lỹ thuyết hay về dãy số

1. Hàm số y x = sin • Tập xác định: D R = • Tập giác trị: 1;1 − , tức là −≤ ≤ ∀∈ 1 sin 1 x xR • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 2; 2) 2 2 π π −+ + k k π π , nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ( 2; 2) 2 2 π π + + k k π π . • Hàm số y x = sin là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. • Hàm số y x = sin là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π . • Đồ thị hàm số y x

TỔNG ƠN TỐN 11 VIP CHỦ ĐỀ 10 DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n, ta thực sau: • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = • Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k ≥ 1), chứng minh mệnh đề với n = k + Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) với với số nguyên dương n ≥ p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k ≥ p phải chứng minh mệnh đề với n = k + Dãy số u : * →  Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, … n  u ( n) Dãy số tăng, dãy số giảm • (un) dãy số tăng ⇔ un+1 > un với ∀ n ∈ N* ⇔ un+1 – un > với ∀ n ∈ N* ⇔ un +1 > với ∀n ∈ N* ( un > 0) un • (un) dãy số giảm ⇔ un+1 < un với ∀n ∈ N* ⇔ un+1 – un< với ∀ n ∈ N* ⇔ un +1 < với ∀n ∈ N* (un > 0) un Dãy số bị chặn • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃M ∈ R: un ≤ M, ∀n ∈ N* • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃m ∈ R: un ≥ m, ∀n ∈ N* • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃m, M ∈ R: m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N* B – BÀI TẬP DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ Câu 1: Cho dãy số có số hạng đầu là: −1,3,19,53 Hãy tìm quy luật dãy số viết số hạng thứ 10 dãy với quy luật vừa tìm B u10 = 71 A u10 = 97 Câu 2: Cho dãy số ( un ) với un = a ( n + 1) A un +1 = n+2 C u10 = 1414 D u10 = 971 an (a: số) un +1 số hạng sau đây? n +1 a ( n + 1) B un +1 = n +1 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học a.n + C un +1 = n +1 an D un +1 = n+2 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 10 Dãy số Câu 3: Cho dãy số có số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25; Số hạng tổng quát dãy số là: un 5(n − 1) A = B un = 5n C un = + n 5.n + D u= n Câu 4: Cho dãy số có số hạng đầu là: 8,15, 22, 29,36, Số hạng tổng quát dãy số là: 7n + A u= n B un = 7.n 7.n + C u= n D un : Không viết dạng công thức Câu 5: Cho dãy số có số hạng đầu là: 0; ; ; ; ; Số hạng tổng quát dãy số là: n +1 n n −1 n2 − n B un = C un = D un = n n n +1 n +1 Câu 6: Cho dãy số có số hạng đầu là: 0,1;0, 01;0, 001;0, 0001; Số hạng tổng quát dãy số A un = có dạng? 1 u 0, 00 01 = 0, 00 01 B C D u = u = n n n − n       10 10n +1 n chữ số n−1 chữ số Câu 7: Cho dãy số có số hạng đầu là: −1;1; −1;1; −1; Số hạng tổng quát dãy số có dạng A un = B un = −1 A un = C un = (−1) n D un = ( −1) n +1 Câu 8: Cho dãy số có số hạng đầu là: −2;0; 2; 4;6; Số hạng tổng quát dãy số có dạng? A un = −2n B un =( −2 ) + n C un = ( −2 ) (n + 1) D un =( −2 ) + ( n − 1) Câu 9: Cho dãy số có số hạng đầu là: A un = 1 3n +1 B un = 3n +1 1 1 ; ; ; ; ; ….Số hạng tổng quát dãy số là? 32 33 34 35 C un = 3n D un = 3n −1 u = Câu 10: Cho dãy số ( un ) với  Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây? un + n un += A un = (n − 1)n C un = + (n + 1)n B un = + (n − 1)n D un = + (n + 1)(n + 2) u1 = Câu 11: Cho dãy số ( un ) với  n Số hạng tổng quát un dãy số số hạng un +1 = un + ( −1) đây? A un = + n B un = − n C un = + ( −1) 2n D un = n u1 = Câu 12: Cho dãy số ( un ) với  n +1 Số hạng tổng quát un dãy số số hạng un +1 = un + ( −1) đây? A un= − n B un không xác định Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 C un = − n D un = −n với n Chủ đề 10 Dãy số u1 = Câu 13: Cho dãy số ( un ) với  Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây? un + n un += A un = + n ( n + 1)( 2n + 1) B un = + n ( n − 1)( 2n + ) C un = + n ( n − 1)( 2n − 1) D un = + n ( n + 1)( 2n − ) Câu 14: Cho dãy số ( un ) u1 = với un +1 − un = 2n − Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây? A un =2 + ( n − 1) C un =2 + ( n + 1) B un= + n D un =2 − ( n − 1) u1 = −2  Câu 15: Cho dãy số ( un ) với  Công thức số hạng tổng quát dãy số là: u =− − n +  un  A un = − n −1 n B un = Câu 16: Cho dãy số ( un ) A un = + ( n − 1) Câu 17: Cho dãy số ( un ) ( −1)   2 C un = − n +1 n D un = − n n +1  u1 = với  Công thức số hạng tổng quát dãy số là: un += un − 1 B un = − ( n − 1) C un= − 2n D un= + 2n u1 = −1  với  un Công thức số hạng tổng quát dãy số là: un +1 = n A un = n +1 n B un = ( −1)   2 n +1 1 C un =   2 n −1 D un = ( −1)   2 n −1 u = Câu 18: Cho dãy số ( un ) với  Công thức số hạng tổng quát dãy số : un +1 = 2un A un = n n −1 Câu19 : Cho dãy số ( un ) A un = −2n −1 B un = 2n C un = 2n +1 D un =  u1 = với  Công thức số hạng tổng quát dãy số này: un +1 = 2un B un = −1 2n −1 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học C un = −1 2n D un = 2n − Tổng ơn Tốn 11 Câu 20: Cho dãy số (un ) xác định un = A 11 17 25 47 ; ; ;7; 13 17 25 47 ; ; ;7; B Chủ đề 10 Dãy số n + 3n + Viết năm số hạng đầu dãy; n +1 C 11 14 25 47 ; ; ;7; D Câu 21: Dãy số có số hạng nhận giá trị nguyên A B C 11 17 25 47 ; ; ;8; D Khơng có u = Câu 22: Cho dãy số (un ) xác định bởi:  Viết năm số hạng đầu dãy; 2un −1 + ∀n ≥ n u= A 1;5;13;28;61 B 1;5;13;29;61 C 1;5;17;29;61 D 1;5;14;29;61 u = un2 + 2vn2 u1 3,= v1  n +1 Câu 23: Cho hai dãy số (un ), (vn ) xác định sau= với n ≥ vn +1 = 2un Tìm cơng thức tổng qt hai dãy (un ) (vn ) ) ( ( ) 2  +1 + −1 un = A  2n  vn = + − −1  2  n ( n ) ( ) 2n    2n 2n   1 +1 + −1  n u=    C  n 2n    = +1 − −1  v  n   ( ) ( ( ) ( ) )  n u=  B  v=  n 1  1  ( ( ) +( +1 2n ) −( +1 2n )    n  −1   −1 2n ) 2n 2n   1 +1 + −1  n u=    D  n 2n    = +1 − −1  v  n 2   ( ) ( ( ) ( ) ) Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 10 Dãy số DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN 3n − 2n + Câu 1: Xét tính tăng giảm dãy số sau: un = n +1 A Dãy số tăng B Dãy số giảm C Dãy số không tăng không giảm D Cả A, B, C sai Câu 2: Xét tính tăng giảm dãy số sau: un =− n n2 − A Dãy số tăng C Dãy số không tăng không giảm B Dãy số giảm D Cả A, B, C sai Câu 3: Xét tính tăng giảm dãy số sau: un = A Dãy số tăng C Dãy số không tăng không giảm 3n − 2n B Dãy số giảm D Cả A, B, C sai n + ( −1) Câu 4: Xét tính tăng giảm dãy số sau: un = n2 A Dãy số tăng B Dãy số giảm C Dãy số không tăng không giảm D Cả A, B, C sai n 2n − 13 3n − B Dãy số giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai Câu 5: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: un = A Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn n + 3n + Câu 6: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: un = n +1 A Dãy số tăng, bị chặn B Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai Câu 7: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: un = A Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số giảm, bị chặn 1 + n + n2 B Dãy số tăng, bị chặn D Cả A, B, C sai 2n Câu 8: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: un = n! A Dãy số tăng, bị chặn B Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai 1 + + + 2 n B Dãy số tăng, bị chặn D Cả A, B, C sai Câu 9: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: un =1 + A Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số giảm, bị chặn Câu 10: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = A Bị chặn B Không bị chặn Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 2n + n+2 C Bị chặn D Bị chặn Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 10 Dãy số Câu 11: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = (−1) n A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn C Bị chặn D Bị chặn 3n − Câu 12: Xét tính bị chặn dãy số sau: u= n A Bị chặn B Khơng bị chặn Câu 13: Xét tính bị chặn dãy số sau: un =4 − 3n − n A Bị chặn B Không bị chặn Câu 14: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = A Bị chặn B Không bị chặn Câu 15: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = A Bị chặn B Không bị chặn Câu 16: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = A Bị chặn B Không bị chặn Câu 17: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn n2 + n + n2 − n + C Bị chặn D Bị chặn n +1 n2 + C Bị chặn D Bị chặn 1 + + + n.(n + 2) 1.3 2.4 C Bị chặn D Bị chặn 1 + + + 1.3 3.5 ( 2n − 1)( 2n + 1) C Bị chặn D Bị chặn u1 =   Câu 18: Xét tính bị chặn dãy số sau:  un −1 + = , n≥2 un u + n −1  A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn u1 =  Câu 19: Xét tính tăng giảm dãy số sau:  un +1 = un + 1, n ≥ A Tăng C Không tăng, không giảm B Giảm D A, B, C sai u1 =   Câu 20: Xét tính tăng giảm dãy số sau:  un2 + = u  n +1  A Tăng C Không tăng, không giảm Câu 21: dãy số (un ) xác định bởi= un đúng? A Tăng C Không tăng, không giảm n ≥1 B Giảm D A, B, C sai 2010 + 2010 + + 2010 (n dấu căn)Khẳng định sau B Giảm D A, B, C sai u1 1,= u2 = Khẳng định sau đúng? Câu 22: Cho dãy số (un ) :  u u + , n ≥ un = n −1 n−2 A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 C Khơng tăng, khơng giảm Câu 23: Cho dãy số= (un ) : un Chủ đề 10 Dãy số D A, B, C sai an + , n ≥ Khi a = , tìm số hạng đầu dãy 2n − u1 2,= u2 A.= 10 14 18 22 = , u3 = , u4 = , u5 u1 6,= u2 B.= 10 14 18 22 = , u3 = , u4 = , u5 u1 6,= u2 C.= 1 18 22 = , u3 = , u4 = , u5 10 22 = , u3 = , u4 = , u5 Câu 24: Tìm a để dãy số cho dãy số tăng u1 6,= u2 D.= A a < B a < −2 C a < D a < −4 u = Câu 25: Cho dãy số (un ) :  Viết số hạng đầu dãy un = 3un −1 − 2, n = 2,3 u1 2,= u2 5,= u3 10,= u4 28,= u5 82,= u6 244 A.= u1 2,= u2 4,= u3 10,= u4 18,= u5 82,= u6 244 B.= u1 2,= u2 4,= u3 10,= u4 28,= u5 72,= u6 244 C.= u1 2,= u2 4,= u3 10,= u4 28,= u5 82,= u6 244 D.= Câu 26: Cho dãy số un =−5.2n −1 + 3n + n + , n = 1, 2, Viết số hạng đầu dãy u1 1,= u2 3,= u3 12,= u4 49,= u5 170 A.= u1 1,= u2 3,= u3 12,= u4 47,= u5 170 B.= u1 1,= u2 3,= u3 24,= u4 47,= u5 170 C.= u1 1,= u2 3,= u3 12,= u4 47,= u5 178 D.= Câu 27: Cho dãy số (un ) : un = (1 − a ) n + (1 + a ) n ,trong a ∈ (0;1) n số nguyên dương a)Viết công thức truy hồi dãy số u1 =  A  n n u = un + a (1 + a ) + (1 − a )     n +1 u1 =  B  n n u = un + 2a (1 + a ) − (1 − a )     n +1 u1 =  C  n n   un +1 = 2un + a (1 + a ) − (1 − a )  u1 =  D  n n   un +1 = un + a (1 + a ) − (1 − a )  b)Xét tính đơn điệu dãy số A Dãy (un ) dãy số tăng B Dãy (un ) dãy số giảm C Dãy (un ) dãy số không tăng, không giảm D A, B, C sai Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ôn Toán 11 u1 =  Câu 28: Cho dãy số (un ) xác định sau:  un = 3un −1 + 2u − 2, n ≥ n −1  Chủ đề 10 Dãy số Viết số hạng đầu dãy chứng minh un > 0, ∀n u1 1,= u2 A.= 47 227 , u3 ,= = u4 34 u1 1,= u2 B.= 17 227 = u4 , u3 ,= 34 u1 1,= u2 C.= 19 227 u4 = , u3 ,= 34 u1 1,= u2 D.= 17 2127 = , u3 ,= u4 34 u0 = 2011  Câu 29: Cho dãy số (un ) xác định :  un2 u = ∀n 1, 2,  n +1 u + ,= n  a) Khẳng định sau A Dãy (un ) dãy giảm B Dãy (un ) dãy tăng C Dãy (un ) dãy không tăng, không giảm D A, B, C sai b) Tìm phần nguyên un với ≤ n ≤ 1006 A = [un ] 2014 − n un ] 2011 − n B [= un ] 2013 − n C [= D = [un ] 2012 − n = u2 u 2,= Câu 30: Cho dãy số (un ) xác định bởi:  un + = un + 2un +1 , ∀n = 1, 2, a n + bn a) Gọi a, b hai nghiệm phương trình x − x − =0 Chứng minh rằng: u= n (−1) n −1.8 b) Chứng minh rằng: un2+1 − un + 2un = n +1 n+2 C Tăng, chặn Câu 31: Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số sau: (un ) : un = A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn D Giảm, chặn Câu 32: Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số sau: (un ) : un = n3 + 2n + A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn D Giảm, chặn u1 =  Câu 33: Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số sau: (un ) :  un + , ∀n ≥ un +1 = A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn D Giảm, chặn u2 = u1 2,= Câu 34: Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số sau:  un + un −1 , ∀n ≥ un += A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn D Giảm, chặn  x0 =  yn xn +1 − xn Khẳng định Câu 35: Cho dãy số ( xn ) :  Xét dãy số = 2n n −1 = x = x , n 2,3, ∑ n i  (n − 1) i =1  dãy ( yn ) A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn D Giảm, chặn Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Câu 36: Cho dãy số (Un ) với Un = Chủ đề 10 Dãy số −n Khẳng định sau đúng? n +1 −1 −2 −3 −5 −5 ; ; ; ; −1 −2 −3 −4 −5 B số số hạng đầu dãy : ; ; ; ; A Năm số hạng đầu dãy : C Là dãy số tăng D Bị chặn số Câu 37: Cho dãy số ( un ) với un = Khẳng định sau sai? n +n 1 1 A Năm số hạng đầu dãy là: ; ; ; ; ; 12 20 30 B Là dãy số tăng C Bị chặn số M = D Không bị chặn −1 Khẳng định sau sai? n −1 −1 −1 −1 A Năm số hạng đầu dãy : −1; ; ; ; Câu 38: Cho dãy số ( un ) với un = B Bị chặn số M = −1 C Bị chặn số M = D Là dãy số giảm bị chặn số m M = −1 Câu 39: Cho dãy số ( un ) với un = a.3n ( a : số).Khẳng định sau sai? A Dãy số có un +1 = a.3n +1 3.a B Hiệu số un +1 − un = C Với a > dãy số tăng D Với a < dãy số giảm Câu 40: Cho dãy số ( un ) với un = A Dãy số có un +1 = a −1 Khẳng định sau đúng? n2 a −1 n2 + B Dãy số có : un +1 = C Là dãy số tăng a −1 ( a : số) Khẳng định sau sai? n2 a −1 (n + 1) C Hiệu un +1 − un = ( a − 1) ( n + 1) D Là dãy số tăng Câu 41: Cho dãy số ( un ) với un = A un +1 = a −1 B Hiệu un +1 − un =(1 − a ) 2n − ( n + 1) n2 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 2n − ( n + 1) n2 D Dãy số tăng a < Tổng ơn Tốn 11 an ( a : số) Kết sau sai? n +1 Câu 42: Cho dãy số ( un ) với un = Chủ đề 10 Dãy số a ( n + 1) A un +1 = n+2 a ( n + 3n + 1) B un +1 − un = (n + 2)(n + 1) C Là dãy số tăng với a D Là dãy số tăng với a > Câu 43: Cho dãy số ( un ) với un = A Số hạng thứ dãy số k ( k : số) Khẳng định sau sai? 3n k 35 k 3n +1 D Là dãy số tăng k > C Là dãy số giảm k > Câu 44: Cho dãy số ( un ) với un = A Số hạng thứ dãy số B Số hạng thứ n dãy số (−1) n −1 Khẳng định sau sai? n +1 10 C Đây dãy số giảm Câu 45: Cho dãy số ( un ) có u= n B Số hạng thứ 10 dãy số −1 11 D Bị chặn số M = n − với n ∈ N * Khẳng định sau sai? A số hạng đầu dãy là: 0;1; 2; 3; B Số hạng un +1 = n C Là dãy số tăng D Bị chặn số Câu 45: Cho dãy số ( un ) có un =−n + n + Khẳng định sau đúng? A số hạng đầu dãy là: −1;1;5; −5; −11; −19 B un +1 =−n + n + C un −1 − un = D Là dãy số giảm Câu 46: Cho dãy số ( un ) với un = A un +1 = −1 ( n + 1) +1 −1 Khẳng định sau sai? n +1 C Đây dãy số tăng B un > un +1 D Bị chặn π Khẳng định sau sai? n +1 π A Số hạng thứ n + dãy: un +1 = sin B Dãy số bị chặn n+2 Câu 47: Cho dãy số ( un ) với un = sin C Đây dãy số tăng 10 D Dãy số không tăng không giảm Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 ( ) − 2 =2 − • Ta có: u1 − 2v1 = ( ) • Giả sử uk − 2vk = − Chủ đề 10 Dãy số nên (2) với n = 2k , ta có: ( uk +1 − 2vk +1 = uk − 2vk )= ( − 1) 2k +1 Vậy (2) với ∀n ≥ ( ) Theo kết đề ta có: un + 2vn = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2  = + + − u n  Do ta suy  2n 2 2v = + − −1 n  n 2n n 2n 2n 2n   1 u = + + − 2  n 2     Hay  n 2n   v = +1 − −1   n 2   ) ( ( ( 18 ) ( ) ) Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 10 Dãy số DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN Câu 1: Xét tính tăng giảm dãy số sau: un = A Dãy số tăng C Dãy số không tăng không giảm 3n − 2n + n +1 B Dãy số giảm D Cả A, B, C sai Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có:= un +1 − un 5n + 10n + > nên dãy (un ) dãy tăng ( n + 1)( n + ) Câu 2: Xét tính tăng giảm dãy số sau: un =− n n2 − A Dãy số tăng C Dãy số không tăng không giảm B Dãy số giảm D Cả A, B, C sai Hướng dẫn giải: Ta có: un +1 − un = ( n + 1) + ( n + 1) −1 − n + n2 − ⇒ dãy (un ) tăng 2n +1 n + ( −1) Câu 4: Xét tính tăng giảm dãy số sau: un = n2 A Dãy số tăng B Dãy số giảm C Dãy số không tăng không giảm D Cả A, B, C sai Hướng dẫn giải: Chọn C n u > u1 Ta có: u1 = 0; u2 == ; u3 ⇒ ⇒ Dãy số không tăng không giảm u3 < u2 Câu 5: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: un = Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 2n − 13 3n − 19 Tổng ơn Tốn 11 A Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn B Dãy số giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai Chủ đề 10 Dãy số Hướng dẫn giải: Chọn A 2n − 11 2n − 13 34 − = > với n ≥ 3n + 3n − (3n + 1)(3n − 2) Ta có: un +1 −= un Suy un +1 > un ∀n ≥ ⇒ dãy (un ) dãy tăng Mặt khác: un = 35 − ⇒ −11 ≤ un < ∀n ≥ 3(3n − 2) Vậy dãy (un ) dãy bị chặn n + 3n + n +1 B Dãy số tăng, bị chặn D Cả A, B, C sai Câu 6: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: un = A Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số giảm, bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn B (n + 1) + 3(n + 1) + n + 3n + = − Ta có: un +1 − un n+2 n +1 n + 5n + n + 3n + − n+2 n +1 = = = (n + 5n + 5)(n + 1) − (n + 3n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) n + 3n + > ∀n ≥ (n + 1)(n + 2) ⇒ un +1 > un ∀n ≥ ⇒ dãy (un ) dãy số tăng n + 2n + un > = n + ≥ ⇒ dãy (un ) bị chặn n +1 Câu 7: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: un = 1 + n + n2 B Dãy số tăng, bị chặn D Cả A, B, C sai A Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số giảm, bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: un > ∀n ≥ un +1 = un n2 + n + = (n + 1) + (n + 1) + n2 + n + < ∀n ∈  * n + 3n + ⇒ un +1 < un ∀ ≥ ⇒ dãy (un ) dãy số giảm 20 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 10 Dãy số Mặt khác: < un < ⇒ dãy (un ) dãy bị chặn 2n n! B Dãy số tăng, bị chặn D Cả A, B, C sai Câu 8: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: un = A Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số giảm, bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: un +1 2n +1 2n 2n +1 n ! : = = = < ∀n ≥ n (n + 1)! n ! (n + 1)! un n +1 Mà un > ∀n ⇒ un +1 < un ∀n ≥ ⇒ dãy (un ) dãy số giảm Vì < un ≤ u1 = ∀n ≥ ⇒ dãy (un ) dãy bị chặn 1 + + + 2 n B Dãy số tăng, bị chặn D Cả A, B, C sai Câu 9: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: un =1 + A Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số giảm, bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn A − un Ta có: un +1 = Do un < + > ⇒ dãy (un ) dãy số tăng (n + 1) 1 1 + + + = 2+ 1.2 2.3 (n − 1)n n ⇒ < un < ∀n ≥ ⇒ dãy (un ) dãy bị chặn Câu 10: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = A Bị chặn B Không bị chặn 2n + n+2 C Bị chặn D Bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có < un < ∀n nên dãy (un ) bị chặn Câu 11: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = (−1) n A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: −1 ≤ un ≤ ⇒ (un ) dãy bị chặn 3n − Câu 12: Xét tính bị chặn dãy số sau: u= n Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 21 Tổng ơn Tốn 11 A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn Chủ đề 10 Dãy số D Bị chặn Hướng dẫn giải: Ta có: un ≥ ∀n ⇒ (un ) bị chặn dưới; dãy (un ) không bị chặn Câu 13: Xét tính bị chặn dãy số sau: un =4 − 3n − n A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: un = 25 25 − (n + )2 < ⇒ (un ) bị chặn trên; dãy (un ) không bị chặn 4 n2 + n + Câu 14: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = n − n +1 A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: < un < ∀n ⇒ (un ) bị chặn Câu 15: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = A Bị chặn n +1 n2 + B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: < un < ∀n ⇒ (un ) bị chặn Câu 16: Xét tính bị chặn dãy số sau: un = A Bị chặn 1 + + + 1.3 2.4 n.(n + 2) B Không bị chặn C Bị chặn D Bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: < un < 1 1 + + + =1 − un3 = un ∀n ⇒ dãy số tăng u1 =   Câu 20: Xét tính tăng giảm dãy số sau:  un2 + = u  n +1  A Tăng C Không tăng, không giảm n ≥1 B Giảm D A, B, C sai Hướng dẫn giải: Chọn B u − 4un + Ta có: un +1 − un =n Bằng quy nạp ta chứng minh − < un < ∀n ⇒ un +1 − un < Dãy (un ) giảm Câu 21: dãy số (un ) xác định bởi= un 2010 + 2010 + + 2010 (n dấu căn)Khẳng định sau đúng? A Tăng C Không tăng, không giảm B Giảm D A, B, C sai Hướng dẫn giải: Chọn A un2+1 2010 + un ⇒ un +1 − un = −un2+1 + un +1 + 2010 Ta có = Bằng quy nạp ta chứng minh un < + 8041 ∀n Suy un +1 − un > ⇒ dãy (un ) dãy tăng Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 23 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 10 Dãy số u1 1,= u2 = Câu 22: Cho dãy số (un ) :  Khẳng định sau đúng? u un = n −1 + un − , n ≥ A Tăng, bị chặn C Không tăng, không giảm B Giảm, bị chặn D A, B, C sai Hướng dẫn giải: Chọn A Chứng minh quy nạp : uk +1 =3 uk + uk − > uk −1 + uk − =uk Ta chứng minh: < un < (un ) : un Câu 23: Cho dãy số= an + , n ≥ Khi a = , tìm số hạng đầu dãy 2n − u1 2,= u2 A.= 10 14 18 22 = , u3 = , u4 = , u5 u1 6,= u2 B.= 10 14 18 22 = , u3 = , u4 = , u5 C.= u1 6,= u2 1 18 22 = = = , u3 , u4 , u5 u1 6,= u2 D.= 10 22 = = = , u3 , u4 , u5 Hướng dẫn giải: Chọn B Với a = ta có: un = 4n + Ta có: số hạng đầu dãy 2n − 10 14 18 22 = , u3 = , u4 = , u5 Câu 24: Tìm a để dãy số cho dãy số tăng = u1 6,= u2 A a < B a < −2 C a < D a < −4 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có dãy số (un ) tăng khi: = un +1 − un −a − > 0, ∀n ∈  * ⇔ −a − > ⇔ a < −4 (2n + 1)(2n − 1) u = Câu 25: Cho dãy số (un ) :  Viết số hạng đầu dãy un = 3un −1 − 2, n = 2,3 u1 2,= u2 5,= u3 10,= u4 28,= u5 82,= u6 244 A.= u1 2,= u2 4,= u3 10,= u4 18,= u5 82,= u6 244 B.= u1 2,= u2 4,= u3 10,= u4 28,= u5 72,= u6 244 C.= u1 2,= u2 4,= u3 10,= u4 28,= u5 82,= u6 244 D.= Hướng dẫn giải: 24 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 10 Dãy số Chọn D u1 2,= u2 4,= u3 10,= u4 28,= u5 82,= u6 244 Ta có:= Câu 26: Cho dãy số un =−5.2n −1 + 3n + n + , n = 1, 2, Viết số hạng đầu dãy u1 1,= u2 3,= u3 12,= u4 49,= u5 170 A.= u1 1,= u2 3,= u3 12,= u4 47,= u5 170 B.= u1 1,= u2 3,= u3 24,= u4 47,= u5 170 C.= u1 1,= u2 3,= u3 12,= u4 47,= u5 178 D.= Hướng dẫn giải: Chọn C u1 1,= u2 3,= u3 12,= u4 47,= u5 170 Ta có:= Câu 27: Cho dãy số (un ) : un = (1 − a ) n + (1 + a ) n ,trong a ∈ (0;1) n số nguyên dương a)Viết công thức truy hồi dãy số u1 =  A  n n   un +1 = un + a (1 + a ) + (1 − a )  u1 =  B  n n   un +1 = un + 2a (1 + a ) − (1 − a )  u1 =  C  n n   un +1 = 2un + a (1 + a ) − (1 − a )  u1 =  D  n n   un +1 = un + a (1 + a ) − (1 − a )  b)Xét tính đơn điệu dãy số A Dãy (un ) dãy số tăng B Dãy (un ) dãy số giảm C Dãy (un ) dãy số không tăng, không giảm D A, B, C sai Hướng dẫn giải: u1 =  a) Ta có:  n n u = un + a (1 + a ) − (1 − a )     n +1 b) Dãy (un ) dãy số tăng u1 =  Câu 28: Cho dãy số (un ) xác định sau:  2, u u n = + − ≥ n n −  2un −1  Viết số hạng đầu dãy chứng minh un > 0, ∀n u1 1,= u2 A.= 47 227 = u4 , u3 ,= 34 u1 1,= u2 B.= 17 227 = , u3 ,= u4 34 u1 1,= u2 C.= 19 227 = , u3 ,= u4 34 u1 1,= u2 D.= 17 2127 = , u3 ,= u4 34 Hướng dẫn giải: Chọn B Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 25 Tổng ơn Tốn 11 u1 1,= u2 Ta có:= Chủ đề 10 Dãy số 17 227 = u4 , u3 ,= 34 Ta chứng minh un > 0, ∀n quy nạp Giả sử un > , đó: 2un + 1 ≥ 2un = 2un 2un   Nên un +1 = un +  2un + −  > un > 2un   u0 = 2011  Câu 29: Cho dãy số (un ) xác định :  un2 = ∀n 1, 2, u  n +1 u + ,= n  a) Khẳng định sau A Dãy (un ) dãy giảm B Dãy (un ) dãy tăng C Dãy (un ) dãy không tăng, không giảm D A, B, C sai b) Tìm phần nguyên un với ≤ n ≤ 1006 A = [un ] 2014 − n un ] 2011 − n B [= un ] 2013 − n C [= D = [un ] 2012 − n Hướng dẫn giải: a) Ta có: un +1 − u= n −un < 0, ∀n nên dãy (un ) dãy giảm un + b) Ta có: un= un −1 − un −1 > un −1 − > > u0 − n un −1 + = 2012 − n Suy ra: un −1 > u0 − (n − 1) Mặt khác: un = ( un − un−1 ) + (un−1 − un−2 ) + + (u1 − u0 ) + u0  u  u u = u0 −  + + + n −1  un −1 +   u0 + u1 +  1  = u0 − n +  + + +  un −1 +   u0 + u1 + Mà: 0< n n 1 + + + < < 0, ∀n (n + 2)(n + 3) Mặt khác: un =1 − ⇒ < un < 1, ∀n n+2 Vậy dãy (un ) dãy tăng bị chặn Câu 32: Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số sau: (un ) : un = n3 + 2n + A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn D Giảm, chặn Hướng dẫn giải: Ta có: un +1 − un = (n + 1)3 + 2(n + 1) − n3 − 2n = 3n + 3n + > 0, ∀n Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 27 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 10 Dãy số Mặt khác: un > 1, ∀n n lớn un lớn Vậy dãy (un ) dãy tăng bị chặn u1 =  Câu 33: Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số sau: (un ) :  un + un +1 , ∀n ≥ = A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn D Giảm, chặn Hướng dẫn giải: Chọn B Trước hết quy nạp ta chứng minh: < un ≤ 2, ∀n Điều với n = , giả sử < un < ta có: < un +1 = un + < nên ta có đpcm Mà un +1 − u= n − un < 0, ∀n Vậy dãy (un ) dãy giảm bị chặn u2 = u1 2,= Câu 34: Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số sau:  un + un −1 , ∀n ≥ un += A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn D Giảm, chặn Hướng dẫn giải: Chọn A Trước hết ta chứng minh < un < 4, ∀n Điều hiển nhiên với n = Giả sử < un < , ta có: < un +1 = un + un −1 < + = Ta chứng minh (un ) dãy tăng Ta có: u1 < u2 , giả sử un −1 < un , ∀n ≤ k u < uk −1 Khi đó:  k ⇒ uk + uk −1 < uk −1 + uk − ⇒ uk +1 < uk uk −1 < uk − Vậy dãy (un ) dãy tăng bị chặn  x0 =  yn xn +1 − xn Khẳng định Câu 35: Cho dãy số ( xn ) :  Xét dãy số = 2n n −1 = x = x , n 2,3, ∑ n i  (n − 1) i =1  dãy ( yn ) A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn D Giảm, chặn Hướng dẫn giải: Chọn A 28 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 10 Dãy số n −1 2(n + 1) n 2(n + 1)   = + x x xi  ∑ ∑ i n  2 n n = i 1= i   = Ta có: xn +1 = 2(n + 1)  (n − 1)  (n + 1)(n + 1) + x xn  = xn  n 2n n2  n3  Do đó: yn = xn +1 − xn = n2 + n + xn n3 • Ta chứng minh dãy ( yn ) tăng = Ta có: yn +1 − yn = = (n + 1) + n + (n + 1)(n + 1) n2 + n + x − xn n (n + 1)3 n3 n3 (n + 3n + 3)(n + 1) − (n + n + 1)(n + 2n + 1) xn n3 (n + 1) 2 xn > , ∀n = 1, 2, n (n + 1) • Ta chứng minh dãy ( yn ) bị chặn Trước hết ta chứng minh: xn ≤ 4(n − 1) (1) với ∀n =2,3 x2 4= x1 nên (1) với n = * Với n = , ta có: = * Giả sử (1) với n , tức là: xn ≤ 4(n − 1) , ta có (n + 1)(n + 1) 4(n − 1) = < 4n xn +1 xn ≤ n3 n3 Nên (1) với n + Theo nguyên lí quy nạp ta suy (1) n2 + n + 4(n − 1)(n + n + 1) 4(n3 − 1) x ≤ =< Ta có: yn = n n3 n3 n3 Vậy toán chứng minh Câu 36: Cho dãy số (Un ) với Un = −n Khẳng định sau đúng? n +1 −1 −2 −3 −5 −5 ; ; ; ; −1 −2 −3 −4 −5 B số số hạng đầu dãy : ; ; ; ; A Năm số hạng đầu dãy : C Là dãy số tăng D Bị chặn số Hướng dẫn giải: Chọn B Thay n 1, 2,3, 4,5 ta số hạng Câu 37: Cho dãy số ( un ) với un = −1 −2 −3 −4 −5 ; ; ; ; Khẳng định sau sai? n +n Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 29 Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 10 Dãy số 1 1 A Năm số hạng đầu dãy là: ; ; ; ; ; 12 20 30 B Là dãy số tăng C Bị chặn số M = D Không bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có= un +1 − un 1 = − ( n + 1) + ( n + 1) n + n −2 −= < với n ≥ ( n + 1)( n + ) n ( n + 1) n ( n + 1)( n + ) Do ( un ) dãy giảm −1 Khẳng định sau sai? n −1 −1 −1 −1 A Năm số hạng đầu dãy : −1; ; ; ; Câu 38: Cho dãy số ( un ) với un = B Bị chặn số M = −1 C Bị chặn số M = D Là dãy số giảm bị chặn số m M = −1 Hướng dẫn giải: Chọn B −1 −1 = −1 Nhận xét : un = ≥ n Dãy số ( un ) bị chặn M = −1 Câu 39: Cho dãy số ( un ) với un = a.3n ( a : số).Khẳng định sau sai? A Dãy số có un +1 = a.3n +1 3.a B Hiệu số un +1 − un = C Với a > dãy số tăng D Với a < dãy số giảm Hướng dẫn giải: Chọn B n a.3n +1 − a.3= a.3n ( − 1= Ta có un +1 − u= ) 2a.3n n Câu 40: Cho dãy số ( un ) với un = A Dãy số có un +1 = C Là dãy số tăng a −1 n2 + a −1 Khẳng định sau đúng? n2 B Dãy số có : un +1 = a −1 ( n + 1) D Là dãy số tăng Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có un +1 = 30 a −1 ( n + 1) Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Câu 41: Cho dãy số ( un ) với un = A un +1 = Chủ đề 10 Dãy số a −1 ( a : số) Khẳng định sau sai? n2 a −1 (n + 1) B Hiệu un +1 − un =(1 − a ) C Hiệu un +1 − un = ( a − 1) 2n − ( n + 1) n2 2n − ( n + 1) n2 D Dãy số tăng a < Hướng dẫn giải: Chọn B  −2n − 1  2n + Ta có un +1 − un = ( a − 1)  −  = ( a − 1) = (1 − a ) 2 2  ( n + 1) n  n n + n n + 1 ( ) ( )   an ( a : số) Kết sau sai? n +1 Câu 42: Cho dãy số ( un ) với un = a ( n + 1) A un +1 = n+2 a ( n + 3n + 1) B un +1 − un = (n + 2)(n + 1) C Là dãy số tăng với a D Là dãy số tăng với a > Hướng dẫn giải: Chọn C Chọn a = un = ,dãy ( un ) khơng tăng, không giảm Câu 43: Cho dãy số ( un ) với un = A Số hạng thứ dãy số k ( k : số) Khẳng định sau sai? 3n k 35 B Số hạng thứ n dãy số k 3n +1 D Là dãy số tăng k > C Là dãy số giảm k > Hướng dẫn giải: Chọn B Số hạng thứ n dãy un = k 3n Câu 44: Cho dãy số ( un ) với un = A Số hạng thứ dãy số (−1) n −1 Khẳng định sau sai? n +1 10 C Đây dãy số giảm B Số hạng thứ 10 dãy số −1 11 D Bị chặn số M = Hướng dẫn giải: Chọn C Dãy un dãy đan dấu Câu 45: Cho dãy số ( un ) có u= n n − với n ∈ N * Khẳng định sau sai? A số hạng đầu dãy là: 0;1; 2; 3; B Số hạng un +1 = n C Là dãy số tăng D Bị chặn số Hướng dẫn giải: Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 31 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 10 Dãy số Chọn A số hạng đầu dãy 0;1; 2; 3; Câu 45: Cho dãy số ( un ) có un =−n + n + Khẳng định sau đúng? A số hạng đầu dãy là: −1;1;5; −5; −11; −19 B un +1 =−n + n + C un −1 − un = D Là dãy số giảm Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có :  ( n + 1)2 + n + + 1 −  −n + n + 1 =− n − 2n − + n + + n − n − =−2n < ∀n ≥ Do un +1 − un =−     ( un ) dãy giảm Câu 46: Cho dãy số ( un ) với un = A un +1 = −1 ( n + 1) +1 −1 Khẳng định sau sai? n +1 B un > un +1 C Đây dãy số tăng D Bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn B π Khẳng định sau sai? n +1 π B Dãy số bị chặn A Số hạng thứ n + dãy: un +1 = sin n+2 Câu 47: Cho dãy số ( un ) với un = sin C Đây dãy số tăng D Dãy số không tăng không giảm Hướng dẫn giải: Chọn D Dãy số không tăng không giảm Tài liệu thuộc Series Tổng ơn Tốn 11 DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP VIP KYS     Nhận toàn tài liệu tự động qua email Nhận toàn Series giải chi tiết 100% Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K Được nhận tài liệu độc quyền dành riêng cho VIP Đăng kí VIP bit.ly/vipkys 32 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ ... 44: Cho dãy số ( un ) với un = A Số hạng thứ dãy số B Số hạng thứ n dãy số (−1) n −1 Khẳng định sau sai? n +1 10 C Đây dãy số giảm Câu 45: Cho dãy số ( un ) có u= n B Số hạng thứ 10 dãy số −1... tính tăng giảm dãy số sau: un =− n n2 − A Dãy số tăng C Dãy số không tăng không giảm B Dãy số giảm D Cả A, B, C sai Câu 3: Xét tính tăng giảm dãy số sau: un = A Dãy số tăng C Dãy số không tăng... C Là dãy số tăng với a D Là dãy số tăng với a > Câu 43: Cho dãy số ( un ) với un = A Số hạng thứ dãy số k ( k : số) Khẳng định sau sai? 3n k 35 k 3n +1 D Là dãy số tăng k > C Là dãy số giảm