ành ti»m cªn khi t →+∞.
ành lþ 2.4. H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t (2.6) l ên ành ti»m cªn khi v ch¿ khi nghi»m t¦m th÷íng x(t) ≡ 0cõa h» thu¦n nh§t (2.7) l ên ành ti»m cªn khi t →+∞.
Chùng minh t÷ìng tü ành lþ 2.2.
H» qu£ 2.3. H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t (2.6) l ên ành ti»m cªn vîi måi th nh ph¦n tü do f(t) khi v ch¿ khi h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh thu¦n nh§t (2.7) l ên ành ti»m cªn.
2.1.3. Ên ành cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh thu¦nnh§t nh§t X²t h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh thu¦n nh§t dx dt = A(t)x, (2.11) ð â A(t) ∈ C(T), tùc l c¡c h» sè cõa A(t) li¶n töc tr¶n T = (a,+∞), trong â a l mët sè ho°c b¬ng −∞.
Ta s³ chùng minh, t½nh ch§t ên ành cõa h» (2.11) t÷ìng ÷ìng vîi t½nh bà ch°n cõa nghi»m.
ành lþ 2.5. H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh thu¦n nh§t (2.11) l ên ành khi v ch¿ khi måi nghi»m x(t) (t0 < t < +∞, t0 ∈ T) cõa nâ bà ch°n tr¶n [t0,∞).
Chùng minh. i·u ki»n õ: Gi£ sû måi nghi»m x(t), (t0 < t < ∞) cõa (2.11) bà ch°n tr¶n nûa kho£ng [t0,∞). X²t ma trªn nghi»m cì b£n X(t) = [xjk(t)] chu©n hâa t¤i t0 (X(t0) = E l ma trªn ìn và). V¼ X(t)
l ma trªn t¤o bði n nghi»m bà ch°n cõa (2.6) n¶n nâ bà ch°n, tùc l tçn t¤i sè M sao cho kX(t)k ≤ M(t0) vîi måi t ≥ t0, trong â M (t0) l sè d÷ìng n o â, nâi chung phö thuëc v o t0.
Ta ¢ bi¸t r¬ng, måi nghi»m x(t) cõa (2.11) vîi i·u ki»n ban ¦u x(t0)
·u câ thº vi¸t ÷ñc d÷îi d¤ng x(t) = X(t)x(t0). Suy ra, vîi méi ε > 0
chån δ = M(εt
0). Khi §y n¸u kx(t0)k < δ th¼ kx(t)k = kX(t)x(t0)k ≤
M(t0)kx(t0)k < ε.
Vªy nghi»m t¦m th÷íng x(t) ≡ 0 cõa h» (2.11) l ên ành. Tø ành lþ 2.2 suy ra h» (2.11) l ên ành.
i·u ki»n c¦n: Gi£ sû ph£n chùng: H» (2.11) l ên ành nh÷ng (2.11) câ mët nghi»m z(t) khæng bà ch°n. Do t½nh duy nh§t nghi»m n¶n z(t0) 6= 0. Cè ành hai sè d÷ìng ε > 0 v δ >0.
°t x(t) = δ 2
z(t)
z(t0). Do z(t) l nghi»m cõa cõa (2.11) n¶n
˙ x(t) = δ 2 ˙ z(t) z(t0) = δ 2 A(t)z(t) z(t0) = A(t)x(t),
hay x(t) công l nghi»m cõa (2.11). Hiºn nhi¶n, kx(t0)k= δ
2 < δ. Nh÷ng do t½nh khæng bà ch°n cõa z(t) n¶n ph£i t¼m ÷ñc thíi iºm t1 > t0 sao cho x(t1) = δ
2
z(t1)
z(t0) > ε.
Theo ành ngh¾a, nghi»m x(t) ≡ 0 khæng ên ành, ngh¾a l h» (2.11) khæng ên ành. Væ l½.
(2.6) l ên ành, th¼ måi nghi»m cõa nâ ho°c bà ch°n, ho°c khæng bà ch°n khi t →+∞.
Nhªn x²t 2.7. Måi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh dx
dt = −x+ 1−t, t ≥ 0
câ d¤ng x(t) = x0e−t+t khæng bà ch°n nh÷ng ên ành ti»m cªn. Tø t½nh ch§t bà ch°n cõa nghi»m cõa h» phi tuy¸n, nâi chung khæng suy ra t½nh ên ành cõa nâ (xem V½ dö 2.1).
ành lþ 2.6. H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh thu¦n nh§t (2.11) ên ành ti»m cªn khi v ch¿ khi måi nghi»m x(t) cõa nâ ti¸n tîi 0 khi t→ +∞, tùc l lim
t→+∞x(t) = 0.
Chùng minh. i·u ki»n c¦n: Gi£ sû h» (2.11) ên ành ti»m cªn khi t → +∞. Khi §y måi nghi»m cõa nâ, trong â câ nghi»m t¦m th÷íng x0(t) ≡ 0 l ên ành ti»m cªn khi t → +∞. Theo ành ngh¾a, tçn t¤i sè ∆ > 0 sao cho måi nghi»m x(t) thäa m¢n i·u ki»n kx(t0)k < ∆ th¼
lim
t→+∞x(t) = 0, trong â t0 ∈ T b§t k¼.
X²t mët nghi»my(t) b§t k¼ kh¡c cõa (2.11) vîi i·u ki»n ban ¦uy(t0) =
y0.
°t z(t) = ∆ 2
y(t)
ky(t0)k. Khi §y z(t) l nghi»m cõa (2.11) v kz(t0)k = ∆ 2 < ∆. Chùng tä lim t→∞z(t) = 0. Suy ra lim t→∞y(t) = lim t→∞ 2ky0k ∆ z(t) = 0. i·u ki»n õ: Gi£ sû måi nghi»mx(t)cõa h» (2.11) câ t½nh ch§t lim
t→+∞x(t) = 0. Khi §y vîi méi nghi»m x(t) (t0 ≤ t < ∞) ta câ kx(t)k ≤ 1 khi t≥ T n o â. Nh÷ng tr¶n o¤n compact [t0, T] h m li¶n töc x(t) l bà ch°n. Chùng tä måi nghi»m x(t) cõa h» (2.1) bà ch°n tr¶n [t0,∞). Theo ành lþ 2.5, h» (2.11) l ên ành. Nh÷ng nghi»m t¦m th÷íng x0(t) ≡ 0 cõa nâ
l ên ành ti»m cªn. Vªy theo ành lþ 2.4 suy ra h» (2.11) l ên ành ti»m cªn.
Nhªn x²t 2.8. Tø t½nh ch§t ti¸n tîi 0 cõa t§t c£ c¡c nghi»m cõa h» phi tuy¸n, nâi chung khæng suy ra t½nh ên ành ti»m cªn cõa nâ.
D÷îi ¥y chóng ta x²t i·u ki»n õ cho t½nh ên ành ti»m cªn cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh thu¦n nh§t.
Gi£ sû
dx
dt = A(t)x, (2.12)
trong â A(t) ∈ C(a,∞),supkA(t)k < ∞, v {α1, ..., αm} l phê cõa h» (2.12), hìn núa m ≤ n.
ành lþ 2.7. (xem ành lþ 5.1, [2], tr. 84) º h» tuy¸n t½nh thu¦n nh§t (2.12) ên ành ti»m cªn, i·u ki»n c¦n v õ l sè mô °c tr÷ng lîn nh§t cõa nâ l ¥m, tùc l
α = max
k αk < 0. (2.13)
Chùng minh. Gi£ sû x(t) 6= 0 l mët nghi»m khæng t¦m th÷íng tòy þ cõa h» (2.12). Ta chån ε > 0 õ nhä sao cho câ b§t ¯ng thùc
α +ε < 0. Bði v¼ χ[x(t)] < α+ ε, cho n¶n ta câ kx(t)k e(α+ε)t → 0 khi t → ∞
hay
kx(t)ke−(α+ε)t →0 khi t→ ∞.
Do α+ ε < 0 n¶n e−(α+ε)t → ∞. Do â, x(t) → 0 khi t → ∞. Tø â ta suy ra r¬ng h» (2.12) (tùc l t§t c£ c¡c nghi»m cõa nâ) ên ành ti»m cªn khi t→ ∞.
Chó þ. Gi£ sû X(t) ={x1, ..., xn} l h» cì b£n chu©n tc cõa nghi»m v χ[xj] = αj (j = 1, ..., n).
°t xj(t) = eαjtξj(t), ta s³ câ
αj = χ[xj] = αj +χ[ξj], suy ra
χ[ξj] = 0.
Nh÷ vªy, nghi»m têng qu¡t cõa h» (2.12) câ thº vi¸t ð d¤ng x(t) = n X j=1 cjxj(t) = n X j=1 cjξj(t)eαjt, (2.14) trong â cj l c¡c h¬ng sè tòy þ, χ[ξj] = 0, αj l c¡c iºm phê, ξj(t)eαjt l c¡c nghi»m ri¶ng ëc lªp tuy¸n t½nh; khi â αj ÷ñc l°p l¤i õ sè l¦n èi vîi nghi»m ri¶ng câ sè mô °c tr÷ng αj m ta g°p trong h» nghi»m cì b£n chu©n tc.
2.1.4. Ên ành cõa h» tuy¸n t½nh vîi h» sè h¬ng
H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh vîi A l ma trªn h¬ng dx
câ duy nh§t nghi»m x(t) =etAx0 thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u x(0) = x0 k²o d i ÷ñc tîi væ còng (theo ành lþ 2.1).
Gi£ sû t§t c£ c¡c gi¡ trà ri¶ng λi cõa ma trªn A n¬m ð b¶n tr¡i m°t ph¯ng phùc mð (Reλi ≤ −σ, σ > 0). Khi §y vîi t ≥ 0 ta câ ¡nh gi¡ sau ¥y cho ma trªn etA:
etA ≤ γ(n) kAk σ n−1 e−σ2t , t≥ 0.
Tø ¥y ta câ ¡nh gi¡ cho nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n:
kx(t)k = etAx0 ≤γ(n) kAk σ n−1 e−σ2tkx0k.
Düa tr¶n cæng thùc n y, ta d¹ d ng kh¯ng ành nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n (2.15) l ên ành ti»m cªn khi t§t c£ c¡c gi¡ trà ri¶ng λi cõa ma trªn A thäa m¢n i·u ki»n Reλi ≤ −σ, σ > 0. Thªt vªy, vîi méi ε > 0, chån δ = ε
γ(n)
kAk
σ
n−1. Khi §y n¸u kx0k < δ th¼ vîi måi t≥ 0 ta câ kx(t)k ≤ γ(n) kAk σ n−1 e−σ2tkx0k ≤ γ(n) kAk σ n−1 e−σ2t ε γ(n) kAk σ n−1 = εe−σ2t ≤ ε.
Chùng tä nghi»m t¦m th÷íng x(t) ≡ 0 l ên ành. Hìn núa, tø cæng thùc tr¶n ta công câ lim
t→∞x(t) = 0. Vªy h» (2.15) l ên ành ti»m cªn mô. Ta câ
mô) khi v ch¿ khi t§t c£ c¡c nghi»m cõa a thùc °c tr÷ng cõa ma trªn A câ ph¦n thüc ¥m.
ành lþ 2.9. H» tuy¸n t½nh døng (2.15) l khæng ên ành n¸u ½t nh§t mët nghi»m cõa a thùc °c tr÷ng cõa ma trªn A câ ph¦n thüc d÷ìng. Chùng minh. Gi£ sû ma trªn A câ tèi thiºu mët gi¡ trà ri¶ng λ0 =
σ0 +iω0 vîi ph¦n thüc d÷ìng σ0 > 0 v z0 l vectì ri¶ng t÷ìng ùng vîi gi¡ trà ri¶ng λ0, tùc l Az0 = λ0z0 = (σ0 +iω0)z0. Khi §y d¹ d ng nhªn th§y r¬ng h m vectì x(t) = δ
2kx0ke
(σ0+iω0)tx0 l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.15) thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u x(0) = δ
2 < δ v kx(t)k =
δ
2kx0ke
(σ0+iω0)tkx0k = δ 2e
σ0t ti¸n tîi +∞ khi t →+∞ do σ0 > 0. Chùng tä nghi»m x(t) ≡ 0 v h» (2.15) l khæng ên ành.
ành lþ 2.10. H» tuy¸n t½nh døng (2.15) l ên ành khi v ch¿ khi t§t c£ c¡c nghi»m cõa a thùc °c tr÷ng cõa ma trªn A câ c¡c ph¦n thüc khæng d÷ìng, ngo i ra, c¡c nghi»m cõa a thùc °c tr÷ng câ ph¦n thüc b¬ng 0 ·u câ c¡c ÷îc cì b£n ìn (khèi Jordan t÷ìng ùng ch¿ l mët ph¦n tû).
Chùng minh. Gi£ sû ma trªn A câ tèi thiºu mët gi¡ trà ri¶ng thu¦n £o λ0 = iω0 v vectì ri¶ng z0 t÷ìng ùng. Khi §y vîi méi δ > 0 h m x(t) = δ
2kx0ke
iω0tx0 l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.15) thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u x(0) = δ
2 < δ v kx(t)k = δ 2kx0ke
iω0tkx0k = dδ2 = const. Nh÷ vªy, n¸u ma trªn A câ tèi thiºu mët gi¡ trà ri¶ng thu¦n £oλ0 = iω0
th¼ h» (2.15) khæng ên ành ti»m cªn.
t÷ìng ùng vîi λ0 = iω0 câ bªc lîn hìn 1 th¼ h» (2.15) khæng ên ành. º chùng minh i·u n y, tr÷îc ti¶n ta nhªn x²t r¬ng tçn t¤i hai vectì ri¶ng kh¡c 0 li¶n hñp sao cho Az0 = iω0z0 v Az1 = iω0z1+z0. D¹ d ng kiºm tra r¬ng vectì h m x(t) = δ
2kz1ke
iω0tz1 + δ 2kz1kte
iω0tz0 l nghi»m cõa (2.15) thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u x(0) = δ
2kz1kz1. Thªt vªy, l§y ¤o h m x(t) ta ÷ñc x0(t) = δ 2kz1kiω0e iω0t z1 + δ 2kz1k iω0teiω0t +eiω0t z0 = δ 2kz1ke iω0t[iω0z1 +z0] + δ 2kz1ke iω0tiω0tz0. M°t kh¡c, Ax(t) =A δ 2kz1ke iω0tz1 + δ 2kz1kte iω0tz0 = δ 2kz1ke iω0t Az1 + δ 2kz1kte iω0t Az0 = δ 2kz1ke iω0t[iω0z1 +z0] + δ 2kz1kte iω0tiω0z0.
So s¡nh hai biºu thùc tr¶n ta i ¸n x0(t) ≡ Ax(t) hay x(t) l nghi»m cõa (2.15) thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u x(0) = δ
2kz1kz1. Suy rakx(0)k= δ 2 < δ. V¼z0 6= 0 v z1 6= 0 n¶nkx(t)k ≥ δ 2kz1k(tkz0k − kz1k). Suy ra kx(t)k → +∞ khi t → +∞. Chùng tä h» (2.15) khæng ên ành.
B¥y gií ta ch¿ ra r¬ng n¸u måi gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn A ho°c câ ph¦n thüc ¥m ho°c thu¦n £o nh÷ng khèi Jordan ùng vîi nâ câ bªc 1 th¼ h» (2.15) l ên ành (khæng ên ành ti»m cªn).
Vîi gi£ thi¸t tr¶n ma trªn A câ biºu di¹n d¤ng A= P−1 A1 0 0 A2 P,
trong â ma trªn A1 câ sè chi·u n1 v måi gi¡ trà ri¶ng λ1, ..., λn1 cõa nâ ·u câ ph¦n thüc ¥m, ngh¾a l Reλi ≤ σ, i = 1,2, ..., n1 (σ < 0). Ma trªn A2 l ma trªn ÷íng ch²o câ sè chi·u n2 = n−n1 vîi c¡c gi¡ trà ri¶ng thu¦n £o v c¡c khèi Jordan t÷ìng ùng câ bªc 1. Ngh¾a l A2 câ d¤ng ma trªn ÷íng ch²o A2 = iω1 0 ... 0 0 iω2 ... 0 ... ... 0 0 0 ... iωn2 .
Tø biºu di¹n cõa ma trªn mô ta câ etA = P−1 etA1 0 0 etA2 P = P−1 etA1 0 0 0 P +P−1 0 0 0 etA2 P suy ra etA ≤ P−1 etA1 kPk+P−1 etA2 kPk vîi måi t > 0. Bði v¼ etA1 ≤ γ(n1) kA1k σ n1−1 e−tσ2 ≤ γ(n1) kA1k σ n1−1 , etA2 ≤ eiω1 0 ... 0 0 eiω2 ... 0 ... ... 0 0 0 ... eiωn2 , etA2 = 1
n¶n etA ≤ P−1γ(n1) kA1k σ n1−1 kPk+P−1kPk := ∆. Vîi méi ε > 0 chån δ = ε ∆. N¸u kx(0)k< δ th¼ kx(t)k= etAx(0) ≤ etAkx(0)k ≤ ∆δ = ε. Suy ra nghi»m x(t) ≡ 0 hay h» (2.15) ên ành.
V½ dö 2.2. X²t h» ph÷ìng tr¼nh vîi tham sè α: dx dt = αx+ 5y; dy dt = −x+ 2y. Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng câ d¤ng α−λ 5 −1 2−λ = 0 hay λ2 −(2 +α)λ+ 2α+ 5 = 0. Ta câ ∆ = (2 +α)2 −4(2α + 5) = α2 −4α−16, suy ra λ1,2 = (2 +α)±√∆ 2 ; λ1 +λ2 = 2 +α; λ1λ2 = 2α + 5. Vªy: 1) N¸u λ1λ2 = 2α+ 5 > 0 v λ1+λ2 = 2 +α < 0 hay −5 2 < α < −2 th¼ ph÷ìng tr¼nh câ c£ hai nghi»m câ ph¦n thüc ¥m. Khi §y h» l ên ành ti»m cªn.
2) N¸u α < −5
ho°c c£ hai nghi»m phùc câ ph¦n thüc d÷ìng. H» khæng ên ành. 3) N¸u α = −5
2 th¼ ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m λ1 = 0 v λ2 = −0,5. H» ên ành.
4) N¸u α = −2 th¼ hai nghi»m λ1,2 = ±i l nghi»m ìn. H» ên ành.
2.2. Ph÷ìng ph¡p ch¿ sè Lyapunov trong nghi¶n cùu ên ành nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè tuy¸n t½nh
2.2.1. Mët sè °c thò cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè Cho T = (a, b) l mët kho£ng n o â cõa ÷íng th¯ng thüc (a câ thº b¬ng −∞, b câ thº b¬ng +∞). Kþ hi»u Ci(T) l khæng gian c¡c h m kh£ vi ¸n c§p i v CA(T) l khæng gian c¡c h m gi£i t½ch tr¶n T. X²t h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh suy bi¸n (th÷íng ÷ñc gåi l h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè) d¤ng
Ax˙(t) =Bx+f(t), t∈ T. (2.16) Ma trªn A trong ph÷ìng tr¼nh (2.16) nâi chung suy bi¸n (detA câ thº b¬ng 0). N¸u detA 6= 0 th¼ b¬ng c¡ch nh¥n hai v¸ vîi ma trªn A−1, ta câ thº ÷a ph÷ìng tr¼nh (2.16) v· d¤ng ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng tuy¸n t½nh
˙
Nhi·u b i to¡n ùng döng d¨n ¸n h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè gçm mët ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng v mët r ng buëc ¤i sè, tùc l h» ˙ x1 = R1x1 +R2x2 +f1; (2.18) 0 = R3x1 +R4x2 +f2, (2.19) trong â x1 ∈ Rn1 v x2 ∈ Rn2; Ri, i = 1,2,3,4 v fj, j = 1,2 l c¡c ma trªn v vectì câ sè chi·u t÷ìng ùng.
°t x = x1 x2 ; f = f1 f2 ; A= En1 0n1×n2 0n2×n1 0n2 = E 0 0 0 ; B = R1 R2 R3 R4 , trong â E = En1 l ma trªn ìn và c§p n1, 0 l c¡c ma trªn gçm t§t c£ c¡c ph¦n tû b¬ng 0 câ sè chi·u t÷ìng ùng; B v f l c¡c ma trªn v vectì câ sè chi·u t÷ìng ùng. Trong luªn v«n n y, º cho gån, ta th÷íng ch¿ vi¸t c¡c ma trªn ìn và v ma trªn gçm t§t c£ c¡c ph¦n tû b¬ng 0 l E v 0 m khæng vi¸t sè chi·u cõa ma trªn, ng¦m hiºu c¡c ma trªn câ sè chi·u t÷ìng ùng, b£o £m cho c¡c ph²p to¡n tr¶n ma trªn câ ngh¾a. Vîi c¡ch °t tr¶n, h» (2.18), (2.19) câ thº vi¸t ÷ñc d÷îi d¤ng:
(Ax)0 = Bx+f (2.20)
hay d¤ng (2.16).
Khi f(t) ≡ 0 ta câ h» thu¦n nh§t
Ax˙(t) = Bx(t)
ho°c
(Ax(t))0 = Bx(t), (2.21) trong â y˙(t) = y0(t) l k½ hi»u ¤o h m cõa vectì y(t).
Nhªn x²t 2.9. Trong nhi·u t i li»u, h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè th÷íng ÷ñc çng nh§t vîi h» (2.16). C¡ch vi¸t (2.16) ái häi x câ ¤o h m, tùc l to n bë c¡c tåa ë (c£ x1 v x2) cõa x ·u ph£i câ ¤o h m. Tuy nhi¶n, c¡c h» th÷íng g°p trong thüc t¸ d¤ng (2.18) - (2.19) th÷íng ch¿ ái häi x1 câ ¤o h m, cán x2 câ thº khæng kh£ vi. Tø â ta th§y, (2.20) v (2.16) nâi chung l kh¡c nhau v c¡ch vi¸t (2.20) l phò hñp vîi thüc t¸ hìn.
D÷îi ¥y, º phò hñp vîi c¡c t i li»u, ta v¨n gåi h» (2.20) (v h» (2.16)), trong â ma trªn A câ thº suy bi¸n l h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè tuy¸n t½nh. D¤ng °c bi»t (2.18) - (2.19) thuíng ÷ñc gåi l d¤ng nûa hi»n (nûa hiºn, semi-explicit differential equation) cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè.
Nhªn x²t 2.10. Nâi chung ma trªn A v ma trªn B trong (2.20) v (2.16) khæng nh§t thi¸t ph£i l ma trªn vuæng, nh÷ng chóng ph£i câ k½ch th÷îc phò hñp. Th½ dö, n¸u x ∈ Rn v ma trªn B câ sè chi·u l m×n th¼ A công ph£i câ sè chi·u l m×n, cán f ph£i l mët vectì câ sè chi·u l m×1.
Ta x²t nghi»m cõa (2.16) ho°c (2.20) d÷îi d¤ng nghi»m cê iºn d÷îi ¥y.
ành ngh¾a 2.14. Vectì h m x(t) ÷ñc gåi l nghi»m cõa (2.16) tr¶n kho£ng T n¸u nâ kh£ vi li¶n töc tr¶n T (tùc l x(.) ∈ C1(T)) v khi thay x(t) v o (2.16) th¼ ta ÷ñc ¯ng thùc óng vîi måi t ∈ T.
N¸u h m kh£ vi li¶n töc x(t) thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u
v thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh (2.16) trong mët l¥n cªn n o â cõa t0 th¼ ta nâi x(t) l nghi»m àa ph÷ìng cõa (2.16) trong l¥n cªn cõa t0.
N¸u tçn t¤i nghi»m thäa m¢n (2.16) v (2.22) th¼ ta nâi b i to¡n gi¡ trà ban ¦u (b i to¡n Cauchy) l gi£i ÷ñc.