có số hạng nhận giá trị nguyên A B C 11 17 25 47 ; ; ;8; D Khơng có u = Câu 22: Cho dãy số (un ) xác định bởi: Viết năm số hạng đầu dãy; 2un −1 + ∀n ≥ n u= A 1;5;13;28;61 B 1;5;13;29;61 C 1;5;17;29;61 D 1;5;14;29;61 u = un2 + 2vn2 u1 3,= v1 n +1 Câu 23: Cho hai dãy số (un ), (vn ) xác định sau= với n ≥ vn +1 = 2un Tìm cơng thức tổng qt hai dãy (un ) (vn ) ) ( ( ) 2 +1 + −1 un = A 2n vn = + − −1 2 n ( n ) ( ) 2n 2n 2n 1 +1 + −1 n u= C n 2n = +1 − −1 v n ( ) ( ( ) ( ) ) n u= B v= n 1 1 ( ( ) +( +1 2n ) −( +1 2n ) n −1 −1 2n ) 2n 2n 1 +1 + −1 n u= D n 2n = +1 − −1 v n 2 ( ) ( ( ) ( ) ) Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 10 Dãy số DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN 3n − 2n + Câu 1: Xét tính tăng giảm dãy số sau: un = n +1 A Dãy số tăng B Dãy số giảm C Dãy số không tăng không giảm D Cả A, B, C sai Câu 2: Xét tính tăng giảm dãy số sau: un =− n n2 − A Dãy số tăng C Dãy số không tăng không giảm B Dãy số giảm D Cả A, B, C sai Câu 3: Xét tính tăng giảm dãy số sau: un = A Dãy số tăng C Dãy số không tăng không giảm 3n − 2n B Dãy số giảm D Cả A, B, C sai n + ( −1) Câu 4: Xét tính tăng giảm dãy số sau: un = n2 A Dãy số tăng B Dãy số giảm C Dãy số không tăng không giảm D Cả A, B, C sai n 2n − 13 3n − B Dãy số giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai Câu 5: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: un = A Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn n + 3n + Câu 6: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: un = n +1 A Dãy số tăng, bị chặn B Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai Câu 7: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: un = A Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số giảm, bị chặn 1 + n + n2 B Dãy số tăng, bị chặn D Cả A, B, C sai 2n Câu 8: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: un = n! A Dãy số tăng, bị chặn B Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai 1 + + + 2 n B Dãy số tăng, bị chặn D Cả A, B, C sai Câu 9: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: un =1 + A Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số giảm, bị chặn Câu 10: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = A Bị chặn B Không bị chặn Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 2n + n+2 C Bị chặn D Bị chặn Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 10 Dãy số Câu 11: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = (−1) n A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn C Bị chặn D Bị chặn 3n − Câu 12: Xét tính bị chặn dãy số sau: u= n A Bị chặn B Khơng bị chặn Câu 13: Xét tính bị chặn dãy số sau: un =4 − 3n − n A Bị chặn B Không bị chặn Câu 14: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = A Bị chặn B Không bị chặn Câu 15: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = A Bị chặn B Không bị chặn Câu 16: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = A Bị chặn B Không bị chặn Câu 17: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn n2 + n + n2 − n + C Bị chặn D Bị chặn n +1 n2 + C Bị chặn D Bị chặn 1 + + + n.(n + 2) 1.3 2.4 C Bị chặn D Bị chặn 1 + + + 1.3 3.5 ( 2n − 1)( 2n + 1) C Bị chặn D Bị chặn u1 = Câu 18: Xét tính bị chặn dãy số sau: un −1 + = , n≥2 un u + n −1 A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn u1 = Câu 19: Xét tính tăng giảm dãy số sau: un +1 = un + 1, n ≥ A Tăng C Không tăng, không giảm B Giảm D A, B, C sai u1 = Câu 20: Xét tính tăng giảm dãy số sau: un2 + = u n +1 A Tăng C Không tăng, không giảm Câu 21: dãy số (un ) xác định bởi= un đúng? A Tăng C Không tăng, không giảm n ≥1 B Giảm D A, B, C sai 2010 + 2010 + + 2010 (n dấu căn)Khẳng định sau B Giảm D A, B, C sai u1 1,= u2 = Khẳng định sau đúng? Câu 22: Cho dãy số (un ) : u u + , n ≥ un = n −1 n−2 A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 C Khơng tăng, khơng giảm Câu 23: Cho dãy số= (un ) : un Chủ đề 10 Dãy số D A, B, C sai an + , n ≥ Khi a = , tìm số hạng đầu dãy 2n − u1 2,= u2 A.= 10 14 18 22 = , u3 = , u4 = , u5 u1 6,= u2 B.= 10 14 18 22 = , u3 = , u4 = , u5 u1 6,= u2 C.= 1 18 22 = , u3 = , u4 = , u5 10 22 = , u3 = , u4 = , u5 Câu 24: Tìm a để dãy số cho dãy số tăng u1 6,= u2 D.= A a < B a < −2 C a < D a < −4 u = Câu 25: Cho dãy số (un ) : Viết số hạng đầu dãy un = 3un −1 − 2, n = 2,3 u1 2,= u2 5,= u3 10,= u4 28,= u5 82,= u6 244 A.= u1 2,= u2 4,= u3 10,= u4 18,= u5 82,= u6 244 B.= u1 2,= u2 4,= u3 10,= u4 28,= u5 72,= u6 244 C.= u1 2,= u2 4,= u3 10,= u4 28,= u5 82,= u6 244 D.= Câu 26: Cho dãy số un =−5.2n −1 + 3n + n + , n = 1, 2, Viết số hạng đầu dãy u1 1,= u2 3,= u3 12,= u4 49,= u5 170 A.= u1 1,= u2 3,= u3 12,= u4 47,= u5 170 B.= u1 1,= u2 3,= u3 24,= u4 47,= u5 170 C.= u1 1,= u2 3,= u3 12,= u4 47,= u5 178 D.= Câu 27: Cho dãy số (un ) : un = (1 − a ) n + (1 + a ) n ,trong a ∈ (0;1) n số nguyên dương a)Viết công thức truy hồi dãy số u1 = A n n u = un + a (1 + a ) + (1 − a ) n +1 u1 = B n n u = un + 2a (1 + a ) − (1 − a ) n +1 u1 = C n n un +1 = 2un + a (1 + a ) − (1 − a ) u1 = D n n un +1 = un + a (1 + a ) − (1 − a ) b)Xét tính đơn điệu dãy số A Dãy (un ) dãy số tăng B Dãy (un ) dãy số giảm C Dãy (un ) dãy số không tăng, không giảm D A, B, C sai Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ôn Toán 11 u1 = Câu 28: Cho dãy số (un ) xác định sau: un = 3un −1 + 2u − 2, n ≥ n −1 Chủ đề 10 Dãy số Viết số hạng đầu dãy chứng minh un > 0, ∀n u1 1,= u2 A.= 47 227 , u3 ,= = u4 34 u1 1,= u2 B.= 17 227 = u4 , u3 ,= 34 u1 1,= u2 C.= 19 227 u4 = , u3 ,= 34 u1 1,= u2 D.= 17 2127 = , u3 ,= u4 34 u0 = 2011 Câu 29: Cho dãy số (un ) xác định : un2 u = ∀n 1, 2, n +1 u + ,= n a) Khẳng định sau A Dãy (un ) dãy giảm B Dãy (un ) dãy tăng C Dãy (un ) dãy không tăng, không giảm D A, B, C sai b) Tìm phần nguyên un với ≤ n ≤ 1006 A = [un ] 2014 − n un ] 2011 − n B [= un ] 2013 − n C [= D = [un ] 2012 − n = u2 u 2,= Câu 30: Cho dãy số (un ) xác định bởi: un + = un + 2un +1 , ∀n = 1, 2, a n + bn a) Gọi a, b hai nghiệm phương trình x − x − =0 Chứng minh rằng: u= n (−1) n −1.8 b) Chứng minh rằng: un2+1 − un + 2un = n +1 n+2 C Tăng, chặn Câu 31: Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số sau: (un ) : un = A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn D Giảm, chặn Câu 32: Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số sau: (un ) : un = n3 + 2n + A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn D Giảm, chặn u1 = Câu 33: Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số sau: (un ) : un + , ∀n ≥ un +1 = A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn D Giảm, chặn u2 = u1 2,= Câu 34: Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số sau: un + un −1 , ∀n ≥ un += A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn D Giảm, chặn x0 = yn xn +1 − xn Khẳng định Câu 35: Cho dãy số ( xn ) : Xét dãy số = 2n n −1 = x = x , n 2,3, ∑ n i (n − 1) i =1 dãy ( yn ) A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn D Giảm, chặn Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Câu 36: Cho dãy số (Un ) với Un = Chủ đề 10 Dãy số −n Khẳng định sau đúng? n +1 −1 −2 −3 −5 −5 ; ; ; ; −1 −2 −3 −4 −5 B số số hạng đầu dãy : ; ; ; ; A Năm số hạng đầu dãy : C Là dãy số tăng D Bị chặn số Câu 37: Cho dãy số ( un ) với un = Khẳng định sau sai? n +n 1 1 A Năm số hạng đầu dãy là: ; ; ; ; ; 12 20 30 B Là dãy số tăng C Bị chặn số M = D Không bị chặn −1 Khẳng định sau sai? n −1 −1 −1 −1 A Năm số hạng đầu dãy : −1; ; ; ; Câu 38: Cho dãy số ( un ) với un = B Bị chặn số M = −1 C Bị chặn số M = D Là dãy số giảm bị chặn số m M = −1 Câu 39: Cho dãy số ( un ) với un = a.3n ( a : số).Khẳng định sau sai? A Dãy số có un +1 = a.3n +1 3.a B Hiệu số un +1 − un = C Với a > dãy số tăng D Với a < dãy số giảm Câu 40: Cho dãy số ( un ) với un = A Dãy số có un +1 = a −1 Khẳng định sau đúng? n2 a −1 n2 + B Dãy số có : un +1 = C Là dãy số tăng a −1 ( a : số) Khẳng định sau sai? n2 a −1 (n + 1) C Hiệu un +1 − un = ( a − 1) ( n + 1) D Là dãy số tăng Câu 41: Cho dãy số ( un ) với un = A un +1 = a −1 B Hiệu un +1 − un =(1 − a ) 2n − ( n + 1) n2 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 2n − ( n + 1) n2 D Dãy số tăng a < Tổng ơn Tốn 11 an ( a : số) Kết sau sai? n +1 Câu 42: Cho dãy số ( un ) với un = Chủ đề 10 Dãy số a ( n + 1) A un +1 = n+2 a ( n + 3n + 1) B un +1 − un = (n + 2)(n + 1) C Là dãy số tăng với a D Là dãy số tăng với a > Câu 43: Cho dãy số ( un ) với un = A Số hạng thứ dãy số k ( k : số) Khẳng định sau sai? 3n k 35 k 3n +1 D Là dãy số tăng k > C Là dãy số giảm k > Câu 44: Cho dãy số ( un ) với un = A Số hạng thứ dãy số B Số hạng thứ n dãy số (−1) n −1 Khẳng định sau sai? n +1 10 C Đây dãy số giảm Câu 45: Cho dãy số ( un ) có u= n B Số hạng thứ 10 dãy số −1 11 D Bị chặn số M = n − với n ∈ N * Khẳng định sau sai? A số hạng đầu dãy là: 0;1; 2; 3; B Số hạng un +1 = n C Là dãy số tăng D Bị chặn số Câu 45: Cho dãy số ( un ) có un =−n + n + Khẳng định sau đúng? A số hạng đầu dãy là: −1;1;5; −5; −11; −19 B un +1 =−n + n + C un −1 − un = D Là dãy số giảm Câu 46: Cho dãy số ( un ) với un = A un +1 = −1 ( n + 1) +1 −1 Khẳng định sau sai? n +1 C Đây dãy số tăng B un > un +1 D Bị chặn π Khẳng định sau sai? n +1 π A Số hạng thứ n + dãy: un +1 = sin B Dãy số bị chặn n+2 Câu 47: Cho dãy số ( un ) với un = sin C Đây dãy số tăng 10 D Dãy số không tăng không giảm Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 ( ) − 2 =2 − • Ta có: u1 − 2v1 = ( ) • Giả sử uk − 2vk = − Chủ đề 10 Dãy số nên (2) với n = 2k , ta có: ( uk +1 − 2vk +1 = uk − 2vk )= ( − 1) 2k +1 Vậy (2) với ∀n ≥ ( ) Theo kết đề ta có: un + 2vn = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 = + + − u n Do ta suy 2n 2 2v = + − −1 n n 2n n 2n 2n 2n 1 u = + + − 2 n 2 Hay n 2n v = +1 − −1 n 2 ) ( ( ( 18 ) ( ) ) Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 10 Dãy số DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN Câu 1: Xét tính tăng giảm dãy số sau: un = A Dãy số tăng C Dãy số không tăng không giảm 3n − 2n + n +1 B Dãy số giảm D Cả A, B, C sai Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có:= un +1 − un 5n + 10n + > nên dãy (un ) dãy tăng ( n + 1)( n + ) Câu 2: Xét tính tăng giảm dãy số sau: un =− n n2 − A Dãy số tăng C Dãy số không tăng không giảm B Dãy số giảm D Cả A, B, C sai Hướng dẫn giải: Ta có: un +1 − un = ( n + 1) + ( n + 1) −1 − n + n2 − ⇒ dãy (un ) tăng 2n +1 n + ( −1) Câu 4: Xét tính tăng giảm dãy số sau: un = n2 A Dãy số tăng B Dãy số giảm C Dãy số không tăng không giảm D Cả A, B, C sai Hướng dẫn giải: Chọn C n u > u1 Ta có: u1 = 0; u2 == ; u3 ⇒ ⇒ Dãy số không tăng không giảm u3 < u2 Câu 5: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: un = Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 2n − 13 3n − 19 Tổng ơn Tốn 11 A Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn B Dãy số giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai Chủ đề 10 Dãy số Hướng dẫn giải: Chọn A 2n − 11 2n − 13 34 − = > với n ≥ 3n + 3n − (3n + 1)(3n − 2) Ta có: un +1 −= un Suy un +1 > un ∀n ≥ ⇒ dãy (un ) dãy tăng Mặt khác: un = 35 − ⇒ −11 ≤ un < ∀n ≥ 3(3n − 2) Vậy dãy (un ) dãy bị chặn n + 3n + n +1 B Dãy số tăng, bị chặn D Cả A, B, C sai Câu 6: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: un = A Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số giảm, bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn B (n + 1) + 3(n + 1) + n + 3n + = − Ta có: un +1 − un n+2 n +1 n + 5n + n + 3n + − n+2 n +1 = = = (n + 5n + 5)(n + 1) − (n + 3n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) n + 3n + > ∀n ≥ (n + 1)(n + 2) ⇒ un +1 > un ∀n ≥ ⇒ dãy (un ) dãy số tăng n + 2n + un > = n + ≥ ⇒ dãy (un ) bị chặn n +1 Câu 7: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: un = 1 + n + n2 B Dãy số tăng, bị chặn D Cả A, B, C sai A Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số giảm, bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: un > ∀n ≥ un +1 = un n2 + n + = (n + 1) + (n + 1) + n2 + n + < ∀n ∈ * n + 3n + ⇒ un +1 < un ∀ ≥ ⇒ dãy (un ) dãy số giảm 20 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 10 Dãy số Mặt khác: < un < ⇒ dãy (un ) dãy bị chặn 2n n! B Dãy số tăng, bị chặn D Cả A, B, C sai Câu 8: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: un = A Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số giảm, bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: un +1 2n +1 2n 2n +1 n ! : = = = < ∀n ≥ n (n + 1)! n ! (n + 1)! un n +1 Mà un > ∀n ⇒ un +1 < un ∀n ≥ ⇒ dãy (un ) dãy số giảm Vì < un ≤ u1 = ∀n ≥ ⇒ dãy (un ) dãy bị chặn 1 + + + 2 n B Dãy số tăng, bị chặn D Cả A, B, C sai Câu 9: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: un =1 + A Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số giảm, bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn A − un Ta có: un +1 = Do un < + > ⇒ dãy (un ) dãy số tăng (n + 1) 1 1 + + + = 2+ 1.2 2.3 (n − 1)n n ⇒ < un < ∀n ≥ ⇒ dãy (un ) dãy bị chặn Câu 10: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = A Bị chặn B Không bị chặn 2n + n+2 C Bị chặn D Bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có < un < ∀n nên dãy (un ) bị chặn Câu 11: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = (−1) n A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: −1 ≤ un ≤ ⇒ (un ) dãy bị chặn 3n − Câu 12: Xét tính bị chặn dãy số sau: u= n Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 21 Tổng ơn Tốn 11 A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn Chủ đề 10 Dãy số D Bị chặn Hướng dẫn giải: Ta có: un ≥ ∀n ⇒ (un ) bị chặn dưới; dãy (un ) không bị chặn Câu 13: Xét tính bị chặn dãy số sau: un =4 − 3n − n A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: un = 25 25 − (n + )2 < ⇒ (un ) bị chặn trên; dãy (un ) không bị chặn 4 n2 + n + Câu 14: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = n − n +1 A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: < un < ∀n ⇒ (un ) bị chặn Câu 15: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = A Bị chặn n +1 n2 + B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: < un < ∀n ⇒ (un ) bị chặn Câu 16: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = A Bị chặn 1 + + + 1.3 2.4 n.(n + 2) B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: < un < 1 1 + + + =1 − un3 = un ∀n ⇒ dãy số tăng u1 = Câu 20: Xét tính tăng giảm dãy số sau: un2 + = u n +1 A Tăng C Không tăng, không giảm n ≥1 B Giảm D A, B, C sai Hướng dẫn giải: Chọn B u − 4un + Ta có: un +1 − un =n Bằng quy nạp ta chứng minh − < un < ∀n ⇒ un +1 − un < Dãy (un ) giảm Câu 21: dãy số (un ) xác định bởi= un 2010 + 2010 + + 2010 (n dấu căn)Khẳng định sau đúng? A Tăng C Không tăng, không giảm B Giảm D A, B, C sai Hướng dẫn giải: Chọn A un2+1 2010 + un ⇒ un +1 − un = −un2+1 + un +1 + 2010 Ta có = Bằng quy nạp ta chứng minh un < + 8041 ∀n Suy un +1 − un > ⇒ dãy (un ) dãy tăng Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 23 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 10 Dãy số u1 1,= u2 = Câu 22: Cho dãy số (un ) : Khẳng định sau đúng? u un = n −1 + un − , n ≥ A Tăng, bị chặn C Không tăng, không giảm B Giảm, bị chặn D A, B, C sai Hướng dẫn giải: Chọn A Chứng minh quy nạp : uk +1 =3 uk + uk − > uk −1 + uk − =uk Ta chứng minh: < un < (un ) : un Câu 23: Cho dãy số= an + , n ≥ Khi a = , tìm số hạng đầu dãy 2n − u1 2,= u2 A.= 10 14 18 22 = , u3 = , u4 = , u5 u1 6,= u2 B.= 10 14 18 22 = , u3 = , u4 = , u5 C.= u1 6,= u2 1 18 22 = = = , u3 , u4 , u5 u1 6,= u2 D.= 10 22 = = = , u3 , u4 , u5 Hướng dẫn giải: Chọn B Với a = ta có: un = 4n + Ta có: số hạng đầu dãy 2n − 10 14 18 22 = , u3 = , u4 = , u5 Câu 24: Tìm a để dãy số cho dãy số tăng = u1 6,= u2 A a < B a < −2 C a < D a < −4 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có dãy số (un ) tăng khi: = un +1 − un −a − > 0, ∀n ∈ * ⇔ −a − > ⇔ a < −4 (2n + 1)(2n − 1) u = Câu 25: Cho dãy số (un ) : Viết số hạng đầu dãy un = 3un −1 − 2, n = 2,3 u1 2,= u2 5,= u3 10,= u4 28,= u5 82,= u6 244 A.= u1 2,= u2 4,= u3 10,= u4 18,= u5 82,= u6 244 B.= u1 2,= u2 4,= u3 10,= u4 28,= u5 72,= u6 244 C.= u1 2,= u2 4,= u3 10,= u4 28,= u5 82,= u6 244 D.= Hướng dẫn giải: 24 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 10 Dãy số Chọn D u1 2,= u2 4,= u3 10,= u4 28,= u5 82,= u6 244 Ta có:= Câu 26: Cho dãy số un =−5.2n −1 + 3n + n + , n = 1, 2, Viết số hạng đầu dãy u1 1,= u2 3,= u3 12,= u4 49,= u5 170 A.= u1 1,= u2 3,= u3 12,= u4 47,= u5 170 B.= u1 1,= u2 3,= u3 24,= u4 47,= u5 170 C.= u1 1,= u2 3,= u3 12,= u4 47,= u5 178 D.= Hướng dẫn giải: Chọn C u1 1,= u2 3,= u3 12,= u4 47,= u5 170 Ta có:= Câu 27: Cho dãy số (un ) : un = (1 − a ) n + (1 + a ) n ,trong a ∈ (0;1) n số nguyên dương a)Viết công thức truy hồi dãy số u1 = A n n un +1 = un + a (1 + a ) + (1 − a ) u1 = B n n un +1 = un + 2a (1 + a ) − (1 − a ) u1 = C n n un +1 = 2un + a (1 + a ) − (1 − a ) u1 = D n n un +1 = un + a (1 + a ) − (1 − a ) b)Xét tính đơn điệu dãy số A Dãy (un ) dãy số tăng B Dãy (un ) dãy số giảm C Dãy (un ) dãy số không tăng, không giảm D A, B, C sai Hướng dẫn giải: u1 = a) Ta có: n n u = un + a (1 + a ) − (1 − a ) n +1 b) Dãy (un ) dãy số tăng u1 = Câu 28: Cho dãy số (un ) xác định sau: 2, u u n = + − ≥ n n − 2un −1 Viết số hạng đầu dãy chứng minh un > 0, ∀n u1 1,= u2 A.= 47 227 = u4 , u3 ,= 34 u1 1,= u2 B.= 17 227 = , u3 ,= u4 34 u1 1,= u2 C.= 19 227 = , u3 ,= u4 34 u1 1,= u2 D.= 17 2127 = , u3 ,= u4 34 Hướng dẫn giải: Chọn B Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 25 Tổng ơn Tốn 11 u1 1,= u2 Ta có:= Chủ đề 10 Dãy số 17 227 = u4 , u3 ,= 34 Ta chứng minh un > 0, ∀n quy nạp Giả sử un > , đó: 2un + 1 ≥ 2un = 2un 2un Nên un +1 = un + 2un + − > un > 2un u0 = 2011 Câu 29: Cho dãy số (un ) xác định : un2 = ∀n 1, 2, u n +1 u + ,= n a) Khẳng định sau A Dãy (un ) dãy giảm B Dãy (un ) dãy tăng C Dãy (un ) dãy không tăng, không giảm D A, B, C sai b) Tìm phần nguyên un với ≤ n ≤ 1006 A = [un ] 2014 − n un ] 2011 − n B [= un ] 2013 − n C [= D = [un ] 2012 − n Hướng dẫn giải: a) Ta có: un +1 − u= n −un < 0, ∀n nên dãy (un ) dãy giảm un + b) Ta có: un= un −1 − un −1 > un −1 − > > u0 − n un −1 + = 2012 − n Suy ra: un −1 > u0 − (n − 1) Mặt khác: un = ( un − un−1 ) + (un−1 − un−2 ) + + (u1 − u0 ) + u0 u u u = u0 − + + + n −1 un −1 + u0 + u1 + 1 = u0 − n + + + + un −1 + u0 + u1 + Mà: 0< n n 1 + + + < < 0, ∀n (n + 2)(n + 3) Mặt khác: un =1 − ⇒ < un < 1, ∀n n+2 Vậy dãy (un ) dãy tăng bị chặn Câu 32: Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số sau: (un ) : un = n3 + 2n + A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn D Giảm, chặn Hướng dẫn giải: Ta có: un +1 − un = (n + 1)3 + 2(n + 1) − n3 − 2n = 3n + 3n + > 0, ∀n Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 27 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 10 Dãy số Mặt khác: un > 1, ∀n n lớn un lớn Vậy dãy (un ) dãy tăng bị chặn u1 = Câu 33: Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số sau: (un ) : un + un +1 , ∀n ≥ = A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn D Giảm, chặn Hướng dẫn giải: Chọn B Trước hết quy nạp ta chứng minh: < un ≤ 2, ∀n Điều với n = , giả sử < un < ta có: < un +1 = un + < nên ta có đpcm Mà un +1 − u= n − un < 0, ∀n Vậy dãy (un ) dãy giảm bị chặn u2 = u1 2,= Câu 34: Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số sau: un + un −1 , ∀n ≥ un += A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn D Giảm, chặn Hướng dẫn giải: Chọn A Trước hết ta chứng minh < un < 4, ∀n Điều hiển nhiên với n = Giả sử < un < , ta có: < un +1 = un + un −1 < + = Ta chứng minh (un ) dãy tăng Ta có: u1 < u2 , giả sử un −1 < un , ∀n ≤ k u < uk −1 Khi đó: k ⇒ uk + uk −1 < uk −1 + uk − ⇒ uk +1 < uk uk −1 < uk − Vậy dãy (un ) dãy tăng bị chặn x0 = yn xn +1 − xn Khẳng định Câu 35: Cho dãy số ( xn ) : Xét dãy số = 2n n −1 = x = x , n 2,3, ∑ n i (n − 1) i =1 dãy ( yn ) A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn D Giảm, chặn Hướng dẫn giải: Chọn A 28 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 10 Dãy số n −1 2(n + 1) n 2(n + 1) = + x x xi ∑ ∑ i n 2 n n = i 1= i = Ta có: xn +1 = 2(n + 1) (n − 1) (n + 1)(n + 1) + x xn = xn n 2n n2 n3 Do đó: yn = xn +1 − xn = n2 + n + xn n3 • Ta chứng minh dãy ( yn ) tăng = Ta có: yn +1 − yn = = (n + 1) + n + (n + 1)(n + 1) n2 + n + x − xn n (n + 1)3 n3 n3 (n + 3n + 3)(n + 1) − (n + n + 1)(n + 2n + 1) xn n3 (n + 1) 2 xn > , ∀n = 1, 2, n (n + 1) • Ta chứng minh dãy ( yn ) bị chặn Trước hết ta chứng minh: xn ≤ 4(n − 1) (1) với ∀n =2,3 x2 4= x1 nên (1) với n = * Với n = , ta có: = * Giả sử (1) với n , tức là: xn ≤ 4(n − 1) , ta có (n + 1)(n + 1) 4(n − 1) = < 4n xn +1 xn ≤ n3 n3 Nên (1) với n + Theo nguyên lí quy nạp ta suy (1) n2 + n + 4(n − 1)(n + n + 1) 4(n3 − 1) x ≤ =< Ta có: yn = n n3 n3 n3 Vậy toán chứng minh Câu 36: Cho dãy số (Un ) với Un = −n Khẳng định sau đúng? n +1 −1 −2 −3 −5 −5 ; ; ; ; −1 −2 −3 −4 −5 B số số hạng đầu dãy : ; ; ; ; A Năm số hạng đầu dãy : C Là dãy số tăng D Bị chặn số Hướng dẫn giải: Chọn B Thay n 1, 2,3, 4,5 ta số hạng Câu 37: Cho dãy số ( un ) với un = −1 −2 −3 −4 −5 ; ; ; ; Khẳng định sau sai? n +n Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 29 Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 10 Dãy số 1 1 A Năm số hạng đầu dãy là: ; ; ; ; ; 12 20 30 B Là dãy số tăng C Bị chặn số M = D Không bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có= un +1 − un 1 = − ( n + 1) + ( n + 1) n + n −2 −= < với n ≥ ( n + 1)( n + ) n ( n + 1) n ( n + 1)( n + ) Do ( un ) dãy giảm −1 Khẳng định sau sai? n −1 −1 −1 −1 A Năm số hạng đầu dãy : −1; ; ; ; Câu 38: Cho dãy số ( un ) với un = B Bị chặn số M = −1 C Bị chặn số M = D Là dãy số giảm bị chặn số m M = −1 Hướng dẫn giải: Chọn B −1 −1 = −1 Nhận xét : un = ≥ n Dãy số ( un ) bị chặn M = −1 Câu 39: Cho dãy số ( un ) với un = a.3n ( a : số).Khẳng định sau sai? A Dãy số có un +1 = a.3n +1 3.a B Hiệu số un +1 − un = C Với a > dãy số tăng D Với a < dãy số giảm Hướng dẫn giải: Chọn B n a.3n +1 − a.3= a.3n ( − 1= Ta có un +1 − u= ) 2a.3n n Câu 40: Cho dãy số ( un ) với un = A Dãy số có un +1 = C Là dãy số tăng a −1 n2 + a −1 Khẳng định sau đúng? n2 B Dãy số có : un +1 = a −1 ( n + 1) D Là dãy số tăng Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có un +1 = 30 a −1 ( n + 1) Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Câu 41: Cho dãy số ( un ) với un = A un +1 = Chủ đề 10 Dãy số a −1 ( a : số) Khẳng định sau sai? n2 a −1 (n + 1) B Hiệu un +1 − un =(1 − a ) C Hiệu un +1 − un = ( a − 1) 2n − ( n + 1) n2 2n − ( n + 1) n2 D Dãy số tăng a < Hướng dẫn giải: Chọn B −2n − 1 2n + Ta có un +1 − un = ( a − 1) − = ( a − 1) = (1 − a ) 2 2 ( n + 1) n n n + n n + 1 ( ) ( ) an ( a : số) Kết sau sai? n +1 Câu 42: Cho dãy số ( un ) với un = a ( n + 1) A un +1 = n+2 a ( n + 3n + 1) B un +1 − un = (n + 2)(n + 1) C Là dãy số tăng với a D Là dãy số tăng với a > Hướng dẫn giải: Chọn C Chọn a = un = ,dãy ( un ) khơng tăng, không giảm Câu 43: Cho dãy số ( un ) với un = A Số hạng thứ dãy số k ( k : số) Khẳng định sau sai? 3n k 35 B Số hạng thứ n dãy số k 3n +1 D Là dãy số tăng k > C Là dãy số giảm k > Hướng dẫn giải: Chọn B Số hạng thứ n dãy un = k 3n Câu 44: Cho dãy số ( un ) với un = A Số hạng thứ dãy số (−1) n −1 Khẳng định sau sai? n +1 10 C Đây dãy số giảm B Số hạng thứ 10 dãy số −1 11 D Bị chặn số M = Hướng dẫn giải: Chọn C Dãy un dãy đan dấu Câu 45: Cho dãy số ( un ) có u= n n − với n ∈ N * Khẳng định sau sai? A số hạng đầu dãy là: 0;1; 2; 3; B Số hạng un +1 = n C Là dãy số tăng D Bị chặn số Hướng dẫn giải: Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 31 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 10 Dãy số Chọn A số hạng đầu dãy 0;1; 2; 3; Câu 45: Cho dãy số ( un ) có un =−n + n + Khẳng định sau đúng? A số hạng đầu dãy là: −1;1;5; −5; −11; −19 B un +1 =−n + n + C un −1 − un = D Là dãy số giảm Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có : ( n + 1)2 + n + + 1 − −n + n + 1 =− n − 2n − + n + + n − n − =−2n < ∀n ≥ Do un +1 − un =− ( un ) dãy giảm Câu 46: Cho dãy số ( un ) với un = A un +1 = −1 ( n + 1) +1 −1 Khẳng định sau sai? n +1 B un > un +1 C Đây dãy số tăng D Bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn B π Khẳng định sau sai? n +1 π B Dãy số bị chặn A Số hạng thứ n + dãy: un +1 = sin n+2 Câu 47: Cho dãy số ( un ) với un = sin C Đây dãy số tăng D Dãy số không tăng không giảm Hướng dẫn giải: Chọn D Dãy số không tăng không giảm Tài liệu thuộc Series Tổng ơn Tốn 11 DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP VIP KYS Nhận toàn tài liệu tự động qua email Nhận toàn Series giải chi tiết 100% Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K Được nhận tài liệu độc quyền dành riêng cho VIP Đăng kí VIP bit.ly/vipkys 32 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ ... 44: Cho dãy số ( un ) với un = A Số hạng thứ dãy số B Số hạng thứ n dãy số (−1) n −1 Khẳng định sau sai? n +1 10 C Đây dãy số giảm Câu 45: Cho dãy số ( un ) có u= n B Số hạng thứ 10 dãy số −1... tính tăng giảm dãy số sau: un =− n n2 − A Dãy số tăng C Dãy số không tăng không giảm B Dãy số giảm D Cả A, B, C sai Câu 3: Xét tính tăng giảm dãy số sau: un = A Dãy số tăng C Dãy số không tăng... C Là dãy số tăng với a D Là dãy số tăng với a > Câu 43: Cho dãy số ( un ) với un = A Số hạng thứ dãy số k ( k : số) Khẳng định sau sai? 3n k 35 k 3n +1 D Là dãy số tăng k > C Là dãy số giảm