Đoạn thẳng AD cắt EF tại K.. Chứng minh rằng từ các số đó có thể chọn được ít nhất một bộ các số có tổng bằng 100... Vậy bất đẳng thức được chứng minh... Đoạn thẳng AD cắt EF tại K... Ch
Trang 1KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 11
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19/04/2014
Câu 1(4 điểm):
Giải hệ phương trình: 3 3
2x 2y 2x y 2xy 1 1 3y 1 8x 2y 1
x 0
Câu 2 (4 điểm): Cho dãy ( an n)1:
2
5
n
n
a
a) Chứng minh dãy ( an) hội tụ và tính lim an b) Chứng minh 1 2 5 5
1 2
n
n n
Câu 3 (4 điểm): Gọi AD BE CF, , là ba đường phân giác trong của tam giác ABC vuông ở A Đoạn thẳng AD cắt EF tại K Đường thẳng qua K song song với BC cắt AB AC, lần lượt ở ,
M N Chứng minh rằng:
2 2
2
Câu 4(4 điểm): Tìm tất cả các hàm số f : thoả mãn
, , (1)
f x y xf x yf y x y
Câu 5 (4 điểm): Cho 100 số tự nhiên không lớn hơn 100 có tổng bằng 200 Chứng minh rằng
từ các số đó có thể chọn được ít nhất một bộ các số có tổng bằng 100
HẾT ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN HỌC LỚP 11
Câu 1(4 điểm):
Giải hệ phương trình: 3 3
2x 2y 2x y 2xy 1 1 3y 1 8x 2y 1
x 0
(Quảng Trị)
3 3
3 1 8 2 1 (2)
(1) 2x 1 2 y 1 2x1y 1 0
ĐK: (2x + 1)(y + 1) 0 Mà x > 0 2 1 0
1 0
x y
(1) 2x 1 y1 2x 1 2 y 1 0 2x 1 y 1 0
2
Thay vào (2): 3 3
6x 1 8x 4x1 3 3
6x 1 6x 1 2x 2x
(3) Hàm số f(t) = t3 + t đồng biến trên R
(3) 3
6 x 1 2 x
2
NX: x >1 không là nghiệm của phương trình
Xét 0 x 1: Đặt x = cos với 0
2
Ta có: 1
cos3
2
2
2
k
k
(k Z) Do 0
2
9
Vậy hệ có nghiệm cos ;2cos
1đ
1đ
1đ
1đ
Câu 2 (4 điểm): Cho dãy ( an n)1:
2
5
n
n
a
ĐỀ SỐ 1
Trang 3a) Chứng minh dãy ( an) hội tụ và tính lim an.
b) Chứng minh 1 2 5 5
1 2
n
n n
(Hải Phòng)
a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có:1 an 3 2 n.
Đặt A=5 5
2
và xét hàm
2
Suy ra
2
5
x
, như vậy f x ( ) nghịch biến trên đoạn[ 1 2 ;1].
1,0
Dẫn đến 1 3 5 2 1
k k
2 1 2
lim lim
k k
Kết hợp công thức xác định dãy ta được
2
2
5 10
5 5 5
2
5 10 5
b
c
b c
c
b
Vậylim an=5 5
2
.
1,0
b) Nhận xét: [1; 5 5 )
2
thìt f t ( ) 5 5.
Dẫn đến a2k1 a2k 5 5 k 1
2
Như vậy bất đẳng thức đúng với n 2 k.
Trường hợp n 2 k 1, chú ý 2 1 5 5
2
k
, kết hợp với (1) thu được:
2
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
1,0
Trang 4Câu 3 (4 điểm): Gọi AD BE CF, , là ba đường phân giác trong của tam giác ABC vuông ở A Đoạn thẳng AD cắt EF tại K Đường thẳng qua K song song với BC cắt AB AC, lần lượt ở ,
M N Chứng minh rằng:
2 2
2
MN ABAC
(Chu Văn An-Hà Nội)
Đặt BCa CA, b AB, ta cóc 2
2 2 2
2
b c
suy ra b c 2
a
Dùng tính chất đường phân giác tính được AF bc ,AE bc
0,5
Dùng phương pháp diện tích, hoặc công thức đường phân giác trong tính được
,
2
1,0
Từ đó
1,0
2
2 2 2
b c a
0,5
Câu 4(4 điểm): Tìm tất cả các hàm số f : thoả mãn
, , (1)
f x y xf x yf y x y
(Thái Bình)
Đáp án:
Cho x , từ0 1 suy ra 2
,
Cho y0, từ 1 suy ra 2
,
Do đó (1) trở thành:
f x y f x f y x y f xy f x f y x y
Trang 5thay y bởi y từ 1 ta được :
2 2
f x y xf x yf y
, chứng tỏ f là hàm số lẻ Do đó với mọi
0, 0
x y ta có
f x y f x y f x f y f x f y
f x f x y f y
f x y y f x y f y
f x y f x f y x y
Với mọi x0,y0 ta có
Kết hợp * , ** , (***) và ta được f x y f x f y ,x y,
tính 2
1
f x theo hai cách Ta có
2
1 ,
f x xf x
f x ax x a
Câu 5 (4 điểm): Cho 100 số tự nhiên không lớn hơn 100 có tổng bằng 200 Chứng minh rằng
từ các số đó có thể chọn được một số số có tổng bằng 100
(Yên Bái)
Đáp án:
Nếu tất cả các số bằng nhau thì tất cả các số là 2 Khi đó ta lấy 50 số 2 sẽ có tổng
Giả sử a1 a2 ta xét 100 số có dạng
0 a ,a ,a a ,a a a , ,a a a 200 1,0 Nếu có một số chia hết cho 100 thì số đó bằng 100 vì số đó bé hơn 200 1,0
Nếu không có số nào chia hết cho 100 thì trong 100 số phải có hai số đồng dư
trong phép chia cho 100 (vì các số dư nhận giá trị từ 1 đến 99) suy ra hiệu của
chúng chia hết cho 100 và hiệu hai số đó chính là tổng cần tìm
1,0