Khi nĩi về những mối quan hệ khác thường hoặc kì lạ của các số, những đẳng thức sau đây chắc chắn sẽ thuộc hàng kì dị bậc nhất. Trong trường hợp này, sự kì dị chính là nét đẹp. Người đọc cĩ lẽ sẽ tự hỏi vì sao điều này lại xảy ra. Cĩ điểm gì đặc biệt ở những con số này? Khĩ cĩ thể tìm được một câu trả lời rõ ràng cho câu hỏi này. Chúng ta chỉ cĩ thể tìm kiếm và giới hạn các khả năng xảy ra. Cĩ những lúc bản thân các con số nĩi lên được nhiều điều hơn là lời giải thích. Đây là một trường hợp như vậy. Bạn chỉ cần quan sát các đẳng thức sau và thưởng thức sự khác thường của chúng!
1. Giai thừa (kí hiệu !) của một số tự nhiên n là tích của các số tự nhiên từ 1 đến n:
n! = n(n – 1) (n – 2) ...(3)(2)(1). Quy ước: 0! = 1.
Hai số Tích của hai số Tổng của hai số
9 9 3 24 2 47 2 497 81 72 94 994 18 27 49 499 1 2 145 40.585 1! 2! 1! + 4! + 5! 4! + 0! + 5! + 8! + 5! (nhớ rằng 0! = 1) = = = =
Vẻ đẹp tốn học 11 + 61 + 81 = 15 = 21 + 41 + 91 12 + 62 + 82 = 101 = 22 + 42 + 92 11 + 51 + 81 + 121 = 26 = 21 + 31 + 101 + 111 12 + 52 + 82 + 122 = 234 = 22 + 32 + 102 + 112 13 + 53 + 83 + 123 = 2366 = 23 + 33 + 103 + 113 11 + 51 + 81 + 121 + 181 + 191 = 63 = 21 + 31 + 91 + 131 + 161 + 201 12 + 52 + 82 + 122 + 182 + 192 = 919 = 22 + 32 + 92 + 132 + 162 + 202 13 + 53 + 83 + 123 + 183 + 193 = 15.057 = 23 + 33 + 93 + 133 + 163 + 203 14 + 54 + 84 + 124 + 184 + 194 = 260.755 = 24 + 34 + 94 + 134 + 164 + 204
Cĩ lẽ khơng cần phải nĩi gì trong trường hợp này ngoại trừ một lời trầm trồ thán phục. Vẻ đẹp ẩn chứa ngay trong sự kì lạ!
1.11. Con số kì lạ 1089
Phần này viết về một con số với những tính chất thực sự đặc biệt. Đầu tiên, chúng tơi xin chỉ ra một vài ví dụ về việc con số 1089 tình cờ "thị mặt ra" ở những nơi khơng ngờ tới, và sau đĩ chúng ta sẽ tìm hiểu sâu hơn về con số này.
Trước tiên, xin mời bạn chọn một số bất kì cĩ 3 chữ số với điều kiện chữ số hàng đơn vị và hàng trăm khác nhau và làm theo chỉ dẫn dưới đây.
Bạn hãy làm theo từng bước trong chỉ dẫn. Chúng tơi cũng làm ví dụ mẫu ở bên dưới.
Vẻ đẹp tốn học
Lấy hiệu của hai số đĩ (lấy số lớn hơn trừ đi số nhỏ hơn).
Hiệu của hai số trong ví dụ mẫu là: 825 – 528 = 297.
Một lần nữa, viết ngược thứ tự các chữ số của hiệu vừa tìm được.
Viết ngược lại các chữ số của 297, ta được số: 792. Tiếp theo, lấy tổng hai số vừa tìm được.
Cộng hai số để đạt được kết quả: 297 + 792 = 1089.
Kết quả của bạn sẽ giống với kết quả của chúng tơi ngay cả khi bạn chọn số khác với số chúng tơi chọn.(1)
Cĩ lẽ bạn sẽ thấy rất ngạc nhiên khi nhận được cùng một kết quả với chúng tơi là 1089, bất kể số bạn chọn ban đầu là số nào.
Vì sao lại cĩ kết quả này? Phải chăng đây là một “tính chất quái lạ” của con số 1089? Liệu chúng tơi cĩ gian lận gì trong phép tính của mình khơng?
Khác với các mối quan hệ phụ thuộc vào đặc trưng riêng của hệ thập phân như minh họa trong các phần trước, điểm kì lạ ở ví dụ trong phần này phụ thuộc vào các phép tốn. Trước khi chúng ta đi vào khám phá nguyên nhân của hiện tượng này (dành cho những bạn đọc tích cực tìm hiểu), bạn hãy chiêm ngưỡng thêm một tính chất nữa của con số 1089 thú vị này.
Bạn hãy xét 9 bội số đầu tiên của 1089. 1089 × 1 = 1089 1089 × 2 = 2178 1089 •× 3 = 3267 1089 •× 4 = 4356 1089 •× 5 = 5445 1089 •× 6 = 6534 1089 •× 7 = 7623 1089 •× 8 = 8712 1089 •× 9 = 9801
Vẻ đẹp tốn học
Bạn cĩ nhận ra một quy luật trong các tích trên khơng? Hãy nhìn vào tích đầu tiên và tích cuối cùng (số 1089 và 9801). Đây là hai số ngược nhau. Tích thứ hai và tích thứ tám (số 2178 và 8712) cũng là hai số ngược nhau. Và cứ như vậy cho tới tích thứ năm, số 5445, là số ngược của chính nĩ, thường được gọi là số xuơi ngược.(1)
Đặc biệt, hãy để ý rằng 1089 × 9 = 9801 và đĩ là số ngược với số nhân ban đầu. Ta cĩ tính chất tương tự với các con số 10.989 × 9 = 98.901 và 109.989 × 9 = 989.901.
Bạn cĩ thể nhận ra rằng chúng tơi đã biến đổi con số 1089 ban đầu bằng cách chèn thêm một chữ số 9 vào giữa số này để cĩ được 10.989 và chèn thêm 99 vào giữa 1089 để cĩ được số 109.989. Chúng ta cĩ kết luận thú vị rằng tất cả các số sau đây đều cĩ chung một tính chất: 1.099.989, 10.999.989, 109.999.989, 1.099.999.989, 10.999.999.989, …
Trên thực tế, chỉ cịn một số nữa cĩ ít hơn hoặc bằng 4 chữ số là số cĩ bội số bằng với số ngược của chính nĩ, đĩ là số 2178: 2178 × 4 = 8712. Trùng hợp là ở chỗ 2178 = 2 × 1089. Sẽ thật thú vị nếu chúng ta cĩ thể mở rộng số 2178 ra như chúng ta đã làm ở ví dụ trên bằng cách chèn thêm các số 9 vào giữa để tạo ra các số khác cĩ cùng tính chất. Và đúng là như vậy: 21.978 •× 4 = 87.912 219.978 •× 4 = 879.912 2.199.978 •× 4 = 8.799.912 21.999.978 •× 4 = 87.999.912 219.999.978 •× 4 = 879.999.912 2.199.999.978 •× 4 = 8.799.999.912 v.v… Chưa hết, số 1089 vẫn cịn một tính chất cĩ thể nĩi là mở rộng: ta
Vẻ đẹp tốn học
32 + 02 = 9; 92 = 81; 82 + 12 = 65; 62 + 52 = 61; 62 + 12 = 37; 32 + 72 = 58; 52 + 82 = 89; 82 + 92 = 145; 12 + 42 + 52 = 42; 42 + 22 = 20; 22 + 02
= 4; 42 = 16; 12 + 62 = 37; 32 + 72 = 58; 52 + 82 = 89,…
Khi đạt kết quả là 89, nếu cứ tiếp tục tính, chúng ta sẽ cĩ một vịng lặp vì chúng ta sẽ luơn trở về kết quả là 89. Giờ ta sẽ thử tiếp với số 31.
Lúc này n = 31: 32 + 12 = 10, 12 + 02 = 1, 12 = 1.
Tương tự như trên, ta cĩ vịng lặp khi đạt đến kết quả là 1 và cứ thế lặp đi lặp lại.
Tiếp theo chúng tơi sẽ thử với số 32. Đặt n = 32: 32 + 22 = 13, 12 + 32 = 10; 12 + 02 = 1; 12 = 1. Với n = 33: 32 + 32 = 18; 12 + 82 = 65; 62 + 52 = 61; 62 + 12 = 37; 32 + 72 = 58; 52 + 82 = 89; 82 + 92 = 145; 12 + 42 + 52 = 42; 42 + 22 = 20; 22 + 02 = 4; 42 = 16; 12 + 62 = 37; 32 + 72 = 58; 52 + 82 = 89,… Với n = 80: 82 + 02 = 64; 62 + 42 = 52; 52 + 22 = 29; 22 + 92 = 85; 82 + 52 = 89; 82 + 92 = 145; 12 + 42 + 52 = 42; 42 + 22 = 20; 22 + 02 = 4; 42 = 16; 12 + 62 = 37; 32 + 72 = 58; 52 + 82 = 89;… Với n = 81: 82 + 12 = 65; 62 + 52 = 61; 62 + 12 = 37; 32 + 72 = 58; 52 + 82 = 89; 82 + 92 = 145; 12 + 42 + 52 = 42; 42 + 22 = 20; 22 + 02 = 4; 42 = 16; 12 + 62 = 37; 32 + 72 = 58; 52 + 82 = 89,… Với n = 82: 82 + 22 = 68; 62 + 82 = 100; 12 + 02 + 02 = 1; 12 = 1. Với n = 85: 82 + 52 = 89; 82 + 92 = 145; 12 + 42 + 52 = 42; 42 + 22 = 20; 22 + 02 = 4; 42 = 16; 12 + 62 = 37; 32 + 72 = 58; 52 + 82 = 89,...
Bây giờ, chúng ta hãy trở về với tính chất kì lạ ban đầu của số 1089, trong đĩ ta dùng phép đảo ngược các chữ số của một số cĩ 3 chữ số bất kì để thu được kết quả là 1089. Ta giả định rằng tất cả các
Vẻ đẹp tốn học
số cĩ 3 chữ số đều cho ta kết quả cuối cùng là 1089, nhưng làm sao để chứng minh điều đĩ? Một cách là thử tất cả các số cĩ 3 chữ số, nhưng cách này quá dài dịng và khơng thực sự thơng minh. Để tìm hiểu về tính chất này, ta chỉ cần một chút kiến thức đại số cơ bản. Sau đây chúng tơi xin dùng đại số để giải thích về kết quả này cho những bạn muốn tìm hiểu.
Kí hiệu số cĩ ba chữ số bất kì được lựa chọn là xyz = 100x + 10y +
z, trong đĩ x là chữ số hàng trăm, y là chữ số hàng chục và z là chữ số hàng đơn vị.
Giả sử x > z. Trong phép trừ số ban đầu (xyz) cho số đảo ngược của nĩ (zyx), ta sẽ cĩ z – x < 0. Do đĩ, ta phải lấy 1 từ chữ số hàng chục của số bị trừ, ta cĩ giá trị của hàng đơn vị là 10 + z.
Vì hai số cĩ hàng chục bằng nhau nên khi ta lấy 1 từ hàng chục của số bị trừ, giá trị của chữ số hàng chục cịn lại là 10(y – 1). Để trừ được cho hàng chục của số trừ, ta phải lấy 1 từ hàng trăm của số bị trừ, tức là cịn lại x – 1, và giá trị của hàng chục là 10(y – 1) + 100 = 10(y + 9).
Như vậy, hiệu của hai số xyz và zyx lúc này là: 100(x – 1) + 10(y + 9) + (z + 10)
100z + 10y + x
100(x – z – 1) + 10(9) + z – x + 10
Đảo ngược các chữ số của hiệu vừa thu được, ta cĩ: 100(z – x + 10) + 10(9) + (x – z – 1) Cộng hai biểu thức vừa cĩ, ta được:
100(9) + 10(9 + 9) + (10 – 1) = 1089
Vẻ đẹp tốn học
1.12. Số 1 khơng gì cản nổi
Sẽ cĩ những lúc chúng ta thấy vẻ đẹp của tự nhiên giống như là ma thuật. Cĩ phải lúc nào ma thuật cũng đẹp hay khơng? Cĩ những người định nghĩa cái đẹp là những thứ thực sự bất ngờ và gây thích thú. Trên quan điểm đĩ, chúng tơi xin giới thiệu với các bạn một tính chất gần như “ma thuật” của tốn học. Tính chất này đã khiến các nhà tốn học phải “đau đầu” trong nhiều năm và cho tới nay vẫn chưa ai lí giải được. Bạn hãy thử khám phá xem nhé!
Trước tiên, chúng tơi xin đề ra hai quy tắc để bạn tuân theo khi chọn bất cứ một số ngẫu nhiên nào.
Nếu là số lẻ, hãy nhân số đĩ với 3 và cộng thêm 1. Nếu là số chẵn thì hãy chia cho 2.
Với mọi số đã chọn, sau khi lặp đi lặp lại các phép tính theo quy tắc trên, kết quả cuối cùng thu được sẽ luơn là 1.
Hãy thử với con số được chọn ngẫu nhiên là 12. 12 là số chẵn, vì vậy chia 12 cho 2 được 6. 6 cũng là số chẵn, vì vậy chia cho 2 để được 3.
3 là số lẻ, vì vậy nhân 3 với 3 và cộng thêm 1 để cĩ: 3 ×3 + 1 = 10. 10 là số chẵn, vì vậy chúng ta chia cho 2 để được 5.
5 là số lẻ, vậy nhân 5 với 3 và cộng 1 để cĩ 16. 16 là số chẵn, vậy chia cho 2 được 8.
8 là số chẵn, vậy chia cho 2 được 4. 4 là số chẵn, vậy chia cho 2 được 2.
2 là số chẵn, vì thế chia cho 2 được kết quả là 1.
Cĩ giả thiết cho rằng mọi số được chọn (ở đây, chúng tơi chọn số 12) đều cho kết quả cuối cùng là 1.
Tính chất này quả thật rất thú vị! Hãy thử thêm một vài con số nữa nếu bạn cịn chưa thực sự chắc chắn. Nếu thay vì 12, ta chọn 17 trong ví dụ vừa rồi thì sẽ được kết quả là 1 sau 12 bước. Nếu bắt đầu từ 43, ta được kết quả là 1 sau 29 bước.
Vẻ đẹp tốn học
Điều này cĩ thực sự đúng với mọi số tự nhiên hay khơng? Câu hỏi này đã thu hút sự quan tâm của các nhà tốn học từ những năm 1930, nhưng cho tới nay vẫn chưa cĩ câu trả lời mặc dù nhiều phần thưởng lớn đã được đưa ra cho những ai chứng minh được nĩ. Trong các tài liệu chuyên mơn, bài tốn này được gọi là “Bài tốn 3n + 1”. Gần đây, nhờ cĩ máy tính, người ta đã chứng minh được rằng khẳng định nĩi trên là đúng đối với các số nhỏ hơn hoặc bằng 1018 – 1.
Với những bạn cảm thấy hào hứng với tính chất này, chúng tơi xin giới thiệu một biểu đồ thể hiện trình tự các bước thực hiện với số khởi đầu là các số từ 1 đến 20. Bạn cĩ thể thử kiểm nghiệm khẳng định trên với những con số này.
Lưu ý rằng bạn sẽ luơn kết thúc với vịng lặp 4-2-1, tức là khi đã được kết quả là 4, chắc chắn bạn sẽ trở về số 1. Kể cả khi bạn tiếp tục với số 1, bạn sẽ lại quay trở về 1 vì khi áp dụng quy tắc [3 × 1 + 1 = 4], bạn sẽ quay trở lại vịng lặp 4-2-1.
Chúng tơi khơng muốn làm bạn nản lịng, nhưng chúng tơi khuyên bạn khơng nên thất vọng nếu bạn khơng thể chứng minh được quy tắc trên đúng trong mọi trường hợp, vì những nhà tốn học xuất chúng nhất trong suốt hơn nửa thế kỉ qua cũng chưa thể làm được điều này!
1.13. Số hồn hảo 18 9 58 19 28 14 7 15 88 44 22 11 70 34 17 52 26 12 6 3 10 16 5 8 4 2 1 20 13 40 80 160 53 106 35 23 46 29