Chuyên đề tích phân Quyển 2

Ch ủ đề 6 . Tính tích phân b ằng phương pháp biến đổi 6.1. Phương pháp Đ ể tính tích phân b a I f (x)dx  ta phân tích 1 1 m m f (x) k f (x) k f (x)   Trong đó các hàm i f (x) (i 1,2, 3, ,n) có trong b ảng nguyên hàm. 6.2. Các ví d ụ minh họa Ví dụ 3.6.1. Tính các tích phân sau 1) 2 3 2 2 1 2x x x x 3x 1 I dx x      2) 1 0 xdx I 3x 1 2x 1      3) 2 2 2 I x 1 dx     . L ời giải. 1) Ta có: 2 1 2 2 3 2 1 3 I (2x x x )dx x        2 1 3 3 3 2 1 4 1 8 2 23 x 3x 3 ln x 3 2 3 ln 2 3 x 3 10                     . 2) Ta có:     x (3x 1) (2x 1) 3x 1 2x 1 3x 1 2x 1           Nên 1 0 I ( 3x 1 2x 1)dx     1 3 3 0 2 1 17 9 3 (3x 1) (2x 1) 9 3 9               . 3) Ta có: 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 I x 1 dx (x 1)dx (1 x )dx (x 1)dx                 Suy ra 1 1 2 3 3 3 2 1 1 x x x I x x x 4 3 3 3                                                        . Ví d ụ 3.6.2. Tính các tích phân sau 1) 3 2 0 2 I 2 sin x 3 tan x dx cos x                  2) 2 0 I 2sin x.sin 5xdx    3) 4 4 0 I 8sin 2xdx    . Lời giải. 1) Ta có   3 0 I 2 cos x 3ln cos x 2tan x 1 3 ln 2 2 3         . 2) Ta có: 2 2 0 0 1 1 I (cos 4x cos 6x)dx sin 4x sin 6x 0 4 6                     . 3) Ta có: 4 2 8 sin 2x 4(1 2cos 4x cos 4x) 2(3 4 cos 4x cos 8x)      www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Nên 4 4 0 0 1 3 I 2 (3 4 cos 4x cos 8x)dx 2 3x sin 4x sin 8x 8 2                        . Ví d ụ 3.6.3. Tính các tích phân 1) 4 2 2 3 x dx I x 3x 2     2) 3 3 2 2x 3 I dx x 3x 2      . L ời giải. 1) Ta có: 2 2 2 2 x 3 2x 3 5 1 1 2 2 x 3x 2 x 3x 2 x 3x 2           2 3 2x 3 5 1 1 1 2 2 x 2 x 1 x 3x 2                      Suy ra 4 2 3 3 5 x 2 I x ln x 3x 2 ln 2 2 x 1                     3 5 4 1 ln 3 ln 2 2 3    . 2) Ta có: 3 2 x 3x 2 (x 1) (x 2)     2 2x 3 a(x 1) b(x 2)(x 1) c(x 2)        2 2x 3 (a b)x (c 2a b)x a 2b 2c          a b 0 1 1 5 2a b c 2 a , b ,c 9 9 3 a 2b 2c 3                           . Suy ra 3 2 2 1 1 1 1 5 1 I dx 9 x 2 9 x 1 3 (x 1)                   3 2 1 x 1 5 1 8 5 ln ln 9 x 2 3(x 1) 9 5 6                     . 6.3. Bài tập áp dụng Bài 3.6.1. Tính các tích phân sau 1 3 0 1) I (x x 2x 1)dx    2) 1 0 dx I x 1 x     3) 1 2 0 x I dx x 1    4) 2 0 I x 1 dx   5) 3 2 0 2 I (2sin x 3cos x )dx cos x      6) 2 2 0 I sin (2x )dx 4      7) 2 - 2 I sin 2x.sin 3x     8) 4 4 0 I cos 2xdx    9) 3 2 6 cos 2x I dx sin 2x     10) 1 2 4 2 0 x I dx x 1    11) 1 2 0 4x 11 I dx x 5x 6      12) 1 3 2 0 x I dx x 2x 1     www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net 13) 2 3 2 0 x 3x 2 I dx x 3x 2       14) 3 2 3 2 x 2x 3 I dx x x      15) 2 0 cos x I dx sin x 2 cos x     16) 2 2 0 I x x dx   17) 3 2 2 4 3 cot x I dx cos x      18)   1 2 0 x x 1 I dx x 4     19) 3 2 2 6 dx I sin x cos x     20) 1 0 I x x a dx, a 0    21) 2 0 I 1 cos 2xdx     . Hư ớng dẫn giải. Bài 3.6.1. 1) Ta có: 3 1 1 3 3 2 0 0 I (x x 2x 1)dx (x 2x 1)dx        1 5 4 2 0 2 1 19 x x x 5 2 10                 . 2) Ta có: 1 1 0 0 dx I ( x 1 x)dx x 1 x         1 1 1 3 3 1 2 2 2 2 0 0 2 2 4 2 4 [(x 1) x ]dx (x 1) x 3 3 3                      3) Ta có: 1 1 2 0 0 x 1 I dx (x 1 )dx x 1 x 1         1 2 0 1 1 x x ln(x 1) ln 2 2 2               . 4) Ta có: 2 1 2 0 0 1 I | x 1|dx (1 x)dx (x 1)dx         2 1 2 2 0 1 1 x x x x 1 2 2                        5) Ta có: 3 0 2 3 I 2cos x 3sin x 2 tan x 2              . 6) Ta có: 2 2 0 0 1 1 I 1 cos(4x ) dx (1 sin 4x)dx 2 2 2                   2 0 1 1 x cos 4x 2 4 4              . 7) Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 4 I (cos x cos 5x)dx (sin x sin 5x) 2 2 5 5             . www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net 8) Ta có: 4 2 1 1 cos 2x (1 2 cos 4x cos 4x) (3 4 cos 4x cos 8x) 2 4       Nên 4 4 0 0 1 1 1 3 I (3 4 cos 4x cos 8x)dx 3x sin 4x sin 8x 4 4 8 16                    . 9) Ta có: 3 3 2 6 6 1 d(sin 2x) 1 1 I 0 2 2 sin 2x sin 2x          . 10) Ta có: 1 1 2 2 4 2 2 2 0 0 x 1 1 1 I dx (x 1 )dx x 1 x 1           1 2 2 0 1 1 x 1 dx 2(x 1) 2(x 1)                    1 2 3 0 1 1 x 1 13 1 1 x x ln ln 3 2 x 1 24 2 3                     . 11) Ta có: 4x 11 (x 2) 3(x 3)     Nên:   1 1 0 0 1 3 I dx ln| x 3| 3 ln| x 2| x 3 x 2                      9 ln 4 2 ln 3 3ln 2 ln 2     . 12) Ta có: 3 2 2 x x(x 1) 2(x 1) 3(x 1) 1       nên: 1 1 2 2 0 0 3 1 x 1 I x 2 dx 2x 3 ln(x 1) x 1 2 x 1 (x 1)                                  I 2 3 ln 2    . 13) Ta có: 3 2 x 3x 2 (x 3)(x 3x 2) 10x 8        2 2 0 0 10x 8 12 2 I x 3 dx x 3 dx (x 1)(x 2) x 2 x 1                                2 2 0 x 3x 12 ln| x 2| 2 ln| x 1| 4 12 ln 2 2 ln 3 2                     . 14) Ta phân tích: 2 x 2x 3 ax(x 1) bx(x 1) c(x 1)(x 1)         Cho x 0; x 1; x 1    ta tìm được: a 1; b 3;c 3    3 3 2 2 1 3 3 I dx ln| x 1| 3 ln| x 1| 3 ln x x 1 x 1 x                           4 I 8 ln 2 4 ln 3 4 ln 3     . www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net 15) Ta xác đ ịnh a, b sao cho: cos x a(sin x 2cos x) b(cos x 2sin x)    2 1 a , b 5 5    2 2 0 0 2 1 cos x 2 sin x 2 1 I ( )dx ( x ln|sin x 2 cos x|) 5 5 sin x 2 cos x 5 5            ln 2 5    . 16) Ta có: 2 2 2 x x khi x [1;2] x x x x khi x [0;1]                 Nên 1 2 1 2 3 2 3 2 2 2 0 1 0 1 x x x x I ( x x)dx (x x)dx 1 3 2 3 2                                            17) 3 3 2 2 2 2 4 4 3 1 I (3 cot x)(1 tan x)dx dx cos x sin x                    3 4 10 3 12 (3 tan x cot x) 3       . 18) 3 I 1 ln 3 ln 2 2    19) 3 2 2 6 1 1 4 3 I dx 3 sin x cos x                   20) HD: Xét hai trư ờng hợp * 1 0 3a 2 a 1 I x(a x)dx 6        * a 1 3 0 a 2a 3a 2 0 a 1 I x(a x)dx x(x a)dx 6             . 21) 2 2 0 0 0 I 2 sin x dx 2 sin xdx 2 sin xdx 2           . Ch ủ đề 7 . Tính tích phân b ằng ph ương pháp đổi biến số 7.1. Phương pháp 7.1.1. Phương pháp đ ổi biến số loại 1 Gi ả sử cần tính   b a I f x dx  ta th ực hiện các bước sau Bư ớc 1 : Đ ặt   x u t (v ới   u t là hàm có đ ạo hàm liên tục trên ;         ,     f u t xác đ ịnh trên ;         và     u a, u b    ) và xác đ ịnh ,  . www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Bư ớc 2 : Thay vào ta có:               I f u t .u ' t dt g t dt G t G G                . M ột số dạng th ường dùng phương pháp đổi biến số dạng 1 * Hàm s ố d ư ới dấu tích phân chứa 2 2 2 a b x ta thư ờng đặt a x sin t b  * Hàm s ố dưới dấ u tích phân ch ứa 2 2 2 b x a ta thư ờng đặt a x b sin t  * Hàm s ố dưới dấu tích phân chứa 2 2 2 a b x ta thư ờng đặt a x tan t b  * Hàm s ố dưới dấu tích phân chứa   x a bx ta thư ờng đặt 2 a x sin t b  7.1.2. Phương pháp đ ổi biến số loại 2 Tương t ự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi là loại 2) như sau. Đ ể tính tích phân   b a I f x dx  , n ếu       f x g u x .u ' x        , ta có th ể thực hiện phép đổi biến như sau Bư ớc 1 : Đ ặt     t u x dt u ' x dx   . Đ ổi cận     x a t u a , x b t u b      Bư ớc 2 : Thay vào ta có     u(b) b a u(a) I g t dt G t   . 7.2. Các ví d ụ minh họa Ví d ụ 3.7.1. Tính các tích phân sau 0 2 1 x 1 1) I dx 4 x      3 2 1 x 1 2) I dx x(2 x)     0 2 2 1 dx 3) I (x 2x 2)      . L ời giải. 1) Ta có: 1 2 0 (x 1)dx I 4 x)     . Đ ặt x 2 sin t dx 2 cos t.dt   Đ ổi cận: x 1 t ; x 0 t 0 6            0 0 0 2 6 6 6 (1 2 sin t)2 cos tdt I (1 2 sin t)dt t 2 cos t 4 4 sin t                 3 2 6     . 2) Đ ặt 2 x 2 sin t, t 0; dx 4 sin t cos tdt 2              www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Đ ổi cận: 1 3 3 x 1 sin t t ; x sin t t 4 2 2 3 2             3 3 2 2 2 2 4 4 (2sin t 1)4 sin t cos tdt I 2 (2sin t 1)dt 2 sin t(2 2 sin t)             3 3 4 4 1 2 6 3 3 2 (2 cos 2t)dt 2 (2t sin 2t) 2 6              . 3) Ta có: 0 2 2 1 dx I (x 1) 1            . Đ ặt 2 x 1 tan t, t [0; ) dx (1 tan t)dt 2        Đ ổi cận: x 1 t 0; x 0 t 4         . 4 4 4 2 2 2 2 0 0 0 1 tan t 1 I dt cos tdt (1 cos 2t)dt 2 (1 tan t)              4 0 1 1 2 (t sin 2t) 2 2 8       . Ví d ụ 3.7.2. Tính các tích phân sau 1) 1 3 0 x I dx 1 x    2) 2 0 x I dx 4 x    . L ời giải. 1) Ta có: 1 3 0 xdx I 1 x    . Đ ặt 2 2 3 2dt x x tan t xdx (1 tan t)dt xdx 2 3 cos t       4 4 4 2 2 2 0 0 0 2dt 2 dt 2 d(sin t) I 3 cos t 3 1 sin t 3.cos t 1 tan t               4 0 1 1 sin t 2 ln ln 2 1 . 3 1 sin t 3       2) Đ ặt 2 x 4 sin t, t 0; dx 8sin t cos tdt 2              Đ ổi cận: x 0 t 0, x 2 t 4        www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Suy ra: 4 4 4 2 2 2 0 0 0 4 sin t I .8sin t cos tdt 8 sin tdt 4 (1 cos 2t)dt 4 cos t           4 0 1 4(t sin 2t) 2 2       . Ví d ụ 3.7.3. Tính các tích phân sau 1) 8 3 1 x I dx x    4 4 12 4 5 dx 2) I x x 4    3) 3 3 1 2 xdx I 2x 2     4) 2 1 x I dx 1 2 x 1     . Lời giải. 1) Đ ặt 2 t 1 x x t 1 dx 2tdt       Đ ổi cận: x 3 t 2; x 8 t 3      3 3 3 2 2 2 2 t.tdt 1 1 t 1 I 2 2 (1 )dt 2 t ln (t 1)(t 1) 2 t 1 t 1                          1 1 1 1 3 2 3 ln 2 ln 2 ln . 2 2 2 3 2                   2) Ta có: 2 3 3 4 4 5 x dx I x x 4    Đ ặt 4 4 2 3 t x 4 x t 4 2x dx tdt       Đ ổi cận: 4 4 x 5 t 3; x 12 t 4      4 4 4 2 2 3 3 3 tdt 1 dt 1 t 2 1 5 I ln ln 2 8 t 2 8 3 (t 4)t t 4            . 3) Đ ặt 3 3 2 3 t 2 3 t 2x 2 t 2x 2 x dx t dt 2 2           Đ ổi cận : 1 x t 1 2     ; x 3 t 2   .Ta có : 2 2 2 3 2 4 5 2 1 1 1 (t 2) 3 3 3 3 3 I . t dt t t dt t t 2t 2 4 2 20 4                                 24 3 3 12 3 5 20 4 5                              . 4) Đ ặt 2 t 1 1 t 1 2 x 1 x 1 dx (t 1)dt 2 2                       Đ ổi cận: x 1 t 1; x 2 t 3      3 3 2 2 1 1 1 (t 2t 5)(t 1) 1 5 I dt (t 3t 7 )dt 8 t 8 t            www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net 3 3 2 1 1 t 3t 1 32 7t 5 ln t 5 ln 3 8 3 2 8 3                                  . Ví d ụ 3.7.4. Tính các tích phân sau 2 5 0 1) I sin xdx    2 0 sin 2x sin x 2) I dx 1 1 3 cos x       3) 2 2 2 0 sin 2x I dx 4 sin x cos x     . L ời giải. 1) Ta có: 2 2 2 0 I (1 cos x) sin xdx     . Đ ặt t sin x dt cos xdx   Đổi cận : x 0 t 0; x t 1 2        1 1 2 2 2 4 0 0 8 I (1 t ) dt (1 2t t )dt 15          . 2) Ta có: 2 0 (2 cos x 1) sin x.dx I 1 1 3 cos x       . Đ ặt 2 t 1 cos x 3 t 1 3cos x 2 tdt sin xdx 3                     Đ ổi cận: x 0 t 2, x t 1 2        . 2 1 2 3 2 1 t 1 2 1 2 2 2t t 3 I t dt dt 1 t 3 9 t 1                       2 2 1 2 3 (2t 2t 3 )dt 9 t 1       2 3 2 1 2 2t 28 2 3 t 3t 3ln t 1 ln 9 3 27 3 2                       . 6) Đ ặt 2 2 2 2 3sin 2x t 4 sin x cos x dt dx 4 sin x cos x      2 2 sin 2x 1 dx dt 3 a sin x b cos x    . Đ ổi cận x 0 t 1; x t 2 2        2 1 1 1 I dt 3 3     . www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Ví d ụ 3.7.5. Tính các tích phân sau 1) 3 0 dx I cos x.cos x 3                  2) 2 3 0 sin xdx I ( 3 sin x cos x)     3) 6 4 0 tan x I dx cos 2x    . L ời giải. 1) Ta có: 3 3 2 0 0 dx dx I 2 2 cos x(cos x 3 sin x) cos x(1 3 tan x)         Đặt 2 dx t tan x dt cos x    Đổi cận: x 0 t 0; x t 3 3        3 3 0 0 dt 2 3 4 3 I 2 ln|1 3t| ln 2 3 3 1 3t        . 2) Ta có: 2 3 0 sin(x )dx 6 6 I 8 sin (x ) 6          2 2 2 3 0 0 cos(x )dx 3 dx 1 6 16 16 sin (x ) sin (x ) 6 6             2 2 2 0 0 3 1 1 1 cot(x ) 16 6 32 6 sin (x ) 6           . 3) Đặt 2 dt t tan x dx 1 t     . Khi đó: 2 2 1 t cos 2x 1 t    Đổi cận: 1 x 0 t 0; x t 6 3        . 1 1 1 3 3 3 4 2 4 2 2 2 2 2 0 0 0 t (1 t )dt t dt dt I t 1 dt (1 t )(1 t ) 1 t 1 t                           1 3 3 0 1 1 t t 1 3 1 10 3 ln t ln 2 1 t 3 2 27 3 1                         . Ví d ụ 3.7.6. Tính các tích phân sau 1) 2 e e ln x I dx x(ln x 1)    2) e 1 1 3 ln x.ln x I dx x    www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net [...]... 1 2  2 x  t 2  1   1 1  2 2 14) Đặt t  1  x    dt  dx  2 dt  x dx  x dx t  1  x 1  x2   1  x2 x 1  x2   1 2 1 2 2 2  1 1 1 1    dt   dt       t  1  t  1 dt 2  2  t  1t  1  t 1 3 3 3 1  2 1 ln t  1  ln t  1  2 2 2 1 2 3 1 74 3 ln  ln 2 3 2 3 2 3  1 15) Đặt J   1 x  4 dx  2 x  4x  5 2  1 2 2 1 2 x  2 dx 2 x  4x  5 2. ..  2 Đặt t  x  2  dx 2 x  2      dx     2 x  2  1    x  2 t 2  x  2 dx 1 w w dt  t      1  dt  1       1 w  1 b 2 dx ox x  2 2 1 ilie 1  x  2 dx ta 1 2 2 1 Trong đó K  1  2 1 1  ln x2  4x  5  2K  ln 2  2K 2 2 2 t  1 1  t 1  2 1 1 2 3       ln  ln  ln     3     3  t 1  3 2 2  2  3 ne I 1 2 u I 1 2. ..  3  t  3 dt   t  3t  3 6  4 3  3 x  x  20 11x x 1 M 1 3 2 2 x2  x 1 4 dx   dx Đặt t  3 1 x2 x 1 1 3 3 2 2 1  N 2 2  1 20 11 x 0  b dx   x3 Vậy, I  M  N  19) I  x 2 1 w 1 1 3 dx  2 2  3 dx  2 2 20 11  x3 1 3 2  3 7 2 3 7 2  t3dt   0 3 20 11x dx   1 21 3 7 128 20 11 2 2 2 2x 1  14077 21 3 7  16 128 dx 1 3 2 x  1  x  1 1 Đặt t  x  1  dt  dx Đổi cận:... x2  2  x2 có hai nghiệm x  1 Dựa vào đồ thị, ta có: 1 2 0 2x3 2  x dx  3 1 2  2 0 0 1 2  x2 dx   2 0 2 3 Đặt x  2 sin t  dx  2 cos tdt 2  x2 dx  2 cos2 xdx   0 0  0 1 x  4 1  1 (1  cos 2x)dx  (x  sin 2x)   2 4 2 0 b  2 3  2 Vậy: SD   1   2 3 6 ilie  4 -1 ox  4  4 ta Đổi cận: x  0  t  0; x  1  t   y 2 ( 2  x  x )dx  2 ( 2  x  x )dx 1 1 5 3 t  1 2. .. u  2, t  1  u  2 2 2 1 Do đó: I     2 2 2 u 1 2 20) I  ln 3 du 2e3x  e2x  x 4e x  3  1 0 e Đặt t  4e  3x  3e 2x   2e3x  e2x dx   1  1  1 u 1  du  ln     u  1 u  1 2 u 1   dx  ln 3  0 2  t  4e 3x 2e3x  e2x 4e3x  3e2x  1 2  2 1 ln 3 3  2 2 2  dx    3e2x  2tdt  12e3x  6e2x dx tdt 3 t Đổi cận: x  0  t  1; x  ln 3  t  9 3 s inxcos x 1  cos2 x... sau 0 Lời giải 3)I  0  (2x 2  x  1) ln(x  2) dx 1 w du  dx  u  x     dv  sin 2xdx v   1 cos 2x     2  1) Đặt   1  I   x cos 2x 2  2 0  2  1  1    cos 2xdx   sin 2x 2  0 2 4 4 4 0 du  dx  u  x  2    2) Đặt    dv  e2x 1 v  1 e2x 1     2  2 1 1 1 5e  e3 2  I  (x  2) e2x 1 0   e2x 1dx  e  e2x 1 2  0 2 2 4 4 0 www.boxtailieu.net... 1 2 2 1  t 2 1 1 2 t  1 www.boxtailieu.net dt  2 1 2 1  1 1 1 1 1    ln t  1      t2  t  t  1  dt    2 2  2 1 2 1 2 1  1 1   t  1 1 1  A  ln 1  2   ln   ln 1  2  ln   t   t  2 2  2   2 1  17) I   4    2  2 1  1  2  1 2 xdx  7 x2 x2  9 Đặt : t  x2  9  x2  t2  9.xdx  tdt Đổi cận: x  7  t  4, x  4  t  5  4  t2 ... ln(x  2)   x 2 3) Đặt     2 dv  (2x  x  1)dx  2 3 1 2    v  x  x  x  3 2   2 1 1 0  I  ( x3  x2  x) ln(x  2) 1  3 2 6   1 6 0 (4x2  5x  16   1 0 4x3  3x2  6x dx x 2  1 32 1 4 5 0 )dx   ( x 3  x 2  16x  32 ln(x  2) ) 1 x 2 6 3 2 16 119 ln 2  3 396 Ví dụ 3.8 .2 Tính các tích phân sau 2) I   1  ln(x  1) x 1 0 2 1  x sin x t 1) I   x(1  sin 2x)dx... cận: x  2  t  1, x  1  t  1  2 Khi đó: K  1 2  1 Do đó: J  1 2 dt  ln t  ln 1  2 1 t  1 ln 2  2 ln 1  2 2    16) Đặt: t  x  1  x2  t  x  1  x2  x  1  1  t2  1 1  1  dt    t    dx        2   2t 2 t    2t 2  Đổi cận : x   1  t  2  1, x  1  t  2  1 Khi đó: A  1    1  dt  2  2 2t    2 1    21 1 t 1  2 2 1  2 1 dt 1... t  2 t2  1t2  1 tdt  2 2 Do đó: I   6) I   10  1 10 4 dx   x2  3x  2 3 3  x2  3x  2 3  x2  x 3 x  1dx x 2  3x  2 10  1  10 1  dx  4  ln x  2  ln x  1   8 ln 2  ln 3 dx  4      x2  3x  2  x  2 x  1  3   3 3 4 Hay I1  8 ln  3 x2  x 3 x  1dx  10 x3 x  1 dx  x2  3x  2 3 x 2 t 10 2 3 ne I2  1 x2  x 3 x  1dx  10 10 4  I1   t 1 2 1 .  3 7 x 2 2 t 2     Khi đó 3 7 3 2 2 2 3 2 3 3 1 0 1 1 3 21 7 x M dx t dt 2 128 x          2 2 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 20 11 20 11 14077 N dx 20 11x dx 16 x 2x         V ậ y, 3 14077 21 . t t 4 2 2 3 2             3 3 2 2 2 2 4 4 (2sin t 1)4 sin t cos tdt I 2 (2sin t 1)dt 2 sin t (2 2 sin t)             3 3 4 4 1 2 6 3 3 2 (2 cos 2t)dt 2 (2t sin 2t) 2 6     .  1 1 1 2 2 2 2 2 2 x 4 dx 2 x 2 dx 1 1 J 2 dx 2 x 4x 5 x 4x 5 x 2 1                     1 2 2 1 1 ln x 4x 5 2K ln 2 2K 2 2         Trong đó   1 2 2 1 K dx x 2 1    