Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của hàm số y=x−sinx.
Lời giải. Tập xác định:D=R. Đạo hàm:y0 = 1−cosx>0,∀x∈D. Hơn nữa
y0= 0⇔1−cosx= 0⇔cosx= 1⇔x=k2π, k∈Z
Vì phương trìnhy0 = 0cĩ vơ số nghiệm trênDnên ta khơng thể kết luận được tính đơn điệu của hàm sốy trên D. Do đĩ ta phải sử dụng định nghĩa như sau. Lấya, b bất kỳ thuộcD vàa < bkhi đĩ xét khoảng (a−1, b−1), dễ dàng thấy được phương trình y0 = 0 chỉ cĩ hữu hạn nghiệm trong khoảng
(a−1, b−1) và kết hợp với y0 = 1−cosx > 0,∀x ∈ D ta sẽ cĩ hàm số y đồng biến trên khoảng
(a−1, b−1)do đĩy(a)< y(b).
Vậy hàm sốy=x−sinx đồng biến trênR.
Ví dụ 2 (KA-2013). Cho hàm sốy =−x3+ 3x2+ 3mx−1 với m là tham số thực. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng(0,+∞).
Trước hết ta hãy xem qua đáp án của BGDĐT
Lời giải (BGDĐT). Ta cĩy0 =−3x2+ 6x+ 3m.
Hàm số đã cho nghịch biến trên(0,+∞) khi và chỉ khi y0 60,∀x∈(0,+∞)
y060,∀x∈(0,+∞)⇔ −3x2+ 6x+ 3m60,∀x∈(0,+∞)⇔m6x2−2x,∀x∈(0,+∞)⇔m6−1
Theo tác giả thì cách làm theo như đáp án của BGDĐT là quá tắt dẫn tới việc ngộ nhận và sai bản chất tốn học. Cụ thể là ở chỗ:
Hàm số đã cho nghịch biến trên(0,+∞) khi và chỉ khi y060,∀x∈(0,+∞)
Ta cĩ phản ví dụ là y= 5 cĩ đạo hàm khơng âm khắp cả trục số nhưng hàmy = 5khơng đồng biến trên trục số.
Sau đây là lời giải của tác giả.
Lời giải. Ta giải theo điều kiện cần và đủ như sau.
Vì hàm số đã cho khả vi và nghịch biến trên (0,+∞) nên y0 60,∀x∈(0,+∞). Điều kiện này tương đương với
trên R.
Ví dụ 4. Tìm điều kiện của m để hàm sốy= 3mx−2
x+ 5 đồng biến trên(0,+∞).
Ta xét ví dụ sau
Ví dụ 5. Cho hàm số y =x3+ 3x2+ (m+ 1)x+ 4m, tìm điều kiện của m để hàm số nghịch biến trên (−1,1).
Lời giải. Với mọi tham sốm thì hàm số đã cho liên tục trên[−1,1]nên bài tốn quy về việc tìm giá trị m để hàm số đã cho nghịch biến trên[−1,1].
Đạo hàm y0 = 3x2+ 6x+m+ 1.
Để hàm số nghịch biến trên[−1,1]thìy0 60,∀x∈[−1,1], điều kiện này tương đương với
3x2+6x+m+160,∀x∈[−1,1]⇔m6−3x2−6x−1,∀x∈[−1,1]⇔m6 min
x∈[−1,1]
−3x2−6x−1 =−10
Ngược lại với mọim≤ −10 ta đều cĩ phương y0 60,∀x∈[−1,1]hơn nữa phương trìnhy0 = 0 chỉ cĩ hữu hạn nghiệm trong[−1,1], do đĩ hàm số nghịch biến trên[−1,1].
Vậy điều kiện cần tìm của tham số làm≤ −10.
Bạn đọc hãy thử suy nghĩ xem tại sao trong bài tốn trên ta lại chuyển (−1,1)thành [−1,1]và hãy tìm ra cách làm cho chính bạn đọc.
4 Tổng kết
Bài viết tĩm tắt lại các định lý lại các định lý đã được học trong chương hàm số của chương trình THPT, trình bày một số sai lầm hay gặp khi gặp khi giải tốn và khi áp dụng các định lý. Tác giả mong các bạn học sinh cĩ thể nắm vững, hiểu rõ và vận dụng tốt các định lý đã được học.