Chứng minh rằng A+2B+4 là số chính phương.. Gọi I là trung điểm của CD.. a Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp.. b Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H.. Chứng minh H thuộc đường tròn ng
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán (Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,0 điểm)
M
a) Tìm điều kiện của a b, để M xác định và rút gọn M
b) Tính giá trị của M khi 1 3 2, 10 11 8
3
Bài 2 (2,0 điểm)
Cho phương trình 3 2
x x m x m , m là tham số
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt x x x 1, 2, 3
b) Tìm giá trị của m để 2 2 2
1 2 3 11
x x x
Bài 3 (1,0 điểm)
Cho số nguyên dương n và các số:
2
A 444 4
n
1 2 3 (A gồm 2n chữ số 4); B 888 8
n
1 2 3
(B gồm n chữ số 8) Chứng minh rằng A+2B+4 là số chính phương
Bài 4 (4,0 điểm)
Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D Từ điểm M tùy ý trên d kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của CD
a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp
b) Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp ΔCOD
c) Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường thẳng d
d) Chứng minh
2 2
MD HA
=
MC HC
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho 3 số thực , , a b c 0 thoả mãn a b c 2013
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
HẾT
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN (Chuyên Toán)
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang)
Câu1
(2,0đ)
M
ĐK xác định của M: , 0 0
b) Ta có M 2 3b
a
3
3 30 22 2
1 3 2
b a
2
6 4 2 17
b
Câu
(2,0đ)
a)
3 2
x x m x m (1)
2
2
x
Để pt (1) có 3 nghiệm phân biệt thì pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 0,25
m
m
b) Ta có 3 nghiệm của pt (1) là x1 2; x x2; 3 trong đó x x2; 3 là 2 nghiệm
x x x x x x x x x x x
0,25
Áp dụng định lý Vi-ét đối với pt (*) ta có 2 3
2 3
3
2 1
x x
x x m
Vậy (**) 9 2 2 m 1 7 m 1 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy m1 là giá trị cần tìm
0,5
Trang 3Câu 3
(1,0đ)
2
444 4 444 4 000 0 444 4 444 4 10n 1 888 8
A1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0,25
2
4.111 1.999 9 4.111 1.9.111 1 6.111 1
.888 8
Khi đó
1
3 888 8 2 3.222 2 2 666 68
Ta có điều phải chứng minh
0,25
Câu 4
(4,0đ)
a) MA, MB là các tiếp tuyến của (O)
MAO = MBO =90
I là trung điểm của CD OI CD · 0
Tứ giác MAIB nội tiếp đường tròn đường kính MO 0,25 b) MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
OA = OB MO là đường trung trực của AB
MO AB
MH.MO = MB2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)
0,25
· · 1
MBC= MDB
2
A
M
D
B
O
H
Q
d
Trang 4 ΔMBC đồng dạng với ΔMDB (g.g)
MB = MD
MC MB MC.MD = MB2 (2)
Từ (1) và (2) MH.MO = MC.MD
MC = MO
MH MD ΔMCHđồng dạng với ΔMOD (c.g.c) MHC= MDO · ·
0,25
tứ giác CHOD nội tiếp
c) Gọi Q là giao điểm của AB và OI
Hai tam giác vuông MIO và QHO có IOH · chung
ΔMIOđồng dạng với ΔQHO
0,25
MO OQ
=
2 2 OH.OM OA R
OI OI OI (R là bán kính (O) không đổi)
0,25
O, I cố định độ dài đoạn OI không đổi
độ dài đoạn OQ không đổi
lại có Q thuộc tia OI cố định
Q là điểm cố định đpcm
0,5
AHC=90 + MHC=90 +ODC=90 +
2
(ΔCOD cân tại O)
=180 COD = (360 sdCBD) = sdCAD
= CBD · (3)
0,25
CAH = CDB · · (4) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
Từ (3) và (4) ΔAHC đồng dạng với ΔDBC (g.g)
HA = BD
HC BC (5)
0,25
ΔMBC đồng dạng với ΔMDB (chứng minh trên)
MD MB BD
2
0,25
Từ (5) và (6) MD = HA22
2013a bc a b c a bc a ab ac bc a bc a b c
Theo bđt Cô-si cho 2 số dương ta có a2 bc 2 a bc Từ đó 0,25
Trang 5Câu 5
(1,0đ)
2
a bc a b c a bc a b c a b c bc a b c
Vậy
2013
Chứng minh tương tự ta thu được
2013
Cộng từng vế của (1),(2),(3) ta được
0,25
Dấu “=” xảy ra
2
2
2013
0,25
Lưu ý: Các cách giải khác mà đúng cho điểm tương đương theo từng phần như hướng dẫn chấm