SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Câu Câu : (4 điểm) (4 đ) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM HỌC 2010 – 2011 KHÓA NGÀY 21/06/2010 Đáp án : TOÁN Hướng dẫn chấm Điểm itr e. v n x + + y = 1) Giải hệ phương trình : + 5y = x + 1 −2 3y = x = y 2y + = − = − x + x + ⇔ ⇔ ⇔ + 5y = + 5y = x + + 5y = y = x + x + 2) Giải phương trình: (2x − x) + 2x − x −12 = Đặt t = 2x2 – x, pt trở thành t2 + t – 12 = ⇔ t = hay t = – t = ⇔ 2x2 – x = ⇔ x = – hay x = 3/2 t = – ⇔ 2x2 – x = – ( vơ nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm x = – 1, x = 3/2 Câu : (3 điểm) 2 (3 đ) Cho phương trình x – 2(2m + 1)x + 4m + 4m – = (x ẩn số) (*) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) thỏa x1 = x ∆ ’ = (2m + 1)2 – (4m2 + 4m – 3) = > 0, với m Vậy (*) ln có nghiệm phân biệt với m. x1 = 2m −1, x = 2m + tu o x1 = x ⇔ 2m −1 = 2m + m = − 2m −1 = 2(2m + 3) ⇔ 2m −1 = −2(2m + 3) m = − 0,5x4 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5 đ 0,5đ 0,5đ 1,5đ Câu : (2 điểm) (2 đ) 7+ + 7− Thu gọn biểu thức: A = − 3− 2 + 11 Xét M = 7+ + 7− + 11 14 + 44 = suy M = + 11 − ( −1) = Ta có M > M2 = A= 1đ 1đ (4đ) Câu : (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O). Gọi P điểm cung nhỏ AC. Hai đường thẳng AP BC cắt M. Chứng minh rằng: a) ABP = AMB b) MA. MP = BA. BM A P B C M n O 2đ b) PA = PC ⇒ CAP = ABP = AMB suy CM = AC = AB MA MC = ⇒ MA.MP = MB.MC = MB.AB ∆ MAC ~ ∆ MBP (g – g) ⇒ MB MP 1đ itr e. v 1 a) AMB = (sđAB − sđPC) = (sđAC − sđPC) = sđAP = ABP 2 1đ Câu : (3 điểm) a) Cho phương trình: 2x2 + mx + 2n + = (x ẩn số m, n số ngun) (3 đ) Giả sử phương trình có nghiệm số ngun. Chứng minh rằng: m2 + n2 hợp số. Gọi x1, x2 nghiệm phương trình ⇒ x1, x2 ngun, x1 + x = − m , x1x2 = n + 0,5đ m + n = (2x1 + 2x )2 + (x1x − 4) = 4x12 + 4x 22 + x12 x 22 + 16 0,5đ 0,5đ tu o = (x12 + 4)(x 22 + 4) x12 + 4, x22 + số ngun lớn nên m2 + n2 hợp số. b) Cho hai số dương a, b thỏa a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 . Tính P = a2010 + b2010 Ta có = a100 + b100 – (a101 + b101) = a101 + b101 – (a102 + b102) . ⇒ a100(1 – a) + b100(1 – b) = a101(1 – a) + b101(1 – b) ⇒ a100(1 – a)2 + b100(1 – b)2 = 1đ ⇒ a=b=1 2010 2010 0,5đ +b =2 ⇒ P=a (2đ) Câu : (2 điểm) Cho tam giác OAB vng cân O với OA = OB = 2a. Gọi (O) đường tròn tâm O bán kính a. Tìm điểm M thuộc (O) cho MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất. B F M O E A C n D itr e. v Đường thẳng OA cắt (O) C D với C trung điểm OA. Gọi E trung điểm OC. * Trường hợp M khơng trùng với C D: Hai tam giác OEM OMA đồng dạng OM OE ( MOE = AOM, = = ). OA OM ME OM ⇒ = = ⇒ MA = 2EM AM OA * Trường hợp M trùng với C: MA = CA = 2EC = 2EM * Trường hợp M trùng với D: MA = DA = 2ED = 2EM Vậy ln có MA = 2EM MA + 2MB = 2(EM + MB) ≥ 2EB = số. Dấu “=” xảy M giao điểm đoạn BE với đường tròn (O). Vậy MA + 2MB nhỏ M giao điểm đoạn BE với đường tròn (O). 1đ 0,5 đ 0,5đ 7(2đ) Câu : (2 điểm) Cho a, b số dương thỏa a + 2b ≤ 3c2 . Chứng minh + ≥ . a b c tu o Ta có + ≥ (1) ⇔ (a + 2b)(b + 2a) ≥ 9ab a b a + 2b ⇔ 2a − 4ab + 2b ≥ ⇔ 2(a − b) ≥ (Đúng) 0,5 đ a + 2b ≤ 3(a + 2b ) (2) ⇔ (a + 2b) ≤ 3(a + 2b ) ⇔ 2a − 4ab + 2b ≥ ⇔ 2(a − b) ≥ (Đúng) 9 Từ (1) (2) suy + ≥ ≥ ≥ ( a2 + 2b2 ≤ 3c2) 2 a b a + 2b 3(a + 2b ) c 0,5đ 1đ . a 100 + b 100 = a 101 + b 101 = a 102 + b 102 . Tính P = a 2 010 + b 2 010 Ta có 0 = a 100 + b 100 – (a 101 + b 101 ) = a 101 + b 101 – (a 102 + b 102 ) . ⇒ a 100 (1 – a) + b 100 (1. GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM HỌC 2 010 – 2011 KHÓA NGÀY 21/06/2 010 Đáp án : TOÁN Câu Hướng dẫn chấm Điểm 1 (4. b 102 ) . ⇒ a 100 (1 – a) + b 100 (1 – b) = a 101 (1 – a) + b 101 (1 – b) ⇒ a 100 (1 – a) 2 + b 100 (1 – b) 2 = 0 ⇒ a = b = 1 ⇒ P = a 2 010 + b 2 010 = 2 0,5ñ 0,5ñ 0 ,5ñ