vẻ đẹp toán học

Người dòch: Phạm Ngọc Thái Hòa MATH CHARMERS Tantalizing tidbits for the mind by Alfred S. Posamentier Foreword by Herbert A. Hauptman Copyright © 2003 by Alfred S. Posamentier. All rights reserved. Published 2003 by Prometheus Books 59 John Glenn Drive Amherst, New York 14228-2197 VẺ ĐẸP TOÁN HỌC Những toán gợi mở tư Bản quyền tiếng Việt © 2009 Công ty Cổ phần Văn hóa Giáo dục Long Minh Đòa chỉ: P303, Nhà 17T9 Khu đô thò Trung Hoà Nhân Chính Thanh Xuân - Hà Nội Điện thoại: 04. 6281 6835 - Fax: 04. 6281 6834 Email: sach@longminh.com.vn Website: www.longminh.com.vn Chi nhánh: 318 Nguyễn Thượng Hiền - Phường - Quận Phú Nhuận - TP. Hồ Chí Minh. Điện thoại: 08.2215.1111 - Fax: 08.7303.5566 Cuốn sách xuất theo hợp đồng chuyển nhượng quyền Prometheus Books Công ty Cổ phần Văn hóa Giáo dục Long Minh. Sách mua quyền. Mọi hình thức chép bất hợp pháp đồng ý văn Công ty Cổ phần Văn hóa Giáo dục Long Minh. “Sự nhiệt tình tình yêu trưởng khoa Posamentier dành cho toán học thể rõ ràng kho tàng toán học thú vò này. Ông khích lệ độc giả cầm bút, đưa dự đoán, tham gia thử nghiệm tìm hiểu mối quan hệ thú vò toán học. Các em học sinh trung học thầy cô giáo dạy toán nên đọc sách bổ ích này! Thật tuyệt vời!” Tiến só Frances R. Curcio, Giáo sư Giáo dục toán học, khoa Giáo dục Trung học sở Phục vụ thiếu niên, trường Queens College Đại học Thành phố New York (CUNY) “Tiêu đề sách lột tả toàn nội dung – tác phẩm thực lôi cuốn! Tôi hi vọng tất vò phụ huynh đọc sách cảm nhận vẻ đẹp toán học. Nhờ đó, học sinh nhận trợ giúp phù hợp từ nhà.” Tiến só Anton Dobart, Tổng Vụ trưởng, Bộ Giáo dục, Khoa học Văn hóa Cộng hòa Áo “Tiến só Posamentier dành trọn đời để mang toán học đến với học sinh, sinh viên giáo viên. Cuốn sách đóng góp tuyệt vời người có trí tuệ xuất sắc lòng cao cả. Thật may mắn có thêm tác phẩm danh sách thành tựu bật suốt đời ông.” Merryl H. Tisch, Thành viên Hội đồng Chỉ đạo giáo dục công (Board of Regents) bang New York “Cuốn sách thú vò mà cần: đường tìm hiểu vẻ đẹp toán học, khía cạnh mà có hội tiếp cận học toán trường. Là người đứng đầu hệ thống trường học Áo người say mê toán học, nói hệ trẻ giỏi toán nhiều có thêm nhiều người lớn (cụ thể vò phụ huynh) yêu thích toán học. Cuốn sách giúp đạt mục tiêu đó. Tôi trân trọng giới thiệu sách tới tất người.” Elisabeth Gehrer, Bộ trưởng Bộ Giáo dục, Khoa học Văn hóa Cộng hòa Áo “Vẻ đẹp toán học (Math Charmers) tên đắt. Cuốn sách lý thú dễ đọc đem lại cho tất người hội để thưởng thức chiêm nghiệm vẻ đẹp toán học bò che khuất học khóa. Đây bổ sung tuyệt vời cho tất thư viện . Và bạn khám phá khám phá lại tình yêu dành cho toán học.” Daniel Jaye, Chủ nhiệm môn Toán, Trường THPT Stuyvesant, Thành phố New York Giám đốc điều hành, Khóa học hè THPT Nhà Thông thái (Scholars Academy) Toán khoa học thuộc Đại học City College of New York (CCNY) thuộc CUNY. “Đây sách đầy mê hoặc, mang đến cho độc giả – độc giả trẻ – tình yêu với số. Thế giới trở nên tốt đẹp giáo viên toán có đam mê với nghề giống thầy hiệu trưởng Posamentier có tài làm cho việc nghiên cứu số trở nên thú vò.” Harold O. Levy, Cựu Hiệu trưởng, Sở Giáo dục Thành phố New York Cuốn sách xin dành tặng bố mẹ tôi. Dù phải trải qua nhiều nghòch cảnh, họ bên dẫn đem lại cho tình yêu toán học. Tôi xin tặng sách cho Barbara. Nếu động viên khích lệ cô, hoàn thành công trình này. Mục lục Lời cảm ơn Vài lời cho tiếng Việt (Hà Huy Khoái) Lời giới thiệu (Herbert A. Hauptman) Lời mở đầu Chương 1. Vẻ đẹp số 1.1. Những quy luật số thú vò I 1.2. Những quy luật số thú vò II 1.3. Những quy luật số thú vò III 1.4. Những quy luật số thú vò IV 1.5. Những quy luật số thú vò V 1.6. Những quy luật số thú vò VI 1.7. Những mối quan hệ lũy thừa đặc biệt 1.8. Những mối quan hệ đẹp số 1.9. Những mối quan hệ khác thường số 1.10. Những đẳng thức kì lạ 1.11. Con số kì lạ 1089 1.12. Số không cản 1.13. Số hoàn hảo 1.14. Cặp số bạn bè 1.15. Một cặp số bạn bè khác 1.16. Số xuôi ngược 1.17. Những điều thú vò số hình học 1.18. Số Fibonacci kì diệu 1.19. Vòng lặp vô hạn 1.20. Vòng lặp luỹ thừa 1.21. Vòng lặp giai thừa 1.22. Tính vô tỉ 1.23. Tổng số nguyên liên tiếp 12 13 14 17 25 26 28 29 30 31 33 33 34 35 36 37 42 43 45 46 47 49 52 56 57 59 61 63 Chương 2. Mấy điều thú vò số học 2.1. Nhân với 11 2.2. Khi số chia hết cho 11? 2.3. Khi số chia hết cho 9? 2.4. Chia hết cho số nguyên tố 2.5. Phương pháp nhân nông dân Nga 2.6. Nhân nhanh số với 21, 31, 41 số khác 2.7. Phương pháp cộng thông minh 2.8. Tìm giá trò chữ 2.9. Sai lầm toán học 2.10. Con số khác thường 2.11. Tính phần trăm liên tiếp 2.12. Các số trung bình có thực trung bình không? 2.13. Quy tắc số 72 2.14. Khai bậc hai Chương 3. Những toán có cách giải bất ngờ 3.1. Suy luận chín chắn 3.2. Cách giải bất ngờ 3.3. Toán "pha trộn" 3.4. Suy luận ngược 3.5. Tư logic 3.6. Chỉ cần biết cách xếp liệu 106 3.7. Tập trung vào thông tin cần thiết 3.8. Nguyên lí Dirichlet 3.9. Chuyến bay ong 3.10. Quan hệ đường tròn đồng tâm 3.11. Đừng bỏ qua hiển nhiên 3.12. Khó (dễ) đến khó tin 3.13. Tình xấu Chương 4. Đại số giải trí 4.1. Sử dụng đại số để thiết lập thủ thuật tính toán tắt số học 66 67 68 70 71 76 78 79 81 83 87 90 93 94 96 98 99 100 101 103 104 107 108 109 111 113 114 115 117 118 4.2. Con số 22 bí ẩn 4.3. Giải thích trường hợp kì lạ 4.4. Sử dụng đại số lí thuyết số 4.5. Tìm quy luật số hình học 4.6. Sử dụng quy luật để tìm tổng chuỗi số 4.7. Đại số góc nhìn hình học 4.8. Tỉ lệ vàng góc nhìn đại số 4.9. Khi đại số ích 4.10. Hữu tỉ hóa mẫu số 4.11. Bộ ba số Pythagoras Chương 5. Những điều kì diệu hình học 5.1. Tổng góc tam giác 5.2. Hình năm cánh 5.3. Những điều khó tin số 5.4. Hình bình hành có mặt khắp nơi 5.5. So sánh diện tích chu vi 5.6. Eratosthenes đo chu vi Trái Đất ? 5.7. Sợi dây quấn vòng quanh Trái Đất 5.8. Hình trăng hình tam giác 5.9. Tam giác xuất khắp nơi 5.10. Đònh lí Napoléon 5.11. Hình chữ nhật vàng 5.12. Xây dựng tỉ lệ vàng cách gấp giấy 5.13. Hình ngũ giác tưởng mà không 5.14. Bất biến Pappus 5.15. Bất biến Pascal 5.16. Brianchon mở rộng ý tưởng Pascal 5.17. Một cách chứng minh đơn giản đònh lí Pythagoras 5.18. Chứng minh đònh lí Pythagoras cách gấp giấy 5.19. Đóng góp Tổng thống James A. Garfield cho toán học 5.20. Diện tích hình tròn bao nhiêu? 119 120 121 122 126 127 130 133 133 135 140 141 143 146 148 151 153 154 156 159 162 166 170 173 175 176 178 181 182 184 186 5.21. Cách xếp hai tam giác độc đáo 5.22. Điểm có tổng khoảng cách không đổi tam giác 5.23. Đường tròn chín điểm 5.24. Bất biến Simson 5.25. Mối quan hệ hữu ích Ceva 5.26. Hiển nhiên đồng quy? 5.27. Đa diện Euler Chương 6. Những nghòch lí toán học 6.1. Có phải tất số nhau? 6.2. Âm không dương 6.3. Một số chia cho 6.4. Mọi tam giác cân 6.5. Ngụy lí chuỗi vô hạn 6.6. Đường viền đánh lừa 6.7. Những nghòch lí khó hiểu 6.8. Một ngụy lí lượng giác 6.9. Hiểu giới hạn Chương 7. Đếm xác suất 7.1. Thứ sáu ngày 13! 7.2. Suy nghó trước đếm 7.3. Tăng vô ích 7.4. Cùng ngày sinh 7.5. Quyển lòch với nhiều điều đặc biệt 7.6. Bài toán Monty Hall ("Ô cửa bí mật") 7.7. Đoán xem sấp hay ngửa Chương 8. Toán học tổng hợp 8.1. Sự hoàn hảo toán học 8.2. Một ma phương đẹp 8.3. Những toán chưa có lời giải 8.4. Kết bất ngờ 8.5. Toán học tự nhiên 10 187 188 191 194 196 199 201 205 206 207 207 208 213 214 215 216 217 220 221 222 223 224 227 228 231 233 234 236 239 233 245 Vẻ đẹp toán học 142.857 × = 285.714 142.857 × = 428.571 142.857 × = 571.428 142.857 × = 714.285 142.857 × = 857.142 Các bạn nhận đối xứng tích trên, lưu ý chữ số tích đồng thời có mặt thừa số thứ nhất. Hơn nữa, ngoại trừ xuất phát điểm khác nhau, chữ số tích giữ thứ tự thừa số thứ nhất. Đây vài trường hợp đặc biệt thú vò hệ số mà sử dụng. Tiếp tục tìm hiểu tích số 142.857, ta thấy thêm kết đáng ngạc nhiên khác. Hãy xem tích 142.857 × = 999.999. Làm kì lạ được? Thú vò tích 142.857 × = 1.142.856. Nếu ta bỏ số hàng triệu cộng vào chữ số hàng đơn vò 142.856, lại có số ban đầu (nghóa 142.856 + = 142.857). Đây vài số đem lại kết thú vò, thân chúng gợi lên nét đẹp toán học. 1.2. Những quy luật số thú vò II Dưới vài trường hợp đặc biệt phụ thuộc vào chất hệ thập phân, cho ta thêm chứng toán học ẩn chứa nhiều điều kì diệu. Giống mục trước, ta không cần nhiều lời lẽ để giải thích vẻ đẹp toán học điều hiển nhiên từ nhìn ban đầu. Hãy quan sát, thưởng thức chia sẻ điều thú vò với bạn bè mình. Những người khác có lẽ cần khích lệ! Hãy giúp họ nhìn nét đẹp quy luật có thể, thử tìm cách “giải thích” cho trường hợp đặc biệt này. 12.345.679 12.345.679 12.345.679 12.345.679 28 × × × × 18 27 36 = 111.111.111 = 222.222.222 = 333.333.333 = 444.444.444 Vẻ đẹp toán học 12.345.679 12.345.679 12.345.679 12.345.679 12.345.679 × × × × × 45 54 63 72 81 = = = = = 555.555.555 666.666.666 777.777.777 888.888.888 999.999.999 Trong dãy phép tính đây, bạn thấy chữ số đầu ghép với chữ số cuối tích bội số (trùng với số nhân). 987.654.321 × = 08.888.888.889 987.654.321 987.654.321 987.654.321 987.654.321 987.654.321 987.654.321 987.654.321 987.654.321 Các quy luật số tiếp tục học. × 18 = 17.777.777.778 × 27 = 26.666.666.667 × 36 = 35.555.555.556 × 45 = 44.444.444.445 × 54 = 53.333.333.334 × 63 = 62.222.222.223 × 72 = 1.111.111.11 × 81 = 80.000.000.001 đem lại chứng vẻ đẹp toán 1.3. Những quy luật số thú vò III Một lần nữa, không cần phải giải thích nhiều nét đẹp quy luật sau điều hiển nhiên. Một số quy luật khiến bạn bối rối. Nhưng bạn nhớ rằng: giúp bạn chuẩn bò cho bước khám phá điều kì diệu toán học mà có lẽ trước bạn chưa mục sở thò. Hãy tìm hiểu phép tính số học sau thưởng thức vẻ đẹp chúng. •× • + = 11 × •9 + = 111 × •9 + = 12 1111 123 × • + = 29 Vẻ đẹp toán học 1234 12.345 123.456 1.234.567 12.345.678 • × × × × × • • • • • 9 9 + + + + + = = = = = 11.111 111.111 1.111.111 11.111.111 111.111.111 Tương tự với phép tính số học đây. 98 987 9.876 98.765 987.654 9.876.543 98.765.432 • × × × × × × × × × • • • • • • • • • + + + + + + + + + = 88 = 888 = 8888 = 88.888 = 888.888 = 8.888.888 = = 88.888.888 = 888.888.888 Bước logic xem xét tích số kì lạ đây: 11 111 1111 11.111 111.111 1.111.111 11.111.111 111.111.111 1.111.111.111 • × × × × × × × × × × 88 888 8888 88.888 888.888 8.888.888 88.888.888 888.888.888 8.888.888.888 = = = = = = = = = = 968 98.568 9.874.568 987.634.568 98.765.234.568 9.876.541.234.568 987.654.301.234.568 98.765.431.901.234.568 9.876.543.207.901.234.568 Theo bạn, làm để giải thích kiểu quy luật này? 1.4. Những quy luật số thú vò IV Một lần nữa, ngôn từ làm hỏng hiệu mà quy luật số đem lại. Ở trường hợp này, bạn thấy số 1001 – tích 30 Vẻ đẹp toán học ba số 7, 11 13 – chìa khóa vấn đề. Hơn nhân 1001 với số có ba chữ số, ta thu tích số có đối xứng đẹp. Chẳng hạn 987 × 1001 = 987.987. Ngược lại, số có chữ số, chữ số giống hệt chữ số cuối chia hết cho 7, 11 13. Chẳng hạn: 643.643 643.643 11 643.643 13 = 91.949 = 58.513 = 49.511 Chúng ta rút kết luận khác từ số 1001 thú vò này, là, số với chữ số giống hệt luôn chia hết cho 3, 7, 11 13. 111.111 111.111 111.111 11 111.111 13 = 37.037 = 15.873 = 10.101 = 8547 Có thể bạn muốn khám phá số đối xứng thêm chút để tìm thêm mối quan hệ có khác. 1.5. Những quy luật số thú vò V Sau số ví dụ vẻ đẹp toán học phụ thuộc vào chất đặc trưng hệ thập phân. Những phép tính 31 Vẻ đẹp toán học phụ thuộc vào tính chất mô tả phần trước tính chất đặc biệt số 9. 999.999 999.999 999.999 999.999 999.999 999.999 999.999 999.999 999.999 999.999 × × × •× •× •× •× × •× •× 10 = = = = = = = = = = 0.999.999 1.999.998 2.999.997 3.999.996 4.999.995 5.999.994 6.999.993 7.999.992 8.999.991 9.999.990 Một lần nữa, số thể tính chất đặc trưng thú vò.(1) 9• × 99 × 999 × 9999 × 99.999 × 999.999 × 9.999.999 × 99 999 9999 99.999 999.999 9.999.999 = = = = = = = 81 9801 998.001 99.980.001 9.999.800.001 999.998.000.001 99.999.980.000.001 Trong tìm hiểu số 9, bạn thử tìm số có chữ số mà chữ số khác nhau, có tính chất nhân số với 9, bạn có kết số có chữ số khác nhau. Dưới số ví dụ: 81.274.365 72.645.831 58.132.764 76.125.483 × •× •× •× 9 9 = = = = 731.469.285 653.812.479 523.194.876 685.129.347 1. Một số tính chất số có số nhỏ số 10 đơn vò. 32 Vẻ đẹp toán học 1.6. Những quy luật số thú vò VI Sự xếp thú vò số dãy phép tính dựa đối xứng đònh, thể rõ với dãy phép tính phụ bên phải. Hãy để ý đến cấu trúc hình tam giác phép tính. Bạn tự thiết lập quy luật xếp tương tự. 1= 1+2+1 = 2+2 1+2+3+2+1 = 3+3+3 1+2+3+4+3+2+1 = 4+4+4+4 1+2+3+4+5+4+3+2+1 = 5+5+5+5+5 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 6+6+6+6+6+6 1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1 = 7+7+7+7+7+7+7 1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1 = 8+8+8+8+8+8+8+8 = × = 12 = × = 22 = × = 32 = × = 42 = × = 52 = × = 62 = × = 72 = × = 82 1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 9+9+9+9+9+9+9+9+9 = × = 92 1.7. Những mối quan hệ lũy thừa đặc biệt Hệ thập phân mà sử dụng ẩn chứa bên nhiều đặc điểm kì lạ. Khám phá đặc điểm trải nghiệm tuyệt vời. Đôi tình cờ khám phá mối quan hệ này, có lúc kết trình thực nghiệm tìm kiếm nhiệt tình dựa linh cảm. Nhà toán học tiếng Carl Friedrich Gauss (1777–1855) tìm nhiều mối quan hệ (về sau ông chứng minh đònh lí)(1) dựa lực số học tuyệt vời mình. Hãy xét mối quan hệ sau giải thích: 81 = (8 + 1)2 = 92 Kết có cách lấy bình phương tổng chữ số 81. Tiếp theo, xét phép tính đây: 4913 = (4 + + + 3)3 = 173 1. Đònh lí khẳng đònh chứng minh đúng. 33 Vẻ đẹp toán học Trong hai trường hợp, ta lấy lũy thừa bậc tổng chữ số số thu số ban đầu. Bạn thấy ấn tượng chứ? Chắc rồi, kết thực kì lạ. Quả không đơn giản để tìm số đâu nhé. Dưới nhiều ví dụ số đặc biệt này. Xin mời bạn thưởng thức! Số (Tổng chữ số)n Số (Tổng chữ số)n 34.012.224 81 = 92 8.303.765.625 512 = 83 24.794.911.296 4913 = 173 68.719.476.736 5.832 = 18 612.220.032 17.576 = 26 10.460.353.203 19.683 = 273 27.512.614.111 2401 = 74 52.523.350.144 234.256 = 22 271.818.611.107 390.625 = 25 1.174.711.139.837 614.656 = 284 2.207.984.167.552 1.679.616 = 364 6.722.988.818.432 17.210.368 = 28 20.047.612.231.936 52.521.875 = 35 72.301.961.339.136 60.466.176 = 365 248.155.780.267.521 205.962.976 = 46 20.864.448.472.975.628.947.226.005.981.267.194.447.042.584.001 = = = = = = = = = = = = = = = = 186 456 546 646 187 277 317 347 437 537 587 687 468 548 638 20720 Nét đẹp toán học tự hiển trước mắt bạn! 1.8. Những mối quan hệ đẹp số Liệu có dám nói số tạo mối quan hệ đẹp? Một số trường hợp độc đáo cho bạn cảm giác nhiều điều kì diệu ẩn chứa bên số. Bạn nên kiểm chứng mối quan hệ trình bày tìm thêm mối quan hệ đẹp mắt khác số. Hãy xét hai số 135 175. Thoạt nhìn, hai số tưởng 34 Vẻ đẹp toán học chẳng có liên quan tới cả. Thực tế, hai số số có tính chất đặc biệt. Hãy xem điều xảy ta lấy tổng lũy thừa chữ số với số mũ tăng dần đơn vò. Để ý tổng với số ban đầu: 135 = 11 + 32 + 53 175 = 11 + 72 + 53 518 = 51 + 12 + 83 598 = 51 + 92 + 83 Các số có chữ số có tính chất thú vò này. Dưới vài số thoả mãn mối quan hệ đó: 1306 = 11 + 32 + 03 + 64 1676 = 11 + 62 + 73 + 64 2427 = 21 + 42 + 23 + 74 Những số kì lạ, tính chất số học thú vò khác thường nữa. Chúng thật đáng kinh ngạc. Hãy lưu ý mối quan hệ số mũ số.(1) 3435 = 33 + 44 + 33 + 55 438.579.088 = 44 + 33 + 88 + 55 + 77 + 99 + 00 + 88 + 88 Vậy, có cho toán học chút nét đẹp không? 1.9. Những mối quan hệ khác thường số Đôi khi, tình cờ bắt gặp thông tin tưởng vô bổ lại có nét đẹp riêng bắt nguồn từ tính chất đặc biệt nó. Một ví dụ mối quan hệ khác thường số mà trình bày đây. Chúng không giải thích nhiều. Các bạn thưởng thức thử tìm trường hợp tương tự. Dưới vài cặp số mà tích tổng chúng số ngược nhau. 1. Ở ví dụ thứ hai, biểu diễn 00 nhà toán học coi vô đònh, đơn giản (và để phù hợp với ví dụ chúng ta), cho giá trò 0. 35 Vẻ đẹp toán học Hai số 2 Tích hai số 81 72 94 994 24 47 497 Tổng hai số 18 27 49 499 Bạn có tìm cặp số khác có tính chất không? Tiếp theo, xin đề cập tới mối quan hệ lạ thường khác số. Qua tính chất khác thường này, ta có cảm nhận toán học tồn vẻ đẹp thực sự. Vấn đề ta phải tìm nó. Ở đây, có đối xứng số tổng giai thừa(1) chữ số chúng. 145 40.585 = = = = 1! 2! 1! + 4! + 5! 4! + 0! + 5! + 8! + 5! (nhớ 0! = 1) Có vẻ tất trường hợp loại đối xứng này, bạn đừng công tìm thêm trường hợp khác. 1.10. Những đẳng thức kì lạ Khi nói mối quan hệ khác thường kì lạ số, đẳng thức sau chắn thuộc hàng kì dò bậc nhất. Trong trường hợp này, kì dò nét đẹp. Người đọc có lẽ tự hỏi điều lại xảy ra. Có điểm đặc biệt số này? Khó tìm câu trả lời rõ ràng cho câu hỏi này. Chúng ta tìm kiếm giới hạn khả xảy ra. Có lúc thân số nói lên nhiều điều lời giải thích. Đây trường hợp vậy. Bạn cần quan sát đẳng thức sau thưởng thức khác thường chúng! 1. Giai thừa (kí hiệu !) số tự nhiên n tích số tự nhiên từ đến n: n! = n(n – 1) (n – 2) .(3)(2)(1). Quy ước: 0! = 1. 36 Vẻ đẹp toán học 11 + 61 + 81 = 15 = 21 + 41 + 91 12 + 62 + 82 = 101 = 22 + 42 + 92 11 + 51 + 81 + 121 = 26 = 21 + 31 + 101 + 111 12 + 52 + 82 + 122 = 234 = 22 + 32 + 102 + 112 13 + 53 + 83 + 123 = 2366 = 23 + 33 + 103 + 113 11 + 51 + 81 + 121 + 181 + 191 = 63 = 21 + 31 + 91 + 131 + 161 + 201 12 + 52 + 82 + 122 + 182 + 192 = 919 = 22 + 32 + 92 + 132 + 162 + 202 13 + 53 + 83 + 123 + 183 + 193 = 15.057 = 23 + 33 + 93 + 133 + 163 + 203 14 + 54 + 84 + 124 + 184 + 194 = 260.755 = 24 + 34 + 94 + 134 + 164 + 204 Có lẽ không cần phải nói trường hợp ngoại trừ lời trầm trồ thán phục. Vẻ đẹp ẩn chứa kì lạ! 1.11. Con số kì lạ 1089 Phần viết số với tính chất thực đặc biệt. Đầu tiên, xin vài ví dụ việc số 1089 tình cờ "thò mặt ra" nơi không ngờ tới, sau tìm hiểu sâu số này. Trước tiên, xin mời bạn chọn số có chữ số với điều kiện chữ số hàng đơn vò hàng trăm khác làm theo dẫn đây. Bạn làm theo bước dẫn. Chúng làm ví dụ mẫu bên dưới. Chọn số có ba chữ số (chữ số hàng trăm khác chữ số hàng đơn vò). Chúng làm với bạn cách chọn ngẫu nhiên số: 825. Viết ngược thứ tự chữ số số mà bạn vừa chọn. Viết ngược số 825 lại thành 528. 37 Vẻ đẹp toán học Lấy hiệu hai số (lấy số lớn trừ số nhỏ hơn). Hiệu hai số ví dụ mẫu là: 825 – 528 = 297. Một lần nữa, viết ngược thứ tự chữ số hiệu vừa tìm được. Viết ngược lại chữ số 297, ta số: 792. Tiếp theo, lấy tổng hai số vừa tìm được. Cộng hai số để đạt kết quả: 297 + 792 = 1089. Kết bạn giống với kết bạn chọn số khác với số chọn.(1) Có lẽ bạn thấy ngạc nhiên nhận kết với 1089, số bạn chọn ban đầu số nào. Vì lại có kết này? Phải “tính chất quái lạ” số 1089? Liệu có gian lận phép tính không? Khác với mối quan hệ phụ thuộc vào đặc trưng riêng hệ thập phân minh họa phần trước, điểm kì lạ ví dụ phần phụ thuộc vào phép toán. Trước vào khám phá nguyên nhân tượng (dành cho bạn đọc tích cực tìm hiểu), bạn chiêm ngưỡng thêm tính chất số 1089 thú vò này. Bạn xét bội số 1089. 1089 × = 1089 1089 × = 2178 1089 •× = 3267 1089 •× = 4356 1089 •× = 5445 1089 •× = 6534 1089 •× = 7623 1089 •× = 8712 1089 •× = 9801 1. Nếu không kết bạn tính sai. Hãy kiểm tra lại. 38 Vẻ đẹp toán học Bạn có nhận quy luật tích không? Hãy nhìn vào tích tích cuối (số 1089 9801). Đây hai số ngược nhau. Tích thứ hai tích thứ tám (số 2178 8712) hai số ngược nhau. Và tích thứ năm, số 5445, số ngược nó, thường gọi số xuôi ngược.(1) Đặc biệt, để ý 1089 × = 9801 số ngược với số nhân ban đầu. Ta có tính chất tương tự với số 10.989 × = 98.901 109.989 × = 989.901. Bạn nhận biến đổi số 1089 ban đầu cách chèn thêm chữ số vào số để có 10.989 chèn thêm 99 vào 1089 để có số 109.989. Chúng ta có kết luận thú vò tất số sau có chung tính chất: 1.099.989, 10.999.989, 109.999.989, 1.099.999.989, 10.999.999.989, … Trên thực tế, số có chữ số số có bội số với số ngược nó, số 2178: 2178 × = 8712. Trùng hợp chỗ 2178 = × 1089. Sẽ thật thú vò mở rộng số 2178 làm ví dụ cách chèn thêm số vào để tạo số khác có tính chất. Và vậy: 21.978 •× = 87.912 219.978 •× = 879.912 2.199.978 •× = 8.799.912 21.999.978 •× = 87.999.912 219.999.978 •× = 879.999.912 2.199.999.978 •× = 8.799.999.912 v.v… Chưa hết, số 1089 tính chất nói mở rộng: ta xét số 1089 theo hai phần 89. Hãy xem điều xảy bạn chọn số tính tổng bình phương chữ số nó. Cứ tiếp tục lấy tổng bình phương chữ số số thu được, cuối bạn có kết 89. Bạn xem ví dụ đây. Chúng bắt đầu với số 30. Đặt n = 30 tìm tổng bình phương chữ số số này: 1. Tham khảo thêm số xuôi ngược mục 1.16. 39 Vẻ đẹp toán học 32 + 02 = 9; 92 = 81; 82 + 12 = 65; 62 + 52 = 61; 62 + 12 = 37; 32 + 72 = 58; 52 + 82 = 89; 82 + 92 = 145; 12 + 42 + 52 = 42; 42 + 22 = 20; 22 + 02 = 4; 42 = 16; 12 + 62 = 37; 32 + 72 = 58; 52 + 82 = 89,… Khi đạt kết 89, tiếp tục tính, có vòng lặp trở kết 89. Giờ ta thử tiếp với số 31. Lúc n = 31: 32 + 12 = 10, 12 + 02 = 1, 12 = 1. Tương tự trên, ta có vòng lặp đạt đến kết lặp lặp lại. Tiếp theo thử với số 32. Đặt n = 32: 32 + 22 = 13, 12 + 32 = 10; 12 + 02 = 1; 12 = 1. Với n = 33: 32 + 32 = 18; 12 + 82 = 65; 62 + 52 = 61; 62 + 12 = 37; 32 + 72 = 58; 52 + 82 = 89; 82 + 92 = 145; 12 + 42 + 52 = 42; 42 + 22 = 20; 22 + 02 = 4; 42 = 16; 12 + 62 = 37; 32 + 72 = 58; 52 + 82 = 89,… Với n = 80: 82 + 02 = 64; 62 + 42 = 52; 52 + 22 = 29; 22 + 92 = 85; 82 + 52 = 89; 82 + 92 = 145; 12 + 42 + 52 = 42; 42 + 22 = 20; 22 + 02 = 4; 42 = 16; 12 + 62 = 37; 32 + 72 = 58; 52 + 82 = 89;… Với n = 81: 82 + 12 = 65; 62 + 52 = 61; 62 + 12 = 37; 32 + 72 = 58; 52 + 82 = 89; 82 + 92 = 145; 12 + 42 + 52 = 42; 42 + 22 = 20; 22 + 02 = 4; 42 = 16; 12 + 62 = 37; 32 + 72 = 58; 52 + 82 = 89,… Với n = 82: 82 + 22 = 68; 62 + 82 = 100; 12 + 02 + 02 = 1; 12 = 1. Với n = 85: 82 + 52 = 89; 82 + 92 = 145; 12 + 42 + 52 = 42; 42 + 22 = 20; 22 + 02 = 4; 42 = 16; 12 + 62 = 37; 32 + 72 = 58; 52 + 82 = 89, . Bây giờ, trở với tính chất kì lạ ban đầu số 1089, ta dùng phép đảo ngược chữ số số có chữ số để thu kết 1089. Ta giả đònh tất 40 Vẻ đẹp toán học số có chữ số cho ta kết cuối 1089, để chứng minh điều đó? Một cách thử tất số có chữ số, cách dài dòng không thực thông minh. Để tìm hiểu tính chất này, ta cần chút kiến thức đại số bản. Sau xin dùng đại số để giải thích kết cho bạn muốn tìm hiểu. Kí hiệu số có ba chữ số lựa chọn xyz = 100x + 10y + z, x chữ số hàng trăm, y chữ số hàng chục z chữ số hàng đơn vò. Giả sử x > z. Trong phép trừ số ban đầu (xyz) cho số đảo ngược (zyx), ta có z – x < 0. Do đó, ta phải lấy từ chữ số hàng chục số bò trừ, ta có giá trò hàng đơn vò 10 + z. Vì hai số có hàng chục nên ta lấy từ hàng chục số bò trừ, giá trò chữ số hàng chục lại 10(y – 1). Để trừ cho hàng chục số trừ, ta phải lấy từ hàng trăm số bò trừ, tức lại x – 1, giá trò hàng chục 10(y – 1) + 100 = 10(y + 9). Như vậy, hiệu hai số xyz zyx lúc là: 100(x – 1) + 10(y + 9) + (z + 10) 100z + 10y +x 100(x – z – 1) + 10(9) + z – x + 10 Đảo ngược chữ số hiệu vừa thu được, ta có: 100(z – x + 10) + 10(9) + (x – z – 1) Cộng hai biểu thức vừa có, ta được: 100(9) + 10(9 + 9) + (10 – 1) = 1089 Cần nhấn mạnh kiến thức đại số cho phép tìm hiểu quy trình thực phép tính không phụ thuộc vào số lựa chọn. Trước kết thúc phần này, điều thú vò dành cho bạn muốn tìm hiểu số 1089 332 = 1089 = 652 – 562. Chỉ có cặp số có hai chữ số thỏa mãn tính chất này. Đến lúc này, hẳn bạn đồng ý với lí thú số 1089. Các bạn thấy yêu thích toán học chưa nào? 41 Vẻ đẹp toán học 1.12. Số không cản Sẽ có lúc thấy vẻ đẹp tự nhiên giống ma thuật. Có phải lúc ma thuật đẹp hay không? Có người đònh nghóa đẹp thứ thực bất ngờ gây thích thú. Trên quan điểm đó, xin giới thiệu với bạn tính chất gần “ma thuật” toán học. Tính chất khiến nhà toán học phải “đau đầu” nhiều năm chưa lí giải được. Bạn thử khám phá xem nhé! Trước tiên, xin đề hai quy tắc để bạn tuân theo chọn số ngẫu nhiên nào. Nếu số lẻ, nhân số với cộng thêm 1. Nếu số chẵn chia cho 2. Với số chọn, sau lặp lặp lại phép tính theo quy tắc trên, kết cuối thu 1. Hãy thử với số chọn ngẫu nhiên 12. 12 số chẵn, chia 12 cho 6. số chẵn, chia cho để 3. số lẻ, nhân với cộng thêm để có: × + = 10. 10 số chẵn, chia cho để 5. số lẻ, nhân với cộng để có 16. 16 số chẵn, chia cho 8. số chẵn, chia cho 4. số chẵn, chia cho 2. số chẵn, chia cho kết 1. Có giả thiết cho số chọn (ở đây, chọn số 12) cho kết cuối 1. Tính chất thật thú vò! Hãy thử thêm vài số bạn chưa thực chắn. Nếu thay 12, ta chọn 17 ví dụ vừa kết sau 12 bước. Nếu 43, ta kết sau 29 bước. 42 Vẻ đẹp toán học Điều có thực với số tự nhiên 18 19 hay không? Câu hỏi thu hút quan 58 tâm nhà toán học từ năm 1930, 28 29 chưa có câu trả lời mặc 14 88 15 44 46 dù nhiều phần thưởng lớn đưa cho 22 23 chứng minh nó. Trong tài liệu chuyên môn, toán gọi “Bài 11 70 toán 3n + 1”. Gần đây, nhờ có máy tính, người 34 35 ta chứng minh khẳng đònh nói 17 106 số nhỏ 52 53 1018 – 1. 26 160 Với bạn cảm thấy hào hứng với tính 12 13 80 chất này, xin giới thiệu biểu đồ 40 thể trình tự bước thực với số khởi 20 đầu số từ đến 20. Bạn thử kiểm 10 nghiệm khẳng đònh với số này. Lưu ý bạn kết thúc với vòng lặp 16 4-2-1, tức kết 4, chắn bạn trở số 1. Kể bạn tiếp tục với số 1, bạn lại quay trở áp dụng quy tắc [3 × + = 4], bạn quay trở lại vòng lặp 4-2-1. Chúng không muốn làm bạn nản lòng, khuyên bạn không nên thất vọng bạn chứng minh quy tắc trường hợp, nhà toán học xuất chúng suốt nửa kỉ qua chưa thể làm điều này! 1.13. Số hoàn hảo Toán học coi môn khoa học hoàn hảo, toán học có hoàn hảo hay không? Trong lí thuyết số, có khái niệm “số hoàn hảo”. Thế số hoàn hảo? Các nhà toán học gọi số “hoàn hảo” số tổng tất ước thực nó. (Khi số A chia hết cho số B B 43 [...]... toán học cũng có phần nào đó gần như cái đẹp của những bức tranh trừu tượng Không ồn ào, nhưng sâu lắng và góp phần nâng cao tầm văn hóa trong mỗi con người Vẻ đẹp toán học, nói cho cùng chính là phản ánh vẻ đẹp của thế giới mà chúng ta đang sống Hãy tìm hiểu vẻ đẹp toán học, để thêm yêu toán học và cuộc sống quanh ta Hà Nội, 1/2013 Hà Huy Khoái 13 Lời giới thiệu Bertrand Russell từng viết: Toán học. .. thú vò trong toán học tới những người khác – đặc biệt là các bạn trẻ Với những vẻ đẹp toán học này, chúng ta cần thay đổi quan niệm của xã hội về môn toán, để mọi người ngưỡng mộ và đánh giá cao môn học này Có như vậy, chúng ta mới hi vọng đem lại những thay đổi đáng kể trong mặt bằng toán học chung của xã hội và nâng cao nhận thức của mọi người về vẻ đẹp của toán 21 Vẻ đẹp toán học Bài báo sau xuất... nay, toán học đã là một môn không được yêu thích Nhưng tại sao lại như vậy? Những người thường xuyên phải dùng đến toán học thường không gặp phải vấn đề gì, nhưng những người ít tiếp xúc với toán lại gặp phải rất nhiều khó khăn trong quá trình học toán Chúng ta phải chứng tỏ được vẻ đẹp nội tại của toán học để ngay cả những người không sử dụng tới toán học trong cuộc sống hằng ngày cũng nhận ra được vẻ. .. hiểu hơn và trân trọng vẻ đẹp của toán học Tôi hi vọng cuốn sách này sẽ là câu trả lời về các cách thức thể hiện vẻ đẹp của toán học Khi những người tôi gặp biết lónh vực chuyên môn của tôi là toán học, phần lớn mọi người thường tự hào nói rằng: “Ôi, tôi rất kém toán! ” Chẳng có môn học nào ở trường mà một người lớn lại tự hào đến vậy khi nói về sự yếu kém của bản thân Học kém toán gần như là một tấm... với các con số ở những học sinh vốn không thích toán Các giáo viên phải khai thác được vẻ đẹp của toán học và đặc biệt là sự quyến rũ của các con số để giúp học sinh yêu thích môn toán Tuy nhiên, có rất ít giáo viên thực sự có khả năng truyền cảm 1 Độc giả có thể liên hệ với họa só David Goldin tại đòa chỉ davidgoldin@interport.net 22 Vẻ đẹp toán học hứng cho học sinh, và việc dạy toán ở trường phổ thông... thiết để khơi dậy vẻ đẹp của toán học, được trình bày theo phong cách dễ hiểu – đó chính là mục tiêu của ấn phẩm này Mong ước của mỗi nhà toán học là ngày càng có nhiều người chia sẻ với họ những nét đẹp của toán học Với tôi, tôi đã mang tình yêu toán học thời niên thiếu vào các phòng thí nghiệm nghiên cứu khoa học, và chúng đã mang đến cho tôi cái nhìn thấu đáo mà nhiều nhà khoa học khác không có... trẻ: “Con phải học môn toán tốt hơn, nếu không thì ” Điều này cũng chẳng có ích gì vì đứa trẻ sẽ chỉ học đủ để không bò phạt, để không bò bố mẹ mắng Thêm một rắc rối nữa là khi đứa trẻ học toán không tốt bằng các môn học khác, một số bậc phụ huynh lại an ủi con mình rằng ngày xưa khi đi học, họ cũng không học giỏi toán “Tấm gương’’ tiêu cực này có thể có ảnh hưởng rất xấu đến động lực học toán của đứa... khi một người giáo viên tốt có thể khơi gợi trí tò mò của đứa trẻ về các số và nguyên lí toán học Có rất nhiều người lớn không hề ngần ngại khi thừa nhận rằng họ học yếu môn toán – điều này cho thấy môn toán thực sự bò hiểu sai, và học sinh ở lứa tuổi học đường rất ít khi được dạy về vẻ đẹp của các con số 23 1 Vẻ đẹp trong các con số C húng ta vốn đã quen nhìn thấy những con số trong các bảng biểu trên... Vấn đề này không hề mới mẻ Chất lượng dạy toán ở cấp tiểu học – giai đoạn học sinh hình thành ấn tượng đầu tiên về môn toán và phát triển năng lực học toán – từ xưa đến nay vốn vẫn không cao Nếu không có những ấn tượng mạnh mẽ ban đầu, rất hiếm học sinh duy trì được niềm đam mê với môn học này Vấn đề này trở nên tồi tệ hơn khi chất lượng dạy toán ở cấp trung học cũng khá nghèo nàn Một số chương trình... đầu theo đuổi môn toán, chúng ta phải làm cho nghề giảng dạy hấp dẫn hơn bằng cách tăng lương cho giáo viên và cho phép giáo viên được chủ động hơn trong cách dạy Điều quan trọng ở đây là giúp cho toán học trở thành môn học thú vò với trẻ em Toán học quả thực là một bộ môn cần thiết cho các môn học khác, nhưng ta không nên lấy đó làm lí do để học toán Một đứa trẻ sẽ không trở nên yêu toán nếu chỉ được . trọng vẻ đẹp của toán học. Tôi hi vọng cuốn sách này sẽ là câu trả lời về các cách thức thể hiện vẻ đẹp của toán học. Khi những người tôi gặp biết lónh vực chuyên môn của tôi là toán học, phần. trong quá trình học toán. Chúng ta phải chứng tỏ được vẻ đẹp nội tại của toán học để ngay cả những người không sử dụng tới toán học trong cuộc sống hằng ngày cũng nhận ra được vẻ đẹp đó chứ không. đường tìm hiểu vẻ đẹp của toán học, một khía cạnh mà chúng ta ít có cơ hội được tiếp cận khi học toán ở trường. Là người đứng đầu hệ thống trường học ở Áo và cũng là người say mê toán học, tôi chỉ