vẻ đẹp toán học

Cuốn sách lý thú này dễ đọc và đem lại cho tất cả mọi người cơ hội để thưởng thức và chiêm nghiệm vẻ đẹp của toán học đã bị che khuất trong những bài học chính khóa.. Tôi đã đọc hàng tr

Người dịch: Phạm Ngọc Thái Hòa

MATH CHARMERS

Tantalizing tidbits for the mind

by Alfred S Posamentier

Foreword by Herbert A Hauptman

Copyright © 2003 by Alfred S Posamentier All rights reserved

Published 2003 by Prometheus Books

59 John Glenn Drive

VẺ ĐẸP TOÁN HỌC

Những bài toán gợi mở tư duy

Bản quyền tiếng Việt © 2009 Công ty Cổ phần Văn hóa Giáo dục Long Minh

-Thanh Xuân - Hà Nội

Điện thoại: 04 6281 6835 - Fax: 04 6281 6834

Email: sach@longminh.com.vn

Website: www.longminh.com.vn

Chi nhánh: 318 Nguyễn Thượng Hiền - Phường 5 - Quận Phú Nhuận

- TP Hồ Chí Minh Điện thoại: 08.2215.1111 - Fax: 08.7303.5566

Cuốn sách được xuất bản theo hợp đồng chuyển nhượng bản quyền Prometheus Books và Công ty Cổ phần Văn hóa Giáo dục Long Minh

SAùCH ĐAõ MuA BAûN QuYEàN Mọi HìNH THứC SAo CHEùP ĐEàu LAø BAáT HợP PHAùP NEáu KHôNG Có Sự ĐồNG Yù BAèNG VAêN BAûN CủA CôNG TY Cổ PHAàN VAêN HóA GiAùo DụC LoNG MiNH

“Sự nhiệt tình và tình yêu của trưởng khoa Posamentier dành cho toán học được thể hiện rõ ràng trong kho tàng toán học thú vị này ông đã khích lệ độc giả cầm bút, đưa ra các dự đoán, cùng tham gia thử nghiệm và tìm hiểu các mối quan hệ thú vị trong toán học Các

em học sinh trung học và cả các thầy cô giáo dạy toán đều nên đọc cuốn sách bổ ích này! Thật tuyệt vời!”

Tiến sĩ Frances R Curcio, Giáo sư Giáo dục toán học,

khoa Giáo dục Trung học cơ sở và Phục vụ thanh thiếu niên, trường Queens College Đại học Thành phố New York (CuNY)

“Tiêu đề của cuốn sách đã lột tả được toàn bộ nội dung – một tác phẩm thực sự lôi cuốn! Tôi hi vọng rằng tất cả các vị phụ huynh sẽ đọc cuốn sách này và cảm nhận được vẻ đẹp của toán học Nhờ đó, học sinh sẽ nhận được sự trợ giúp phù hợp từ ở nhà.”

Tiến sĩ Anton Dobart, Tổng Vụ trưởng, Bộ Giáo dục,

Khoa học và Văn hóa Cộng hòa Aùo

“Tiến sĩ Posamentier đã dành trọn cuộc đời để mang toán học đến với các học sinh, sinh viên và giáo viên Cuốn sách này là đóng góp tuyệt vời của một người có trí tuệ xuất sắc và tấm lòng cao cả Thật may mắn khi có thêm một tác phẩm mới trong danh sách những thành tựu nổi bật suốt cuộc đời của ông.”

Merryl H Tisch, Thành viên Hội đồng Chỉ đạo giáo

dục công (Board of Regents) bang New York

“Cuốn sách thú vị này chính là những gì mà chúng ta cần: đó là con đường tìm hiểu vẻ đẹp của toán học, một khía cạnh mà chúng ta

ít có cơ hội được tiếp cận khi học toán ở trường Là người đứng đầu hệ thống trường học ở Aùo và cũng là người say mê toán học, tôi chỉ có thể nói rằng thế hệ trẻ của chúng ta sẽ giỏi toán hơn rất nhiều nếu có thêm nhiều người lớn (cụ thể là các vị phụ huynh) yêu thích toán học Cuốn sách này có thể giúp đạt được mục tiêu đó Tôi trân trọng giới thiệu cuốn sách này tới tất cả mọi người.”

Elisabeth Gehrer, Bộ trưởng Bộ Giáo dục, Khoa học và

Văn hóa Cộng hòa Aùo

“Vẻ đẹp toán học (Math Charmers) là một cái tên đắt Cuốn sách

lý thú này dễ đọc và đem lại cho tất cả mọi người cơ hội để thưởng thức và chiêm nghiệm vẻ đẹp của toán học đã bị che khuất trong những bài học chính khóa Đây là một sự bổ sung tuyệt vời cho tất cả các thư viện Và bạn sẽ được khám phá hoặc khám phá lại tình yêu của mình dành cho toán học.”

Daniel Jaye, Chủ nhiệm môn Toán, Trường THPT

Stuyvesant, Thành phố New York và Giám đốc điều hành, Khóa học hè THPT Nhà Thông thái (Scholars Academy) về Toán và khoa học thuộc Đại học City College of New York (CCNY) thuộc CuNY

“Đây là một cuốn sách đầy mê hoặc, sẽ mang đến cho độc giả – nhất là các độc giả trẻ – tình yêu với những con số Thế giới này sẽ trở nên tốt đẹp hơn nếu mọi giáo viên toán đều có đam mê với nghề của mình giống như thầy hiệu trưởng Posamentier và đều có tài làm cho việc nghiên cứu về những con số trở nên thú vị.”

Harold O Levy, Cựu Hiệu trưởng, Sở Giáo dục Thành

phố New York

Cuốn sách này xin dành tặng bố mẹ tôi Dù phải trải qua rất nhiều nghịch cảnh, họ vẫn luôn ở bên chỉ dẫn và đem lại cho tôi tình yêu toán học.

Tôi cũng xin tặng cuốn sách này cho Barbara Nếu không có sự động viên và khích lệ của cô, tôi đã không thể hoàn thành công trình này.

Mục lục

Lời cảm ơn 12

Vài lời cho bản tiếng Việt (Hà Huy Khoái) 13

Lời giới thiệu (Herbert A Hauptman) 14

Lời mở đầu 17

Chương 1 Vẻ đẹp trong các con số 25

1.1 Những quy luật số thú vị i 26

1.2 Những quy luật số thú vị ii 28

1.3 Những quy luật số thú vị iii 29

1.4 Những quy luật số thú vị iV 30

1.5 Những quy luật số thú vị V 31

1.6 Những quy luật số thú vị Vi 33

1.7 Những mối quan hệ lũy thừa đặc biệt 33

1.8 Những mối quan hệ đẹp giữa các con số 34

1.9 Những mối quan hệ khác thường giữa các con số 35

1.10 Những đẳng thức kì lạ 36

1.11 Con số kì lạ 1089 37

1.12 Số 1 không gì cản nổi 42

1.13 Số hoàn hảo 43

1.14 Cặp số bạn bè 45

1.15 Một cặp số bạn bè khác 46

1.16 Số xuôi ngược 47

1.17 Những điều thú vị về số hình học 49

Chương 2 Mấy điều thú vị trong số học 66

2.6 Nhân nhanh một số với 21, 31, 41 và các số khác 78

2.12 Các số trung bình có thực sự là trung bình không? 93

Chương 3 Những bài toán có cách giải bất ngờ 98

Chương 4 Đại số giải trí 1174.1 Sử dụng đại số để thiết lập các thủ thuật

4.2 Con số 22 bí ẩn 119

4.6 Sử dụng một quy luật để tìm tổng của chuỗi số 126

Chương 5 Những điều kì diệu trong hình học 140

5.3 Những điều khó tin về số 146

5.6 Eratosthenes đã đo chu vi Trái Đất như thế nào ? 153

5.21 Cách sắp xếp hai tam giác độc đáo 1875.22 Điểm có tổng khoảng cách không đổi trong tam

Chương 6 Những nghịch lí trong toán học 205

Chương 7 Đếm và xác suất 220

Chương 8 Toán học tổng hợp 233

8.6 Kim đồng hồ 249

Lời cảm ơn

Mỗi người trong chúng ta đều tình cờ bắt gặp rất nhiều ý tưởng thú vị trong toán học ở nhiều nguồn tài liệu khác nhau Một số ý tưởng sẽ khắc sâu trong tâm trí chúng ta, trong khi những ý tưởng khác lại nhạt dần theo thời gian Tôi đã lục khắp trong trí nhớ của mình để tìm những thông tin thú vị cho tác phẩm này Tôi đã đọc hàng trăm cuốn sách toán và chắc chắn trong số đó có nhiều tác phẩm đã cung cấp cho tôi những ý tưởng để viết nên cuốn sách này, nhưng rất tiếc là tôi không thể trích dẫn hết được Tôi cũng không thể cảm ơn hết các bạn đồng nghiệp và sinh viên của mình, những người đã gợi ý cho tôi một số ý tưởng rất thú vị trong thời gian vài chục năm qua Tôi còn muốn gửi một lời cảm ơn đặc biệt tới Tiến sĩ ingmar Lehmann ở trường Đại học Humboldt, Berlin vì những ý kiến tuyệt vời mà ông đã sẵn sàng chia sẻ với tôi Tôi cũng chân thành cảm ơn Jacob Cohen, David Linker và Amir Dagan đã giúp tôi đọc bản thảo cuốn sách Cảm ơn Jan Siwanowicz đã hỗ trợ tôi về mặt kĩ thuật và đặc biệt Peggy Deemer đã biên tập kĩ lưỡng bản thảo cuối cùng Dĩ nhiên, tôi vô cùng biết ơn Barbara Lowin vì cô đã đóng vai trò một độc giả mẫu khi tôi cố gắng tìm kiếm những ý tưởng kích thích nhất và sắp xếp chúng dưới dạng thật dễ hiểu

Alfred S Posamentier

Vài lời cho bản tiếng Việt

Cuốn sách trên tay bạn, như tên gọi của nó, dành để viết về cái đẹp Không phải cái đẹp dễ nhận thấy, như một bông hoa rực rỡ hay bình minh khi Mặt Trời từ dưới biển nhô lên Tác giả dẫn ta

đi vào thế giới của Vẻ đẹp toán học Các bạn sẽ gặp lại ở đây nhiều

người bạn cũ, mà thường ngày tưởng như rất khô khan: những con số, những hình vẽ, những công thức toán học Nhưng cũng như trong cuộc đời, có những người bạn mà đến một ngày nào đó, ta bỗng ngạc nhiên khi nhận ra họ thật đẹp Đấy là khi ta hiểu về họ, về thế giới nội tâm của họ, và ta ngỡ ngàng trước vẻ đẹp của người bạn mà ta mới chợt nhận ra Những vẻ đẹp tiềm ẩn ấy, khi đã nhận ra thì sẽ theo ta suốt cuộc đời

Những cảm xúc như vậy sẽ đến với bạn khi đọc cuốn sách này Bạn hãy đọc nó một cách chậm rãi Có thể có những phần ta chưa hiểu được ngay, cũng như ta chưa hiểu hết những người bạn quanh mình Cái đẹp trong toán học cũng có phần nào đó gần như cái đẹp của những bức tranh trừu tượng Không ồn ào, nhưng sâu lắng và góp phần nâng cao tầm văn hóa trong mỗi con người

Vẻ đẹp toán học, nói cho cùng chính là phản ánh vẻ đẹp của thế

giới mà chúng ta đang sống Hãy tìm hiểu vẻ đẹp toán học, để thêm yêu toán học và cuộc sống quanh ta

Hà Huy Khoái

Lời giới thiệu

Bertrand Russell từng viết: “Toán học không chỉ sở hữu chân lí mà còn ẩn chứa bên trong đó vẻ đẹp tối thượng, một vẻ đẹp lạnh lùng và mộc mạc, giống như một bức điêu khắc, thuần khiết tinh diệu và có khả năng đạt đến sự hoàn hảo chặt chẽ mà chỉ có thứ nghệ thuật

vĩ đại nhất mới có thể thể hiện”

Có thể tin được rằng đây cũng chính là Russell, người đã cùng

với Alfred Whitehead viết cuốn sách vĩ đại Những nguyên lí toán học

(Principia Mathematica), một tác phẩm không thể nào coi là một công

trình nghệ thuật, lại càng không có vẻ đẹp tinh tế? Vậy ta biết tin vào điều gì?

Trước tiên, tôi xin phép khẳng định rằng tôi hoàn toàn đồng ý với phát biểu của Russell mà tôi đọc được cách đây vài năm Tuy nhiên, tôi cũng tự mình nhận thức được điều này từ hàng chục năm trước, khi tôi còn là một cậu bé 10, 12 tuổi Lúc đó, tôi mới bắt đầu biết đến các khối Platon (các hình ba chiều đối xứng hoàn hảo thuộc nhóm các khối đa diện, có các mặt, cạnh và góc bằng nhau; có tất cả năm khối Platon) Khi đó tôi đang đọc một cuốn sách về toán học giải trí với các hình ảnh của năm khối Platon cùng với các sơ đồ giúp người đọc dễ dàng dựng lại các khối đa diện này Những hình ảnh này đã để lại trong tôi ấn tượng sâu sắc; tôi đã không thể ngồi yên khi chưa hoàn thành được mô hình bằng bìa của cả năm khối đa diện Đó chính là bài học vỡ lòng của tôi với môn toán Đúng theo cách nói của Russell, những khối Platon này đẹp tinh diệu và đồng thời, sự đối xứng trong các hình khối này có ý nghĩa quan trọng trong toán học

ở cả phương diện hình học và đại số Thậm chí có thể nói các khối

đa diện này chính là sợi dây liên kết giữa hình học và đại số Mặc dù không thể khẳng định rằng tôi đã hiểu được đầy đủ ý nghĩa của mối quan hệ này khi còn nhỏ, nhưng tôi tin rằng chính sự tiếp xúc ban đầu với toán học đã truyền cảm hứng cho tôi và đem lại cho tôi tình yêu với toán học trong suốt 70 năm sau

Tôi cũng không còn nhớ rõ lần hội ngộ thứ hai của mình với toán

học là lúc nào, nhưng chắc chắn rằng đó là những bài học về các đường cong Khi ấy, tôi rất hào hứng với hình dạng và mô tả toán học của một đường cong đơn giản (có lẽ là đường cacđioit hay đường xixoit) mà tôi tình cờ đọc được Trong suốt hai tháng nghỉ hè, tôi lại một lần nữa miệt mài tìm hiểu thật sâu về tất cả những đường cong có thể tìm thấy trong từ điển bách khoa Lúc đó tôi khoảng 13 hoặc

14 tuổi Tôi nhận thấy hình dạng của các đường cong vô cùng phong phú, còn những tính chất hình học của chúng thì đẹp đẽ không tả xiết

Vào đầu kì nghỉ hè mà tôi sẽ không bao giờ quên đó, tôi chưa thể hiểu được phương trình của các đường cong xuất hiện ở ngay phần đầu của các bài viết trong cuốn từ điển bách khoa Tuy nhiên, sau khi bỏ ra đến 4, 5 tiếng một ngày để tìm hiểu trong suốt hai tháng hè, rốt cuộc tôi đã phần nào nhận ra mối quan hệ giữa đường cong và phương trình của nó, giữa hình học và đại số – một mối quan hệ mang vẻ đẹp sâu sắc Bằng cách này, tôi đã học môn hình học giải tích mà không phải vất vả hay gắng sức, thậm chí còn thấy rất hứng thú khi mỗi đường cong bộc lộ những nét đẹp riêng tiềm ẩn bên trong Bởi vậy nên tôi có thể khẳng định rằng đó là mùa hè đáng nhớ nhất trong cuộc đời tôi

Tại sao tôi lại kể cho bạn những câu chuyện đó? Bởi vì bạn đang cầm trên tay một quyển sách lí thú, được chế tác rất cẩn thận để đưa bạn vào thế giới toán học Thật khó có thể biết được điều gì là hấp dẫn đối với mỗi người Đối với tôi, đó là những đường cong và hình khối có hình dạng đối xứng Đối với bạn, đó có thể lại là điều gì đó

hoàn toàn khác Nhưng với một cuốn sách đa dạng về chủ đề như Vẻ

đẹp toán học, chắc hẳn mỗi người sẽ tìm được điều gì đó thú vị cho

riêng mình và hi vọng có nhiều điều thú vị cho tất cả mọi người Tôi đã làm việc cùng Tiến sĩ Alfred S Posamentier trong một số dự án

Trong cuốn sách này, bạn có tất cả những tư liệu cần thiết để khơi dậy vẻ đẹp của toán học, được trình bày theo phong cách dễ hiểu – đó chính là mục tiêu của ấn phẩm này Mong ước của mỗi nhà toán học là ngày càng có nhiều người chia sẻ với họ những nét đẹp của toán học Với tôi, tôi đã mang tình yêu toán học thời niên thiếu vào các phòng thí nghiệm nghiên cứu khoa học, và chúng đã mang đến cho tôi cái nhìn thấu đáo mà nhiều nhà khoa học khác không có được Chính tình yêu nội tại đối với các cấu trúc toán học đã giúp tôi giải quyết các vấn đề vốn gây đau đầu cho cộng đồng hóa học trong hàng thập kỉ Tôi đã vinh dự được nhận giải Nobel Hóa học năm 1985 cho công trình của mình Sau này, tôi nhận ra rằng tôi là nhà toán học đầu tiên giành giải Nobel Tất cả những điều này có được là nhờ tình yêu của tôi dành cho vẻ đẹp của toán học từ khi còn nhỏ Có thể cuốn sách này sẽ mở ra những chân trời mới cho bạn, nơi mà toán học sẽ bộc lộ vẻ đẹp độc đáo của mình Biết đâu cuốn sách này sẽ cung cấp cho bạn những ý tưởng hoặc cơ hội mới.

Tiến sĩ Herbert A Hauptman

Lời mở đầu

Cuốn sách này được thai nghén sau những phản hồi dồn dập về bài báo mà tôi viết ở mục Yù kiến cá nhân (op-Ed) của Thời báo New

York (2/1/2002)(1), trong đó tôi nêu lên quan điểm rằng để thuyết phục mọi người (đặc biệt là các bạn trẻ) học toán, tìm hiểu về toán, ta nên nhấn mạnh vào vẻ đẹp của toán học thay vì sự hữu ích của nó Để kích thích độc giả, tôi đã trình bày về năm 2002(2), một số xuôi ngược và một vài tính chất thú vị của các số xuôi ngược Thậm chí tôi có thể mở rộng bài viết của mình bằng cách yêu cầu độc giả tính tích của 2002 với một vài số khác vì các tích này cũng thể hiện những quan hệ rất thú vị trong hệ thống số mà chúng ta vẫn sử dụng Ví dụ, hãy xét một số tích sau của 2002:

Khi những người tôi gặp biết lĩnh vực chuyên môn của tôi là toán học, phần lớn mọi người thường tự hào nói rằng: “ôi, tôi rất kém

có nhiều người thực sự kém toán đến vậy? Làm thế nào để thay đổi

xu hướng này? Nếu ai đó có thể đưa ra câu trả lời dứt khoát cho câu hỏi này, người đó hẳn sẽ trở thành vị cứu tinh cho nền giáo dục thế giới Chúng ta không biết nguyên nhân chính xác của vấn đề nên chỉ có thể đưa ra phỏng đoán và phương thức giải quyết phù hợp Tôi cho rằng gốc rễ của vấn đề là ở chỗ từ bao lâu nay, toán học đã

là một môn không được yêu thích Nhưng tại sao lại như vậy? Những

người thường xuyên phải dùng đến toán học thường không gặp phải vấn đề gì, nhưng những người ít tiếp xúc với toán lại gặp phải rất nhiều khó khăn trong quá trình học toán Chúng ta phải chứng tỏ được vẻ đẹp nội tại của toán học để ngay cả những người không sử dụng tới toán học trong cuộc sống hằng ngày cũng nhận ra được vẻ đẹp đó chứ không chỉ biết đến toán học như một bộ môn hữu dụng cho cuộc sống Đây chính là mục tiêu của cuốn sách này: cung cấp đủ bằng chứng về vẻ đẹp của toán học qua nhiều ví dụ thuộc các lĩnh vực toán học khác nhau Để có được những ví dụ hiệu quả và hấp dẫn, tôi đã cố gắng chọn lựa những ví dụ dễ hiểu đối với phần đông độc giả ngay từ lần đọc đầu tiên

Những thiếu sót nào về mặt xã hội đã dẫn tới việc toán học không phổ biến? Ngay từ khi mới bước vào ghế nhà trường, học sinh đã được dạy rằng toán học rất quan trọng đối với mọi nghề nghiệp trong tương lai Khi các giáo viên khuyến khích học sinh của mình học toán, họ thường nói thêm rằng: “Con sẽ cần môn toán nếu con muốn trở thành ” Đối với một đứa trẻ, lời động viên này gần như vô nghĩa vì nó chưa hề quan tâm tới mục tiêu nghề nghiệp Đôi khi, phụ huynh hoặc giáo viên bảo với đứa trẻ: “Con phải học môn toán tốt hơn, nếu không thì ” Điều này cũng chẳng có ích gì vì đứa trẻ sẽ chỉ học đủ để không bị phạt, để không bị bố mẹ mắng

Thêm một rắc rối nữa là khi đứa trẻ học toán không tốt bằng các môn học khác, một số bậc phụ huynh lại an ủi con mình rằng ngày xưa khi đi học, họ cũng không học giỏi toán “Tấm gương’’ tiêu cực này có thể có ảnh hưởng rất xấu đến động lực học toán của đứa trẻ.Với các nhà quản lí giáo dục, năng lực học toán của học sinh có thể coi là yếu tố quyết định vị thế của ngôi trường Khi học sinh của trường họ có kết quả tốt hơn học sinh các trường khác trong nước hoặc trong cùng khu vực, họ sẽ cảm thấy yên tâm hơn rất nhiều

Ngược lại, nếu kết quả học toán của học sinh không tốt, họ sẽ lập tức chịu áp lực phải cải thiện tình hình Thường trong trường hợp này, nhà trường lại quay sang đổ lỗi cho đội ngũ giáo viên Thông thường, họ sẽ tổ chức các chương trình tập huấn tại chức “cấp tốc” cho giáo viên toán Nhưng nếu các chương trình tập huấn này không được thiết kế sao cho phù hợp với đội ngũ giáo viên cụ thể thì khó có thể hi vọng gì vào việc cải thiện hiệu quả học toán của học sinh Một trường hợp cũng thường thấy là các trường đổ lỗi cho chương trình giảng dạy (hay sách giáo khoa) và rồi cải cách giáo trình nhằm mang lại thay đổi tức thời Điều này có thể khá nguy hiểm vì khi chương trình bị thay đổi đột ngột, các giáo viên có thể sẽ không kịp chuẩn bị giáo án mới và sẽ gặp càng nhiều khó khăn hơn Nếu một chương trình tập huấn khẳng định rằng họ có một “công thức kì diệu” để nâng cao năng lực cho giáo viên thì chương trình đó có lẽ không đáng tin cậy Để có một đội ngũ giáo viên làm việc hiệu quả hơn đòi hỏi nỗ lực trong suốt một thời gian dài(1) Đó là một nhiệm vụ vô cùng khó khăn bởi một số lí do sau Thứ nhất, phải xác định rõ ràng điểm yếu nằm ở đâu Liệu đây có phải là yếu chung về kiến thức? Hay giáo viên thiếu phương pháp sư phạm? Có phải giáo viên không có động lực? Hay là do cả ba yếu tố trên? Ngay cả khi đã tìm

ra câu trả lời, ta cần hiểu rằng không phải giáo viên toán nào trong trường cũng có cùng một vấn đề Điều đó có nghĩa là để khắc phục được tất cả các nhược điểm của các giáo viên toán trong trường, mỗi trường sẽ phải thực hiện một loạt các chương trình tập huấn khác nhau cho từng cá nhân Trên thực tế, điều này gần như không bao giờ xảy ra vì lí do tổ chức và chi phí Rõ ràng, việc cải thiện năng lực của giáo viên để nâng cao chất lượng dạy toán mới chỉ là một phần của giải pháp

Những nghiên cứu so sánh trên quy mô thế giới luôn xếp hạng

nhằm xử lí những điểm yếu kém trong giáo dục Những quỹ này thường được dùng để thúc đẩy sự phát triển chuyên môn dưới hình thức các chương trình tập huấn mà chúng ta vừa nói đến ở trên Hiệu quả của những chương trình này vẫn là một dấu hỏi lớn vì các lí do đã đề cập ở trên.

Vậy ta cần làm gì để cải thiện chất lượng học toán của học sinh

ở trường? Xã hội nói chung cần phải thấy được những nét đẹp (và sự thú vị) trong toán học chứ không chỉ coi nó đơn thuần như một môn học cần thiết để nghiên cứu các lĩnh vực khác (mặc dù có thể đúng là như vậy) Chúng ta hãy bắt đầu với các vị phụ huynh, những người vốn đã có ấn tượng không tốt về môn toán Việc thuyết phục một người lớn yêu thích toán khi họ không thích môn này là một nhiệm vụ khá khó khăn, nhưng đó chính là mục tiêu của cuốn sách này Câu hỏi đặt ra là làm thế nào để đạt được mục tiêu một cách tốt nhất

Những người không thực sự yêu thích toán học hoặc thậm chí là sợ môn học này cần phải được tiếp cận với những phần minh họa cực kì dễ hiểu Họ cần được đọc những ví dụ không đòi hỏi quá nhiều giải thích, những ví dụ “nhảy ra khỏi trang sách” vì sự lôi cuốn của chúng Những ví dụ được minh họa bằng hình ảnh cũng có hiệu quả cao hơn Chúng có thể có tính giải trí (nhưng không bắt buộc) Hơn hết, những ví dụ này phải khiến người đọc ồ lên trầm trồ khi họ nhận thấy rằng bản chất của toán học thực sự ẩn chứa những điều đặc biệt Sự đặc biệt này có thể được thể hiện theo nhiều cách Đó có thể là một bài toán đơn giản với những suy luận toán học dẫn tới một lời giải đơn giản (hoặc tao nhã) đến bất ngờ Hay là một ví dụ minh họa về bản chất các số khiến độc giả phải thốt lên thán phục Đó có thể là một mối quan hệ hình họa có vẻ vô lí về mặt trực giác Xác suất cũng có những hiện tượng lí thú tạo ra những phản ứng như vậy Trong mọi trường hợp, kết quả phải thu được một cách hiệu quả và nhanh chóng Sau khi đọc nhiều ví dụ như vậy, độc giả sẽ dần có cách nhìn tích cực về toán học

Khi đã thay đổi được cách suy nghĩ về môn toán, nhiều người sẽ tự hỏi: “Tại sao tôi không biết những điều thú vị này khi còn đi học?” Chúng tôi không thể trả lời câu hỏi này và cũng không thể thay đổi được điều này Tuy nhiên, chúng tôi có thể khiến nhiều người lớn

trở thành các đại sứ thiện chí cho toán học, giúp họ tích lũy được nhiều kiến thức để giới thiệu những điều thú vị trong toán học tới những người khác – đặc biệt là các bạn trẻ Với những vẻ đẹp toán học này, chúng ta cần thay đổi quan niệm của xã hội về môn toán, để mọi người ngưỡng mộ và đánh giá cao môn học này Có như vậy, chúng ta mới hi vọng đem lại những thay đổi đáng kể trong mặt bằng toán học chung của xã hội và nâng cao nhận thức của mọi người về