Tạp chí nhóm toán học

01 MỤC LỤC • Đề kỳ • Bài viết chuyên đề luyện thi Nguyễn Thành Hiển-"Hệ trục tọa độ chứng minh yếu tố hình phẳng." Nguyễn Văn Phú - THPT Mỹ Đức A, Hà Nội-"Một vài mẹo nhỏ phương pháp liên hợp giải hệ phương trình." Cơng Dân Lương Thiện-"Sáng tạo từ bất đẳng thức bản." Nguyễn Thành Hiển-"Phương trình - Bất phương trình đề thi thử 2015 (Phần 1)." Ẩn Danh-"Dự đốn tính chất hình học tốn Oxy." Ẩn Danh-"Hệ phương trình giải phương pháp đánh giá." Ngơ Đình Tuấn-"Thứ tự biến để giải tốn cực trị." • Diễn đàn dạy học tốn Trần Minh Quang-"Tính đơn điệu hàm số số sai lầm giải toán." Đỗ Viết Lân-"Phép Ravi bất đẳng thức Padoa." Nguyễn Minh Tuấn-"Sử dụng công thức lượng giác để xây dựng sột phương trình lượng giác dạng tích." Trương Cơng Việt-"Ứng dụng tính đơn điệu hàm số giải phương trình." Nguyễn Thành Hiển-"Ứng dụng dãy tỷ số sáng tạo giải hệ phương trình (Phần 1)." • Hướng đến kỳ thi THPT 2015-2016 – Đề số • Đấu Trường Ngơ Minh Ngọc Bảo-Bài thách đấu số Trần Hưng-Bài thách đấu số Trần Quốc Việt-Bài thách đấu số NHĨM TỐN | Số 01(8-2015) 02 ĐỀ RA KỲ NÀY Câu : Giải phương trình √ √ x2 − 3x + 12 + 3x = √ x2 − 3x + + (Ngô Minh Ngọc Bảo - K41-ĐHSP TPHCM) Câu : Giải bất phương trình 3x2 + √ 2x2 − 3x + −3 x 7x2 − (Nguyễn Thế Duy) Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vng A có đường cao AH, phân giác góc BAH cắt BH điểm D (1; 1) Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết phương trình đường thẳng qua C trung điểm AD (d) : x − 2y + = (Nguyễn Minh Tiến) Câu : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A có phương trình đường trịn ngoại tiếp (C) : (x − 1)2 + (y − 1)2 = 50 Một đường tròn (C1 ) tiếp xúc với (C) tiếp xúc với √ AB, AC √ P, Q Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết trung điểm P Q I(2 − 4; − 4) điểm A có hồnh độ dương (Ngơ Đình Tuấn - Đại học An ninh Nhân dân) Câu : Cho a, b, c a + b + c = Chứng minh a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) √ 2abc (Nguyễn Trung Tín) Câu : Cho a, b, c số thực dương a, b ∈ [1; +∞) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + b + c + c2 −√ (ln a + ln b + 2)2 − a2 b2 − a2 + b2 + c4 − + − 2c (Nguyễn Minh Thành) Lưu ý : • Bài giải gõ Word Tex, trình bày rõ ràng gửi vào địa : nhomtoan@yahoo.com, inbox trực tiếp : https://www.facebook.com/HIEN.0905112810 • Cơ cấu giải thưởng công bố trao thưởng định kỳ số lần, số điểm tính số bạn hoàn thành, giải trọn vẹn tính điểm • Lời giải đăng số kèm với danh sách bạn làm tốt NHĨM TỐN | Số 01(8-2015) 03 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VÀ CHỨNG MINH CÁC YẾU TỐ HÌNH PHẲNG NGUYỄN THÀNH HIỂN A Kiến thức M trung điểm AB suy : xM = yA + yB xA + xB ; yM = 2 Cho điểm E thuộc đoạn thẳng AB thỏa : BE = k.AE, k > 0., đó, với M tùy ý −→ − −→ − − → k.M A + 1.M B − ME = 1+k Cho điểm M (x0 ; y0 ) đường thẳng d : ax + by + c = 0, a2 + b2 = Hình chiếu vng góc H kẻ từ M xuống d có tọa độ   x = b(bx0 − ay0 ) − ac  a2 + b (∗) a(ay0 − bx0 ) − bc   y= a2 + b B Các ví dụ Ví dụ : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A, D trung điểm BC, E hình vng góc D AC Biết F (4; −12) trung điểm DE, đường thẳng BE có phương trình 2x − 5y − 48 = A thuộc d : x − y + 12 = Tìm tọa độ A Hướng dẫn : • Chọn hệ trục Dxy với : D(0; 0); C(c; 0); B(−c; 0); A(0; a) • Từ (*) suy E a2 c c2 a ; a2 + c2 a + c2 • F trung điểm DE nên suy F a2 c c2 a ; 2(a2 + c2 ) 2(a2 + c2 ) − − − → 2a4 c2 + a2 c2 −2a4 c2 − a2 c2 → • Cuối : BE.AF = + =0 2(a2 + b2 )2 2(a2 + b2 )2 suy BE ⊥ AF • Đường thẳng AF qua F (4; −12) vng góc BE có phương trình 5x + 2y + = Suy tọa độ A(−4; 8) NHÓM TỐN | Số 01(8-2015) 04 Ví dụ :[Đề thi THPT 2015] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu vng góc A cạnh BC, D điểm đối xứng B qua H, K hình chiếu vng góc C đường thẳng AD Giả sử H(−5; −5); K(9; −3) trung điểm cạnh AC thuộc đường thăng x − y + 10 = Tìm tọa độ đỉnh A Hướng dẫn : • Chọn hệ trục Axy với : A(0; 0); C(c; 0); B(0; b) • Từ (*) suy H b2 c c2 b ; b2 + c b + c • H trung điểm BD nên suy D 2b2 c bc2 − b3 ; b2 + c b2 + c • Gọi M trung điểm AC suy M c ;0 −→ − − − → b2 c − c b4 −b2 c4 c2 b4 • Vậy: HM AD = + = 0, suy (b2 + c2 )2 (b + c2 )2 AD ⊥ HM • Gọi M (m; m+10), m ∈ R Từ M H = M K suy m = 0, suy M (0; 10) • Đường thẳng AD qua K(9; −3) vng góc với HM có phương trình x + 3y = • A giao điểm đường thẳng AD đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHKC, suy A(−15; 5) Ví dụ : Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB AD lấy E F FA EB = Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết đường thẳng BD có phương trình cho EA FD 25 x + 2y − = 0, đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF (C) : (x − 11/2)2 + (y − 5/2)2 = , K(11; −2) thuộc AD điểm A có hồnh độ nhỏ Hướng dẫn : EB FA • Đặt = = k EA FD NHĨM TỐN | Số 01(8-2015) • Chọn hệ trục Hxy với : H(0; 0); D(d; 0); A(0; a) a x y • Phương trình đường thẳng AB : − + − = Suy a d d a2 tọa độ B(− ; 0) d −→ −→ − − −→ − k.HA + HB a2 ka • Ta có HE = = − ; k+1 d(k + 1) k + −→ −→ − − −→ k HC + HA − a kd HF = = ; k+1 k+1 k+1 05 −→−→ − − • Vậy : HF HE = −a2 kd ka a + = 0, suy HF ⊥ HE d(k + 1) k + k + k + −→ − − − → b2 c4 − c2 b4 −b2 c4 c2 b4 • Vậy: HM AD = + = 0, suy AD ⊥ HM (b + c2 )2 (b + c2 )2 • Tứ giác AEHF nội tiếp nên H giao điểm (C) BD Viết phương trình đường thẳng AH qua H vng góc với BD • Tọa độ A giao điểm (C) AH • Đáp số : A(5; 4); B(10/3; 7/3); C(; ); D(10; −1) C Bài tập tương tự Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có D(8; −2) chân đường vng góc kẻ từ A Các điểm K P đối xứng với D qua cạnh AC AB Gọi E(6; 0) F (19/2; −1/2) giao điểm KP với AC AB Tìm tọa độ đỉnh A, B, C tam giác Hướng dẫn : Chứng minh E, F chân đường cao tam giác ABC Đs : A(8; 4); B(10; −2); C(5; −2) Trong oxy, cho hình vng ABCD có điểm B thuộc đường thẳng 5x + 3y − 10 = Gọi M điểm đối xứng với D qua C, H K(1; 1) hình chiếu D C lên AM Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết phương trình đường thẳng qua H tâm I hình vng d1 : 3x + y + = Hướng dẫn : Chứng minh BHI = HBK = 900 Đs : A(−2; 5/2); B(1/2; 5/2); C(1/2; 0); D(−2; 0) Trong oxy, cho hình vng ABCD có đường trịn đường kính AM cắt BC B M (5; 7), cắt đường chéo BD N (6; 2).Đỉnh C thuộc đường thẳng d : 2x − y − = Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết xC ngun xA < Hướng dẫn : Chứng minh tam giác NAM vuông cân N Đs : A(1; 1); C(7; 7) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD (AB > BC) Điểm E(−2; 3) thuộc cạnh AD thỏa DE = 2AE Trên cạnh DC lấy hai điểm F (−3; 0) K cho DF = CK (F nằm D K) Đường thẳng vng góc với EK K cắt BC M Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D hình chữ nhật, biết M thuộc đường thẳng 4x + y − 10 = 0, diện tích hình chữ nhật ABCD 30 điểm D có tung độ dương Hướng dẫn : Chứng minh EF vng góc với FM Đs : A(−1; 4); B(4; −1); C(1; −4); D(−4; 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có A(5; 5) M, N (7; 3) P thứ tự trung điểm cạnh AB, BD AC Đường thẳng vng góc với MP P cắt đường trung trực cạnh DC E(9; 5/2) Biết điểm D thuộc đường thẳng x + 2y − = 0, tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình thang ABCD Hướng dẫn : Chứng minh MN vng góc NE Đs : D(4; 1); C(14; 1); B(10; 5) NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) 06 Một vài mẹo nhỏ để xử lí phần sau liên hợp giải hệ phương trình Nguyễn Văn Phú,12A3,THPT Mỹ Đức A-Hà Nội *Nhận xét:Thơng thường,với số tốn hệ phương trình,chúng ta sử dụng phép liên hợp để tìm mối liên hệ ẩn,thông thường xuất phát từ phương trình hệ.Nhưng sau liên hợp,phần sinh chúng không dương điều kiện xác định,vì cần tìm điều kiện chặt hệ,từ dễ dàng chứng minh phần sau dương dương Phần 1: Phương pháp.:Ta tìm điều kiện chặt từ phương trình lại hệ số cách sau:  d   x  b  d 1.Đưa phương trình elip: ( x  b)2  (  y c)  d ,từ ta có:     d   y c  d  Lưu ý:ngồi d biểu thức chứa biến x,y 2,Đưa phương trình bậc hai ẩn x,y,dùng điều kiện để phương trình bậc có nghiệm ax  bx  c  0, b  4ac  3,Sử dụng bất đẳng thức: Thường Cô –si Sau đây,chúng ta vào ví dụ điển hình để minh chứng cho điều noi  x  3x  x  22  y  y  y , (1) Ví dụ 1:( (A-2012): Giải hệ phương trình sau  2   x  y  x  y  ,(2)  Chú ý: Do phương trình (2) có dạng phương trình bậc 2,ta dễ dàng nhóm phương trình elip,từ tìm điều kiện có nghiệm hệ Lời Giải:    1  x     x  1  Phương trình (2)  ( x  )2  ( y  )      2  1  y    3  y   2 2   NHĨM TỐN | Số 01(8-2015) 07 Phương trình (1)  ( x  1)  12( x  1)  ( y  1)3  12( y  1)  (x   y 1)[( x  1)2  ( x  1)( y  1)  (y 1)  12]  x  y    (x  y 2)(x  xy  y  x  y  11)    2  x  xy  y  x  y  11  0(*)    x  1 27   ,do (*) vơ nghiệm Do  :nên x  xy  y  x  y  11       11  4 2 3  y 2   x  y   x   Từ có hệ :  2 1 x  x  y  x  y     3  y 2 (TM ) 1  y 2 3 1  ), ( , )   2 2  Kết luận:Vậy hệ phương trình cho có nghiệm : (x, y)  ( ,   x2  ( y  6)2  y  13 x  27,(1)  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:   x  (2 x  3)( x  y)  xy  y, (2)  Chú ý: Phương trình (1) dạng phương trình bậc tính  khơng phương nên chuyển hướng sang phương trình (1),nhẩm thấy x=y hai vế nên dự đốn ghép liên hợp phương trình (2) có nhân tử ( x  y ) f ( x )  x, y  Lời Giải: Điều kiện:  9 x  (2 x  3)( x  y)  ,do x  y  không nghiệm hệ,nên cần xét x, y  Khi đi,phương trình (2)  x2  (2 x  3)( x  y)  y  xy  y   x  (2 x  3)( x  y)  y 2 x  (2 x  3)( x  y)  y  y ( x  y) 0 x y x  y  )0 y  ( x  y )(  11x  y    0, (*) x y x2  (2 x  3)( x  y)  y  x  (2 x  3)( x  y )  y x y  11x  y  y Từ phương trình (1):  11x  y   x2  x   (y 6)  y 31  11x  y   ( x  1)2  ( y  2)2   0x, y  R  11x  y    (*),VN NHĨM TỐN | Số 01(8-2015) 08  13  151 x  y   x  ( y  6)  y  13x  27  (TM )  Ta có hệ mới:  x  y  13  151 x  y   2  13  151 13  151 13  151 13  151    , ), ( , ) 2 2     Kêt luận: Vậy hệ cho có nghiệm : (x, y)  ( Vi dụ 3: (Đặng Thành Nam):Giải hệ phương trình sau: (x  y  xy )( y  x) x  1, (1)    xy  ( y  x)(x  xy  4)  y  x  x  x , (2)  Chú ý: Từ (2),ta dự đốn có nhân tử chung (x-y) tiên hành liên hợp,cái hay phần sau liên hợp,chúng ta vào lời giải chi tiết cho toán y  x  Lời giải: Điều kiện:   2 xy  ( y  x)(x  xy  4)    xy  ( y  x)(x  xy  4)  x  y  x  x   xy  ( y  x)(x  xy  4)  x2 xy  ( y  x)(x  xy  4)  x Phương trình (2)  ( y  x)(  y  2x 0 yx x 3x  xy  xy  ( y  x)(x  xy  4)  x  )0 yx x  y  2x   y  2x  3x  xy     0(*)  yx  x xy  ( y  x)(x  xy  4)  x  Từ phương trình (1) ( x, y )  (1, 2) 1  3x  xy   x  y  4 ( y  x) x ( y  x) x2  3x  ( y  x  )   3x       x  xy   x ( y  x) x  (*), VN  x  y  xy  NHĨM TỐN | Số 01(8-2015) 09 (Bất đẳng thức Cô-si sử dụng với số khơng âm).Do đó,ta có hệ:   y  2x x   y  2x   ( x, y  0)  (x  y xy )( y  x) x   x  y   Kết luận:Vậy hệ cho có nghiệm : (x, y)  (1, 2) Nhận xét: Một toán hay khó,nó khó bước đánh giá (*) vơ nghiệm,địi hỏi có mắt tinh tế để thơng qua bất đẳng thức Cô-si,chứng minh 3x  xy   Qua ví dụ đề cập trên,chắc hẳn bạn đọc có nhìn cho loại hệ xử lí phần sau liên hợp,để xử lí tốt dạng này,chúng ta cần quan sát kĩ phương trình cịn lại hệ,sử dụng lưu ý nêu phần Lý thuyết,sau số tập để bạn vận dụng Giải hệ phương trình sau:  x2  (4 x  9)( x  y)  xy  y 1,   ,Đáp số: ( x, y)  (1,1) 4 ( x  2)( y  x)  3( x  3)   xy  ( xy  2)( x  y)  x  y  y 2,      ( x  1)(y xy  x(1  x))   x  x   y   y 3,    x  16( y  x )  y  xy    17  17  , ) 2   ,Đáp số: ( x, y)  (1,1), (  ,Đáp số: ( x, y )  (6, 6)  x2  x(2 y 3)   3x  2( y  x)  11  x  y   4,   x( x  y)  y ( y  2)   x   Gợi ý:Phương trình (1) có nhân tư chung x  y  ,đáp số ( x, y )  (1, 2) Hết NHĨM TỐN | Số 01(8-2015) 40 Chứng minh Từ điều kiện abc = 1, ta có a = x y z ,b = ,c = với x, y, z > Bất đẳng y z x thức cho trở thành x z −1+ y y y x −1+ z z z y −1+ ≤ x x Bất đẳng thức tương đương với xyz ≥ (x + y − z)(y + z − x)(z + x − y) Bài toán chứng minh Bài toán (IMO 1983) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh a2 b(a − b) + b2 c(b − c) + c2 a(c − a) ≥ Chứng minh Đặt a = y + z, b = z + x, c = x + y với x, y, z > Thay vào bất đẳng thức cho (y + z)2 (z + x)(y − x) + b2 c(b − c) + c2 a(c − a) ≥ Sau khai triển rút gọn ta thu x3 z + y x + z y ≥ x2 yz + xy z + xyz ⇔ Mặt khác, ta có (x+y+z)2 = x2 y z + + ≥ x + y + z y z x y √ z √ x √ √ y+√ z+√ x y z x ≤ (y+z+x) x2 y z + + y z x Suy điều phải chứng minh Bài toán (IMO 1961) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có diện tích S Chứng minh √ a2 + b2 + c2 ≥ 3S Chứng minh Đặt p = a+b+c Bất đẳng thức cho tương đương với (a2 + b2 + c2 )2 ≥ 48S = 48p(p − a)(p − b)(p − c) Đặt a = y + z, b = z + x, c = x + y với x, y, z > Thay vào bất đẳng thức ta ((y + z)2 + (z + x)2 + (x + y)2 )2 ≥ 48(x + y + z)xyz Bất đẳng thức ((y + z)2 + (z + x)2 + (x + y)2 )2 ≥ (4yz + 4zx + 4xy)2 = 16(xy + yz + zx)2 ≥ 16.3(xy.yz + yz.zx + zx.xy) = 48xyz(x + y + z) Bài toán chứng minh NHĨM TỐN | Số 01(8-2015) 41 Một số tập khác: Bài tập Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có diện tích S Chứng minh √ 2ab + 2bc + 2ca − (a2 + b2 + c2 ) ≥ 3S Bài tập Cho a1 , b1 , c1 độ dài cạnh tam giác A1 B1 C1 có diện tích S1 a2 , b2 , c2 độ dài cạnh tam giác A2 B2 C2 có diện tích S2 Chứng minh a2 (a2 + b2 − c2 ) + b2 (b2 + c2 − a2 ) + c2 (c2 + a2 − b2 ) ≥ 16S1 S2 2 2 2 2 NHĨM TỐN | Số 01(8-2015) 42 SỬ DỤNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÂY DỰNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG TÍCH Nguyễn Minh Tuấn - Shirunai Okami-K62CLC Tốn - Tin, ĐHSPHN Lời nói đầu Xuất phát từ ý tưởng đơn giản, ta nhân thêm lượng nhân tử vào hai phương trình để xuất công thức lượng giác áp dụng, tạo nên lớp phương trình hay khó Các tốn có hướng dẫn giải khơng đạt lời giải cuối cùng, bạn đọc tự kiểm định lại lời giải Và đọc xong viết, tác giả hy vọng bạn tự sáng tác phương trình đẹp "tự sướng" với thân Mọi ý kiến đóng góp xin gửi địa facebook : Popeye Nguyễn Sử dụng công thức sin 2x = sin x cos x ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình cos x cos 2x cos 4x cos 8x cos 16x = 32 Hướng dẫn Nhận thấy sin x = không nghiệm Nhân hai vế với sin x ta sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x cos 16x = sin 32x = 32  k2π  x = 31 ⇔ π + x= 33 ⇔ sin x 32 sin x 32 k2π 33 Sử dụng công thức cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x) ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình √ 16 2(sin x + cos x) sin 2x cos 4x cos 8x cos 16x = Hướng dẫn Nhân hai vế với sin x − cos x sau kiểm tra xem có khác khơng hay khơng ta √ 16 2(sin x − cos x)(sin x + cos x) sin 2x cos 4x cos 8x cos 16x = sin x − cos x √ ⇔16 cos 2x sin 2x cos 4x cos 8x cos 16x = cos x − sin x √ √ π  −x ⇔ sin 32x = sin π k2π  x = 132 + 33 ⇔ 3π k2π x= + NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) 124 31 43-2 Sử dụng công thức sin 3x = sin x(3 − sin x), cos 3x = cos x(4 cos2 x − 3) ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình cos x(3 − sin2 2x)(3 − sin2 6x)(3 − sin2 18x) = Hướng dẫn Biến đổi phương trình sin x cos x(3 − sin2 2x)(3 − sin2 6x)(3 − sin2 18x) = sin x ⇔(3 sin 2x − sin3 2x)(3 − sin2 6x)(3 − sin2 18x) = sin x ⇔ sin 6x(3 − sin2 6x)(3 − sin2 18x) = sin x ⇔ sin 54x = sin x  k2π  x = 53 ⇔ k2π π + x= 55 55 tan x ta có tốn sau − tan2 x Sử dụng cơng thức tan 2x = Bài tốn Giải phương trình cot x(1 − tan2 x)(1 − tan2 2x)(1 − tan2 4x) = Hướng dẫn Biến đổi phương trình cho thành cot x = − tan2 2x − tan2 x − tan2 4x Tương đương cot x tan x = tan x − tan2 x − tan2 2x Tương đương = tan 8x ⇔ x = − tan2 4x π π +k 32 tan x(3 − tan2 x) ta có tốn sau − tan2 x Bài tốn Giải phương trình √ (3 − tan2 x)(3 − tan2 3x) = 3(1 − tan2 x)(1 − tan2 3x) Sử dụng công thức tan 3x = Hướng dẫn Khi nhân tử vế phải phương trình khơng thỏa mãn Phương trình biến đổi thành tan x − tan2 x − tan2 x Tương đương √ − tan2 3x − tan2 3x = √ π π +k 27 Tất nhiên nhiều toán hay khác nữa, cuối tập tan 9x = 3⇔x= Bài tập Bài Giải phương trình cos 9x(3 − sin2 x)(3 − sin2 3x) = NHĨM TỐN | Số 01(8-2015) 44 Bài Giải phương trình cos x sin 3x = + sin 3x Bài Giải phương trình (1 − tan2 x)(1 − tan2 2x)(1 − tan2 4x) = cot 8x Bài Giải phương trình (cot x − cot 3x)(4 cos2 x − 3) = Bài Giải phương trình cos x tan 3x = + sin x Bài Giải phương trình cos 5x(2 cos 4x + cos 2x + 1) = Bài Giải phương trình (16 sin4 x − 20 sin2 5x + 5)(16 sin4 5x − 20 sin2 5x + 5) = Bài Giải phương trình (3 − tan2 x)(3 − tan2 3x) = √ tan 9x(1 − tan2 x)(1 − tan2 3x) Bài Giải phương trình (cot x − cot 3x)(2 cos 4x − cos 2x + 1) = Bài 10 Giải phương trình 1 − sin x sin 3x NHĨM TỐN | Số 01(8-2015) (2 cos 8x − cos 4x + 1) = 45 ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRƯƠNG CƠNG VIỆT Ví dụ Giải phương trình: √ 4x − + √ 4x2 − = Giải: Đk: x ≥ √ √ Đặt f (x) = 4x − + 4x2 + 4x Ta có f (x) = √ +√ > 0, ∀x ∈ ; +∞ 4x − 4x2 − √ √ ; +∞ , nên phương trình f (x) = có Do hàm số f (x) = 4x − + 4x2 + đồng biến nghiệm nghiệm 1 = nên x = nghiệm phương trình cho Hơn nữa, f 2√ √ √ √ Ví dụ Giải phương trình: x + x − + x + + x + 16 = 14 Giải: Đk: x ≥ √ √ √ √ Đặt: f (x) = x + x − + x + + x + 16 1 1 Ta có: f (x) = √ + √ + √ + √ > 0, ∀x ∈ [5; +∞) x √ x − x + √ + 16 x √ √ Do hàm số f (x) = x + x − + x + + x + 16 đồng biến [5; +∞) Hơn nữa, f (9) = 14 nên x = nghiệm phương trình √ √ √ Ví dụ Giải phương trình: 2x + + 2x + + 2x + = Giải: √ √ √ 2x + + 2x + + 2x + 2 + + > 0, ∀x = − , −1, − Ta có: f (x) = 2 3 (2x + 1)2 (2x + 2)2 (2x + 3)2 Do hàm số f (x) đồng biến √ √ = −1 + −2, f (−1) = 0, f − = + Mà f − 2 lim f (x) = ±∞ nên suy x = −1 nghiệm phương trình cho x→±∞ √ √ √ Giải phương trình: 2x3 + 3x2 + 6x + 16 = + − x (2.2) Ví dụ Giải: Đặt: f (x) = 2x3 + 3x2 + 6x + 16 ≥ (x + 2) (2x2 − x + 8) ≥ ⇔ ⇔ −2 ≤ x ≤ 4−x≥0 4−x≥0 √ √ √ Khi (2.2) ⇔ 2x√+ 3x2 + 6x + 16 − − x = √ Xét hàm số f (x) = 2x3 + 3x2 + 6x + 16 − − x [−2; 4] (x2 + x + 1) + √ Ta có: f (x) = √ > 0, ∀x ∈ (−2; 4) 2x3 + 3x2 + 6x + 16 − x Đk: NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) √ 46 2x3 3x2 √ Do hàm số f (x) = + + 6x + 16 − − x đồng biến [−2; 4] √ Mà f (1) = nên x = nghiệm phương trình 10 Ví dụ Giải phương trình: + =4 (2.3) 2−x 3−x Giải: 2−x>0 ⇔ 3−x>0 Đk: x 0, ∀x ∈ (−2; 4) + 3x2 + 6x + 16 4−x 2x Do hàm số đồng biến [−2; 4] √ Mà f (1) = nên x = nghệm phương trình Ví dụ 11 Giải phương trình: −2x −x + 2x−1 = (x − 1)2 (2.10) Đk: Giải: Phương trình (2.10) ⇔ −2x −x + 2x−1 = x2 − 2x + ⇔ 2x−1 + x − = 2x −x + x2 − x (2.11) Xét hàm số f (t) = 2t + t phương trình (2.11) phương trình f (x − 1) = f (x2 − x) Ta có f (t) = + 2t ln > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f (t) = 2t + t đồng biến R Do từ f (x − 1) = f (x2 − x) ⇔ x − = x2 − x ⇔x=1 Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tập tự giải: Giải phương trình sau: √ √ √15 − x + √3 − x = ĐS: x = −1 √ ĐS: x = 3x − + 2x + = + 12 − x √ 3 √ − − 4x = − x√ 3x ĐS: x = + 23 = 4x − + 2+7 2x ĐS: x = 2x √ √ (2x + 1) + 4x2 + 4x + + 3x + 9x2 + = ĐS: x = − NHĨM TỐN | Số 01(8-2015) 50 ỨNG DỤNG DÃY TỶ SỐ TRONG SÁNG TẠO VÀ GIẢI TỐN HỆ PHƯƠNG TRÌNH (2015) (PHẦN 1) NGUYỄN THÀNH HIỂN Một tính chất đơn giản toán học, biết cách khai thác tạo vơ số tốn Hệ phương trình hay độc đáo Xin gửi tặng thành viên group Nhóm Tốn viết nhỏ "Dãy tỷ số nhau", hướng giải câu hệ mà đăng khoảng thời gian vừa qua ! A Tính chất dãy tỷ số Nếu tồn f (x, y) h(x, y) = , g(x, y) k(x, y) h(x, y) a.f (x, y) b.h(x, y) a.f (x, y) + b.h(x, y) f (x, y) = = = = , với a, b = g(x, y) k(x, y) a.g(x, y) b.k(x, y) a.g(x, y) + b.k(x, y) f (x, y) g(x, y) n = h(x, y) k(x, y) n = a.(f (x, y))n b.(h(x, y))n a.(f (x, y))n + b.(h(x, y))n = = , với a, b = a.(g(x, y))n b.(k(x, y))n a.(g(x, y))n + b.(k(x, y))n B Sáng tạo hệ phương trình • Bước : Chọn dãy tỷ số cho tìm nghiệm x y dễ dàng (dùng wolframalpha cho tiện !) T = f (x, y) h(x, y) = g(x, y) k(x, y) Phương trình (1) : f (x, y).k(x, y) = h(x, y).g(x, y) • Bước : Sử dụng dãy tỷ số [1] [2] để tạo phương trình (2) Mức độ dễ : a.f (x, y) + b.h(x, y) = T.(a.g(x, y) + b.k(x, y)) Mức độ khó : a.(f (x, y))n + b.(h(x, y))n = T n (a.(g(x, y))n + b.(k(x, y))n ) Ví dụ Xét dãy tỷ số Ta nhận nghiệm (x; y) = √ x x−1 √ = = y+1 x+1 √ √ 1+2 2−2 + 2; √ √ • Phương trình (1) : xy + x = x + x − √ • Mức độ dễ : chọn a = x + + y ; b = −1, ta hệ phương trình sau √ √ xy + x = √ x + x − (1) √ (x, y ∈ R ) (x − 2y ) x + + xy + 2y = 2x + x − (2) • Mức độ khó : chọn n = 3; a = 1; b = −x2 , ta hệ phương trình sau √ √ xy + x = x + x − (1) NHĨM TỐN | Số 01(8-2015) √ x2 [1 + (2y + 2)3 ] = 8(x + 1) x + (2) (x, y ∈ R ) C Các ví dụ minh họa 51 Ví dụ Giải hệ phương trình  √  x y + − y x2 − y = x2 − y (1) √ x2 + √  y y + + x x2 − y = √ − y + (2) (x, y ∈ R ) Hướng dẫn : √ √ x2 − y y+2 = Chọn a = y + 2; b = x2 − y, ta có • Dễ thấy x = y = 1, (1) ⇔ y+1 x √ x2 − y x2 + y+2 = = √ y+1 x (y + 1) y + + x x2 − y • Từ (2) ⇔ • Vậy √ x2 + = (y + 1) y + + x x2 − y  √  y= √  y + = √ + 1) 3(y ⇔  x= x2 − y = 3x  √ √ ( 13 − 5) √ 1 − 13 Ví dụ Giải hệ phương trình √ x3 + 2x2 y = (2x + 1) 2x + y (1) √ 2x3 + 2y 2x + y = 2y + xy + 3x + (2) (x, y ∈ R ) Hướng dẫn : (2x + 1) (x + 2y) = • (1) ⇔ √ , chọn a = y; b = x + 1, ta có x2 y + 2x 2x2 + 2y + xy + 3x + (2x + 1)(x + 1) y(x + 2y) √ √ = = x2 (x + 1) y y + 2x y 2x + y + x3 + • Từ (2) ⇔ 2x2 + 2y + xy + 3x + √ = y 2x + y + x3 + (x + 2y) (2x + 1) • Vậy √ = = 2, suy (x, y) = x2 y + 2x √ (1 − 3); ? ; √ (1 + 3); ? Ví dụ Giải hệ phương trình √ √ (x + 3) x + y + − (y + 1) x + 11 = xy − (1) √ √ 3y x + y + + x x + 11 = x2 + 6y + 6x + 3y (2) (x, y ∈ R ) Hướng dẫn : √ √ x+y+5+1 x + 11 + x • (1) ⇔ = , chọn a = 3y; b = x, ta có y+1 x+3 NHĨM TỐN | Số 01(8-2015) √ √ √ √ x+y+5+1 x + 11 + x 3y x + y + + 3y + x x + 11 + x2 = = y+1 x+3 3y + x2 + 3x + 3y √ √ 52 3y x + y + + 3y + x x + 11 + x2 = 3y + x2 + 3x + 3y √ √ x+y+5+1 x + 11 + x = = 2, suy (x, y) = • Vậy y+1 x+3 • Từ (2) ⇔ √ ( 21 − 11); ? Ví dụ 4.Giải hệ phương trình 8x6 + 12x4 + 30x2 + 71x + y + 57 = (1) √ 2x3 + 4x2 + = (x + 1)( x − y − 1) (2) (x, y ∈ R ) Hướng dẫn : √ √ 2x2 + x−y • (2) ⇔ (2x + 1)(x + 2) = (x + 1) x − y ⇔ = , chọn n = 3; a = 1; b = −1, ta có x+1 x+2 √ 3 2x2 + x−y (2x2 + 1)3 − x + y = = x+1 x+2 (x + 1)3 − (x + 2)3 (2x2 + 1)3 − x + y = (x + 1)3 − (x + 2)3 √ 2x2 + x−y • Vậy = = x+1 x+2 B Bài tập • Từ (1) ⇔ Câu Giải hệ phương trình √ √ √ x( x + − y − x − 1) = 3(x2 + y x + 1) (1) √ 9x2 − 6xy + 9y = 2x y − x − + y (2) (x, y ∈ R ) Câu Giải hệ phương trình √ √ x( x + + y + 1) = (x + 1)(y + 1) (1) √ √ x(3 y + − x + 1) = 2x2 + y − x (2) Câu √ √ √ √ x3√ x + 2y − x + 1) + y(x − 6) = xy + y − ( √ 8( x + + 1) = x2 ( x + 2y − x) (2) Câu Giải hệ phương trình xy + 2y + 8x (1) √ (1) 2y( x − + x) = x2 √ √ 4x x − + (2x − 5y) x + = x2 (2) Câu Giải hệ phương trình √ 2y( √ − + x) = x2 (1) x 2x(2 x − + y) = x2 + 5y (2) (x, y ∈ R ) (x, y ∈ R ) (x, y ∈ R ) (x, y ∈ R ) Câu Giải hệ phương trình √ √ xy + x x + = 3y √x + (1) √ √ √ x2 + 5x + + 2y x + + 2x + = x 5x + 15 + y 5x + (2) (x, y ∈ R ) Câu Giải hệ phương trình √ √ xy + x x + = 3y x + (1) √ √ √ 8x + 14 + 2y x + = x 5x + 10 + y 5x + (2) NHĨM TỐN | Số 01(8-2015) (x, y ∈ R ) 53 THỬ SỨC TRƯỚC KỲ THI ĐỀ SỐ (Thời gian làm : 180 phút) Câu 1(1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − Câu 2(1,0 điểm) Tìm m để hàm số y = x3 − mx2 + (m2 − m + 1)x + đạt cực tiểu x = Câu 3(1,0 điểm) a) Giải phương trình log(x − 1) + log(3 − x) = log(3x − 5) b) Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa |2iz − 1| = 2|z + 3| ln Câu 4(1,0 điểm) Tính tích phân I = √ ex − dx Câu 5(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (2; −1; 3) a) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M vng góc với đường thẳng OM b) Chứng tỏ đường thẳng OM song song với đường thẳng d : x−1 y−1 z−1 = = −2 −3 Câu 6(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành với AB = a, BC = 2a ABC = 600 Cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) SC tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách SA BC theo a Câu 7(1,0 điểm) a) Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = AD Biết tan BDC = , tính giá trị lượng giác BAD b) Trường THPT 11ANTT có 15 học sinh Đồn viên ưu tú, khối 12 có nam nữ, khối 11 có nam nữ, khối 10 có nam nữ Đồn trường chọn nhóm gồm học sinh Đồn viên ưu tú để tham gia lao động Nghĩa trang liệt sĩ Tính xác suất để nhóm chọn có nam nữ, đồng thời khối có học sinh nam Câu 8(1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC CD lấy hai điểm E DF CE = Cạnh BD cắt AF H(11/2; 15/2), cắt AE I(8; 5) Biết điểm A thuộc F cho EB FC đường thẳng 3x + y − 15 = diện tích tam giác AF E 15 Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D Câu 9(1,0 điểm) Giải hệ phương trình √ x3 + 2x2 y = (2x + 1) 2x + y √ (x, y ∈ R ) 2x3 + 2y 2x + y = 2y + xy + 3x + Câu 10(1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa a + b + c = 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3(a2 + b2 + c2 ) + 4abc NHĨM TỐN | Số 01(8-2015) NGUYỄN THÀNH HIỂN 54 BÀI TOÁN THÁCH ĐẤU Bài số 1: • Tác giả : Ngơ Minh Ngọc Bảo • Giải hệ phương trình √ √ √ 2x + y + + x = x + y − + y + √ x3 + y + (x2 + 1)3 + y y + = 3x + 15 √ Bài số 2: • Tác giả : Trần Hưng • Giải hệ phương trình     x−y−1 y+2 +√ =1 x2 + y − y + 3x y−3  √ +1  x +√ =0  2+1 x 3x2 + x Bài số 3: • Tác giả : Trần Quốc Việt • Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x4 + y + z xy + xz + yz Tìm giá trị nhỏ biểu thức √ √ √ √ √ √ ( xy + yz + xz + xyz)( xy + yz + xz) + P = 4(xy + xz + yz) xyz 2(x + yz)(y + xz)(z + xy) Lưu ý : • Bài giải gõ Word Tex, trình bày rõ ràng gửi vào địa : nhomtoan@yahoo.com, inbox trực tiếp : https://www.facebook.com/HIEN.0905112810 • Lời giải đăng số kèm với danh sách bạn làm tốt • Thời hạn nhận : trước ngày 25 hàng tháng NHĨM TỐN | Số 01(8-2015) ... 9x2 + = ĐS: x = − NHÓM TOÁN | Số 01(8-2015) 50 ỨNG DỤNG DÃY TỶ SỐ TRONG SÁNG TẠO VÀ GIẢI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH (2015) (PHẦN 1) NGUYỄN THÀNH HIỂN Một tính chất đơn giản toán học, biết cách khai... Một tốn khơng đơn tính tốn mà kết hợp tính chất hình học túy đó, tính chất phần lớn bắt nguồn từ kiến thức cũ THCS, học sinh gần quên từ Hai học sinh nhớ “kiến thức cũ” phần lớn giải với tính chất... chiều biến thiên hàm số Tác giả hy vọng thông qua lý thuyết đề cập ví dụ nêu ra, bạn học sinh hiểu rõ chất toán học chiều biến thiên hàm số, khái niệm bản, tưởng chừng đơn giản nhiều bạn hiểu sai