Đề thi học sinh giỏi khu vực duyên hải và đồng bằng bắc bộ môn toán lớp 11 có đáp án

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 11 Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/04/2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1(4 điểm): 2x  2y  2x  y  2xy    Giải hệ phương trình:  3y   8x  2y  x    n n 1 : Câu (4 điểm): Cho dãy ( a ) an2  5an  10 a1  1; an1  n  .  an a) Chứng minh dãy ( an ) hội tụ tính lim an . b) Chứng minh a1  a2  .  an   n  1. n Câu (4 điểm): Gọi AD, BE , CF ba đường phân giác tam giác ABC vuông A . Đoạn thẳng AD cắt EF K . Đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC M , N . Chứng minh rằng: MN  2  AB  AC  . Câu 4(4 điểm): Tìm tất hàm số f :    thoả mãn   f x  y  xf  x   yf  y  , x, y   (1) Câu (4 điểm): Cho 100 số tự nhiên không lớn 100 có tổng 200. Chứng minh từ số chọn số có tổng 100. ----HẾT---- KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN HỌC LỚP 11 ĐỀ SỐ Câu 1(4 điểm): 2x  2y  2x  y  2xy    Giải hệ phương trình:  3y   8x  2y  x   (Quảng Trị) 2 x  y  x  y  xy     3 y   x  y  (1)   x  1   y  1  ĐK: (2x + 1)(y + 1)  (1)   (1) (2)  x  1 y  1  2x   Mà x >   y 1 2x   y    2x   y    2x   y    y  2x Thay vào (2): x   x3  x    x  1  x    x   x Hàm số f(t) = t3 + t đồng biến R (3)  x   x  x3  3x  NX: x >1 không nghiệm phương trình  Xét  x  1: Đặt x = cos  với    (k Z ) Do    (3) Ta có: cos3   2     k       k 2  1đ 1đ 1đ       Vậy hệ có nghiệm  cos ;2cos  9   n n 1 : Câu (4 điểm): Cho dãy (a ) an2  5an  10 a1  1; an1  n  .  an 1đ a) Chứng minh dãy ( an ) hội tụ tính lim an . b) Chứng minh a1  a2  .  an   n  1. n a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có:  an 5 Đặt A= Suy f '( x)  đoạn [ Dẫn đến xét hàm 10 5  x  (Hải Phòng)  n . x  x  10 10 f ( x)    x( x  5) . 5 x 5 x   0x  [1; ] , f ( x) nghịch biến 1,0 ;1].  a1  a3  a5  .  a2 k 1  .  A  lim a2 k 1  b  A .    a2  a4  a6  .  a2 k  .  A   lim a2 k  c  A 1,0 Kết hợp công thức xác định dãy ta  c  5c  10 b  5 5c  b  c   2 c  b  5b  10  5b Vậy lim an = b) Nhận xét: Dẫn đến 1,0 5 . t  [1; 5 ) t  f (t )   . a2 k 1  a2 k   k   a1  a2  .  a2 k 1  a2 k  2k Như bất đẳng thức với Trường hợp 5 n  2k . n  2k  , ý a2 k 1  5 , kết hợp với (1) thu được: a1  a2  .  a2 k 1  a2 k  a2 k 1  (2k  1) Vậy bất đẳng thức chứng minh. (1) 5 . 1,0 Câu (4 điểm): Gọi AD , BE , CF ba đường phân giác tam giác ABC vuông A . Đoạn thẳng AD cắt EF K . Đường thẳng qua K song song với BC cắt AB , AC M , N . Chứng minh rằng: MN  2  AB  AC  . (Chu Văn An-Hà Nội) Đặt BC  a, CA  b, AB  c ta có a  b  c b  c   Dùng tính chất đường phân giác tính AF  suy 1,0 bc  2. a 0,5 bc bc , AE  . ab ac Dùng phương pháp diện tích, công thức đường phân giác tính AD  Từ 2bc AE. AF 2bc . , AK   bc AE  AF 2a  b  c 1,0 AK bc MN bc    . AD 2a  b  c a 2a  b  c Suy ra: MN  (b  c) 1,0 1 2  (b  c)   AB  AC  . bc 2 2 a 0,5 Câu 4(4 điểm): Tìm tất hàm số f :    thoả mãn   f x  y  xf  x   yf  y  , x, y   (1) (Thái Bình) Đáp án: Cho x  , từ 1 suy f  y   yf  y  , y   Cho y  , từ 1 suy f  x   xf  x  , x   . Do (1) trở thành:       f x  y  f x  f y , x, y    f  x  y   f  x   f  y  , x, y   * thay y  y từ 1 ta :   f x  y  xf  x   yf   y    yf   y   yf  y  , y    f   x    f  x  , x    yf   y   yf  y  , y    f   x    f  x  , x   , chứng tỏ f hàm số lẻ. Do với x  0, y  ta có f  x  y   f  x    y   f  x   f   y   f  x   f  y   f  x  f  x  y  f  y  f  x  y   y   f  x  y   f  y   f  x  y   f  x   f  y  , x  0, y  ** Với x  0, y  ta có f  x  y    f   x  y     f   x   f   y     f  x   f  y   f  x   f  y  *** Kết hợp * , ** , (***) ta f  x  y   f  x   f  y  , x, y   . f  x  1   f  x   2x 1     x  1 f  x  1  f x  f  x   f 1 tính f  x  1  theo hai cách. Ta có   x  1  f  x   f 1  xf  x   f  x   f 1  f  x   xf 1 , x    f  x   ax, x  , a   Câu (4 điểm): Cho 100 số tự nhiên không lớn 100 có tổng 200. Chứng minh từ số chọn số số có tổng 100. (Yên Bái) Đáp án: Nếu tất số tất số 2. Khi ta lấy 50 số có tổng 1,0 100. Giả sử a1  a ta xét 100 số có dạng  a1 ,a ,a  a ,a  a  a , ,a  a  .  a 99  200 Nếu có số chia hết cho 100 số 100 số bé 200. Nếu số chia hết cho 100 100 số phải có hai số đồng dư phép chia cho 100 (vì số dư nhận giá trị từ đến 99) suy hiệu chúng chia hết cho 100 hiệu hai số tổng cần tìm ----HẾT---- 1,0 1,0 1,0 . KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 11 Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/04/2014 Câu. 100 có tổng bằng 200. Chứng minh rằng từ các số đó có thể chọn được ít nhất một bộ các số có tổng bằng 100. HẾT ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM. CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN HỌC LỚP 11 Câu 1(4 điểm): Giải hệ phương tr ình: 3 3 2x 2y 2x y 2xy 1 1 3y 1 8x 2y 1 x