Chuyên đề giao tuyến giao điểm thiết diện

Biên soạn. Thạc sĩ Nguyễn Chí Phương http://nguyenchiphuong.wordpress.com Chuyên đề: Hình học không gian ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Giao điểm đường thẳng mặt phẳng Muốn tìm giao điểm đường thẳng ∆ mặt phẳng (𝛼) ta tìm điểm chung thuộc ∆ (𝛼) Trong toán phổ thông mức độ trung bình cần vẽ hình nhìn thấy điểm chung. Ví dụ tìm giao điểm đường thẳng SA mặt phẳng (ABC). Rõ ràng thấy A điểm chung. Vậy trường hợp nhìn thấy trực tiếp làm nào. Hãy thông qua phương pháp sau: Muốn tìm giao điểm đường thẳng ∆ mặt phẳng (𝛼) ta tìm mặt phẳng (𝛼) đường thẳng ∆′ đồng phẳng không song song với ∆. Khi giao điểm ∆ ∆′ giao điểm cần tìm. Cái khó toán việc tìm đường thẳng ∆′ thích hợp (có thể có sẵn hình phải kẻ thêm). Lưu ý nên dự đoán trước ∆ ∆′ thuộc mặt phẳng toán dễ dàng giải hơn. Một số lưu ý cách mở rộng mặt phẳng Trong hai trường hợp ta thấy mặt phẳng (ABC) mở rộng thành mặt phẳng (ABD) hay (ABCD). Việc mở rộng mặt phẳng cho phép ta lựa chọn nhiều đường thẳng thuộc mặt phẳng (ABC) hơn. Sau số tập thực hành giúp bạn làm quen với việc chọn đường thẳng ∆′ thích hợp mặt phẳng (𝛼) thỏa Δ Δ′ đồng phẳng không song song. Bài tập chủ yếu sử dụng phương pháp mở rộng mặt phẳng toán có mức độ trở lên. Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Trên AC AD lấy điểm M,N cho MN không song song với CD. Gọi O điểm bên ∆BCD. Tìm giao điểm P BC BD với mặt phẳng (OMN). Gợi ý: Sử dụng phương pháp mở rộng mặt phẳng (OMN) cách kéo dài MN cắt CD I. Rõ ràng (OMN) lấy OI đồng phẳng không song song với BC. Biên soạn. Thạc sĩ Nguyễn Chí Phương http://nguyenchiphuong.wordpress.com Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, M điểm cạnh SC. a. Tìm giao điểm P AM (SBD). b. Gọi N điểm cạnh BC. Tìm giao điểm Q SD (AMN). Gợi ý: a. Kẻ AC cắt BD O (SBD) lấy SO đồng phẳng không song song với AM; b. Dựa vào câu a ta dễ dàng tìm đường thẳng thuộc (AMN) mà đồng phẳng với SD. Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N trung điểm AC BC. K điểm cạnh BD, K không trùng với trung điểm BD. Tìm giao điểm CD AD với mặt phẳng (MNK). Gợi ý: Trong (MNK) lấy NK đồng phẳng không song song với CD. Từ lấy đường thẳng (MNK) đồng phẳng không song song với AD. Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Trên AC, AD lấy điểm M,N. Gọi O điểm bên ∆BCD. a. Tìm giao điểm I MN (ABO). b. Tìm giao điểm J AO (BMN). Gợi ý: (Vẽ giống hình 1) a. Sử dụng phương pháp mở rộng mặt phẳng (ABO) cách kéo dài BO cắt CD E. Ta tìm đường thẳng AE (ABO) mà đồng phẳng không song song với MN. I giao AE MN. b. Rõ ràng (BMN) lấy BI đồng phẳng không song song với AO. J giao BI AO. Bài 5. Cho hình chóp SABCD, có đáy hình thang, cạnh đáy lớn AB. Gọi I, J, K ba điểm SA, AB, BC. a. Tìm giao điểm IK với (SBD). b. Tìm giao điểm SD, SC với (IJK). 2. Giao tuyến hai mặt phẳng Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng (𝛼) (𝛽) ta tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng. Khi giao tuyến đường thẳng qua hai điểm chung đó. Tương tự trọng tới toán mà nhìn thấy trực tiếp điểm chung. Hãy thông qua phương pháp sau: Muốn tìm điểm chung hai mặt phẳng (𝛼) (𝛽) ta tìm (𝛼) đường thẳng ∆𝛼 (𝛽) đường thẳng ∆𝛽 cho ∆𝛼 ∆𝛽 đồng phẳng không song song. Khi giao điểm ∆𝛼 ∆𝛽 điểm chung cần tìm Biên soạn. Thạc sĩ Nguyễn Chí Phương http://nguyenchiphuong.wordpress.com Trường hợp đặc biệt: Giả sử (𝛼) (𝛽) có điểm chung S tìm ∆𝛼 // ∆𝛽 từ S kẻ tia Sx song song với ∆𝛼 (hoặc ∆𝛽 ) Sx giao tuyến (𝛼) (𝛽) Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD. AB cắt CD E, AC cắt BD F. a. Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng (SAB) (SCD), (SAC) (SBD). b. Tìm giao tuyến (SEF) với mặt phẳng (SAD), (SBD). Gợi ý: a. Trong (SAB) lấy AB, (SCD) lấy CD, rõ ràng AB,CD đồng phẳng cắt E (theo ra) nên E điểm chung; b. Trong (SEF) lấy EF, (SAD) lấy AD, rõ ràng EF, AD đồng phẳng không song song. Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O. Gọi M,N,P trung điểm BC, CD, SO. Tìm giao tuyến mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) (SCD). Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình thang, cạnh đáy lớn AB. Gọi I,J,K trung điểm SA,AB,BC. Tìm giao tuyến (IJK) với mặt phẳng (SBD), (SCD). Gợi ý: Trong (IJK) lấy JK, (SBD) lấy BD, rõ ràng JK BD đồng phẳng. Gọi JK cắt BD M M điểm chung thứ nhất. Lưu ý IJ//SB nên kẻ tia Mx// IJ (hoặc SB) tia Mx giao tuyến (IJK) (SBD). 3. Thiết diện hình chóp với mặt phẳng Muốn xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (𝛼) ta làm sau:    Từ điểm chung có sẵn xác định giao tuyến (𝛼) với mặt hình chóp (có thể mặt phẳng trung gian). Cho giao tuyến cắt các cạnh mặt hình chóp, ta có điểm chung (𝛼) với mặt phẳng khác. Từ xác định giao tuyến với mặt này. Tiếp tục giao tuyến khép kín ta thiết diện cần tìm. Biên soạn. Thạc sĩ Nguyễn Chí Phương http://nguyenchiphuong.wordpress.com Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành tâm O. Gọi M,N,I điểm AD,CD,SO. Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNI). Gợi ý: Mở rộng mặt phẳng (MNI) thành (MNK) K giao MI BD. Kéo dài KN cắt AB E ta mở rộng (MNK) thành (MNE). Kéo dài NI cắt SE F ta mở rộng (MNE) thành (MNEF). Đây thiết diện cần tìm. Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình bình hành. Gọi I,J trọng tâm ∆SAB ∆SAD. M trung điểm CD. Xác định thiết diện hình chóp với mặt phằng (IJM). Gợi ý: Kẻ SI cắt AB E, SJ cắt AD F. Rõ ràng IJ//EF. Từ M kẻ MN//EF ta mở rộng (MIJ) thành (MNIJ). Ta tìm giao điểm SA (MNIJ). Gọi O giao EF AC, T giao SO IJ; R giao MN AC. Rõ ràng (MNIJ) lấy RT đồng phẳng với SA. Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD. Trong ∆SBC lấy điểm M. Trong ∆SCD lấy điểm N. a. Tìm giao điểm P MN mặt phẳng (SAC) b. Tìm giao điểm Q SC với (AMN) c. Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (AMN). Gợi ý: a. Gọi E giao SM BC; F giao SN CD; O giao EF AC. Rõ ràng mặt phẳng (SAC) lấy SO đồng phẳng với MN. Kéo dài SO cắt MN P ta có P giao điểm MN (SAC). Tương tự câu lại. Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình bình hành. Gọi M trung điểm SB, G trọng tâm ∆SAD. a. Tìm giao điểm I GM (ABCD). Chứng minh (CGM) chứa CD. b. Chứng minh (CGM) qua trung điểm SA. Tìm thiết diện hình chóp với (CGM). c. Tìm thiết diện hình chóp với (AGM). Biên soạn. Thạc sĩ Nguyễn Chí Phương http://nguyenchiphuong.wordpress.com Gợi ý: a. Trong (ABCD) lấy BD, rõ ràng BN GM đồng phẳng. Để chứng minh (CGM) chứa CD ta cần lưu ý mở rộng (CGM) thành (CIM). Như cần chứng minh CI trùng CD xong. Thật ta dễ thấy G trọng tâm ∆SBI suy SN đường trung tuyến ∆SBI hay N trung điểm IB. Do ta dễ dàng chứng minh góc IDN Hình góc BAN. Mà hai góc vị trí so le nên suy DI//AB. Mà DC//AB điều chứng tỏ DI trùng CD hay CI trùng CD. b. Ta tìm giao điểm SA (CGM). Nên mở rộng (CGM) thành (CDGM). Tiếp tục sử dụng tính chất song song để mở rộng mặt phẳng (CDGM) bẳng cách từ M kẻ tia Mx//CD rõ ràng Mx thuộc (CDGM) đồngh phẳng với SA. c. Mở rộng mặt phẳng (AGM) thành (APM), lưu ý P trung điểm SD. Ta tìm giao điểm SC (APM). Gọi O giao AC BN, Q giao SO PM. Như (APM) lấy AQ rõ ràng AQ SC đồng phẳng. Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD, M, N điểm cạnh BC SD. a. Tìm giao điểm I BN (SAC), giao điểm J MN (SAC). b. DM cắt AC K. Chứng minh S,K,J thẳng hàng. c. Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với (BCN). Gợi ý: xem hình b. Để ý SK giao (SAC) (SMD) nên ta cần chứng minh J thuộc (SAC) (SMD) xong. Rõ ràng Hình J thuộc (SAC) J thuộc AI. J thuộc (SMD) J thuộc MN. c. Ta tìm giao điểm SA (BCN). Rõ ràng (BCN) lấy CI đồng phẳng không song song với SA. . Gọi I, J, K là ba điểm lần lượt trên SA, AB, BC. a. Tìm giao điểm của IK với (SBD). b. Tìm giao điểm của SD, SC với (IJK). 2. Giao tuyến của hai mặt phẳng Muốn tìm giao tuyến của hai mặt. chóp S.ABCD. Trong SBC lấy điểm M. Trong SCD lấy một điểm N. a. Tìm giao điểm P của MN và mặt phẳng (SAC) b. Tìm giao điểm Q của SC với (AMN) c. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng. Chuyên đề: Hình học không gian ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng  và mặt phẳng  ta tìm một điểm