ĐỀ I (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (1,5 điểm) Cho biểu thức P = 1 1 2( 2 1) : 1 x x x x x x x x x x x − + − + − ÷ ÷ − − + với x > 0 và x 1≠ a/ Rút gọn P. b/ Tìm x để P < 0. c/ Tìm các giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên. Bài 2 (1,5 điểm). Cho hàm số bậc nhất y = (m - 2)x + m + 3. a/ Tìm điều kiện của m để hàm số nghịch biến. b/ Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. c/ Tìm m để đồ thị hàm số trên và các đường thẳng y = -x + 2 ; y = 2x - 1 đồng quy. Bài 3 (1,5 điểm). Một ca nô xuôi dòng 42km rồi ngược dòng trở lại 20km mất tổng cộng 5 giờ. Tìm vận tốc của ca nô khi nước yên lặng biết rằng vận tốc dòng nước là 2km/h. Bài 4 (2,0 diiểm). Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x 2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 (1). a/ Giải phương trình (1) khi m = -5. b/ Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 với mọi giá trị của m. c/ Tìm GTNN của biểu thức M = 1 2 x x− . Gợi ý: Tìm GTNN của (x 1 - x 2 ) 2 rồi suy ra GTNN của M. (minM = 1 19 2 x⇔ = − ) Bài 5 (3,5 điểm). Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng OA lấy điểm P khác O và A. Tia CP cắt đương tròn (O) tại điểm thứ hai Q. Đường thẳng vuông góc với AB tại P cắt tiếp tuyến tại Q của đường tròn (O) tại M. a/ Chứng minh tứ giác OPQM nội tiếp. b/ Chứng minh OM là tia phân giác của góc DOQ. c/ Chứng minh hệ thức CP.CQ = 2R 2 . d/ Xác định vị trí của P trên đoạn OA sao cho CP + CQ = 13 2 5 R . Gợi ý câu d/: Áp dụng định lí Vi-et để từ CP.CQ = 2R 2 và CP + CQ = 13 2 5 R tính độ dài đoạn CP => tính độ dài OP => vị trí của P. -----------------HẾT----------------- ĐỀ II (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (2,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A = 45 20− B = 2 2 m n n m n − + + C = 1 1 1 : 1 1 1 x x x x + + ÷ − − + ( với x 0; 1x≥ ≠ ) b) Chứng minh rằng 0 ≤ C < 1 Bài 2 (1,5 điểm) Cho Parabol (P): y = ax 2 ( 0a ≠ ) và điểm A(2;8) a) Tìm a biết Parabol (P) đi qua A. b) Tìm điều kiện của a để Parabol (P): y = ax 2 cắt đường thẳng (d): y = x + 1 tại hai điểm phân biệt. Bài 3 (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một nhóm học sinh được phân công chuyển 105 bó sách về thư viện của trường. Đến buổi lao động có hai học sinh bị ốm không tham gia được, vì vậy mỗi học sinh phải chuyển thêm 6 bó nữa mới hết số sách cần chuyển. Hỏi lúc đầu nhóm có bao nhiêu học sinh? Biết số các bó sách mỗi học sinh chuyển là như nhau. Bài 4 (2,0 điểm) Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 3 2 2009,5x xy y x− + − + Gợi ý: Biến đổi P = 2 2 1 ( 1) 2( ) 2008 2 y x y− + + − + => minP = 2008 9 4 1 4 x y = = Bài 5 (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, điểm M thuộc cung AB(M ≠ A; M ≠ B), điểm C thuộc đoạn OA. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm M kẻ các tiếp tuyến Ax; By của đường tròn tâm (O). Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax , By lần lượt tại D và E. AM cắt CD tại P, BM cắt CE tại Q. a) Chứng minh: Tứ giác ADMC; BEMC là các tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh · · 0 DAM + EBM = 90 và DC ⊥ CE. c) Chứng minh PQ // AB. d) Tìm vị trí của điểm C để tứ giác APQC là hình bình hành. -----------------HẾT----------------- ĐỀ III (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (1,5 điểm) Cho biểu thức P = 1616 + x - 99 + x + 44 + x + 1 + x với x 1 −≥ a/ Rút gọn biểu thức P. b/ Tìm x sao cho P có giá trị bằng 5. Bài 2 (1,5 điểm) Cho hàm số y = ax + b. a/ Tìm a, b biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; -1) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3. b/ Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được. c/ Tính góc tạo bởi đường thẳng trên với trục Ox. Bài 3 (1,5 điểm). Cho biểu thức Q = − + + − − + 1 2 1 1 : 1 1 a aaaa a (a>0; a 1 ≠ ) a/ Rút gọn Q. b/ Tính giá trị của Q khi a = 3 + 2 2 . c/ Tìm các giá trị của Q sao cho Q < 0. Bài 4 (2,0 điểm). Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x 2 - 2mx - m 2 - 1 = 0. (1) a/ Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt vơi mọi giá trị của m. b/ Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 , x 2 của phương trình mà không phụ thuộc vào m. c/ Tìm m thỏa mãn hệ thức 2 5 1 2 2 1 −=+ x x x x . Bài 5 (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt tại E và F. a/ Chứng minh tứ giác AENO nội tiếp. b/ Gọi giao điểm của AM và OE, của BM và OF lần lượt là P và Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? Tại sao? c/ Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB). Gọi K là giao điểm của MH và EB. So sánh MK với KH. d/ Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF. Hãy chứng minh: 3 1 < R r < 2 1 . Gợi ý câu d/: Vẽ đường phân giác OD của tam giác OEF, IK vuông góc với EF, EN vuông góc với OD. Do EN < ED < EO và sin45 0 = 2 2 => ED < EO < 2ED => ID < IO < 2ID => 2 ID r ID ID ID R ID ID < < => + + đpcm. -----------------HẾT----------------- ĐỀ IV (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (1,5 điểm) Cho biểu thức A = 124 2 1 3279 −−−+− xxx với x > 3 a/ Rút gọn biểu thức A. b/ Tìm x sao cho A có giá trị bằng 7. Bài 2 (1,5 điểm) Cho hàm số y = ax + b. Tìm a, b biết đồ thị của hàm số đi qua điểm (2, -1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 3 . Bài 3 (1,5 điểm). Rút gọn biểu thức: P = − + − − + − − 1 2 2 1 : 1 1 1 a a a a aa với a > 0, a 4,1 ≠≠ a . Bài 4 (2 điểm). Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x 2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0. (1) a/ Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b/ Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Tìm m để 3( x 1 + x 2 ) = 5x 1 x 2 . Bài 5 (3,5 điểm). Cho tam giác ABC có góc A bằng 60 0 , các góc B, C nhọn. vẽ các đường cao BD và CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE. a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. b/ Chứng minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ACB. c/ Tính tỉ số BC DE . d/ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA vuông góc với DE. Gợi ý câu d/: Kẻ Ax vuông góc với OA. C/m Ax song song với ED suy ra đpcm. -----------------HẾT----------------- ĐỀ V (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (1,5 điểm). Cho biểu thức P = 12 1 : 1 11 +− + − + − aa a aaa (a > 0, a 1 ≠ ) a/ Rút gọn biểu thức P. b/ Tính giá trị đúng của P khi a = 6 - 2 5 . Bài 2 ( 1,5 điểm). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) đi qua hai điểm (2; 3) và (-1; -3) và Parabol (P) có phương trình y = mx 2 (m 0 ≠ ). a/ Viết phương trình của đường thẳng (d). b/ Tìm điều kiện của m để (d) và (P) căt nhau tại hai điểm phân biệt. Bài 3 (1,5 điểm). Hai bạn An và Tâm đi xe đạp khởi hành cùng một lúc từ A để đến B cách nhau 25km. Do vận tốc xe của An nhỏ hơn vận tốc xe của Tâm 500m mỗi giờ nên An đến B chậm hơn Tâm 5 phút. Tính vận tốc trung bình của xe mỗi bạn. Bài 4 (2 điểm). Cho phương trình x 2 - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0 a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì? c/ Tìm GTLN của biểu thức A = 4x 1 x 2 - x 1 2 - x 2 2 . Bài 5 (3,5 điểm). Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d cắt đường tron tại hai điểm A, B (d không đi qua O). Từ một điểm M thuộc đường thẳng d và ở ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến MN, MP vơí đường tròn (N, P là các tiếp điểm). a/ Chứng minh tứ giác ONMP nội tiếp. Xác điịnh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. b/ Gọi K là trung điểm của dây AB, chứng minh tam giác NIK cân. c/ Cho MA.MB = R 2 ( )13 + . Tính độ dài đoạn OM theo R. Gợi ý câu c/: C/m MA.MB = MN 2 . -----------------HẾT----------------- ĐỀ VI (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (1,5 điểm). Cho biểu thức P = −−+ − − + + 1 2 1 1 : 1 1 aaaa a a a a (a > 0; a ≠ 1,a ≠ -1) a/ Rút gọn P. b/ Tính giá trị của P khi a = 19 - 8 3 . c/ Tìm giá trị của a để P < 1. Bài 2 ( 1,5 điểm). Cho đường thẳng (d): y = 3 4 3 − x a/ Vẽ (d). b/ Tính diện tích tam giác tạo thành bởi (d) và hai trục toạ độ. (Đơn vị trên các trục toạ độ là cm.) c/ Tính khoảng cách từ O đến (d). Bài 3 (1,5 điểm). Cho Phương trình bậc hai ẩn số x: x -2 - 4x - m 2 - 1 = 0 (1) a/ Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi gía trị của m. b/ Tính giá trị biểu thức A = x 1 2 + x 2 2 biết 2x 1 + 3x 2 = 13, (x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình (1)). Bài 4 (2 điểm). Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì xong trong 4 giờ. Nêu mỗi đội làm một mình để xong công việc ấy thì đội thứ nhất cần ít thời gian hơn đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình thì xong công việc ấy trong bao lâu? Bài 5 (3,5 điểm). Cho đường tròn (O; R) đương kính AB. H là trung điểm của đoạn OB. Trên đường thẳng (d) vuông góc với OB tại H lấy một điểm P ở ngoài đường tròn. PA, PB cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại C và D. Gọi Q là giao điểm của AD và BC. a/ Chứng minh tứ giác BHQD nội tiếp. b/ Chứng minh ba điểm P, Q, H thẳng hàng. c/ Chứng minh DA là tia phân giác của góc CDH. d/ Cho diện tích tam giác ABC bằng hai lần diện tích tam giác AQB. Tính độ dài đoạn HP theo R. Gợi ý câu d/: Kẻ CK vuông góc với AB. Từ GT suy ra CK = 2QH => BK = 2BH => K ≡ O => PH = AH = 3 2 R. -----------------HẾT----------------- ĐỀ VII (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (1,5 điểm). Trong hệ trục toạ độ vuông góc Oxy cho Parabol (P): y = 2x 2 . a/ Hãy vẽ (P). b/ Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là -1 và 2. c/ Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng (d). (Đơn vị trên các trục toạ độ là cm.) Bài 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức P = 1 1 8 3 2 : 1 9 1 3 1 3 1 3 1 x x x x x x x − − − + − ÷ ÷ ÷ ÷ − − + + . a/ Tìm điều kiện của x để P có nghĩa. b/ Rút gọn P. c/ Tìm các giá trị của x để P = 6 5 . Bài 3 (2,0 điểm). Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x 2 - (m - 1)x - m 2 + m - 2 = 0 (1) a/ Chứng minh phương trinh (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b/ Tim những giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu. c/ Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để x 1 3 + x 2 3 > 0. Bài 4 ( 3,5 điểm). Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). a/ Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp. b/ Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đoạn thẳng AB, AC và cung nhỏ BC theo R. c/ Kẻ cát tuyến AMN của đường tròn (O) (MN < 2R). 1. Chứng minh AM.AN = AB 2 . 2. Cho AM + AN = R 15 . Tính độ dài các đoạn thẳng AM, AN theo R. * Gợi ý câu 2. Áp dụng định lí Vi-et để từ AM.AN = AB 2 (Tính được AB 2 ) và AM + AN = R 15 tính AM, AN. Bài 5 (1,0 điểm) Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1. Hãy tìm GTLN của biểu thức P = x y+ * Gợi ý: Do x y+ > 0 nên tìm GTLN của ( x y+ ) 2 rồi suy ra GTLN của P. -----------------HẾT----------------- ĐỀ VIII (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (1,5 điểm) Cho biểu thức P = 2 3 3 2 2 : 9 3 3 3 x x x x x x x x + − + − ÷ ÷ ÷ ÷ − + − + . a/ Tìm điều kiện của x để P có nghĩa. b/ Rút gọn P. c/ Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên. Bài 2 (2 điểm) Cho phương trình: x 2 - mx + m - 1 = 0 (m là tham số). a/ Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm x 1 , x 2 với mọi giá trị của m. Tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình. b/ Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia. c/ Đặt A = x 1 2 + x 2 2 - 6x 1 x 2 . 1. Tìm m để A = 8. 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài 3 (1,5 điểm) Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ học sinh gồm 13 bạn (cả nam và nữ) đã trồng được tất cả 80 cây. Biết số cây các bạn nam và các bạn nữ trồng được bằng nhau và mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của tổ. Bài 4 (1,0 điểm) Cho Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d): y = mx - m + 1. a/ Chứng tỏ rằng (P) và (d) luôn có điểm chung với mọi giá trị của m. b/ Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d) khi cho m = 3 Bài 5 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn đường kính AH cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại D và E. a/ Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật. b/ Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp. c/ Đường thẳng qua A và vuông góc với DE cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC. d/ Chứng minh nếu diện tích tam giác ABC bằng hai lần diện tích hình chữ nhật ADHE thì tam giác ABC vuông cân. Gợi ý câu d/: Từ GT => S AHE = S BHE => Tam giác AHB vuông cân tại H => gócABC = 45 0 . -----------------HẾT----------------- ĐỀ IX (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức P = 1 2 2 1 2 : 1 1 1 1 x x x x x x x x − − − ÷ ÷ ÷ − + − + − − với x 0; 1x≥ ≠ . a/ Rút gọn P. b/ Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên. c/ Tìm GTNN của P và giá trị tương ứng của x. Bài 2 (1,5 điểm) Cho hệ phương trình với tham số m: ( 1) 1 ( 2) 6 2 x m y m x y + − = − + = (I) a/ Giải hệ phương trình (I) với m = 3. b/ Với các giá trị nào của m thì hai đường thẳng được xác định bởi hai phương trình của hệ (I) cắt nhau tai một điểm duy nhất. Bài 3 (1,5 điểm) Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x 2 - 2mx + 2m - 5 = 0. a/ Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b/ Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm dương. c/ Goi hai nghiệm của phương trình là x 1 ; x 2 , tìm các giá trị của m để: x 1 2 (1 - x 2 2 ) + x 2 2 (1 - x 1 2 ) = -8 Bài 4 (1,5 diểm) Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B cách nhau 24km. Cùng lúc đó cũng từ A một khúc gỗ trôi với vận tốc dòng nước là 4km/h. Khi đến B ca nô quay trở lại và gặp khúc gỗ tại một điểm cách A 8km. Tính vận tốc ca nô khi nước yên lặng. Bài 5 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O, R) có dây AB = R 2 cố định và một điểm M di động trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB; P, Q lần lượt là các giao diểm thứ hai của các đường thẳng AH, BH với đường tròn (O). S là giao điểm của hai đường thẳng PB và QA. a/ Chứng minh PQ là đường kính của đường tròn (O). b/ Tứ giác AMBS là hình gì ? Tại sao? c/ Chứng minh SH có độ dài không đổi. d/ Gọi I là giao điểm của các đường thẳng SH và PQ. Chứng minh I chay trên một đường tròn cố định khi M di động trên cung lớn AB. Gợi ý câu d/: Xét các tứ giác nội tiếp AHIQ và BHIP để suy ra gócAIQ = gócBIP = 45 0 => gócAIB = 90 0 . -----------------HẾT----------------- ĐỀ X (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức P = 2 2 2 2 : 1 2 1 2 1 x x x x x x x − + − ÷ ÷ ÷ − − + + + với 0; 1x x≥ ≠ . a/ Rút gọn P. b/ Tìm các giá trị của x để P > 0. c/ Tính giá trị của P khi x = 7 - 4 3 . d/ Tìm GTLN của P và giá trị tương ứng của x. Bài 2 (1,5 điểm) Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x 2 - 2(m + 1)x + 2m - 15 = 0 (1) a/ Giải phương trình (1) khi m = 3. b/ Với những giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm? c/ Goi hai nghiệm của phương (1) trình là x 1 , x 2 . Tìm các gá trị của m thoả mãn hệ thức: 5x 1 + x 2 = 4. Bài 3 (1,5 điểm) Cho hàm số y = (2m - 1)x + m - 3. a/ Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5). b/ Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1− . c/ Chứng tỏ rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. Bài 4 (1,0 điểm) Cho ba số thực x, y, z thoả mãn hệ thức: x 4 - 2y 2 + 1 = y 4 - 2z 2 + 1 = z 4 - 2x + 1 = 0. Tính giá trị biểu thức M = x 2009 + y 2009 + z 2009 . Gợi ý: Cộng từng vế ba đẳng thức x 4 - 2y 2 + 1 = 0, y 4 - 2z 2 + 1 = 0, z 4 - 2x + 1 = 0. để suy ra x 2 - 1 = y 2 - 1 = z 2 - 1 = 0 => M ∈ { } 1; 3± ± Bài 5 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB, AC sao cho tâm của cung BC và điểm A nằm về hai phía đối với BC. Trên cung BC lấy điểm M và kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK đến các cạnh tương ứng BC, CA, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P, giao điểm của CM, IH là Q. Chứng minh: a/ Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp. b/ MI 2 = MH.MK. c/ PQ vuông góc với MI. d/ Nếu KI = KB thì IH = IC. Gợi ý câu c/: C/m gócBMI = gócHIC và gócCMI = gócKIB để suy ra tứ giác IPMQ nội tiếp rồi suy ra đpcm. -----------------HẾT----------------- Trần Thị Thương Hoài . Một nhóm học sinh được phân công chuyển 105 bó sách về thư viện của trường. Đến buổi lao động có hai học sinh bị ốm không tham gia được, vì vậy mỗi học sinh. luôn luôn có hai nghiệm phân biệt vơi mọi giá trị của m. b/ Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 , x 2 của phương trình mà không phụ thuộc vào