thu¦n nh§t
X²t h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh vîi h» sè bi¸n thi¶n dx
dt = A(t)x(t) +f(t), t∈ T = (a,∞). (2.6) Gi£ sû A(t) v f(t) l nhúng h m li¶n töc tr¶n T = [a,∞), trong â a l mët sè ho°c câ thº b¬ng −∞.
D÷îi ¥y tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t ên ành cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh theo [2] v [7].
ành lþ 2.1. (k²o d i nghi»m cõa h» tuy¸n t½nh) Vîi måi t0 ≥ a v x0 ∈ Rn h» (2.6) câ nghi»m duy nh§t x(t) thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u
x(t0) =x0 v x¡c ành tr¶n to n kho£ng [t0,∞).
Nh÷ vªy, ành lþ n y ¢ gi£i quy¸t khæng ch¿ v§n · tçn t¤i duy nh§t nghi»m m cán kh¯ng ành kh£ n«ng k²o d i nghi»m khi t → +∞ cõa h» tuy¸n t½nh, tùc l ái häi 1 trong ành ngh¾a 2.1 v· ên ành luæn ÷ñc thäa m¢n cho h» tuy¸n t½nh n¸u A(t) v f(t) l nhúng h m li¶n töc tr¶n T = [a,∞).
ành lþ 2.2. H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t (2.6) l ên ành vîi måi th nh ph¦n tü do f(t) khi v ch¿ khi nghi»m t¦m th÷íng x(t) ≡ 0cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
dx
dt = A(t)x(t) (2.7) l ên ành.
Chùng minh. i·u ki»n c¦n: Gi£ sû x(t), (t0 ≤ t < ∞) l mët nghi»m ên ành cõa h» (2.6). Ngh¾a l , vîi méi ε > 0 tçn t¤i sè δ = δ(ε, t0) > 0
sao cho måi nghi»m y(t) cõa h» ph÷ìng tr¼nh (2.6) thäa m¢n i·u ki»n
ky(t0)−x(t0)k < δ (2.8) th¼
ky(t)−x(t)k< ε (2.9) vîi måi t≥ t0.
N¸u x(t) v y(t) l hai nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh khæng thu¦n nh§t (2.6) th¼
l nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t (2.7) v ng÷ñc l¤i, måi nghi»m y(t) cõa h» ph÷ìng tr¼nh (2.6) ·u câ thº vi¸t d÷îi d¤ng y(t) = x(t) +
z(t, c), trong â z(t, c) l nghi»m chung cõa (2.7) n¶n måi nghi»m ri¶ng z(t) ·u câ thº vi¸t ÷ñc d÷îi d¤ng (2.10).
Nh÷ vªy, b§t ¯ng thùc (2.8) v (2.9) t÷ìng ÷ìng vîi: N¸u kz(t0)k< δ th¼ kz(t)k < ε vîi måi t ≥ t0. Vªy nghi»m t¦m th÷íng x(t) ≡ 0 cõa h» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t (2.7) l ên ành theo Lyapunov khi t → +∞
theo ành ngh¾a 2.2.
Nhªn x²t 2.4. Tø chùng minh suy ra, ch¿ c¦n tçn t¤i mët nghi»m ên ành cõa h» (2.6) vîi mët h m f(t) n o â (do â câ thº chån f(t) ≡0!) th¼ nghi»m t¦m th÷íng cõa h» (2.7) l ên ành.
i·u ki»n õ: N¸u x(t) l nghi»m chån tr÷îc cõa h» khæng thu¦n nh§t (2.6) v y(t) l nghi»m b§t k¼ kh¡c cõa h» khæng thu¦n nh§t (2.6) th¼ z(t) = y(t) − x(t) công l nghi»m cõa h» thu¦n nh§t (2.7). Hìn núa, n¸u ky(t0)−x(t0)k < δ th¼ kz(t0)k < δ. Nh÷ng theo gi£ thi¸t, nghi»m t¦m th÷íng x(t) ≡0 cõa ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t (2.7) l ên ành theo Lyapunov khi t → +∞, ngh¾a l n¸u nghi»m z(t) cõa h» thu¦n nh§t (2.7) thäa m¢n i·u ki»n kz(t0)k < δ th¼ kz(t)k < ε vîi måi t ≥ t0, hay
ky(t)−x(t)k < ε vîi måi t ≥ t0. Vªy nghi»m x(t) cõa h» khæng thu¦n nh§t (2.6) l ên ành khi t→ +∞.
H» qu£ 2.1. H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t (2.6) l ên ành khi v ch¿ khi mët nghi»m cõa nâ l ên ành, v khæng ên ành khi v ch¿ khi mët nghi»m n o â cõa nâ l khæng ên ành.
H» qu£ 2.2. H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t (2.6) l ên ành khi v ch¿ khi h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh thu¦n nh§t (2.7) l ên ành.
ành ngh¾a 2.11. H» tuy¸n t½nh (2.6) ÷ñc gåi l ên ành (ho n to n khæng ên ành) n¸u t§t c£ c¡c nghi»m cõa nâ l ên ành (khæng ên ành) khi t→ +∞.
Nhªn x²t 2.5. Theo ành lþ 2.2, måi nghi»m cõa h» tuy¸n t½nh ho°c ên ành ho°c khæng ên ành çng thíi. V¼ vªy ành ngh¾a tr¶n l hñp l½. ành ngh¾a n y khæng ¡p döng ÷ñc cho h» phi tuy¸n, bði v¼ h» phi tuy¸n câ thº çng thíi câ c¡c nghi»m ên ành l¨n c¡c nghi»m khæng ên ành (xem v½ dö, [2]).
Nhªn x²t 2.6. Nh÷ vªy, t½nh ên ành cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t (2.6) khæng phö thuëc v o th nh ph¦n f(t)(mi¹n l f(t) li¶n töc º b£o £m tçn t¤i nghi»m). Nâi c¡ch kh¡c, t½nh ch§t ên ành cõa h» (2.7) v (2.6) l nh÷ nhau vîi måi f(t) b§t k¼. V¼ vªy ta ch¿ c¦n quan t¥m ¸n t½nh ên ành cõa h» thu¦n nh§t.
ành ngh¾a 2.12. H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t (2.6) ÷ñc gåi l ên ành ·u n¸u måi nghi»m cõa nâ ên ành ·u khi t→ +∞ t÷ìng ùng vîi thíi iºm ban ¦u t0 ∈ T.
ành lþ 2.3. H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t (2.6) l ên ành ·u khi v ch¿ khi nghi»m t¦m th÷íng x(t) ≡ 0 cõa h» thu¦n nh§t (2.7) ên ành ·u khi t→ +∞.
ành ngh¾a 2.13. H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh khæng thu¦n