Các phương pháp tựa nội suy spline và ứng dụng

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong thực tế, vấn đề tìm giá trị của hàm số, tính tích phân xác định có ý nghĩa quan trọng, nên có nhiều phương pháp khác nhau để giải cácbài toán trên.. Hàm spline là

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Tuấn, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận vănnày

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng sauđại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt qúa trình họctập

Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điềukiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Thúy

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Tuấn, luậnvăn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: "Các phương pháp tựanội suy spline và ứng dụng" được hoàn thành bởi nhận thức của tác giả.Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa thànhtựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Thúy

Mục lục

1.1 Không gian vectơ 8

1.2 Không gian metric 10

1.3 Không gian định chuẩn 12

1.4 Số gần đúng và sai số 14

1.5 Phương pháp nội suy 14

1.5.1 Đa thức nội suy Lagrange 15

1.5.2 Đa thức nội suy Hermitte 16

1.5.3 Spline đa thức 16

2 Phương pháp tựa nội suy 19 2.1 Không gian các hàm spline và B-spline 19

2.2 Tính chất của spline và B-spline 21

2.2.1 Sự độc lập tuyến tính và đa thức đại diện 21

2.2.2 Phép lấy vi phân và tính trơn của B-spline 26

2.2.3 B-spline làm cơ sở cho đa thức từng đoạn 30

2.3 Tựa nội suy 31

2.3.1 Tựa nội suy 31

2.3.2 Các tính chất 36

2.3.3 Hai cơ sở tựa nội suy trên phiếm hàm điểm 38

3 Ứng dụng 413.1 Tựa nội suy bằng các hàm spline bậc 1 413.2 Tựa nội suy bằng các hàm spline bậc 2 45

Mở đầu

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong thực tế, vấn đề tìm giá trị của hàm số, tính tích phân xác định

có ý nghĩa quan trọng, nên có nhiều phương pháp khác nhau để giải cácbài toán trên

Việc giải tìm nghiệm đúng của các bài toán này nhiều trường hợp khônggiải được hoặc nghiệm đúng không có ý nghĩa thiết thực, bởi vậy người ta

sử dụng nhiều phương pháp gần đúng khác nhau để giải quyết các vấn đềtrên

Hàm spline là các đa thức trên từng đoạn có nhiều ưu điểm trong tínhtoán do vậy được ứng dụng trong tính toán gần đúng Trong phương phápnội suy, các điểm nút là các mốc nội suy được cố định Người ta có thể

sử dụng các điểm nút nội suy linh hoạt, đó là phương pháp tựa nội suy.Khi áp dụng hàm spline và phương pháp tựa nội suy để xấp xỉ hàm số,người ta chia khoảng xác định của hàm số thành nhiều đoạn, trên mỗiđoạn ta xấp xỉ bằng một hàm spline, qua đó sẽ xấp xỉ được hàm số đãcho Phương pháp này có nhiều ưu điểm do đó, tôi đã chọn đề tài : “Cácphương pháp tựa nội suy spline và ứng dụng”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu khái niệm và các tính chất của hàm spline, B-spline

Khái niệm phương pháp tựa nội suy spline và một số ứng dụng củaphương pháp tựa nội suy bằng hàm spline, B-spline

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp tựa nội suy bằng hàm spline.Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp tựa nội suy spline, xấp xỉ hàm số,

lập trình Maple để giải các bài toán đặt ra.

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Sử dụng phương pháp nội suy và phương pháp hàm spline trong quátrình thực hiện luận văn

5 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

Áp dụng phương pháp tựa nội suy vào xấp xỉ một lớp hàm số có ứngdụng trong thực tế Làm rõ một số tính chất của hàm spline và phươngpháp tựa nội suy

6 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị, chương này trình bày khái niệm và kiếnthức để sử dụng cho các chương sau

Chương 2 Phương pháp tựa nội suy, trong chương này trình bày kháiniệm và các tính chất của hàm spline, B-spline, phương pháp tựa nội suy

và các tính chất

Chương 3 Ứng dụng, trình bày ứng dụng phương pháp tựa nội suy đểxấp xỉ các lớp hàm cho trước

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian vectơ

Định nghĩa 1.1.1 Một tập X được gọi là một không gian vectơ, nếu:

• Ứng với mỗi phần tử x, y của X ta có, theo quy tắc nào đó, một phần

tử của X, gọi là tổng của x với y, và được kí hiệu x + y; ứng với mỗiphần tử x của X và mỗi số thực α ta có, theo một quy tắc nào đó,một phần tử của X gọi là tích của x với α và được kí hiệu αx

• Các quy tắc nói trên thỏa mãn 8 tiên đề sau:

1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ X

2 (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ X

3 Tồn tại duy nhất phần tử 0 sao cho x + 0 = x với mọi x ∈ X ( phần

tử này gọi là phần tử không)

4 Ứng với mỗi phần tử x ∈ X, tồn tại duy nhất phần tử −x ∈ X saocho x + (−x) = 0 (phần tử −x gọi là phần tử đối của x)

5 1.x = x, ∀x ∈ X

6 α(βx) = (αβ)x, ∀x ∈ X, ∀α, β ∈R

7 (α + β)x = αx + βx, ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ R.

8 α(x + y) = αx + αy, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈R.

Trên đây là định nghĩa không gian vectơ thực Nếu trong định nghĩa ấy

ta thay các số thực bằng số phức thì ta có không gian vectơ phức Người

ta còn gọi không gian vectơ là không gian tuyến tính

Các phần tử của một không gian vectơ thường gọi là vectơ

Xét không gian tuyến tính thực

C[a,b] = {x = x(t) : x(t)là hàm số liên tục trên [a, b]},

với mỗi số thựcα vàf (t), g(t) ∈ C[a, b], phép cộng và nhân vô hướng đượcđịnh nghĩa:

(f + g)(t) = f (t) + g(t), a ≤ t ≤ b

(αf )(t) = αf (t)

là không gian vectơ

Định nghĩa 1.1.2 Các vectơ x1, x2, , xk ∈ X gọi là độc lập tuyến tínhnếu bất cứ tổ hợp tuyến tính nào của các vectơ ấy mà đã bằng không thì mọi

hệ số bằng không, nghĩa là: α1x1+ α2x2+ + αkxk = 0 nhất thiết kéo theo

α1 = α2 = = αk = 0 Các vectơ x1, x2, , xk gọi là phụ thuộc tuyến tínhnếu chúng không độc lập tuyến tính Nghĩa là tồn tại những sốα1, α2, , αk

trong đó có ít nhất một số khác 0 sao cho α1x1 + α2x2 + + αkxk = 0

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường

K, (K = R hoặc K =C).

Một hệ vectơ trong X gọi là một hệ sinh của X nếu mọi vectơ của X

đều biểu thị tuyến tính theo hệ đó

không gian tuyến tính hữu hạn sinh

Một hệ vectơ trong X gọi là một cơ sở của X nếu mọi vectơ của X đềubiểu thị tuyến tính duy nhất theo hệ đó

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử X là không gian tuyến tính hữu hạn sinh Khi

đó X có cơ sở hữu hạn và số phần tử của các cơ sở trong X đều như nhau

Số đó được gọi là số chiều của không gian tuyến tính X

Nếu X là một K - không gian tuyến tính có số chiều là n, ta viết

dimX = n hoặc dimKX = n

Định nghĩa 1.1.5 Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R Tậpcon X1 của X được gọi là một không gian tuyến tính con của không gian

không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.1.6 Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trên R.Khi đó ánh xạ T : X → Y được gọi là tuyến tính nếu:

3 d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.

Khi đó, tập hợp X cùng với d là một không gian metric và ánh xạ d đượcgọi là hàm khoảng cách

Ví dụ 1.3

Xét X = Q là tập hợp số hữu tỉ với khoảng cách d(x, y) = |x − y|, khi

đó Q là không gian metric

Ví dụ 1.4

Xét X = C [0, 1] gồm các hàm liên tục trên [0, 1] với khoảng cách

d(x, y) = max

06t61|x(t) − y(t)|, khi đó, X là không gian metric

x∗ ∈ X Khi đó x∗ được gọi là giới hạn của dãy {xn}n∈N nếu

Cauchy đều có một điểm giới hạn a ∈ X được gọi là không gian metric đủ.Định nghĩa 1.2.5 Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý Ánh xạ

T : X → Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một số α với 06 α < 1

sao cho với mọi x, x, ∈ X ta đều có

d(T x, T x,) 6 αd(x, x,)

Định lý 1.1 (Nguyên lí ánh xạ co) Giả sử X là không gian metric đủ

và ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện

d(T x, T x,) 6 αd(x, x,)

với hằng số α < 1 và ∀x, y ∈ X Khi đó tồn tại duy nhất phần tử x∗ ∈ X

sao cho x∗ = T x∗, hơn nữa với x0 ∈ X thì dãy {xn}n∈N xác định bởi

xk+1 = T xk, ∀k ∈ N, là hội tụ đến x∗, đồng thời ta có ước lượng:

d (xn, x∗) 6 1−ααn d (x1, x0)

1.3 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R Ánh xạ

k.k : X → R xác định trên X, lấy giá trị trên tập số thực:kxk ∈ R, ∀x ∈ X

thỏa mãn các điều kiện:

αkxk1 ≤ kxk2 ≤ βkxk1, ∀x ∈ X

Định nghĩa 1.3.4 Cho không gian định chuẩn X và dãy điểm (xn) ⊂ X

Ta gọi chuỗi là biểu thức có dạng:

x1 + x2 + + xn+

Chuỗi này gọi là hội tụ nếu các tổng bộ phận sn = x1 + x2 + + xn

của nó lập thành một dãy hội tụ

metric đầy đủ (với khoảng cách d(x, y) = kx − yk) Khi đó X được gọi làmột không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.Định nghĩa 1.3.6 Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn

và T : X → Y là một toán tử tuyến tính Nếu tồn tại giá trị hữu hạn:

kT k = sup

x∈X

kT xk kxk < +∞

Thì toán tử X được gọi là bị chặn (hay giới nội) và số kT k gọi là chuẩncủa toán tử T

X × X → R thỏa mãn các điều kiện:

Định nghĩa 1.3.9 Ta gọi một không gian tuyến tính H 6= ∅ trên trường

K là không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện:

1 H là không gian tích vô hướng

2 H là không gian Banach với chuẩn kxk = p(x, x), x ∈ H

Ta gọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H làkhông gian Hilbert con của không gian H

1.4 Số gần đúng và sai số

Định nghĩa 1.4.1 Ta nói rằng a là số gần đúng của số a∗ nếu a khôngsai khác a∗ nhiều

Định nghĩa 1.4.2 Đại lượng ∆ = a − a∗ là sai số thực sự của a

Nếu ∆ > 0 thì a là giá trị gần đúng thiếu, ∆ < 0 thì a là giá trị gầnđúng thừa của a∗

Số a∗ nói chung không biết nên cũng không biết ∆ Tuy nhiên, tồn tại

∆a > 0 thỏa mãn điều kiện |a∗ − a| 6 ∆a

Định nghĩa 1.4.3 Số ∆a thỏa mãn điều kiện |a∗ − a| 6 ∆a được gọi làsai số tuyệt đối của a, còn δa = ∆a

|a| là sai số tương đối của a.Sai số tính toán: Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức:

với f0xi là đạo hàm theo xi tính tại điểm trung gian

Vì f là khả vi liên tục, ∆xi quá bé nên: ∆y =

∂

∂xi ln f

∆xi

1.5 Phương pháp nội suy

Trong thực tế tính toán, ta thường phải tính giá trị của hàm y = f (x)

với xbất kì trong đoạn [a, b], trong khi chỉ biết các giá trị yi = f (xi) , xi ∈[a, b] , i = 0, 1, , n Ở một số trường hợp khác biểu thức giải tích của

f (x) đã biết, nhưng quá phức tạp Với những trường hợp như vậy, người

P (xi) = f (xi) , và xi 6= xj, ∀i 6= j, xi ∈ [a, b], ∀i = 0, 1, , n

Ngoài ra, tại x ∈ [a, b] , x 6= xi thì P (x) xấp xỉ y = f (x) theo một độchính xác nào đó Hàm số như vậy gọi là hàm nội suy của f (x), còn các

xi, i = 0, 1, , n gọi là các mốc nội suy Bài toán xây dựng hàm số P (x)

như vậy gọi là bài toán nội suy Trong quá trình xây dựng hàm P (x), taxây dựng P (x) có đặc tính tương tự với hàm số y = f (x) chẳng hạn, nếu

f (x) tuần hoàn với chu kì T thì P (x) cũng tuần hoàn với chu kì T

Dùng hàm nội suy P (x) có thể dễ dàng tính được các giá trị f (x) tại

x bất kì thuộc [a, b] tương đối chính xác Từ đó có thể tính gần đúng đạohàm, hoặc tích phân của f (x) trên đoạn [a, b] vì các đa thức đại số là đơngiản nên trước tiên ta nghĩ đến việc xây dựng P (x) ở dạng đa thức đại số

1.5.1 Đa thức nội suy Lagrange

Bài toán: Cho xi ∈ [a, b] , i = 0, 1, , n, xi 6= xj, ∀i 6= j và yi =

f (xi) , i = 0, 1, , n Hãy xây dựng đa thức nội suy Ln(x) thỏa mãn

n+1 (x j )

Giả sử còn có đa thức eLn(x) thỏa mãn các điều kiện trên khi đó gọi

ϕ (x) = hLn(x) −Len(x)i thì deg ϕ (x) 6 n và nhận ít nhất là (n + 1)

nghiệm x0, x1, , xn, do đó ϕ (x) ≡ 0, do vậy eLn(x) ≡ Ln(x)

Vậy tồn tại duy nhất một đa thức thỏa mãn các điều kiện kể trên.

Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều

Giả sử xi+1− xi = h, ∀i = 0, 1, , (n − 1), x0 = a, xn = b Khi đó dùngphép đổi biến x = x0+ th, xj = x0+ jh với j = 0, 1, , n − 1 và thay vàobiểu thức của Φj(x) ta được

Φj(x) = t(t−1) (t−n)(t−j) (−1)

n−j

j!(n−j)!.Khi đó ta thu được:

(t−j)yj

1.5.2 Đa thức nội suy Hermitte

Bài toán: Hãy tìm đa thức nội suy H2n+1(x) thỏa mãn các điều kiện

1 deg H2n+1(x) 6 2n + 1

2 H2n+1(xi) = f (xi) , ∀i = 0, 1, , n

3 H2n+10 (xi) = f0(xi) , ∀i = 0, 1, , n

Trong đó xi ∈ [a, b] , xi 6= xj, ∀i 6= j, và f0(xi), H2n+10 (xi) tương ứng

là đạo hàm của hàm số f (x) và H2n+1(x) tại xi Đa thức:

(x−x i )ω 0

n+1 (x i )

o

là đa thức nội suy Hermitte

Đa thức nội suy Hermitte có đặc điểm riêng khác với đa thức nội suyLagrange là ngoài các yêu cầu về sự trùng nhau giữa đa thức nội suy vàhàm số đã cho tại các mốc nội suy thì còn có yêu cầu về sự trùng nhaucủa các giá trị đạo hàm của chúng

1.5.3 Spline đa thức

Người ta có nhiều cách dựng các hàm spline, sau đây là cách một xâydựng hàm spline

Bài toán: Xét phân hoạcha = x0 < x1 < < xn−1 < xn = b Một spline

đa thức bậc 3 trên đoạn [a, b] với phân hoạch đã cho là hàm số y = S(x)

thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

S (xi) = yi, S0(xi) = yi0, ∀i = 0, 1, , n

Để giải quyết bài toán này, ta kí hiệuhi = (xi+1 − xi) , i = 0, 1, , (n − 1)

và mi = S00(xi) , i = 0, 1, , n Vì S00(x) là đa thức bậc 6 1 trên ∆i nên

có thể viết

S00(x)|∆

i = αi(xi+1 − x) + β (x − xi).Thay x = xi thì có mi = αihi, do vậy αi = mi

h i.Thay x = xi+1 thì có mi+1 = βihi nên βi = mi+1

h i Vậy S (x)|∆

i có thểviết dưới dạng:

S (x)|∆

i = mi

6h i(xi+1 − xi)3 + mi+1

6h i (x − xi)3 + ξ (xi+1 − x) + η (x − xi).Tương tự như trên, thay x = xi và x = xi=1 ta thu được:

Thay trở lại biểu thức S (x)|∆

Chú ý đến điều kiện S (x) ∈ C2[a, b], nên tại các xi(i = 1, 2, , n − 1)

trình với n + 1 ẩn là mi dưới đây:

Hệ phương trình này gồm (n + 1) phương trình, (n + 1) ẩn, đồng thời

ma trận hệ số có dạng đường chéo trội, nên hệ phương trình này có nghiệmduy nhất m = (m0, m1, , mn) Thay thế các mi vừa tìm được vào S(x)

thì ta có đa thức spline S(x) thỏa mãn điều kiện bài toán đặt ra

Chương 2

Phương pháp tựa nội suy

2.1 Không gian các hàm spline và B-spline

Định nghĩa 2.1.1 Cho đoạn thẳng [a, b], giả sử chia đoạn thẳng [a, b]

thành n − 1 đoạn bởi các điểm chia a = t1 6 t2 6 6 tn = b Kí hiệucác điểm chia đó là t = (tj)nj=1, tilà các điểm nút Giả sử trên mỗi đoạn

[tj, tj+1], j = 1, 2, , n − 1 ta có một hàm đa thức, các hàm đa thức liêntục tại các điểm nút Khi đó ta có đường cong đa thức từng đoạn gọi làđường cong spline

Định nghĩa 2.1.2 Chodlà một số nguyên không âm và chot = (tj)n+d+1j=1 ,các điểm nút là dãy số thực không giảm B-spline thứ j bậc d với điểm nút

t được định nghĩa bởi

thì ta nói tj là nút bội m Dãy t = (tj)n+d+1j=1 gọi là các điểm nút của n

đường spline

(tj+2− tj)(tj+2 − tj+1) +

(tj+3 − x)(x − tj+1)(tj+3− tj+1)(tj+2 − tj+1))Bj+1,0(x).

Định nghĩa 2.1.3 (Hàm Spline) Cho t = (tj)n+d+1j=1 là dãy số thực khônggiảm, là các điểm nút của n đường B-spline Đặt

(cj)nj=1 được gọi là hệ số B-spline của f

Định nghĩa 2.1.4 (Đường cong Spline) Cho t = (tj)n+d+1j=1 là dãy số thựckhông âm, và cho q > 2 là số nguyên Không gian của mọi đường congspline bậc d trong Rq với điểm nút t được định nghĩa bởi

Định nghĩa 2.1.5 Cho t = (tj)n+d+1j=1 là một điểm nút của spline bậc d,

Định nghĩa 2.1.6 Cho t = (tj)n+d+1j=1 là một điểm nút của B-spline bậc

d và cho µ là một số nguyên với tµ < tµ+1 và d + 1 6 µ 6 n Với mỗi sốnguyên dương k với k 6 d định nghĩa ma trận Rkµ(x) = Rk(x) bởi

Trong đó, x thuộc khoảng [tµ, tµ+1), d + 1 B-spline {Bj,d}µj=µ−d bậc d

là khác không trên khoảng đó, có thể được viết

cjBj,d là một spline trongSd,t, vàx bị thu hẹp trong khoảng

[tµ, tµ+1), thì f (x) được cho bởi

f (x) = R1(x) R2(x) Rd(x) cd

Ở đó vectơ cd được cho bởi cd = (cµ−d, cµ−d+1, , cµ)T Ma trận Rk

được gọi là ma trận B-spline

2.2 Tính chất của spline và B-spline

2.2.1 Sự độc lập tuyến tính và đa thức đại diện

Định nghĩa 2.2.1 Đặt ρj,0(y) = 1, d > 1 thì ta gọi những đa thức biến

y được cho bởi:

ρj,d(y) = (y − tj+1)(y − tj+2) (y − tj+d)

được gọi là đa thức đối ngẫu của B-spline Bj,d.

Trên đoạn [tµ, tµ+1) chúng ta có d + 1 B-spline khác 0:

Bd = (Bµ−d,d, , Bµ,d)T,

ta lập các đa thức đối ngẫu dạng vectơ

ρd(y) = (ρµ−d,d(y), , ρµ,d(y))T

Bổ đề 2.1 Cho µ là một số nguyên, tµ < tµ+1 và cho ρd(y) là đa thứcđối ngẫu xác định bởi

ρd(y) = (ρµ−d,d(y), , ρµ,d(y))T, (2.1)

với d > 1 ta có

Rd(x)ρd(y) = (y − x)ρd−1(y) (2.2)với mọi x, y ∈ R.

Thay vào vế trái của (2.3) ta thu được vế phải

Hệ quả 2.1 Cho µ là một số nguyên, tµ < tµ+1 và cho ρd(y) là đa thứcđối ngẫu xác định bởi (2.1) Ta có:

R1(x1)R2(x2) Rd(xd)ρd(y) = (y − x1)(y − x2) (y − xd)

với mọi số thực x1, x2, , xd và y

Định lý 2.1 Với d > 2 và ∀x, y ∈ R, các ma trận Rd−1 và Rd thỏa mãn:

Rd−1(z)Rd(x) = Rd−1(x)Rd(z).Chứng minh Áp dụng (2.2) 2 lần ta được

Rd−1(x)Rd(z)ρd(y) = (y − x)(y − z)ρd−2(y)

và do tính đối xứng ta cũng có:

Rd−1(z)Rd(x)ρd(y) = (y − x)(y − z)ρd−2(y)

Trừ vế với vế ta có Bρd(y) = 0, với mọi y

Ma trận B cấp (d − 1) × (d + 1) xác định bởi:

B = Rd−1(x)Rd(z) − Rd−1(z)Rd(x)

Để hoàn thành chứng minh, ta phải chỉ ra B = 0 Cho a là một vectơtrong Rd−1 ta có aTBρd(y) = 0 với mọi y Do d + 1 đa thức trong ρd làđộc lập tuyến tính, tức là aTB = 0, vì a là tùy ý, vậy ánh xạ B gồm tất

đúng với mọi số thực y và mọi số thực x trong khoảng [td+1, tn+1]

Số mũ của định lý 2.2 thuộc hệ số ρd phụ thuộc vào y, sử dụng kết quảnày, chúng ta có thể chỉ ra rõ ràng lũy thừa 1, x, , xd có thể được viếttrong dạng của B-spline

Hệ quả 2.2 Cho x bất kỳ nằm trong khoảng [td+1, tn+1], cơ sở lũy thừa{ xi} di=0 có thể được thể hiện trong dạng của B-spline qua hệ thức:

trong đó j1, j2, , jr là các số hạng của d

r

!với j + 1 6 j1 < < jr 6

Biện luận như trên ta được

Chứng minh Vì các hàm số 1, x, , xd là cơ sở của các đa thức bậc d, mỗihàm này có thể biểu diễn qua B-spline nên mỗi đa thức bậc d có thể biểudiễn qua B-spline Trên khoảng [tµ, tµ+1), B-spline khác 0 là {Bj,d}µj=µ−d

Do đó B-spline là một cơ sở cho đa thức bậc d trên [tµ, tµ+1) và đặc biệt,chúng là độc lập tuyến tính trên khoảng này Tính đối xứng của x và

Một điểm nút (d + 1) - mở rộng với t1 = td+1 và tn+1 = tn+d+1 được gọi

là điểm nút vectơ (d + 1)- chính quy

Định lý 2.3 Giả sử t là điểm nút (d + 1) - mở rộng, thì B-spline bất kìtrong Sd,t là độc lập tuyến tính trên khoảng [td+1, tn+1)

Chứng minh Chúng ta chứng minh trong trường hợp (d + 1) - chính quy.Giả sử các spline f =

n

P

j=1

cjBj,d là khác 0 trên [td+1, tn+1) Chúng ta phảichứng minh cj = 0 với j = 1, , n Cho j là một số tùy ý trong khoảng

[1, n], vì số điểm nút không xuất hiện nhiều hơn d + 1 lần, nên tồn tạikhoảng khác rỗng [tµ, tµ+1) chứa trong [tj, tj+d+1] là giá của Bj,d Nhưngtất cả các B-spline khác0trên [tµ, tµ+1)là độc lập tuyến tính nên f (x) = 0

trên khoảng này Nghĩa là ck = 0 với k = µ − d, , µ Vì Bj,d là một trong

... thức nội suy Hermitte có đặc điểm riêng khác với đa thức nội suyLagrange yêu cầu trùng đa thức nội suy vàhàm số cho mốc nội suy cịn có u cầu trùng nhaucủa giá trị đạo hàm chúng

1.5.3 Spline. .. (x) theo độchính xác Hàm số gọi hàm nội suy f (x), các< /p>

xi, i = 0, 1, , n gọi mốc nội suy Bài toán xây dựng hàm số P (x)

như gọi tốn nội suy Trong q trình xây dựng hàm P (x),... class="page_container" data-page="19">

Chương 2

Phương pháp tựa nội suy< /h2>

2.1 Không gian hàm spline B -spline< /h3>

Định nghĩa 2.1.1 Cho đoạn thẳng [a, b], giả