Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 26 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
SỐ 02 (2015) TẠP CHÍ NHÓM TOÁN Tạp chí định kỳ hàng tháng – Dành cho thành viên group Nhóm Toán Tổng hợp viết chuyên đề phục vụ cho kỳ thi THPT 2015-2016 Group Nhóm Toán Email : nhomtoan@yahoo.com | www.nhomtoan.com MỤC LỤC • Đề kỳ • Hướng dẫn giải kỳ trước • Bài viết chuyên đề luyện thi Lê Đức Bin-"Lượng liên hợp giải hệ phương trình." Nguyễn Thành Hiển-"Tổng hợp Oxy đề thi thử THPT 2015." Đỗ Viết Lân-"Phép lượng giác chứng minh bất đẳng thức." • Hướng đến kỳ thi THPT 2015-2016 – Đề số • Đấu Trường Lời giải thách đấu 03 Trần Quốc Việt-Bài thách đấu số 04 Ngô Minh Ngọc Bảo-Bài thách đấu số 05 • Tự học : "Phương trình - Bất phương trình" NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Trang 01 ĐỀ RA KỲ NÀY Câu : Giải phương trình √ √ x+3 2+9+ 6x − x2 + (x − 1)(x − 1) = − x2 (Trần Quốc Việt) Câu : Giải hệ phương trình √ y(x + 1)√ + = y + x2 + 2x + √ 2y + x + = 2y − x + (Ngô Minh Ngọc Bảo) Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho hình thang ABCD có hai đường chéo AC BD cạnh đáy lớn AB Gọi M (5; 7) trung điểm CD Biết M BC = CAB đường thẳng AB có phương trình −3x + 5y − = 0, tìm toạ độ đỉnh A, B, C, D hình thang (Nguyễn Thành Hiển) Câu 4: Cho số thực x, y, z thoả mãn biểu thức P = x y z xy + xz + yz = 3x Tìm giá trị nhỏ (x2 + 1)2 x(y + z ) + y z √ + y + z − 2x2 + √ √ 2 x +y x+ y+ z (Trần Quốc Việt) Lưu ý : • Bài giải gõ Word Tex, trình bày rõ ràng gửi vào địa : nhomtoan@yahoo.com, inbox trực tiếp : https://www.facebook.com/HIEN.0905112810 • Cơ cấu giải thưởng công bố trao thưởng định kỳ số lần, số điểm tính số bạn hoàn thành, giải trọn vẹn tính điểm • Lời giải đăng số kèm với danh sách bạn làm tốt • Thời hạn nhận : trước ngày 25 hàng tháng NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Trang 02 GIẢI BÀI KỲ TRƯỚC Nguyễn Thế Duy : Giải bất phương trình x x x x x Lời giải: x x Điều kiện: 0 x x x Xét hàm số f x 3x x x x , ta có: x f x 3x x 1 x 3x x x x x 3x 3x x 3x x x 1 x 3x x x 3x 1 x 1 3x x 3x 3x x 3x x 3x x x 3x x x Do đó, bất phương trình cho tương đương với: 3x 3x x 3x x x 3x x 3x 0 x x 1 TH1 Với x 0; 1; , bất phương trình viết lại thành: 2 x 3x x 3x 1 3x x 3x 0 20 x x x x 2 3 x x 3x 1 x 3 x 3 ; Suy T1 0; 2 TH2 Với x , bất phương trình viết lại thành: x 3x x 3x 1 3x x 3x 0 20 x x x x x 3x 17 2 x x 17 Suy T2 ; Vậy tập nghiệm bất phương trình là: T T1 T2 Ngô Đình Tuấn : Trong hệ trục Oxy cho tam giác ABC cân A có phương trình đường tròn ngoại tiếp C : x 1 y 1 50 Một đường tròn C ' tiếp xúc với C tiếp xúc với AB, AC P, Q Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết trung điểm PQ I 4; điểm A có hoành độ dương NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Trang 03 Lời giải: Gọi M 1;1 , N tâm C C ' K điểm đối xứng A qua M , H giao điểm AK , BC Dễ dàng chứng minh A, M , I , N , H , K thẳng hàng thuộc phân giác BAC Ta có NM : x y MN C A, K Tọa độ A, K nghiệm hệ x y x y A 6; xA 2 x y 4 K 4; 4 x 1 y 1 50 Xét tam giác BKP IKP chung cạnh KP có: KPN PKM KBP KIP (cạnh huyền – góc nhọn) KB KI 10 NKP KB KA 2 KH H 2; Áp dụng hệ thức lượng BK KH KA KH KA Tới suy B, C hoán vị điểm 2; 6 , 6;2 Lời giải khác bạn tham khảo http://nhomtoan.com/wpcontent/uploads/giai-bai-ky-truoc-online.rar, số sau cố gắng up đầy đủ… NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Trang 04 TRƯỜNG ĐHKHTN TP.HCM HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016 Biên soạn: LÊ ĐỨC BIN Chuyên đề : HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG LIÊN HỢP TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I KIẾN THỨC CĂN BẢN √ √ A−B √ A− B = √ A+ B √ A − B2 √ A−B = A+B √ √ A−B 3 √ √ A− B = √ 3 A + AB + B √ A−B √ A−B = √ A2 + AB + B Việc sử dụng lượng liên hợp giải phương trình vô tỷ trở thành quen thuộc với Nhưng việc giải hệ phương trình đỏi hỏi nhạy bén chút phán đoán Sau tìm hiểu kỹ thông qua ví dụ II VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1.Giải hệ phương trình y x2 − x − y = √ x−y 2(x2 + y ) − 3√2x − 11 = 11 *Phân tích: Ta không làm với P T (2) nên chuyển trọng tâm qua P T (1) Bây ta muốn có mối quan hệ (x; y) từ P T (1); nhẩm chút ta có y = x − Quá ảo phải không :) ? Không đâu,tất có sở Ta để ý hai vế có bậc hai bậc ba Muốn hai hai đại lượng phải thoát Muốn bậc hai phải đưa bình phương bậc ba phải đưa số Giả sử y = ax − b (a, b > 0),suy √ x2 − x − y = x2 − (a + 1)x + b x − y = (a − 1)x + b Rõ ràng để x a phải 1,suy b = Thử lại ta thấy y = x − thỏa phương trình cho x2 − x − y = x − Thay y = x − vào ta √ x−y =1 "Các biểu thức bạn liên hợp chúng với nhau" ta phải cẩn thận Nếu để x2 − x − y liên hợp trực tiếp với x − e không ổn ta không xác định rõ dấu x2 − x − y x − Nhưng ta biến đổi P T (1) dạng = √ chuyện êm xui y x−y Trang 05 NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Lời giải ĐK:x ≥ , x = y Nếu y = HPT vô nghiệm Nếu y < x − y > 0, suy V P (1) < 0,V T (1) > Do P T (1) vô nghiệm, suy y > Khi ta có: √ x2 − x − y x2 − x − y − y 1− 3x−y P T (1) ⇔ = √ ⇔ = √ 3 y x−y y x−y x+y + ⇔ (x − y − 1)( )=0 √ y( x2 − x − y) + y) x − y + (x − y)2 + x − y x+y + Vì > nên y = x − √ + 3x−y y( x2 − x − y) + y) x − y + (x − y)2 √ Thay y = x − vào P T (2) ta có 4x2 − 4x − 2x − − = 5 Tới đơn giải phải không nào,suy x = Kết luận nghiệm HPT (x; y) = ( ; ) 2 Ví dụ Giải hệ phương trình x2 + 3x − y = y + 4x + x + √ 2x + + x + = 2y Tương tự phân tích ta áp dụng ta tìm y = x−1 Từ ta thu x2 + 3x − y = 2(x + 1) y + 4x = x + 1 Lời giải ĐK: x ≥ − , x2 + 3x − y ≥ 0, y + 4x ≥ P T (1) ⇔ x2 + 3x − y − (x + 1) + x2 + 3x − y − y + 4x = (x − y − 1)(x + y) x−y−1 + = ⇔ (x − y − 1)( + ⇔ x2 + 3x − y + x + y x2 + 3x − y + y + 4x x2 + 3x − y + x + x+y )=0 x2 + 3x − y + y + 4x Tới ta giải phải không Nhiệm vụ vất vả đánh giá trường hợp lại vô nghiệm Được chứ! x ≥ − , y ≥ ⇒ x + y > √ √ Thay y = x − vào P T (2) Kết luận nghiệm (x; y) = (18 + 21; 17 + 21) Ví dụ Giải hệ phương trình √ 4x2 + (4x − 9)(x − y) + xy = 3y (x + 2)(y + 2x) = 3(x + 3) *Phân tích: Một chút trực giác đập vào mặt P T (1) chứa điều thiên Với cấu hình dùng liên hợp được,nhưng mà liên hợp với nhau? Ta thử đoán quan hệ (x; y) thử nhé, ta phân tích vế trái có chứa hai vế phải lại nào, vế trái phải thoát Và ta phải sử dụng vế phải tách để liên hợp! Vậy quan tách làm sao? Thấy 4x2 có 4x2 + (4x − 9)(x − y) = 2y √ thể tự khai văn xy khai x = y, mà x = y √ xy = y Liên hợp nào! NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Trang 06 4x + (4x − 9)(x − y) ≥ √ Lời giải ĐK : xy ≥ Từ P T (1) ta có 3y = 4x2 + (4x − 9)(x − y) + xy ≥ (x + 2)(y + 2x) ≥ 0⇒y≥0 Nếu y = HPT vô nghiệm Do y > ta có (x − y)(8x + 4y − 9) y(x − y) √ P T (1) ⇔ 4x2 + (4x − 9)(x − y)−2y+ xy−y = ⇔ =0 +√ xy + y 4x2 + (4x − 9)(x − y) + 2y 8x + 4y − y ⇔ (x − y)( +√ )=0 xy + y 4x2 + (4x − 9)(x − y) + 2y Việc lại khó chỗ vế lại vô nghiệm! Ta chứng minh 8x + 4y − > với y > ⇒ x ≥ Căn vào P T (2) ta bình phương lên 9(x + 1)2 9(x + 3)2 ⇒ 8x + 4y − = >0 ta có 8x + 4y = 4x + 4x + Xong phải không nào? Kết luận nghiệm (x; y) = (1; 1) Ví dụ Giải hệ phương trình √ √ 2x2 + 2x + + x + = 2y + 3y + 2y + x2 + 2y − 2x + y − = √ √ *Phân tích: Ta thấy P T (1) có hai thức x + 2y + nên ta dự đoán hai thử xem x = 2y − Thay ngược vào hai phương trình ta hệ 6y − 7y + = Hai phương trình giống hệt nhau, ta trừ hai phương trình 6y − 7y + = đẳng thức cực (0 = 0) Lời giải ĐK: x ≥ −2, y ≥ − Lấy P T (1) − P T (2) theo vế ta có: √ √ √ √ x2 + 3x + + x + = 4y + 2y + 2y + ⇔ (x + 1)2 − (2y)2 + 2x − − 4y + x + − 2y + = x + − 2y ⇔ (x + − 2y)(x + + 2y) + 2(x + − 2y) + √ = ⇔ (x + − 2y)(x + + 2y + √ x + + 2y + 1√ √ )=0 x+2+ 2y+1 Còn lại đơn giản phải không nào? Kết luận nghiệm (x; y) = (1; 1), (− ; ) Ví dụ Giải hệ phương trình √ √ (1 − y) x − y + x = + (x − y − 1) y √ √ 2y − 3x + 6y + = x − 2y − 4x − 5y − Đề ĐH khối B – 2014 *Phân tích : Nhìn vào thấy hai phương trình chứa hai Vậy ta nên phân tích phương trình đây? Ở phương trình hai thấy rườm rà quan hệ x, y phương trình thức biểu diễn theo x, y đẹp hệ số Nên ta phân tích phương trình một! Mà lại thấy để làm hai P T (1) y = làm điều Vậy chắn P T (1) rút y − √ Vì y = lại câu thần "biểu thức ta liên hợp với đó" Trang 07 NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Lời giải ĐK: y ≥ 0; x ≥ y; x ≥ 2y; 4x ≥ 5y + √ √ Khi P T (1) ⇔ (1 − y) x − y + x = + (x − y − 1)( y − + 1) √ √ y−1 √ ⇔ (1 − y) x − y − (1 − y) = (x − y − 1)( y − 1) ⇔ (1 − y)( x − y − 1) = (x − y − 1)( √ ) y+1 1 + ⇔ (y − 1)(x − y − 1)( √ √ )=0 x−y+1 1+ y √ √ + −1 + Tới xử lí dễ dàng phải không nào? Kết luận nghiệm (x; y) = (3; 1), ( ; ) 2 III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập 1: Giải hệ phương trình √ √ x + + x − − y4 + = y x2 + 2x(y − 1) + y − 6y + = Đề thi ĐH khối A – 2014 Bài tập 2: Giải hệ phương trình √ x2 + − y + = −y √ x2 + − y + = 3x Trích số 426 báo Toán Học – Tuổi Trẻ Bài tập 3: Giải hệ phương trình √ √ x−3 x+3=3 y−5−y √ x2 + 16(y − x) + y = xy Bài tập 4: Giải hệ phương trình x + y − 2(x2 + y ) = 4xy − 2√xy x+y √x2 + 15 = 4x − y − + √xy + Đề thi thử kì thi quốc gia 2015 THPT Đồng Xoài – BP Bài tập 5: Giải hệ phương trình √ √ √ xy + (x − y)( xy − 2) + x = y + y √ (x + 1)(x + y − x2 + xy) = Bài tập 6: Giải hệ phương trình √ √ 4x + + 2x + = 4y − 4y + 2y − x2 + y = x + y + NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Trang 08 TỔNG HỢP OXY TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC (2015) NGUYỄN THÀNH HIỂN Câu (Thpt – Minh Châu – lần 2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có đỉnh A( 1; 4) , trực tâm H Đường thẳng AH cắt cạnh BC M , đường thẳng CH cắt cạnh AB N Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN I (2; 0) , đường thẳng BC qua điểm P (1; 2) Tìm toạ độ đỉnh B, C tam giác biết đỉnh B thuộc đường thẳng d : x y Hướng dẫn :Ta thấy tứ giác BMHN nội tiếp, suy I trung điểm BH; B d B (2 2t ; t ) Suy H (2 2t ; t ) AH (3 2t ; t 4), BP (2t 1; t 2) Do H trực tâm A tam giác ABC N H AH BP (2t 3)(2t 1) (t 4)(t 2) 5t 10t t 1 Suy H (0;1), B (4; 1), AH (1; 3) ,đường thẳng BC : x y Đường I thẳng AC : x y Tìm toạ độ C ( 5; 4) B M C P Câu (Thpt – Chu Văn An – An Giang) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có đỉnh C thuộc đường thẳng d : x 2y , điểm M (1;1) thuộc cạnh BD biết hình chiếu vuông góc điểm M cạnh AB AD nằm đường thẳng : x y Tìm tọa độ đỉnh C Hướng dẫn :Gọi H , K hình chiếu vuông góc M AB, AD Gọi N giao điểm KM BC Gọi I giao điểm CM HK Ta có DKM vuông K DKM 450 KM KD KM NC (1) Lại có MH MN ( A MHBN hình vuông) Suy hai tam giác vuông KMH ,CNM MCN Mà NMC IMK nên HKM NCM IMK HKM 900 Suy CI HK Đường thẳng CI NMC qua M (1;1) vuông góc với đường thẳng d nên VTPT nCI VTCP ud (1;1) nên có phương trình K D I H B M N C (x 1) (y 1) x y Do điểm C thuộc đường thẳng CI đường thẳng nên tọa độ điểm x y x C nghiệm hệ phương trình x 2y y Vậy C (2;2) NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Trang 10 10 AC Biết M ( 2; 1) , N (2; 1) hình chiếu D xuống đường thẳng AB, BC đường thẳng Câu (Thpt- Chí Linh – Hải Dương) Trong hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có BD x y qua A , C Tìm tọa độ điểm A, C C D Hướng dẫn : I x-7y=0 A B M(-2;-1) N(2;-1) Gọi I giao điểm AC BD I(7y;y) Do tam giác BDM BDN vuông M, N nên DB IM IN (7 y 2) ( y 1) (7 y 2) ( y 1) y I (0; 0) AC 5 BD IA IC 2 10 x y Tọa độ A, C thỏa mãn hệ phương trình 25 x y 7 x x 7 7 Vậy tọa độ điểm A( ; ), C( ; ) A( ; ), C( ; ) 2 2 2 2 y y 2 Khi BD=2IM= AC Câu (Thpt – Trần Thị Tâm – Quảng Trị) Trong mặt phẳng oxy cho tam giác ABC có phương trình cạnh BC x - 2y + = 0, trọng tâm G(4; 1) diện tích 15 Điểm E(3; -2) điểm thuộc đường cao tam giác ABC hạ từ đỉnh A Tìm tọa độ điểm A, B, C Hướng dẫn : Phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A: 2x+y-4=0 Gọi A(a;4-2a), trung điểm đoạn BC M(2ma a 4m 18 3;m) Ta có AG (4 a; 2a 3); GM (2m 7; m 1) , mà AG 2GM 2 a m m Vậy A(4;-4), M(4; ) Gọi B (2b 3; b) C (11 2b;7 b) BC (14 4b) (7 2b) d ( A; BC ) nên diện tích tam giác ABC (14 4b) (7 2b) 15 20b 140b 4255 Với b=9/2 ta có B(6;9/2); C(2;5/2), Với b=5/2 ta có B(2;5/2); C(6;9/2) NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Trang 11 Câu (Thpt – Nguyễn Viết Xuân – Phú Yên) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vuông ABCD BAD ADC 900 có đỉnh D 2; CD AB Gọi H hình chiếu vuông góc điểm D lên 22 14 đường chéo AC Điểm M ; trung điểm HC Xác định tọa độ đỉnh A, B, C , biết đỉnh B 5 thuộc đường thẳng : x y Hướng dẫn : Gọi E trung điểm đoạn DH Khi tứ giác ABME hình bình hành ME AD nên E trực tâm tam giác ADM Suy AE DM mà AE / / DM DM BM Phương trình đường thẳng x y 4 BM : x y 16 Tọa độ điểm B nghiệm hệ B 4; Gọi I giao điểm AC BD, x y 16 AB IB 10 10 DI IB I ; Phương trình đường thẳng AC : x y 10 ,phương trình ta có CD IC 3 14 18 đường thẳng DH : x y H ; C 6; Từ CI IA A 2;4 5 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu (Thpt – Như Thanh – Thanh Hoá) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I(1;1), hai đường thẳng AB CD qua điểm M(-2;2) N(2;-2) Tìm toạ độ đỉnh hình vuông ABCD, biết C có tung độ âm Đáp số : A(1;5); B(-3;1); C(1;-3); D(5;1) Câu (Thpt – Nguyễn Bỉnh Khiêm – Gia Lai) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích 144 Gọi điểm M (2;1) trung điểm đoạn AB; đường phân giác góc A có phương trình AD : x y Đường thẳng AC tạo với đường thẳng AD góc mà cos Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh B có tung độ dương Đáp số : A 3; 6 , B 1;8 , C (18; 3) Câu (Thpt – Nguyễn Trãi) Trong mặt phẳng chứa hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông A D, đáy lớn cạnh CD; đường thẳng chứa cạnh AD có phương trình x y , đường thẳng chứa cạnh BD có phương trình x y ; góc tạo đường thẳng BC AB 450 Biết diện tích hình thang ABCD 24 Viết phương trình đường thẳng BC, biết điểm B có hoành độ dương Đáp số : BC : x y 10 NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Trang 12 Câu (Thpt – Tĩnh Gia) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC Trên hai đoạn thẳng AB, AC lấy hai điểm E, D cho ABD ACE Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB cắt tia CE M(1;0) N(2;1) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC cắt tia BD I(1;2) K Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNK Đáp số : ( x 1)2 ( y 1)2 Câu 10 (Thpt – Lương Thế Vinh) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác góc A d : x y Hình chiếu vuông góc tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC lên đường thẳng AC điểm E (1;4) Đường thẳng BC có hệ số góc âm tạo với đường thẳng AC góc 450 Đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn (C ) : x y Tìm phương trình cạnh tam giác ABC Đáp số : AB : x+2y-3=0; AC : 2x+y-3=0; BC : x y 29 10 0 Câu 11 (Thpt - Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I Trung điểm cạnh AB M (0;3) , trung điểm đoạn CI J (1;0) Tìm tọa độ đỉnh hình vuông, biết đỉnh D thuộc đường thẳng : x y Đáp số : A( 2;3), B (2;3), C (2; 1), D ( 2; 1) Câu 12 (Sở GD – Bắc Giang – Lần 4) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông A 4 8 B có AB = BC= 2CD Gọi M trung điểm cạnh BC, điểm H ; giao điểm BD AM Tìm tọa độ 5 đỉnh hình thang, biết phương trình cạnh AB: x – y +4 = A có hoành độ âm Đáp số : A(-4; 0); B(0;4); C(4;0); D(2;-2) Câu 13 (Thpt – Quảng Xương – Thanh Hoá) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD 22 14 ; 5 vuông A D, D(2; 2) CD = 2AB Gọi H hình chiếu vuông góc D lên AC Điểm M trung điểm HC Xác định tọa độ điểm A, B, C hình thang biết B thuộc đường thẳng :x 2y Đáp số : A(2;4); B(4;4); C(6;2) Câu 14 (Thpt – Nguyễn Xuân Nguyên – Lần 4) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông MNPQ có K, I trung điểm cạnh MQ QP Điểm H (0;1) giao điểm NK MI, điểm P (4; 2) Tìm tọa độ đỉnh N NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Trang 13 17 Đáp số : N (4;3) ; N ; 5 Câu 15 (Thpt – Hiền Đa – Phú Thọ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy Cho hình vuông ABCD có C(2; -2) Gọi điểm I, K trung điểm DA DC; M(-1; -1) giao BI AK Tìm tọa độ đỉnh lại hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ dương Đáp số : A (-2; 0); B(1; 1); D(-1;-3) NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Trang 14 PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐỖ VIẾT LÂN Đà Nẵng - Sưu tầm Nếu bạn đối mặt với tích phân chứa thức − x2 dx, + y dy, z − dz tỏ hiệu Đối sin t với bất đẳng thức, việc sử dụng phép lượng giác tương tự phép đổi biến lượng giác x = sin t, y = tan t, z = Bài toán (Latvia 2002) Cho a, b, c, d số thực dương cho 1 1 + + + = 4 1+a 1+b 1+c + d4 Chứng minh abcd ≥ Chứng minh Ta đặt a2 = tan A, b2 = tan B, c2 = tan C, d2 = tan D, với A, B, C, D ∈ 0, π2 Khi điều kiện toán viết lại thành: cos2 A + cos2 B + cos2 C + cos2 D = Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: √ sin2 A = − cos2 A = cos2 B + cos2 C + cos2 D ≥ cos2 B cos2 C cos2 D Tương tự ta có: √ sin2 B ≥ cos2 C cos2 D cos2 A √ sin2 C ≥ cos2 D cos2 A cos2 B √ sin2 D ≥ cos2 A cos2 B cos2 C Nhân bất đẳng thức theo vế ta thu sin2 A sin2 B sin2 C sin2 D ≥ cos2 A cos2 B cos2 C cos2 D Suy abcd ≥ Bài toán (Korea 1998) Cho x, y, z số thực dương cho x + y + z = xyz Chứng minh 1 √ + ≤ +√ 2 2 1+x 1+z 1+y NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Trang 15 Chứng minh Đặt x = tan A, y = tan B, z = tan C với A, B, C ∈ 0, π2 x+y tan A + tan B Ta có tan(π − C) = −z = = = tan(A + B) − xy − tan A tan B Suy π − C = A + B, π − C, A + B ∈ (0, π) Nghĩa A + B + C = π Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành cos A + cos B + cos C ≤ Thật vậy, ta có: A−B cos A + cos B + cos C − C A+B cos − sin2 − 2 C C A−B = sin cos − sin2 − 2 2 = cos = − sin C − cos 2 A−B 2 − sin2 A−B ≤ Kể giả thiết toán điều kiện x + y + z = xyz hay xy + yz + zx = phép lượng giác có hiệu định, chẳng hạn toán sau Bài toán (APMO 2004/5) Chứng minh rằng, với số thực dương a, b, c ta có (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9(ab + bc + ca) √ √ √ Chứng minh Đặt a = tan a, b = tan B, c = tan C với A, B, C ∈ 0, π2 Khi bất đẳng thức cần chứng mminh trở thành ≥ cos A cos B cos C(cos A sin B sin C + sin A cos B sin C + sin A sin B cos C) Mặt khác sử dụng công thức cộng ta có cos(A + B + C) = cos A cos B cos C − cos A sin B sin C − sin A cos B sin C − sin A sin B cos C Do bất đẳng thức cho viết lại ≥ cos A cos B cos C(cos A cos B cos C − cos(A + B + C)) cos A + cos B A+B A−B A+B A+B+C Ta có = cos cos ≤ cos Đặt θ = 2 2 cos A + cos B + cos C A+B+C Suy ≤ cos = cos θ 3 NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Trang 16 Áp dụng AM-GM ta có: cos A cos B cos C ≤ cos A + cos B + cos C 3 ≤ cos3 θ Ta cần chứng minh 4 ≥ cos3 θ(cos3 θ − cos 3θ) ⇔ cos4 θ(1 − cos2 θ) 27 Áp dụng AM-GM ta có cos2 θ cos2 θ (1 − cos2 θ) 2 ≤ cos2 θ cos2 θ + + (1 − cos2 θ) 2 = Từ ta có điều phải chứng minh Bài tập Cho số thực dương x, y, z cho < x, y, z < xy + yz + zx = Chứng minh √ y z 3 x + + ≥ − x2 − y − z 2 Bài tập Cho số thực dương x, y, z cho x + y + z = xyz Chứng minh √ x z y 3 √ +√ + ≤ + x2 + z2 + y2 Bài tập Cho số thực dương x, y, z cho x + y + z = xyz Chứng minh xy + yz + zx ≥ + + x2 + + y2 + + z2 Bài tập Cho số thực dương x, y, z cho x + y + z = xyz Chứng minh √ (x − 1)(y − 1)(z − 1) ≤ − 10 Bài tập Cho a, b, c số thực Chứng minh (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) ≥ (ab + bc + ca − 1)2 Bài tập Cho a, b, c số thực dương Chứng minh √ +√ ≥√ 2 + ab 1+a 1+b ≤ a, b ≤ ab ≥ Bài tập Cho p, q, r ≥ với p2 + q + r2 + 2pqr = Hãy chứng minh tồn A, B, C ∈ 0, π2 cho p = cos A, q = cos B, r = cos C A + B + C = π Bài toán (USA 2001) Cho a, b, c số thực không âm cho a2 +b2 +c2 +abc = Chứng minh ≤ ab + bc + ca − abc ≤ NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Trang 17 Chứng minh Nếu a, b, c lớn a2 + b2 + c2 + abc > Giả sử a ≤ ta có ab + bc + ca − abc ≥ (1 − a)bc ≥ Để chứng minh ab + bc + ca − abc ≤ ta đặt a = 2p, b = 2q, c = 2r Khi ta có p2 + q + r2 + 2pqr = Theo Bài tập ta viết a = cos A, b = cos B, c = cos C với A, B, C ∈ 0, π A + B + C = π Cần chứng minh cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A − cos A cos B cos C ≤ Giả sử A ≥ π (1) nghĩa − cos A ≥ V T (1) = cos A(cos B + cos C) + cos B cos C(1 − cos A) ≤ cos A = cos A = − cos A + − cos A + cos(B − C) + cos(B + C) − cos A (1 − cos A) (1 − cos A) Do ta có bất đẳng thức cần chứng minh Bài tập Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x2 + y + z + 2xyz = Chứng minh (i) xyz ≤ (ii) xy + yz + zx ≤ (iii) x2 + y + z ≥ 4 (iv) xy + yz + zx ≤ 2xyz + NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Trang 18 THỬ SỨC TRƯỚC KỲ THI ĐỀ SỐ (Thời gian làm : 180 phút) Câu 1(1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = − x4 − x2 + 2 Câu 2(1,0 điểm) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số f (x) = x3 − (m + 2)x2 + (m − 1)x + 2m − điểm có hoành độ x = đường thẳng d : 2x + y − = tạo với góc 300 Câu 3(1,0 điểm) a) Giải phương trình 3x+4 + 3.5x+3 = 5x+4 + 3x+3 b) Tìm phần thực phần ảo số phức z thoả (4 − 7i)z − (5 − 2i) = 3iz ln(1 + 2x)dx Câu 4(1,0 điểm) Tính tích phân I = x+2 y−2 z = = 1 −1 mặt phẳng (P ) : x + 2y − 3z + = Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (P ) cho ∆ cắt vuông góc với đường thẳng d Câu 5(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : Câu 6(1,0 điểm) √ a) Giải bất phương trình (x2 − 4) x2 − 3x b) Một hộp có chứa viên bi màu đỏ đánh số thứ tự từ đến 5, viên bi màu xanh đánh số thứ tự từ đến 4, viên bi màu vàng đánh số thứ tự từ đến Chọn ngẫu nhiên viên bi từ hộp Tính xác suất để ba viên bi chọn có đủ màu đôi khác số Câu 7(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD = 600 Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trọng tâm tam giác ABC Góc hai mặt phẳng (ABCD) (SAB) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SC với AB Câu 8(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH đường phân giác BD cho BDA = 450 Biết HD : x − y + = 0, điểm C(0; 2) điểm A thuộc đường thẳng 3x − 5y − = Tìm tọa độ đỉnh A B tam giác ABC Câu 9(1,0 điểm) Tìm m để hệ sau có nghiệm 4x2 x + (x + 2)2 x + 8x2 + 16mx + 16m2 + 32m + 16 = Câu 10(1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa (3a + 2b + c) biểu thức NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) √ b + 2c − 72a2 + c2 P = a + + a b c = 30 Tìm giá trị lớn NGUYỄN THÀNH HIỂN Trang 19 LỜI GIẢI BÀI THÁCH ĐẤU SỐ 03 • Tác giả : Trần Quốc Việt • Đề : Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x4 + y + z xy + xz + yz Tìm giá trị nhỏ biểu thức √ √ √ √ √ √ ( xy + yz + xz + xyz)( xy + yz + xz) P = + 4(xy + xz + yz) xyz 2(x + yz)(y + xz)(z + xy) • Lời giải bình luận : Ta thấy toán có đối xứng ba biến với giả thiết cho ta có điểm rơi x = y = z = Ta có hai cách cho toán sau Cách Sử dụng đánh giá từ điều kiện cho Với giả thiết cho ta có x + y2 + z2 ≤ x4 + y + z ≤ xy + yz + xz ≤ x2 + y + z ⇔ x2 + y + z ≤ Hay ta có x + y + z ≤ xy + yz + xz ≤ Ta có + x + y + z + xy + yz + xz 2(x + yz)(y + xz)(z + xy) ≤ Suy √ P ≥ = xy + √ yz + √ xz + xyz 4xyz 1 √ √ + √ + √ + xyz y x z √ xy + √ yz + √ xz 1 √ +√ +√ y x z ≤4 + + Ta có 1 1 √ 1 √ √ + √ + √ + xyz ≥ 4 √ √ √ xyz = y x z x y z Suy 3 √ + ≥ P ≥√ +√ +√ + ≥√ √ y x z x+ y+ z 3(x + y + z) + 15 ≥ 4 Cách Dồn hàm số f (xy + yz + xz) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có x4 + y √ √ √ + xy+ ≥ x2 y + xy + xy ≥ 3xy Thiết lập bất đẳng thức tương tự với yz xz cộng lại theo vế ta có √ √ √ x4 + y + z + xy + yz + xz ≥ 3(xy + yz + xz) ≥ 2(xy + yz + xz) + x4 + y + z Trang 20 NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Hay ta có Suy √ xy + √ yz + √ P ≥ xz ≥ xy + yz + xz (xy + yz + xz + xyz) (xy + yz + xz) xyz 2(x + yz)(y + xz)(z + xy) + 4(xy + yz + xz) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có xy + yz + xz + xyz 1 = + + +1≥ +1≥4 xyz x y z x+y+z Suy P ≥ (xy + yz + xz) 2(x + yz)(y + xz)(z + xy) + 4(xy + yz + xz) Ta có 2(x + yz)(y + xz)(z + xy) ≤ + x + y + z + xy + yz + xz ≤ + xy + yz + xz Suy P ≥ 64 (xy + yz + xz) + 4(xy + yz + xz) (5 + xy + yz + xz) Đặt t = xy + yz + xz suy t ≤ P ≥ 64t + (t + 5) 4t 15 64t + với t ≤ ta có minf(t) = (t + 5) 4t Chú ý Ngoài hai cách ta cách mang đậm chất HSG nên không đề cập lời giải Đó chứng minh bất đẳng thức phụ mạnh sau dồn f (xy + yz + xz) √ √ √ xy + yz + xz + xyz ≥ + xy + yz + xz xyz 2(x + yz)(y + xz)(z + xy) Xét hàm số f (t) = Cách xin nhường phần bạn đọc coi tập Quay trở lại toán tìm GTNN biểu thức dấu xảy x = y = z = 15 đạt x = y = z = Vậy GTNN biểu thức minP = BÀI THÁCH ĐẤU SỐ 04 • Tác giả : Trần Quốc Việt • Cho số thực x, y, z thõa mãn ≤ x ≤ y ≤ z xy + yz + xz = 3x Tìm GTNN biểu thức (x2 + 1) x (y + z ) + y z √ √ + y2 + z2 P = + √ x + y2 x+ y+ z BÀI THÁCH ĐẤU SỐ 05 • Tác giả : Ngô Minh Ngọc Bảo • Cho số thực dương x, y, z thõa mãn y < Tìm GTNN biểu thức P = 4z + (x − 1)(z + 1) + 1 √ + +√ √ √ 324(z + 1) 18(6 − y) x( 2y + 3z) + 6yz NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Trang 21 TỰ HỌC PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Câu : Giải phương trình: x x 1 x x Đs : x=-7;x=2 x x x x Đs : x Câu : Giải phương trình: Câu : Giải phương trình 1 2 x 12 x x x x Đs : x 3169 824569 1024 9x x Đs : x=1 x 8 Câu : Giải phương trình: x x 10 x x Đs : x=8; x=3 x8 Câu : Giải phương trình: Câu : Giải phương trình x 14 x x x 20 x Đs : x 8; x Câu : Giải phương trình x x x x Đs : x Câu : Giải phương trình: x x x 3 61 2 x Đs : x 2 Câu : Giải hệ phương trình 3 x x Đs : x=-2 3 ,x x 4 x x Đs : x=1 Câu 10 : Giải phương trình x x x x Đs : x Câu 11 : Giải phương trình x x x 1 x x x Đs : x 1; x Câu 12 : Giải phương trình: Câu 13 : Giải phương trình: x3 13 x x x x Đs : x 1; x Câu 14 : Giải phương trình x x x 1 x Đs : x Câu 15 : Giải phương trình Câu 16 : Giải phương trình Câu 17 : Giải phương trình x 12 x x 16 x 3x 89 16 1 x x Đs : x=2 x x x x x Đs: x x 1 1 Đs: x 1, x 2x x Câu 18: Giải phương trình x x x Đs: x 1, x Câu 19 : Giải phương trình x 20 x 16 x x Đs: x 0, x 4 37 17 Đs: x ;x x 14 Câu 21 : Giải phương trình x x x x Đs: x 1, x 3, x Câu 20 : Giải phương trình x x 4 x NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Trang 22 Câu 23 : Giải phương trình x 1 x Câu 22 : Giải phương trình x x x3 Đs: x 13 2 x x x3 x Đs: x 2, x Câu 24 : Giải phương trình x 2 x x Đs: x 2 2 65 20 Câu 25 : Giải phương trình x x x x x 14 Đs: x 2; x ; x Câu 26 : Giải phương trình x x x 1 x x Đs: x 0, x 1 2 Câu 27 : Giải phương trình (3 x 1) x x Câu 28 : Giải phương trình 3 1 60 x Đs: x ;x 2 ( x) (7 x ) (7 x)(2 x) Đs: x 1, x 6 x5 11 17 13 13 Đs: x ;x 4 1 Câu 30 : Giải phương trình x x x x x Đs: x 5, x 19 Câu 31 : Giải phương trình 3x x x x x Đs: x Câu 29 : Giải phương trình x 12 x 16 Câu 32 : Giải bất phương trình Câu 33 : Giải bất phương trình Câu 34 : Giải bất phương trình x 16 x3 7x Đáp số : x 10 34 x3 x3 3 x x Đáp số: x 3 x x x x Đáp số: x 10 Câu 35 : Giải bất phương trình: x x ( x 1) x x x Đáp số : x Câu 36 : Giải bất phương trình: x 1 x x x x x 12 Đáp số : 2 x 3 x x x x Đáp số :S= ;1 5 Câu 38 : Giải bất phương trình x x x x Đáp số : 1 x Câu 37 : Giải bất phương trình: Câu 39 : Giải bất phương trình x x 2 x 1 Đáp số : x x 1 Câu 40 : Giải bất phương trình x x x x x Đáp số : 1 x 0; 1 17 65 x 2 Câu 41 : Giải bất phương trình Câu 42 : Giải bất phương trình NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) x2 x x2 x4 x2 Đáp số : x x x x x Đáp số : x Trang 23 9 37 x x Đáp số : x 3, x x x 11 21 11 21 Câu 44 : Giải bất phương trình: x x 1 x x Đáp số : x 10 10 1 Câu 45 : Giải bất phương trình x 3x x x Đáp số : 1 x 9 Câu 43 : Giải bất phương trình Câu 46 : Giải bất phương trình x x 2( x x 1) Đáp số : x 3 Câu 47 : Giải bất phương trình x x x x Đáp số : 3 10 x Câu 48 : Giải bất phương trình x x x 1 x Đáp số : x=1 x x x x Đáp số: x Câu 49 : Giải bất phương trình 35 14 1 2x Đáp số: 2 x 1 x2 x 1 5 34 3 41 x x x x Đáp số: x Câu 50 : Giải bất phương trình Câu 51 : Giải bất phương trình Câu 52 : Giải bất phương trình x x x x x Đáp số :1 x Câu 53 : Giải bất phương trình: x 3 x Câu 54 : Giải bất phương trình x x x 1 x Đáp số :S= 1; 2 x3 Đáp số : 1 x Câu 55 : Giải bất phương trình x x x x 11 x x Đáp số : x Câu 56 : Giải bất phương trình x x x x Đáp số : x=0 Câu 57 : Giải bất phương trình x 15 x x x Đáp số : x=4 Câu 58 : Giải bất phương trình x x x x Đáp số : x Câu 59 :Giải bất phương trình x x x 10 x 16 Đáp số : x NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Trang 24 [...].. .Bài tập 7: Giải hệ phương trình √ √ x − 4y + 3 y = 2x + y √ √ y − 1 + x + 1 + y 2 + y = 10 Bài tập 8: Giải hệ phương trình √ √ (2x + y)2 − 8x + 3 + 2x + 2y − 3 = 3 y √ √ √ 2x + y − 2 + 5x − 4 + 2 − y + 6x2 − x − 8 = 0 Bài tập 9: Giải hệ phương trình √ √ √ √ x + 2 x + y + x = y + (2 2 + 1) y √ √ 4 4x − 3 + 3 x + 2y − 2 = x2 + 1 Bài tập 10: Giải hệ phương trình √ √... 4 x(y 3 + 2) + y(x2 + 2) = √ 2 3 Bài tập 11: Giải hệ phương trình 2 x2 + 5x − 2y = 4y 2 + 9x + 6y + x + 2 √ √ x + 2 + x + 2y = 4y 2 − x2 + 14x − 20 Bài tập 12: Giải hệ phương trình x2 + y 2 + 6x2 − 8xy + 6y 2 = x + y + 2xy (x + y + 1) x2 + x + y + 3 = xy + 6x + 1 Bài tập 13: Giải hệ phương trình √x + y + √x + 8 = y − 8 2x √x + y + √x + 2√x2 + 8x = 12 Bài tập 14: Giải hệ phương trình √ √ √ √... − y 2 1 − z 2 2 Bài tập 2 Cho các số thực dương x, y, z sao cho x + y + z = xyz Chứng minh rằng √ x z y 3 3 √ +√ + ≤ 2 1 + x2 1 + z2 1 + y2 Bài tập 3 Cho các số thực dương x, y, z sao cho x + y + z = xyz Chứng minh rằng xy + yz + zx ≥ 3 + 1 + x2 + 1 + y2 + 1 + z2 Bài tập 4 Cho các số thực dương x, y, z sao cho x + y + z = xyz Chứng minh rằng √ (x − 1)(y − 1)(z − 1) ≤ 6 3 − 10 Bài tập 5 Cho a, b, c... A−B = 2 sin cos − 2 sin2 − 2 2 2 2 = 2 cos = − 2 sin C 1 − cos 2 2 A−B 2 2 − 1 sin2 2 A−B 2 ≤ 0 Kể cả khi trong giả thiết bài toán không có những điều kiện như x + y + z = xyz hay xy + yz + zx = 1 thì phép thế lượng giác vẫn có hiệu quả nhất định, chẳng hạn như trong bài toán sau Bài toán 3 (APMO 2004/5) Chứng minh rằng, với mọi số thực dương a, b, c ta có (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9(ab + bc + ca) √... Chứng minh rằng (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) ≥ (ab + bc + ca − 1)2 Bài tập 6 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng √ 1 2 1 +√ ≥√ 2 2 1 + ab 1+a 1+b nếu 0 ≤ a, b ≤ 1 hoặc ab ≥ 3 Bài tập 7 Cho p, q, r ≥ 0 với p2 + q 2 + r2 + 2pqr = 1 Hãy chứng minh rằng tồn tại A, B, C ∈ 0, π2 sao cho p = cos A, q = cos B, r = cos C và A + B + C = π Bài toán 4 (USA 2001) Cho a, b, c là những số thực không âm sao... như một bài tập Quay trở lại bài toán thì chúng ta đã tìm được GTNN biểu thức và dấu bằng xảy ra tại x = y = z = 1 15 đạt được khi x = y = z = 1 Vậy GTNN của biểu thức là minP = 4 BÀI THÁCH ĐẤU SỐ 04 • Tác giả : Trần Quốc Việt • Cho các số thực x, y, z thõa mãn 0 ≤ x ≤ y ≤ z và xy + yz + xz = 3x Tìm GTNN của biểu thức 2 (x2 + 1) x (y 3 + z 2 ) + y 2 z 3 √ √ + y2 + z2 P = 2 + √ x + y2 x+ y+ z BÀI THÁCH... yz)(y + xz)(z + xy) • Lời giải và bình luận : Ta thấy bài toán có sự đối xứng cả ba biến và với giả thiết đã cho thì ta có điểm rơi tại x = y = z = 1 Ta sẽ có hai cách cho bài toán như sau Cách 1 Sử dụng đánh giá từ điều kiện đã cho Với giả thiết đã cho ta có 1 2 x + y2 + z2 3 2 ≤ x4 + y 4 + z 4 ≤ xy + yz + xz ≤ x2 + y 2 + z 2 ⇔ x2 + y 2 + z 2 ≤ 3 Hay ta có được x + y + z ≤ 3 và xy + yz + xz ≤ 3 Ta có... 2 (1 − 2 cos A) 1 2 Do đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh Bài tập 8 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x2 + y 2 + z 2 + 2xyz = 1 Chứng minh rằng (i) xyz ≤ 1 8 (ii) xy + yz + zx ≤ (iii) x2 + y 2 + z 2 ≥ 3 4 3 4 (iv) xy + yz + zx ≤ 2xyz + NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) 1 2 Trang 18 THỬ SỨC TRƯỚC KỲ THI ĐỀ SỐ 2 (Thời gian làm bài : 180 phút) Câu 1(1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ... cos2 B cos2 C Nhân bất đẳng thức trên theo vế ta thu được sin2 A sin2 B sin2 C sin2 D ≥ cos2 A cos2 B cos2 C cos2 D Suy ra abcd ≥ 1 Bài toán 2 (Korea 1998) Cho x, y, z là những số thực dương sao cho x + y + z = xyz Chứng minh rằng 1 3 1 1 √ + ≤ +√ 2 2 2 2 1+x 1+z 1+y NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Trang 15 Chứng minh Đặt x = tan A, y = tan B, z = tan C với A, B, C ∈ 0, π2 x+y tan A + tan B Ta có tan(π... cho a2 +b2 +c2 +abc = 4 Chứng minh rằng 0 ≤ ab + bc + ca − abc ≤ 2 NHÓM TOÁN | SỐ 02 (10-2015) Trang 17 Chứng minh Nếu cả a, b, c đều lớn hơn 1 thì a2 + b2 + c2 + abc > 4 Giả sử a ≤ 1 ta có ab + bc + ca − abc ≥ (1 − a)bc ≥ 0 Để chứng minh ab + bc + ca − abc ≤ 2 ta đặt a = 2p, b = 2q, c = 2r Khi đó ta có p2 + q 2 + r2 + 2pqr = 1 Theo Bài tập 7 ta có thể viết a = 2 cos A, b = 2 cos B, c = 2 cos C với A, ... nghiệm (x; y) = (3; 1), ( ; ) 2 III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập 1: Giải hệ phương trình √ √ x + + x − − y4 + = y x2 + 2x(y − 1) + y − 6y + = Đề thi ĐH khối A – 2014 Bài tập 2: Giải hệ phương trình √ x2... BP Bài tập 5: Giải hệ phương trình √ √ √ xy + (x − y)( xy − 2) + x = y + y √ (x + 1)(x + y − x2 + xy) = Bài tập 6: Giải hệ phương trình √ √ 4x + + 2x + = 4y − 4y + 2y − x2 + y = x + y + NHÓM TOÁN... 6x + Bài tập 13: Giải hệ phương trình √x + y + √x + = y − 2x √x + y + √x + 2√x2 + 8x = 12 Bài tập 14: Giải hệ phương trình √ √ √ √ x + x − + x(x − y) = y − x2 + y (x2 + 2x − 1) = NHÓM TOÁN