X²t h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng phi tuy¸n dx
dt = f(t, x), (2.1)
vîi i·u ki»n ban ¦u
x(t0) =x0. (2.2)
H m f(t, x) ÷ñc x¡c ành tr¶n tªp D := T ×Dx ⊆ R× Rn, trong â Dx l mët tªp mð trong Rn, T = {t : a < t < +∞} vîi a l mët sè ho°c b¬ng −∞.
V· m°t vªt l½, câ thº coi nghi»m x(t) cõa h» (2.1) nh÷ qu¾ ¤o chuyºn ëng trong khæng gian Rn xu§t ph¡t t¤i thíi iºm t0 tø và tr½ ban ¦u x0, trong â t âng vai trá tham sè thíi gian.
ành ngh¾a 2.1. Nghi»m x(t), (a < t < ∞) cõa h» (2.1) ÷ñc gåi l ên ành theo Lyapunov khi t → +∞ (ngn gån, ên ành), n¸u vîi méi ε > 0 v t0 ∈ (a,∞) tçn t¤i mët sè δ(ε, t0) > 0 sao cho
1) Måi nghi»m y(t) cõa h» (2.1) (kº c£ nghi»m x(t)) thäa m¢n i·u ki»n
ky(t0)−x(t0)k < δ (2.3) ÷ñc x¡c ành tr¶n kho£ng [t0,∞), tùc l y(t) ∈ Dx vîi måi t≥ t0. 2) Vîi nhúng nghi»m §y ta câ
ky(t)−x(t)k < ε, vîi måi t ≥ t0. (2.4) Nâi c¡ch kh¡c, nghi»mx(t) l ên ành, n¸u nghi»my(t) õ g¦n vîi nâ t¤i thíi iºm ban ¦u t0 (ky(t0)−x(t0)k < δ) th¼ nghi»m y(t) s³ k²o d i væ tªn v· b¶n ph£i v luæn luæn n¬m trong ε-èng (èng câ b¡n k½nh ε, ÷ñc x¥y düng quanh tröc x(t)), tùc l ky(t)−x(t)k< ε vîi måi t≥ t0). i·u ki»n 1) trong ành ngh¾a b£o £m t½nh k²o d i væ tªn v· b¶n ph£i cõa nghi»m x(t) v måi nghi»m y(t) g¦n nâ t¤i thíi iºm ban ¦u t0. Khæng gi£m têng qu¡t (xem [2]), ta câ thº coif(t,0) ≡0. Khi §y ph÷ìng tr¼nh (2.1) câ nghi»m t¦m th÷íng (tr¤ng th¡i c¥n b¬ng) x(t) ≡ 0.
ành ngh¾a 2.2. Nghi»m t¦m th÷íng x(t) ≡ 0 cõa h» (2.1) (vîi gi£ thi¸t f(t,0) ≡ 0) ÷ñc gåi l ên ành theo Lyapunov khi t → +∞, n¸u vîi méi ε > 0 v t0 ∈ (a,∞) tçn t¤i δ(ε, t0) > 0 sao cho vîi måi nghi»m y(t) cõa (2.1), tø b§t ¯ng thùc ky(t0)k < δ suy ra nghi»m y(t) k²o d i væ tªn v· b¶n ph£i v b§t ¯ng thùc ky(t)k< ε óng vîi måi t ≥ t0. ành ngh¾a 2.3. N¸u sè δ trong ành ngh¾a 2.1 câ thº chån khæng phö thuëc v o thíi iºm ban ¦u t0 ∈ T, ngh¾a l δ(t0, ε) ≡ δ(ε), th¼ nghi»m ên ành ÷ñc gåi l ên ành ·u tr¶n mi·n T.
ành ngh¾a 2.4. Nghi»m x(t)(a < t < ∞) cõa h» (2.1) ÷ñc gåi l khæng ên ành theo Lyapunov khi t → +∞, n¸u t¼m ÷ñc hai sè ε > 0,
t0 ∈ (a,∞) n o â sao cho vîi måi δ > 0 t¼m ÷ñc ½t nh§t mët nghi»m yδ(t) v mët thíi iºm t1 = t1(δ) > t0 m ta câ kyδ(t0)−x(t0)k < δ nh÷ng kyδ(t1)−x(t1)k ≥ ε.
Ngh¾a l , t¤i thíi iºm t1, nghi»m yδ(t) bt ¦u v÷ñt ra ngo i ε-èng vîi tröc cõa èng l ÷íng cong x(t).
ành ngh¾a 2.5. Nghi»m x(t) ≡ 0 cõa h» (2.1) (vîi f(t,0) ≡ 0) ÷ñc gåi l khæng ên ành theo Lyapunov khi t → +∞, n¸u t¼m ÷ñc hai sè ε > 0, t0 ∈ (a,∞) sao cho vîi måi δ > 0 t¼m ÷ñc ½t nh§t mët nghi»m yδ(t) v mët thíi iºm t1 = t1(δ) > t0 sao cho ta câ kyδ(t0)k < δ nh÷ng
kyδ(t1)k ≥ ε.
Nhªn x²t 2.1. Tø ành ngh¾a 2.1 ta công th§y, trong tr÷íng hñp n¸u nghi»m x(t) khæng k²o d i ÷ñc khi t ti¸n ra væ còng ho°c n¸u trong måi l¥n cªn b§t k¼ cõa iºm x(t0) luæn t¼m th§y mët iºm y0 sinh ra mët nghi»m khæng k²o d i ÷ñc y(t) khi t ti¸n ra væ còng th¼ nghi»m x(t) ÷ñc coi l khæng ên ành.
ành ngh¾a 2.6. Nghi»mx(t) cõa h» (2.1) ÷ñc gåi l ên ành ti»m cªn khi t→ +∞, n¸u
1) nghi»m x(t) l ên ành theo Lyapunov v
2) vîi måi t0 ∈ (a,∞) tçn t¤i sè ∆ = ∆(t0) > 0 sao cho måi nghi»m y(t)
vîi i·u ki»n ban ¦u ky(t0)−x(t0)k < ∆ s³ câ t½nh ch§t
lim
t→∞ ky(t)−x(t)k = 0. (2.5) Þ ngh¾a cõa ên ành ti»m cªn: Måi nghi»m y(t) õ g¦n x(t) t¤i thíi iºm t0 s³ bà hót v· x(t) khi t → +∞ (kho£ng c¡ch giúa y(t) v x(t)
ti¸n tîi 0 khi t→ +∞).
ành ngh¾a 2.7. Nghi»m t¦m th÷íngx(t) ≡0cõa h» (2.1) (vîif(t,0) ≡ 0) ÷ñc gåi l ên ành ti»m cªn khi t → +∞, n¸u nâ l ên ành theo Lyapunov v vîi måi t0 ∈ (a,∞) tçn t¤i mët sè ∆(t0) > 0 sao cho vîi måi nghi»m y(t) thäa m¢n i·u ki»n ky(t0)k < ∆ ta câ lim
t→+∞ ky(t)k = 0. Tªp < = y(t0) : lim t→+∞y(t) = 0
÷ñc gåi l mi·n hót cõa và tr½ c¥n b¬ng x = 0.
ành ngh¾a 2.8. Gi£ sû h» (2.1) ÷ñc x¡c ành tr¶n nûa khæng gian
Ω = {a < t < ∞} × {x : kxk< ∞}.
N¸u nghi»m x(t) (a < t < ∞) l ên ành ti»m cªn khi t → +∞ v t§t c£ c¡c nghi»m y(t), (a < t0 ≤ t < ∞) câ t½nh ch§t (1.5), tùc l ∆ = ∞, th¼ ta nâi nghi»m x(t) l ên ành ti»m cªn to n cöc.
Nâi c¡ch kh¡c, n¸u x(t) l ên ành ti»m cªn to n cöc th¼ mi·n hót cõa nâ t¤i måi thíi iºm ban ¦u t0 l to n khæng gian Rn (∆ = ∞).
ành ngh¾a 2.9. Nghi»m x0(t) cõa h» (2.1) - (2.2) ÷ñc gåi l ên ành mô to n cöc khi t → +∞, n¸u tçn t¤i c¡c sè M > 0 v α > 0 sao cho måi nghi»m x(t) cõa (2.1) s³ k²o d i væ tªn v· b¶n ph£i v nghi»m óng b§t ¯ng thùc
kx(t)−x0(t)k ≤ M e−α(t−t0)kx(t0)−x0k, vîi måi t≥ t0.
ành ngh¾a 2.10. Nghi»mx(t) ≡ 0 cõa h» (2.1) - (2.2) (vîi f(t,0)≡ 0) ÷ñc gåi l ên ành mô to n cöc khi t →+∞, n¸u tçn t¤i c¡c sè M > 0
ph£i v nghi»m óng b§t ¯ng thùc kx(t)k ≤ M e−α(t−t0)kx0k, vîi måi t≥ t0.
V½ dö 2.1. X²t t½nh ên ành cõa nghi»m thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u t÷ìng ùng cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh: 1) dx dt = a tx, x(1) = 0; 2) dx dt = 1 +t−x, x(0) = 0; 3) dx dt = sin 2x, x(0) = 0.
X²t ph÷ìng tr¼nh 1) Nghi»m x(t) thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u x(0) = x0 câ d¤ng x(t) = tax0. Nghi»m thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u x(1) = 0 l x0(t) ≡ 0. X²t kx(t)−x0(t)k= takx0k ta i ¸n k¸t luªn:
Nghi»m x0(t) ≡ 0 l ên ành khi a = 0, ên ành ti»m cªn khi a < 0
v khæng ên ành khi a > 0.
T÷ìng tü, hai nghi»m b§t k¼x(t) =tax0 v y(t) = tay0 câkx(t)−y(t)k=
takx0 −y0k n¶n måi nghi»m x(t) =tax0 cõa ph÷ìng tr¼nh 1) l ên ành khi a = 0, ên ành ti»m cªn khi a < 0 v khæng ên ành khi a > 0. X²t ph÷ìng tr¼nh 2) Nghi»m x(t) thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u x(0) = x0 câ d¤ng x(t) =x0e−t +t. Nghi»m thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u x(0) = 0
l x0(t) ≡ t.
V¼ kx(t)−x0(t)k = e−tkx0k → 0 khi t → +∞ n¶n nghi»m x0(t) ≡ t l ên ành ti»m cªn.
X²t hai nghi»m b§t k¼ x(t) v y(t) thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u t÷ìng ùng l x(0) = x0 v y(0) = y0. Ta câ kx(t)−y(t)k = e−tkx0 −y0k → 0
khi t→ +∞.
Nhªn x²t 2.2. Måi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l khæng bà ch°n. Nh÷ vªy, tø t½nh ên ành cõa nghi»m cõa h» tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t khæng suy ra t½nh bà ch°n cõa nghi»m.
X²t ph÷ìng tr¼nh 3) Nghi»m x(t) thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u x(0) = x0,
0< x0 < π câ d¤ng x(t) = arc cot(cotx0 −t).
Nghi»m x(t) thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u x(0) = 0 l x0(t) ≡ 0. Bði v¼ lim
t→∞x(t) = lim
t→∞ arc cot(cotx0 − t) = π n¶n vîi méi x0 > 0 nhä tòy þ, ta ·u câ thº t¼m ÷ñc mët thíi iºm t1 > 0 sao cho x(t1) > 1. Vªy nghi»m x0(t) ≡ 0 cõa h» ¢ cho l khæng ên ành.
Nhªn x²t 2.3. Måi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh 3) ·u bà ch°n. Nh÷ vªy, tø t½nh bà ch°n cõa nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n khæng suy ra t½nh ên ành cõa nâ.