Chỉ số lyapunov và ứng dụng

ệ ì ì P P P ệ ệ ì ì P P P ệ số t ữớ ữợ P Pữủ ỡ ổ tọ ỏ t ỡ t s s t tợ P Pữủ t t t ữợ t tr t tự tổ õ t t ỗ tớ tổ ụ ữủ ỷ ỡ t tợ trữớ r tổ ứ ỡ ũ tt ỗ ỡ tổ ổ t ú ù t t ủ tổ tr q tr t ổ tọ ỏ t ỡ t tợ t ổ trữớ ữ t t ổ ỏ ú ù tổ tr sốt q tr t ự tổ ụ ữủ ỷ ỡ t tợ ổ ụ ú ù tổ tr q tr t t tổ tọ ỏ t ỡ tợ ỳ ữớ t tr ổ ổ q t tổ tr sốt q tr t ự t P ổ ữợ sỹ ữợ P Pữủ s tở t ợ t số ự ữủ t tự t t r q tr ự tỹ t tứ ỳ t tỹ ợ sỹ tr trồ t ỡ t P ử ữỡ số tỡ trữ số t t số trữ số số trữ tr số Pờ ởt ữỡ tr t t tỡ trữ t t tỡ trữ số tỡ trữ tr số tỡ trữ ữỡ tr t t ữỡ số Pữỡ tự t ự ữỡ tr tữớ t t ữỡ tr t t ổ t t ữỡ tr t t t t t t ợ số Pữỡ số tr ự ữỡ tr số t t ởt số tũ ữỡ tr số ữỡ tr số t t ợ số Pữỡ tỡ trữ tr ự ữỡ tr số t t t t t ự t t ữỡ tr số ởt số ởt tr s ữủ số sỷ số trữ ữ r t ữ r ữỡ tr t t số ữủ ỳ ữớ tờ qt õ t tỡ trữ ự ữỡ tr tữớ tr trữớ ủ tợ tự số số ụ ữủ ự ữỡ tr số ộ Pữủ rở tỡ trữ ỳ ữớ ữỡ tr số t t ữỡ tr số ợ số tữớ tớ sỹ ỵ tt số ụ ữủ ự số ữỡ tr t ữủ số tr t t õ t ú số ợ ố t s s ỡ số ự õ tr t ữỡ tr ữủ sỹ ỗ ỵ ữợ P Pữủ tổ t số ự tỹ t s t ự r ỵ tt số tỡ trữ ự ú tr ự t ữỡ tr t t ữỡ tr số t t ự số tỡ trữ ự ự số tr ự t ữỡ tr tữớ t t ữỡ tr số t t ố tữủ ự ố tữủ ự số tỡ trữ ự ú tr t ữỡ tr P ự t s q số tỡ trữ Pữỡ ự t t số ủ t tố tự số tỡ trữ ự ú tr ự t ữỡ tr tữớ t t ữỡ tr số t t õ õ ợ ởt tờ q số tỡ trữ ự ú tr t ữỡ tr ữỡ số tỡ trữ số t t sỷ f (t) số tỹ tr ởt số f (tk ) a f (t) t số a = lim f (tk ) t + a ợ {tk } tk + (k = 1, 2, .) ữủ k+ t0 < t < t0 ợ r số õ t r tt ợ r số f (t) t + ữủ ợ tr õ = lim f (t). t+ số ữỡ ữỡ T (E) E ợ tũ ỵ tỗ t số s f (t) < E t t õ f (t) ợ t T (E) õ ợ ổ ỹ số ữỡ E lim f (t) = t+ ợ tũ ỵ tỗ t số ữỡ f (t) > E ợ t T (E) T (E) s t ự ữỡ tr số ỗ ởt ữỡ tr tữớ ởt r số tự tr õ x1 Rn1 x = R1 x1 + R2 x2 + f1 ; = R3 x1 + R4 x2 + f2 , x2 Rn2 Ri i = 1, 2, 3, fj j = 1, tr tỡ õ số tữỡ ự t En1 0n1 ìn2 x1 f1 R R E ; B = , = x = ; f = ; A = x2 f2 R3 R4 0n2 ìn1 0n2 0 tr õ E = En1 tr ỡ n1 tỷ õ số tữỡ ự tr ỗ tt B f tr tỡ õ số tữỡ ự r t tữớ t tr ỡ tr ỗ tt tỷ E ổ t số tr tr õ số tữỡ ự t tr tr õ ợ t tr õ t t ữủ ữợ (Ax) = Bx + f f (t) t õ t t Ax(t) = Bx(t) (Ax(t)) = Bx(t), tr õ y(t) = y (t) tỡ y(t) r t ữỡ tr số tữớ ữủ ỗ t ợ t ỏ ọ x õ tự t tồ x1 x2 x õ tữớ tr tỹ t tữớ ỏ ọ x1 õ ỏ x2 õ t ổ ứ õ t t õ t ũ ủ ợ tỹ t ỡ t ữợ ũ ủ ợ t t ữỡ tr số t t t tớ ữủ ỷ ỷ st rt qt ữỡ tr tr õ tr A õ t s số õ tr A tr B tr ổ t tt tr ổ ữ ú õ tữợ ũ ủ x Rn tr B õ số m ì n t A ụ õ số m ì n ỏ f ởt tỡ õ số m ì t t ữợ ữợ tỡ x(t) ữủ tr T õ tử tr T tự x(.) C 1(T ) t x(t) t t ữủ tự ú ợ tử x(t) t T tọ x(t0 ) = x0 tọ ữỡ tr tr ởt õ õ x(t) t0 t t ữỡ tr t0 tỗ t tọ t t õ t tr t ữủ t ố ợ ữỡ tr t t tữớ B(t) f(t) ỳ tử tr T õ õ t tr t t t tr T ỡ ỳ n ữỡ tr tữớ t t t t ủ õ t t ởt ổ n ợ ỡ s ởt n tỡ t t ữủ q tỡ ỡ s tr ỡ õ tr X(t) nìn t t X(t) = B(t)X(t), t T; X() = E , n tr õ T En tr ỡ ỡ ữỡ tr n ữủ tr x = B(t)x + f(t). t ỵ s ổ tự ữỡ tr tữớ t t ỵ ữỡ tr x(t) = B(t)x(t) + f(t), t T ợ B(.), f(.) C(T ) ữủ õ tr õ I T tờ qt õ õ t X(t)X (s)f(s)ds, t I, x(t, c) = X(t)c + tr õ X(t) tr ỡ c Rn t ý ỡ ỳ x(t, c) C 1(I) ợ c B(.), f(.) i tự B(.), f(.) C i (T ) t tờ qt x(t, c) i+1 tự x(t, c) C i+1(I) ỡ ỳ B(.), f(.) C A (T ) t x(t, c) C A (I) tr õ I T q ự ữủ i B(.), f(.) C i (T ) t õ B(.), f(.) C (T ) X(t) = B(t)X(t) C (T ) X(.) C i+1 (T ) ợ õ B(.), f(.) tử ứ s r X(.) C (T ) tự tự X(.) C (T ) ứ ổ tự t s r i t x(t, c) C i+1 (I) I T ữỡ tỹ ữ tr ữỡ tr tữớ ọ t t r ự ữỡ tr ọ tỗ t t ữủ ự t ữủ ữỡ tr t tr ọ s ữỡ tr õ số t ổ số ữỡ tr tọ trú t tr õ õ ọ số ổ t t ỳ ổ ỹ ổ tự ữỡ tr t t t õ t ự t t t tử t tr t số t ữỡ tr t t ởt tỹ t r t ữủ t õ t t ọ t t t t ởt ổ ỳ ữ tr trữớ ủ ữỡ tr tữớ t t t ữ s tr õ ổ ỳ tr õ I = [, ] T Xd (t) C (T ) T ợ d x(t, c) = Xd (t)c tỗ t tr ởt ổ s ợ c Rn ữỡ tr tr t tỡ T ổ õ ữỡ tr ợ tr x(t, c) ợ ữỡ tr tữớ ổ ữỡ tr số õ t ổ t ữỡ tr x (t) x (t) + = 0, 0 x (t) x2 (t) t [0, 1] . õ t t ữợ tữớ x (t) + 2x (t) + x1 (t) + 2x2 (t) = 0; x (t) + 2x (t) = 0. r x1 (t) , i = 0, 1, . x(t) = x2 (t) ợ x1 (t) = 2x2 (t) x2 C (T ) ởt t ữỡ tr x2(i) (t) = ti , i = 0, 1, 2, . (i) 2ti x1 (t) (i) , i = 0, 1, 2, . = x (t) = (i) ti x2 (t) s ự r x(i) (t) t t t i=0 t t t sỷ tỗ t {ci } i=0 s i=0 i c t i=0 i . ci xi (t) = c i ti i=0 ti i=0 tỡ ỡ s tr ổ tự tứ tự ci ti 0, t [0, 1] . i=0 s r ci = 0, i = 0, 1, 2, . ự tọ x(i) (t) i=0 t t ữ ổ ổ t ợ ữỡ tr tữớ ổ ú ổ ữỡ tr số ụ ởt ổ ỳ tr q ởt ổ q trồ ự trú t ữỡ tr số t t õ tr (A, B) ữủ tr q tỗ t số R s det(B A) = ụ t r tỗ t ởt số C det(B A) = t ụ tỗ t ổ số số ữ trứ ỳ số tự trữ det(B A) = ứ t ụ s r r tr (A, B) (B, A) ỗ tớ q ổ q õ t s r tứ tự det(B A) = ()n det A B , tr õ n tr ổ A ợ t õ 2 2(1 ) = B A = 0 det(B A) 0, R ữ tr (A, B) ổ q ũ rank(A, B) = rank 2 0 = = n. ữỡ tr số ợ số ợ ữỡ tr số số t õ ổ ữỡ tr số t t t t Ax(t) + Bx(t) = ỳ tr (A, B) q ỡ ỳ số ổ tự trữ det(B A) ỵ ợ ữỡ tr số t t tữớ ữỡ tr số t t tở t t t x (t) x (t) f (t) + = , t [0, 1] . 0 x (t) x2 (t) f2 (t) õ x (t) + x1 (t) = f1 (t) x1 (t) = f1 (t) f2 (t) x (t) = f (t). x (t) = f (t) f (.) C(T ) tự f tử ữ ổ t ổ ổ tỗ t x1 (t) tử ữ t tt ữỡ tr õ t t t tổ t f (.) C (T ) õ t ổ q tr õ t õ t x(t0 ) = x0 = x10 x20 t õ t õ t s r ỳ ữỡ tr ợ tữớ ữủ tữỡ t x1 (t0 ) = f1 (t0 ) f2 (t0 ) = x10 ; x (t ) = f (t ) = x . 20 t ố ợ ữỡ tr tữớ t t ổ t t f (.) ổ ỗ t ổ ổ ỳ ổ tở f (.) t tr r r ợ ữỡ tr số t t tỗ t ỳ ổ ổ tở tr (A, B) ỏ q t ợ ổ t t ỳ t tr ụ t ự t ữỡ tr số ự t ỡ rt s ợ trữớ ủ ữỡ tr tữớ õ ỳ r t t ữỡ tr ữỡ tr số t t ợ số t ữỡ tr số t t ợ số Ax(t) + Bx(t) = f (t), t T := [0, +) , tr õ det A(t) t T f (t) số t + = () > x (t) tỡ n ữủ ợ ộ t >0 tỗ t s ợ ộ tữỡ t x(0) = x0 t tỗ t tr t [0, +) ợ x(t) tọ x(0) x (0) < t tự x(t) x (t) < ữủ ú ợ t T ợ ữỡ tr tữớ tr ữỡ tr số t ỏ ọ tữỡ t ữỡ tr õ t t t t + t x (t) x (t) ữủ t t tọ õ t t x(t) x (t) t +. ữỡ tỹ ữ tr ữỡ tr tữớ ự t ổ t t trữợ t t ự t t t Ax(t) = Bx(t), t T. t r ữỡ tr ổ õ t tữớ ỵ x(t) sỷ ũ tr A + B q t tữớ tt tự trữ det(A + B) õ tỹ ổ r õ tỹ ỡ t tữớ t tt tự trữ õ tỹ Pữỡ tỡ trữ tr ự ữỡ tr số t t r ỳ ữớ sỷ tỡ trữ ự t ữỡ tr rở ự số ụ ữỡ tr số t t ởt ọ tỹ ữủ t r õ t sỷ tỡ trữ ỳ ữớ ự t ữỡ tr số t t ổ ọ ữủ tr tr tr ởt số t q sỷ số ụ trữ ự t ữỡ tr số t t t t ữỡ tr số t t A(t)x (t) + B(t)x(t) = 0, t (a, b), x Rn , tr õ A(t), B(t) C (R+ , L(Rn )) sỷ ổ Q C (R+ , L(Rn )) t P := I Q rA(t) = r < n N (t) := rA(t) trỡ tỗ t N (t) tr õ r I tr A : Rn Rm t t t rA = {x Rn : Ax = 0} Q : Rn Rn Q2 = Q tự ữủ tứ Rn Rn Q(x) = Q(Qx), x Rn ỵ CN1 := {x C(R+ , Rn ) : P x C (R+ , Rn )}, S(t) := {z Rn : B(t)z A(t)}, = {y Rn , x Rn : y = A(t)x} tr õ A(t) ợ ữỡ tr tữớ ổ ữỡ tr số õ t ổ t q t tợ t õ ổ ỳ t tr ợ x(0) x0 N (0) õ t tr số tỗ t Q (A(t), B(t)) ữủ q s tr G(t) = A(t) + B(t)Q(t) õ rank n ợ t (a, b) õ tỗ t tr ữủ G1 (t) ợ t (a, b) Pữỡ tr số ữủ q số tr Rn tr ỵ t ữ s (A(t), B(t)) q số q số t õ u = P P G1 B u + P G1 f ; v = QG1 Bu + QG1 f. sỷ ữỡ tr số õ số õ t tữớ t ụ t tữớ ữỡ tr tữớ tữỡ ự ữợ P C 1(R+, L(Rm)) ỵ u = (P (t)Ps (t) P (t)G1 (t)B(t))u, t ụ ố ợ P (t) t [0, +), t tr ỵ tt số ỵ tt tỡ trữ ự ú tr ự t ữỡ tr tữớ ữỡ tr số t t t ộ ố ụ trữ tỡ ự s rữớ ổ ỵ tt t ụ t t ỵ tt tỡ trữ ự ự sỹ ữỡ tr ỳ ữớ s ỵ rữớ ủ số tỡ ự ữỡ tr s tỡ trữ tr ữỡ tr số t ởt số t õ t tr Pữủ ỵ tt số ụ ữỡ tr số t t q số s rữớ ữ trt t r sts rt qts rsts tt r r r tt t P s ỳ ữỡ ồ tt số t srs [...]... (t)|, cƯn phÊi xt cĂc giĂ tr cừa hm (t) Trản cỡ s ny A M Lyapunov  ữa vo khĂi niằm hm số 5 ch số c trững cừa mởt nh nghắa 1.3 (Xem [7], tr 25) Số (hoc cĂc kỵ hiằu , ) xĂc nh bi cổng thực 1 ln |f (t)| t t [f ] = lim (1.1) ch số c trững Lyapunov (ngưn gồn, ch số c trững hoc ch số Lyapunov ) cừa hm số f (t) ữủc gồi l Ch số c trững cừa mởt hm số cõ th hỳu hÔn hoc vổ hÔn Sau ny, ta ch xt cĂc trữớng... quy ữợc c) Náu cõ mởt số no õ v vợi >0 f (t) < + tk + v tỗn tÔi mởt dÂy vợi lim f (t) = + t+ T () tũy ỵ, tỗn tÔi sao cho: t T (E) sao cho lim f (tk ) = k+ lim f (t) = thẳ t+ 1.1.1 Ch số c trững cừa hm số Xt hm số mụ et , trong õ Náu >0 thẳ et + Náu =0 thẳ et = 1 Náu 0 no õ m vợi mồi e(+)t t , khi no õ nõ s tông nhanh hỡn hm = thẳ hm |f (t)| v theo mởt dÂy e()t Sau Ơy, chúng ta nhưc lÔi mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa ch số c trững cừa hm số (xem [7], tr 26 - 28) f1 (.), f2... ch số c trững bơng nhau bơng số bởi cừa cĂc số mụ ny n Hin nhiản phờ Ưy ừ chựa phƯn tỷ 1.2 Vectỡ c trững v cĂc tẵnh chĐt 1.2.1 Vectỡ c trững cừa hm số Ta xt hm số x(t) : [t0 , ) R GiÊ sỷ tỗn tÔi mởt số hỳu hÔn 0 sao cho ln |x(t)| = 0 t t lim Khi õ, theo nh nghắa cừa lim, ln |x(t)| < 0 + , t Suy ra |x(t)| < e(0 +)t vợi mồi > 0, vợi mồi tỗn tÔi số T () sao cho t > T () t0 GiÊ sỷ tỗn tÔi... [f ] = lim Náu hm f (.) cõ ch số c trững úng thẳ 1 = 0, f [f ] + v [f g] = [f ] + [g], 8 f (t) ữủc vợi f (.) v g(.) l cĂc hm số thỹc xĂc nh trản khoÊng [t0 , ) (xem [7], tr 29) Tứ Ơy ta cõ [et f (t)] = + [f ] 1.1.2 Ch số c trững cừa ma trên cĂc hm số Xt ma trên hm F (t) = [fij (t)], trong õ cĂc phƯn tỷ vợi mồi fij (t) i = 1, , n, j = 1, , m, m n, l cĂc hm số thỹc xĂc nh trản khoÊng [t0... {x1(t), x2(t), , xn(t)} cừa hằ (1.6), bĐt ng thực sau l úng n spA( )d (m) (m) Bờ ã 1.2 (BĐt ng thực Lyapunov m rởng) t i (xi (t)) e t0 ã (1.11) i=1 Chựng minh (Xem [3], tr 21) BĐt ng thực (1.11) ữủc gồi l bĐt ng thực Lyapunov m rởng 22 Chữỡng 2 ng dửng cừa ch số Lyapunov 2.1 Phữỡng phĂp thự nhĐt Lyapunov nghiản cựu ờn nh nghiằm hằ phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng tuyán tẵnh 2.1.1 KhĂi niằm ờn nh chuyn