Chuyên đề tích phân Quyển 1

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 1 CHƯƠNG 3. NGUYÊ HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chuyên đề 1. Tính nguyên hàm bằng cách áp dụng tính chất f '(x)dx f (x) C   . 1.1. Phương pháp: Giả sử ta cần tìm nguyên hàm I g(x)dx  Sử dụng các phép biến đổi của đạo hàm để đưa g(x) f '(x) . Khi biến đổi, cần lưu ý đ ến các công thức đạo hàm:    u ' v ' u v '    u ' v v ' u (uv) '   2 u ' v v ' u u ' v v               1.2. Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 3.1.1. Tìm họ nguyên hàm: I x sin 2xdx  . Lời giải. Ta có: ' 1 1 1 x sin 2x x cos 2x x ' cos 2x cos 2x 2 2 2                              ' ' 1 1 1 1 x cos 2x (sin 2x) ' x cos 2x sin 2x 2 4 2 4                               Do đó: 1 1 I x cos 2x sin 2x C 2 4     . Ví dụ 3.1.2. Tìm họ nguyên hàm 2x I sin 3x.e dx    . Lời giải. Ta có:   ' 2x 2x 2x 2x 1 1 3 sin 3x.e sin 3x e ' e sin 3x e cos 3x 2 2 2                                    ' ' 2x 2x 2x 2x 1 3 1 1 9 sin 3x.e cos 3x e e . cos 3x ' e sin 3x 2 2 2 2 4                                                            Suy ra ' 2x 2x 2x 13 1 3 e sin 3x sin 3x.e e cos 3x 4 2 4                   Do đó: 2x 2x 4 1 3 I sin 3x.e e cos 3x C 13 2 4                   . Ví dụ 3.1.3. Tìm họ các nguyên hàm 2 I x ln xdx  . Lời giải. www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 2 Ta có:   ' ' 3 3 2 3 3 3 x x 1 1 1 x ln x ln x (ln x) ' x ' x ln x x 3 3 9 3 9                                 Do đó: 3 3 1 1 I x ln x x C 3 9    . Ví dụ 3.1.4. Tìm họ nguyên hàm 1 x x 1 I x 1 e dx x                  . Lời giải. Ta có: 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x 2 1 1 1 x 1 e x e e x 1 e e x x x                                                  ' ' 1 1 1 x x x x x x x e x '.e xe                                           Do đó: 1 x x I xe C    . Ví dụ 3.1.5. Tìm họ nguyên hàm 2 1 1 I dx ln x ln x                . Lời giải. Ta có: ' 2 2 2 1 1 ln x 1 x ' ln x x.(ln x) ' x ln x ln x ln x ln x ln x                   Do đó: x I C ln x   . Ví dụ 3.1.6. Tìm họ các nguyên hàm x 1 sin x I e dx 1 cos x     . Lời giải. Ta có: 2 2 x x x 2 x x sin cos 2 2 1 sin x 1 1 x e e tan 1 e x 1 cos x 2 2 2 cos 2                                 ' 2 x x x x 1 x x 1 x x (1 tan )e 2e tan 2 tan e 2 e ' tan 2 2 2 2 2 2                                      ' x x e tan 2              Do đó: x x I e tan C 2   . 1.3. Bài tập. Bài 3.1.1. Tìm họ các nguyên hàm sau www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 3 1) I (2x 1) cos xdx   2) 2x I xe dx  3) 3x I cos 2x.e dx  4) I x ln(x 1)dx   5) 2 x I dx sin x   6) 2 I x ln xdx  7) 1 x cot x I dx sin x    8) 2 x 2 x x 1 I e dx (x 1)      9) 2 2 ln x 1 I xdx ln x    10) 3 3 4 dx I (1 x )    . Hướng dẫn giải Bài 3.1.1. 1) Ta có: (2x 1) cos x (2x 1)(sin x) ' (2x 1) 'sin x 2sin x          (2x 1)sin x ' 2(cos x) ' (2x 1) sin x 2cos x '      Do đó: I (2x 1) sin x 2cos x C    . 2) Ta có:   2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 1 1 1 1 1 1 1 xe x e ' x '. e e xe ' e ' xe e ' 2 2 2 2 4 2 4                                                        Do đó 2x 2x 1 1 I xe e C 2 4    . 3) Ta có:   ' ' 3x 3x 3x 3x 1 1 3 cos 2x.e sin 2x e sin 2x e sin 2x.e 2 2 2                  ' ' ' 3x 3x 3x 3x 1 3 1 1 9 sin 2x.e cos 2x .e cos 2x. e cos 2x.e 2 2 2 2 4                                         Suy ra ' 3x 3x 3x 13 1 3 cos 2x.e sin 2x.e cos 2x.e 4 2 4               Vậy 3x 3x 1 3 I sin 2x.e cos 2x.e C 2 4    . 4) Ta có:   ' 2 ' 2 2 1 1 1 x x ln(x 1) x .ln(x 1) x ln(x 1 2 2 2 x 1                    ' 2 1 1 1 x ln(x 1) x 1 2 2 x 1                               Vậy   2 2 1 1 1 I x ln x 1 x x ln(x 1) C 2 2 2                    . 5) Ta có:         ' ' ' 2 sin x x x. cot x x ' cot x cot x x cot x sin x sin x         Suy ra I x cot x ln sin x C    . 6) Ta có:   ' 2 2 2 2 2 1 1 x ln x x ln x x ln x ' x ln x 2 2                  ' ' ' 2 2 2 2 1 1 1 1 x ln x x ln x x ln x x 2 2 2 2                                         www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 4 ' 2 2 2 2 1 1 1 x ln x x ln x x 2 2 4                Vậy 2 2 2 2 1 1 1 I x ln x x ln x x C 2 2 4     . 7) Ta có:   ' 2 2 x 'sin x x. sin x ' 1 x cot x sin x x cos x x sin x sin x sin x sin x                   Do đó x I C sin x   . 8) Ta có: 2 x x x x x x 2 2 2 x x 1 xe (x 1)(e ) ' (x 1)'e e e e (x 1) (x 1) (x 1)               ' ' x x ' x x e e e e x 1 x 1                                     Suy ra x x e I e C x 1     . 9) Ta có: ' 2 2 2 2 2 2 2 ln x 1 2x ln x x (x ) ' ln x x (ln x) ' x x ln x ln x ln x ln x                      Vậy 2 x I C ln x   . 10) Ta có: 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 2 3 2 3 2 x 1 x 1 1 x x (1 x ) (1 x ) (1 x ) . (1 x ) (1 x )            ' 3 3 3 3 ' 3 3 3 2 3 x '. 1 x x. 1 x x (1 x ) 1 x                                  . Vậy 3 3 x I C 1 x    . Chuyên đề 2. Nguyên hàm P(x) I dx Q(x)   2.1. Phương pháp giải Sử dụng các phép biến đổi đưa về các nguyên hàm cơ bản sau  du ln u C u     dx 1 ln ax b C ax b a       n n 1 dx 1 1 1 C n 1 a (ax b) (ax b)         với n 2 www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 5  2 2 dx 1 x arctan C k k x k     . 2.2. Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 3.2.1. Tìm họ các nguyên hàm sau 2 2x x 1 I dx x 1      . Lời giải. Ta có: 2 2 2x x 1 2(x 1) 3(x 1) 2       Suy ra 2 2 I 2x 2 3 dx x x 2 ln x 1 C x 1                        . Chú ý: Cho f (x) là đa thức bậc n . Khi đó: (n) n 0 0 0 0 0 f (x ) f '(x ) f (x) (x x ) (x x ) f (x ) n ! 1!       Trong đó (k) 0 f (x ) là đạo hàm bậc k của hàm số f tại 0 x Ví dụ 3.2.2. Tìm họ các nguyên hàm 2 4 x 3x 1 I dx (x 1)      . Lời giải. Ta có: 2 2 x 3x 1 (x 1) (x 1) 3       Suy ra 2 3 4 1 1 3 I dx (x 1) (x 1) (x 1)                  2 3 1 1 1 C x 1 2(x 1) (x 1)         . Chú ý: Để giải bài trên, ta có thể thực hiện phép đổi biến số bằng cách đặt t x 1  Suy ra x t 1 dx dt    2 2 4 4 2 3 4 (t 1) 3(t 1) 1 t t 3 1 1 3 I dt dt dt t t t t t                           2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 C C t x 1 2t t 2(x 1) (x 1)              . Ví dụ 3.2.3. Tìm họ các nguyên hàm sau 3 3 2 3 x (x 1) I dx (2x 2x 1)       . Lời giải. Ta có: 3 3 3 2 2 x (x 1) 2x 3x 3x 1 (2x 1)(x x 1)          Đặt 2 t 2x 2x 1 dt (4x 2)dx 2(2x 1)dx        Suy ra 3 2 3 2 1 t 1 1 1 1 1 1 I dt dt C 4 4 4t t t t 8t                       2 2 2 1 1 C 4(2x 2x 1) 8(2x 2x 1)         . Ví dụ 3.2.4. Tìm họ các nguyên hàm www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 6 2 2 3x x 1 I dx x 5x 6       . Lời giải. Ta có: 2 16x 17 I 3 dx x 5x 6                    Ta phân tích 16x 17 a(x 2) b(x 3)     Cho x 2, x 3  ta tìm đư ợc a 31, b 15   Suy ra 31 15 I 3 dx 3x 31 ln x 3 15 ln x 2 C x 3 x 2                         . Ví dụ 3.2.5. Tìm họ các nguyên hàm sau 3 3x 4 I dx x 4x     . Lời giải. Ta phân tích: 3x 4 ax(x 2) bx(x 2) c(x 2)(x 2)        Cho x 0, x 2, x 2    ta có được: 4 4c 5 1 2 8b a , b , c 1 4 4 10 8a                       Suy ra 5 1 1 1 1 5 1 I dx ln x 2 ln x 2 ln x C 4 x 2 4 x 2 x 4 4                           . Ví dụ 3.2.6. Tìm họ nguyên hàm 2 2 dx I (x 1)    . Lời giải. Ta có:   2 2 2 2 2 2 2 (1 x) (1 x) 1 1 1 1 2 1 4 4 (1 x)(1 x) (1 x) (1 x) (1 x) (1 x) x 1                               2 2 1 1 1 1 1 4 1 x 1 x (1 x) (1 x)                   Suy ra 1 1 1 x 1 I ln C 4 x 1 1 x x 1                  . Ví dụ 3.2.7. Tìm họ các nguyên hàm sau 3 2x 3 I dx x 1     . Lời giải. Ta có: 2 2x 3 (ax b)(x 1) c(x x 1)       Cho 1 3c 1 8 1 x 1, x 0, x 1 3 b c c , b , a 3 3 3 5 2a 2b c                            www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 7 Do đó: 2 2 2 1 dx 1 x 8 1 1 2x 1 5 dx I dx ln x 1 3 x 1 3 3 6 3 x x 1 x x 1 x x 1                    2 1 1 5 ln x 1 ln x x 1 J 3 6 3       Ta có: 2 dx 1 1 2x 1 2 2x 1 J 4 4. . .arctan C .arctan C 2 3 3 3 3 (2x 1) 3           . Ví dụ 3.2.8. Tìm họ các nguyên hàm sau (x 1) cos x x sin x I dx cos x x sin x      . Lời giải. Ta có:   cos x x sin x ' (x 1) cos x x sin x x cos x 1 1 cos x x sin x cos x x sin x cos x x sin x           Suy ra I x ln x sin x cos x C    . Ví dụ 3.2.9. Tìm họ nguyên hàm 4 dx I x 4    . Lời giải. Ta có: 4 2 2 2 2 2 1 1 1 x 4 (x 2) 4x (x 2x 2)(x 2x 2)          Ta phân tích: 2 2 1 (ax b)(x 2x 2) (cx d)(x 2x 2)        Đồng nhất hệ số ta có: a c 0 2a b 2c d 0 1 1 1 a , b d , c 8 4 8 a b c d 0 2b 2d 1                                  Suy ra 4 2 2 1 1 x 2 1 x 2 8 8 x 4 x 2x 2 x 2x 2           2 2 2 2 1 x 1 1 x 1 1 1 1 1 8 8 8 8 x 2x 2 x 2x 2 (x 1) 1 (x 1) 1                . Suy ra 2 2 1 x 2x 2 1 I ln arctan(x 1) arctan(x 1) C 8 8 x 2x 2                 . Ví dụ 3.2.10. Tìm họ nguyên hàm 6 dx I x 1    . Lời giải. Ta có: 2 2 2 6 2 4 2 4 2 6 1 x 1 x 1 x x 1 (x 1)(x x 1) x x 1 x 1             Mà: 2 3 3 6 6 x 1 d(x ) 1 dx arctan(x ) C 3 3 x 1 x 1        . www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 8 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x x 1 (x 1) 3x (x 3x 1)(x 3x 1)           Ta phân tích:         2 2 1 ax b x 3x 1 cx d x 3x 1        Đồng nhất hệ số ta có: a c 0 a 3 b c 3 d 0 1 1 1 a , b d , c 2 2 3 2 3 a b 3 c d 3 0 b d 1                                  . Suy ra 4 2 2 2 1 1 x 3 1 x 3 2 3 2 3 x x 1 x 3x 1 x 3x 1            2 2 2 2 1 2x 3 1 2x 3 1 1 1 4 4 3 4 3 x 3x 1 x 3x 1 x 3x 1 x 3x 1                          Do đó: 2 4 2 2 dx 1 x 3x 1 1 ln arctan(2x 3) arctan(2x 3) C 2 4 3 x x 1 x 3x 1                    Vậy 2 3 2 1 1 x 3x 1 1 I arctan(x ) ln arctan(2x 3) arctan(2x 3) C 3 2 4 3 x 3x 1                  . Ví dụ 3.2.11. Tìm họ nguyên hàm 4 2 6 x x 1 I dx x 1      . Lời giải. Ta có: 4 2 4 2 2 2 6 6 6 4 2 6 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1               2 3 3 3 6 3 3 3 3 3 x 1 d(x ) 1 1 1 1 x 1 dx d(x ) ln C ' 3 6 6 x 1 (x 1)(x 1) x 1 x 1 x 1                             2 2 2 4 2 2 2 1 1 d x 1 x x 1 1 x 1 x J dx dx arctan C " 3 x 3 x x 1 1 1 x 3 x 3 x x                                                       Vậy 3 2 3 1 x 1 1 x 1 I ln arctan C 6 3 x 3 x 1       . Ví dụ 3.2.12. Tìm họ nguyên hàm 2 2 2 x 1 I dx (x 3x 1)(3x 5x 3)        . Lời giải. www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 9 Ta có: 2 1 1 x I dx 1 1 x 3 3(x ) 5 x x                              Đặt 2 1 1 t x dx 1 dx x x                  Suy ra dt 1 3 1 1 3t 5 I dt ln C (t 3)(3t 5) 4 3t 5 t 3 4 t 3                          2 2 1 3x 5x 3 ln C 4 x 3x 1       . 2.3. Bài tập Bài 3.2.1. Tìm họ các nguyên hàm sau 2 2x 3x 1 1) I dx x 2      3 x 1 2) I dx x 1     2 2 x 2x 3 3) I dx (x 2)      2 3x 4 4) I dx x 3x 2      3 2 x 3x 2 5) I dx x 5x 4       6) 5 x I dx (x 1)    7) 2 x I x 1                8) 2 3 2 3 x x I dx (2x 3x 1)      9) 3 5 (x 1) I dx (1 5x)     10) 3 dx I x 2x    11) 1 2 4 4 2 0 2x J dx x 2x 1     12) 4 2 dx I x x 1     13) 2 dx I x(1 x)(1 x x )      14) 2 3 x x 1 I dx x 3x 2       15) 3 4 2 x I dx x 2x 1     16) 3 2 4 3 x x 4x 1 I dx x x       17) 2 6 2 x dx I (x 4)    18) 4 3 2 (x 1)dx I x 4x 6x 4x 2        19) 4 2 2 x dx I (x 1)    20) 3 6 3 x 1 I dx x(x 3x 2)      21) 6 2 dx I x(x 1)    22) 3 3 4 (x 2)dx I x(x 8)(x 8x 2)       23) 2 4 3 2 x 1 I dx x 2x x 2x 1        24) 2 4 2 x 1 I dx x x 1      . Hướng dẫn giải. Bài 3.2.1. www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 10 1) Ta có: 2 1 I 2x 1 dx x x ln| x 2| C x 2                       2) Ta có: 3 2 x 1 2 2 I dx (x x 1 )dx x 1 x 1            3 2 x x x 2 ln|x 1| C 3 2       . 3) Ta có: 2 2 (x 2) 2(x 2) 3 I dx (x 2)        2 2 3 3 1 dx x 2 ln|x 2| C x 2 x 2 (x 2)                          . 4) Ta có: 3x 4 I dx (x 1)(x 2)      Ta xác định a, b sao cho: 3x 4 a(x 1) b(x 2) (a b)x a 2b         a b 3 a 10 a 2b 4 b 7                         10(x 1) 7(x 2) 10 7 I dx dx (x 1)(x 2) x 2 x 1                          10 ln| x 2| 7 ln|x 1| C     . 5) Ta có: 3 2 2 x 3x 2 18x 22 x 5 x 5x 4 x 5x 4           50 4 (x 1) (x 4) 50 1 4 1 3 3 x 5 x 5 (x 1)(x 4) 3 x 4 3 x 1               50 1 4 1 I x 5 dx 3 x 4 3 x 1                     2 x 50 4 5x ln| x 4| ln|x 1| C 2 3 3        . 6) Ta có: 5 4 5 x 1 1 1 1 I du d(x 1) (x 1) (x 1) (x 1)                           4 5 3 4 1 1 (x 1) d(x 1) (x 1) d(x 1) C 4(x 1) 3 x 1                 . 7) Ta có: 2 2 x I (x 1)    www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net [...]... cos x  1  4 ln cos x  2  C  1 2 1       dt  (1  t)2 (1  t) (1  t) (t  1) 2  1  1 1 1 1        dt 4  (1  t)2 1  t 1  t (t  1) 2   1 1 t 1 1  1 1 sin x  1 1   C    ln   C    ln  4  t 1 t  1 t  1  4  sin x  1 sin x  1 sin x  1  1 dx 14 ) Ta có: I   2 2 2 sin x  3 sin x cos x  cos2 x  1 4  1 dx  cos2 x(2 tan2 x  3 tan x  1) 2... (1  t) (1  t) (1  t)2   1 1 1 1        dt  (1  t)2 1  t 1  t (1  t)2   1 4  1  1 1 1  t   t  1  t  1  ln 1  t   C 4   1  1 1 1  sin x     ln  C 4  sin x  1 sin x  1 1  sin x  Nguyễn Tất Thu ne 1 4 (1  2t 2 ) tdt  4 4  7 7  t  2 t3   C   (1  2t2 )dt    t 49  49  3    ilie  1 4 1  2t2  2 sin 2xdx  tdt 7 7 ta Do đó: I  3 1. .. (t  1) (t  2)  2t(t  2) 2 2 1 1 2 Suy ra I   ln x3  2  ln x3  ln x3  1  C 2 6 3  1 dt 1 1 1 1   dt      21) Đặt t  x6  I      6 t(t  1) 2 6  t t  1 (t  1) 2    Suy ra I  1 x6 1 ln  C 6 x6  1 x6  1 dt  t 2  2t  3 1 24) Ta có : I  Suy ra I  x2  x 1 1 2 x2 ne dx 1 x2  x  1 ln  C 4 x2  3x  1 1 dx  1 1 x2 dx 2 1 x    3    x      1 1 ... www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM dt Đặt t  tan x  dx  1 dt 1 (2t  1)  2(t  1)  2t2  3t  1  2  (2t  1) (t  1) dt 2 Ta được: I   1  t2 1 2 15 ) Ta có: I    1  2  1 t 1 1 tan x  1   dt  ln   C  ln C    t  1 2t  1  2 2t  1 2 2 tan x  1   (2 sin x  3) cos xdx 1  3 1  2 sin x Đặt t  1  3 1  2 sin x  sin x  ne 3 (t  1) 2 dt 3 (t 2  2t  3)(t 2  2t  1) dt 2 ... 33 www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM   2 du   dx  x 1  u  ln    (x  1) 2 15 ) Đặt  x 1     1 2 dv  xdx      v  x  2  1 2 x 1 x2 x ln  dx 2 x 1 (x  1) 2   1 x 1 2 1  dx  x2 ln    1   2 x 1 x  1 (x  1) 2   1 x 1 1  x2 ln  x  2 ln| x  1|   C 2 x 1 x 1 ne t Suy ra I  Chuyên đề 5 Nguyên hàm của hàm số vô tỉ ilie u 5 .1 Phương pháp giải Sử... 1, c  2 2  1  1 3   dt   Suy ra I      2(t  1)  2   2(t  1)    (t  1) 1 1 3 ln t  1   ln t  1  C 2 t 1 2 1 1 3  ln x ln x  1  1   ln 2 2 x ln x  1  1  x ln x  1  1  C Ví dụ 3.5.6 Tìm họ nguyên hàm I  (x  1) 2009 (2x  1) 2 013 dx Lời giải Nguyễn Tất Thu Page 35 www.boxtailieu.net  C Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Ta có I   x  1 2009       2x  1    1. . .Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Đặt t  x  1  x  t  1  dx  dt I  (t  1) 2 t2 dt     1  2  1  dt  t  2 ln t  1  C      t t2  t   1  C x 1  x  1  2ln x  1  8) Đặt t  2x3  3x2  1  dt  6(x 2  x)dx 1 dt 1 1 1 1  t3   18 t2   18 (2x3  3x2  1) 2  C 6 9) Ta có: I   dx (1  5x) Đặt t  2 x 1 6dx  dt  1  5x (1  5x)2 x  2x Khi đó: I       ne u dx 3 1 Đặt...    1  3 1 3 1   dx   1      x 1 2 2  2  x 1    x  1 x  1    1 1 1  C  1  3 ln x  1   3 ln x  1    2 x 1 x  1   w w w 2x4 12 ) Ta có: I   dx 2 2 (x  1)  x 2   dx 2 (x  x  1) (x2  x  1) 1  (ax  b)(x2  x  1)  (cx  d)(x 2  x  1)  (a  c)x3  (a  b  c  d)x 2  (a  b  c  d)x  b  d a  c  0    a  b  c  d  0 1 1 1  ...  x  1 3 3 3 3   13 ) Ta có:  1  x2  x  1  (x2  x) 1   dx  I  dx       2   x  x x2  x  1  (x2  x)(x2  x  1) 1 1 ln x2  1   C 2 2 x 1 ox I ta ilie 14 ) Ta có: x3  3x  2  (x  1) 2 (x  2) 2 1 Và x2  x  1  (x  1) (x  2)  (x  2)  (x  1) 2 3 3 2 1 1 Nên I  ln x  1   ln x  2  C 3 x 1 3 1 tdt 1 15) Đặt t  x2  xdx  dt Suy ra I   2 t 2  2t  1 2 ne... 2x  1  3   u  x3 du  3x2dx       19 ) Đặt   xdx 1 dv  v     2 2 2   (x  1) 2(x  1)     I x3 2 2(x  1)  3 1 (1  )dx 2 2 x 1 Nguyễn Tất Thu Page 12 www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM  x3 2(x2  1)   3  x  1 ln x  1   C     2 2 x 1   1 t 1 1 t 1 dt   dt 20) Đặt t  x3  I   2 3 t(t  3t  2) 3 t(t  1) (t  2) 3 1 t  1   t(t  1)  .    2 2 1 1 1 1 1 dt 4 1 t 1 t (1 t) (1 t)                    1 1 1 1 t ln C 4 t 1 t 1 1 t                  1 1 1 1 sin x ln C 4 sin x 1 sin x 1 1 sin x . 2 dx I (x 1)    . Lời giải. Ta có:   2 2 2 2 2 2 2 (1 x) (1 x) 1 1 1 1 2 1 4 4 (1 x) (1 x) (1 x) (1 x) (1 x) (1 x) x 1                               2 2 1 1 1 1 1 4 1. 2 6 6 6 4 2 6 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1               2 3 3 3 6 3 3 3 3 3 x 1 d(x ) 1 1 1 1 x 1 dx d(x ) ln C ' 3 6 6 x 1 (x 1) (x 1) x 1 x 1 x 1        