Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 1 CHƯƠNG 3. NGUYÊ HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chuyên đề 1. Tính nguyên hàm bằng cách áp dụng tính chất f '(x)dx f (x) C . 1.1. Phương pháp: Giả sử ta cần tìm nguyên hàm I g(x)dx Sử dụng các phép biến đổi của đạo hàm để đưa g(x) f '(x) . Khi biến đổi, cần lưu ý đ ến các công thức đạo hàm: u ' v ' u v ' u ' v v ' u (uv) ' 2 u ' v v ' u u ' v v 1.2. Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 3.1.1. Tìm họ nguyên hàm: I x sin 2xdx . Lời giải. Ta có: ' 1 1 1 x sin 2x x cos 2x x ' cos 2x cos 2x 2 2 2 ' ' 1 1 1 1 x cos 2x (sin 2x) ' x cos 2x sin 2x 2 4 2 4 Do đó: 1 1 I x cos 2x sin 2x C 2 4 . Ví dụ 3.1.2. Tìm họ nguyên hàm 2x I sin 3x.e dx . Lời giải. Ta có: ' 2x 2x 2x 2x 1 1 3 sin 3x.e sin 3x e ' e sin 3x e cos 3x 2 2 2 ' ' 2x 2x 2x 2x 1 3 1 1 9 sin 3x.e cos 3x e e . cos 3x ' e sin 3x 2 2 2 2 4 Suy ra ' 2x 2x 2x 13 1 3 e sin 3x sin 3x.e e cos 3x 4 2 4 Do đó: 2x 2x 4 1 3 I sin 3x.e e cos 3x C 13 2 4 . Ví dụ 3.1.3. Tìm họ các nguyên hàm 2 I x ln xdx . Lời giải. www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 2 Ta có: ' ' 3 3 2 3 3 3 x x 1 1 1 x ln x ln x (ln x) ' x ' x ln x x 3 3 9 3 9 Do đó: 3 3 1 1 I x ln x x C 3 9 . Ví dụ 3.1.4. Tìm họ nguyên hàm 1 x x 1 I x 1 e dx x . Lời giải. Ta có: 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x 2 1 1 1 x 1 e x e e x 1 e e x x x ' ' 1 1 1 x x x x x x x e x '.e xe Do đó: 1 x x I xe C . Ví dụ 3.1.5. Tìm họ nguyên hàm 2 1 1 I dx ln x ln x . Lời giải. Ta có: ' 2 2 2 1 1 ln x 1 x ' ln x x.(ln x) ' x ln x ln x ln x ln x ln x Do đó: x I C ln x . Ví dụ 3.1.6. Tìm họ các nguyên hàm x 1 sin x I e dx 1 cos x . Lời giải. Ta có: 2 2 x x x 2 x x sin cos 2 2 1 sin x 1 1 x e e tan 1 e x 1 cos x 2 2 2 cos 2 ' 2 x x x x 1 x x 1 x x (1 tan )e 2e tan 2 tan e 2 e ' tan 2 2 2 2 2 2 ' x x e tan 2 Do đó: x x I e tan C 2 . 1.3. Bài tập. Bài 3.1.1. Tìm họ các nguyên hàm sau www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 3 1) I (2x 1) cos xdx 2) 2x I xe dx 3) 3x I cos 2x.e dx 4) I x ln(x 1)dx 5) 2 x I dx sin x 6) 2 I x ln xdx 7) 1 x cot x I dx sin x 8) 2 x 2 x x 1 I e dx (x 1) 9) 2 2 ln x 1 I xdx ln x 10) 3 3 4 dx I (1 x ) . Hướng dẫn giải Bài 3.1.1. 1) Ta có: (2x 1) cos x (2x 1)(sin x) ' (2x 1) 'sin x 2sin x (2x 1)sin x ' 2(cos x) ' (2x 1) sin x 2cos x ' Do đó: I (2x 1) sin x 2cos x C . 2) Ta có: 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 1 1 1 1 1 1 1 xe x e ' x '. e e xe ' e ' xe e ' 2 2 2 2 4 2 4 Do đó 2x 2x 1 1 I xe e C 2 4 . 3) Ta có: ' ' 3x 3x 3x 3x 1 1 3 cos 2x.e sin 2x e sin 2x e sin 2x.e 2 2 2 ' ' ' 3x 3x 3x 3x 1 3 1 1 9 sin 2x.e cos 2x .e cos 2x. e cos 2x.e 2 2 2 2 4 Suy ra ' 3x 3x 3x 13 1 3 cos 2x.e sin 2x.e cos 2x.e 4 2 4 Vậy 3x 3x 1 3 I sin 2x.e cos 2x.e C 2 4 . 4) Ta có: ' 2 ' 2 2 1 1 1 x x ln(x 1) x .ln(x 1) x ln(x 1 2 2 2 x 1 ' 2 1 1 1 x ln(x 1) x 1 2 2 x 1 Vậy 2 2 1 1 1 I x ln x 1 x x ln(x 1) C 2 2 2 . 5) Ta có: ' ' ' 2 sin x x x. cot x x ' cot x cot x x cot x sin x sin x Suy ra I x cot x ln sin x C . 6) Ta có: ' 2 2 2 2 2 1 1 x ln x x ln x x ln x ' x ln x 2 2 ' ' ' 2 2 2 2 1 1 1 1 x ln x x ln x x ln x x 2 2 2 2 www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 4 ' 2 2 2 2 1 1 1 x ln x x ln x x 2 2 4 Vậy 2 2 2 2 1 1 1 I x ln x x ln x x C 2 2 4 . 7) Ta có: ' 2 2 x 'sin x x. sin x ' 1 x cot x sin x x cos x x sin x sin x sin x sin x Do đó x I C sin x . 8) Ta có: 2 x x x x x x 2 2 2 x x 1 xe (x 1)(e ) ' (x 1)'e e e e (x 1) (x 1) (x 1) ' ' x x ' x x e e e e x 1 x 1 Suy ra x x e I e C x 1 . 9) Ta có: ' 2 2 2 2 2 2 2 ln x 1 2x ln x x (x ) ' ln x x (ln x) ' x x ln x ln x ln x ln x Vậy 2 x I C ln x . 10) Ta có: 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 2 3 2 3 2 x 1 x 1 1 x x (1 x ) (1 x ) (1 x ) . (1 x ) (1 x ) ' 3 3 3 3 ' 3 3 3 2 3 x '. 1 x x. 1 x x (1 x ) 1 x . Vậy 3 3 x I C 1 x . Chuyên đề 2. Nguyên hàm P(x) I dx Q(x) 2.1. Phương pháp giải Sử dụng các phép biến đổi đưa về các nguyên hàm cơ bản sau du ln u C u dx 1 ln ax b C ax b a n n 1 dx 1 1 1 C n 1 a (ax b) (ax b) với n 2 www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 5 2 2 dx 1 x arctan C k k x k . 2.2. Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 3.2.1. Tìm họ các nguyên hàm sau 2 2x x 1 I dx x 1 . Lời giải. Ta có: 2 2 2x x 1 2(x 1) 3(x 1) 2 Suy ra 2 2 I 2x 2 3 dx x x 2 ln x 1 C x 1 . Chú ý: Cho f (x) là đa thức bậc n . Khi đó: (n) n 0 0 0 0 0 f (x ) f '(x ) f (x) (x x ) (x x ) f (x ) n ! 1! Trong đó (k) 0 f (x ) là đạo hàm bậc k của hàm số f tại 0 x Ví dụ 3.2.2. Tìm họ các nguyên hàm 2 4 x 3x 1 I dx (x 1) . Lời giải. Ta có: 2 2 x 3x 1 (x 1) (x 1) 3 Suy ra 2 3 4 1 1 3 I dx (x 1) (x 1) (x 1) 2 3 1 1 1 C x 1 2(x 1) (x 1) . Chú ý: Để giải bài trên, ta có thể thực hiện phép đổi biến số bằng cách đặt t x 1 Suy ra x t 1 dx dt 2 2 4 4 2 3 4 (t 1) 3(t 1) 1 t t 3 1 1 3 I dt dt dt t t t t t 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 C C t x 1 2t t 2(x 1) (x 1) . Ví dụ 3.2.3. Tìm họ các nguyên hàm sau 3 3 2 3 x (x 1) I dx (2x 2x 1) . Lời giải. Ta có: 3 3 3 2 2 x (x 1) 2x 3x 3x 1 (2x 1)(x x 1) Đặt 2 t 2x 2x 1 dt (4x 2)dx 2(2x 1)dx Suy ra 3 2 3 2 1 t 1 1 1 1 1 1 I dt dt C 4 4 4t t t t 8t 2 2 2 1 1 C 4(2x 2x 1) 8(2x 2x 1) . Ví dụ 3.2.4. Tìm họ các nguyên hàm www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 6 2 2 3x x 1 I dx x 5x 6 . Lời giải. Ta có: 2 16x 17 I 3 dx x 5x 6 Ta phân tích 16x 17 a(x 2) b(x 3) Cho x 2, x 3 ta tìm đư ợc a 31, b 15 Suy ra 31 15 I 3 dx 3x 31 ln x 3 15 ln x 2 C x 3 x 2 . Ví dụ 3.2.5. Tìm họ các nguyên hàm sau 3 3x 4 I dx x 4x . Lời giải. Ta phân tích: 3x 4 ax(x 2) bx(x 2) c(x 2)(x 2) Cho x 0, x 2, x 2 ta có được: 4 4c 5 1 2 8b a , b , c 1 4 4 10 8a Suy ra 5 1 1 1 1 5 1 I dx ln x 2 ln x 2 ln x C 4 x 2 4 x 2 x 4 4 . Ví dụ 3.2.6. Tìm họ nguyên hàm 2 2 dx I (x 1) . Lời giải. Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 (1 x) (1 x) 1 1 1 1 2 1 4 4 (1 x)(1 x) (1 x) (1 x) (1 x) (1 x) x 1 2 2 1 1 1 1 1 4 1 x 1 x (1 x) (1 x) Suy ra 1 1 1 x 1 I ln C 4 x 1 1 x x 1 . Ví dụ 3.2.7. Tìm họ các nguyên hàm sau 3 2x 3 I dx x 1 . Lời giải. Ta có: 2 2x 3 (ax b)(x 1) c(x x 1) Cho 1 3c 1 8 1 x 1, x 0, x 1 3 b c c , b , a 3 3 3 5 2a 2b c www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 7 Do đó: 2 2 2 1 dx 1 x 8 1 1 2x 1 5 dx I dx ln x 1 3 x 1 3 3 6 3 x x 1 x x 1 x x 1 2 1 1 5 ln x 1 ln x x 1 J 3 6 3 Ta có: 2 dx 1 1 2x 1 2 2x 1 J 4 4. . .arctan C .arctan C 2 3 3 3 3 (2x 1) 3 . Ví dụ 3.2.8. Tìm họ các nguyên hàm sau (x 1) cos x x sin x I dx cos x x sin x . Lời giải. Ta có: cos x x sin x ' (x 1) cos x x sin x x cos x 1 1 cos x x sin x cos x x sin x cos x x sin x Suy ra I x ln x sin x cos x C . Ví dụ 3.2.9. Tìm họ nguyên hàm 4 dx I x 4 . Lời giải. Ta có: 4 2 2 2 2 2 1 1 1 x 4 (x 2) 4x (x 2x 2)(x 2x 2) Ta phân tích: 2 2 1 (ax b)(x 2x 2) (cx d)(x 2x 2) Đồng nhất hệ số ta có: a c 0 2a b 2c d 0 1 1 1 a , b d , c 8 4 8 a b c d 0 2b 2d 1 Suy ra 4 2 2 1 1 x 2 1 x 2 8 8 x 4 x 2x 2 x 2x 2 2 2 2 2 1 x 1 1 x 1 1 1 1 1 8 8 8 8 x 2x 2 x 2x 2 (x 1) 1 (x 1) 1 . Suy ra 2 2 1 x 2x 2 1 I ln arctan(x 1) arctan(x 1) C 8 8 x 2x 2 . Ví dụ 3.2.10. Tìm họ nguyên hàm 6 dx I x 1 . Lời giải. Ta có: 2 2 2 6 2 4 2 4 2 6 1 x 1 x 1 x x 1 (x 1)(x x 1) x x 1 x 1 Mà: 2 3 3 6 6 x 1 d(x ) 1 dx arctan(x ) C 3 3 x 1 x 1 . www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 8 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x x 1 (x 1) 3x (x 3x 1)(x 3x 1) Ta phân tích: 2 2 1 ax b x 3x 1 cx d x 3x 1 Đồng nhất hệ số ta có: a c 0 a 3 b c 3 d 0 1 1 1 a , b d , c 2 2 3 2 3 a b 3 c d 3 0 b d 1 . Suy ra 4 2 2 2 1 1 x 3 1 x 3 2 3 2 3 x x 1 x 3x 1 x 3x 1 2 2 2 2 1 2x 3 1 2x 3 1 1 1 4 4 3 4 3 x 3x 1 x 3x 1 x 3x 1 x 3x 1 Do đó: 2 4 2 2 dx 1 x 3x 1 1 ln arctan(2x 3) arctan(2x 3) C 2 4 3 x x 1 x 3x 1 Vậy 2 3 2 1 1 x 3x 1 1 I arctan(x ) ln arctan(2x 3) arctan(2x 3) C 3 2 4 3 x 3x 1 . Ví dụ 3.2.11. Tìm họ nguyên hàm 4 2 6 x x 1 I dx x 1 . Lời giải. Ta có: 4 2 4 2 2 2 6 6 6 4 2 6 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 2 3 3 3 6 3 3 3 3 3 x 1 d(x ) 1 1 1 1 x 1 dx d(x ) ln C ' 3 6 6 x 1 (x 1)(x 1) x 1 x 1 x 1 2 2 2 4 2 2 2 1 1 d x 1 x x 1 1 x 1 x J dx dx arctan C " 3 x 3 x x 1 1 1 x 3 x 3 x x Vậy 3 2 3 1 x 1 1 x 1 I ln arctan C 6 3 x 3 x 1 . Ví dụ 3.2.12. Tìm họ nguyên hàm 2 2 2 x 1 I dx (x 3x 1)(3x 5x 3) . Lời giải. www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 9 Ta có: 2 1 1 x I dx 1 1 x 3 3(x ) 5 x x Đặt 2 1 1 t x dx 1 dx x x Suy ra dt 1 3 1 1 3t 5 I dt ln C (t 3)(3t 5) 4 3t 5 t 3 4 t 3 2 2 1 3x 5x 3 ln C 4 x 3x 1 . 2.3. Bài tập Bài 3.2.1. Tìm họ các nguyên hàm sau 2 2x 3x 1 1) I dx x 2 3 x 1 2) I dx x 1 2 2 x 2x 3 3) I dx (x 2) 2 3x 4 4) I dx x 3x 2 3 2 x 3x 2 5) I dx x 5x 4 6) 5 x I dx (x 1) 7) 2 x I x 1 8) 2 3 2 3 x x I dx (2x 3x 1) 9) 3 5 (x 1) I dx (1 5x) 10) 3 dx I x 2x 11) 1 2 4 4 2 0 2x J dx x 2x 1 12) 4 2 dx I x x 1 13) 2 dx I x(1 x)(1 x x ) 14) 2 3 x x 1 I dx x 3x 2 15) 3 4 2 x I dx x 2x 1 16) 3 2 4 3 x x 4x 1 I dx x x 17) 2 6 2 x dx I (x 4) 18) 4 3 2 (x 1)dx I x 4x 6x 4x 2 19) 4 2 2 x dx I (x 1) 20) 3 6 3 x 1 I dx x(x 3x 2) 21) 6 2 dx I x(x 1) 22) 3 3 4 (x 2)dx I x(x 8)(x 8x 2) 23) 2 4 3 2 x 1 I dx x 2x x 2x 1 24) 2 4 2 x 1 I dx x x 1 . Hướng dẫn giải. Bài 3.2.1. www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Nguyễn Tất Thu Page 10 1) Ta có: 2 1 I 2x 1 dx x x ln| x 2| C x 2 2) Ta có: 3 2 x 1 2 2 I dx (x x 1 )dx x 1 x 1 3 2 x x x 2 ln|x 1| C 3 2 . 3) Ta có: 2 2 (x 2) 2(x 2) 3 I dx (x 2) 2 2 3 3 1 dx x 2 ln|x 2| C x 2 x 2 (x 2) . 4) Ta có: 3x 4 I dx (x 1)(x 2) Ta xác định a, b sao cho: 3x 4 a(x 1) b(x 2) (a b)x a 2b a b 3 a 10 a 2b 4 b 7 10(x 1) 7(x 2) 10 7 I dx dx (x 1)(x 2) x 2 x 1 10 ln| x 2| 7 ln|x 1| C . 5) Ta có: 3 2 2 x 3x 2 18x 22 x 5 x 5x 4 x 5x 4 50 4 (x 1) (x 4) 50 1 4 1 3 3 x 5 x 5 (x 1)(x 4) 3 x 4 3 x 1 50 1 4 1 I x 5 dx 3 x 4 3 x 1 2 x 50 4 5x ln| x 4| ln|x 1| C 2 3 3 . 6) Ta có: 5 4 5 x 1 1 1 1 I du d(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) 4 5 3 4 1 1 (x 1) d(x 1) (x 1) d(x 1) C 4(x 1) 3 x 1 . 7) Ta có: 2 2 x I (x 1) www.boxtailieu.net www.boxtailieu.net [...]... cos x 1 4 ln cos x 2 C 1 2 1 dt (1 t)2 (1 t) (1 t) (t 1) 2 1 1 1 1 1 dt 4 (1 t)2 1 t 1 t (t 1) 2 1 1 t 1 1 1 1 sin x 1 1 C ln C ln 4 t 1 t 1 t 1 4 sin x 1 sin x 1 sin x 1 1 dx 14 ) Ta có: I 2 2 2 sin x 3 sin x cos x cos2 x 1 4 1 dx cos2 x(2 tan2 x 3 tan x 1) 2... (1 t) (1 t) (1 t)2 1 1 1 1 dt (1 t)2 1 t 1 t (1 t)2 1 4 1 1 1 1 t t 1 t 1 ln 1 t C 4 1 1 1 1 sin x ln C 4 sin x 1 sin x 1 1 sin x Nguyễn Tất Thu ne 1 4 (1 2t 2 ) tdt 4 4 7 7 t 2 t3 C (1 2t2 )dt t 49 49 3 ilie 1 4 1 2t2 2 sin 2xdx tdt 7 7 ta Do đó: I 3 1. .. (t 1) (t 2) 2t(t 2) 2 2 1 1 2 Suy ra I ln x3 2 ln x3 ln x3 1 C 2 6 3 1 dt 1 1 1 1 dt 21) Đặt t x6 I 6 t(t 1) 2 6 t t 1 (t 1) 2 Suy ra I 1 x6 1 ln C 6 x6 1 x6 1 dt t 2 2t 3 1 24) Ta có : I Suy ra I x2 x 1 1 2 x2 ne dx 1 x2 x 1 ln C 4 x2 3x 1 1 dx 1 1 x2 dx 2 1 x 3 x 1 1 ... www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM dt Đặt t tan x dx 1 dt 1 (2t 1) 2(t 1) 2t2 3t 1 2 (2t 1) (t 1) dt 2 Ta được: I 1 t2 1 2 15 ) Ta có: I 1 2 1 t 1 1 tan x 1 dt ln C ln C t 1 2t 1 2 2t 1 2 2 tan x 1 (2 sin x 3) cos xdx 1 3 1 2 sin x Đặt t 1 3 1 2 sin x sin x ne 3 (t 1) 2 dt 3 (t 2 2t 3)(t 2 2t 1) dt 2 ... 33 www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 2 du dx x 1 u ln (x 1) 2 15 ) Đặt x 1 1 2 dv xdx v x 2 1 2 x 1 x2 x ln dx 2 x 1 (x 1) 2 1 x 1 2 1 dx x2 ln 1 2 x 1 x 1 (x 1) 2 1 x 1 1 x2 ln x 2 ln| x 1| C 2 x 1 x 1 ne t Suy ra I Chuyên đề 5 Nguyên hàm của hàm số vô tỉ ilie u 5 .1 Phương pháp giải Sử... 1, c 2 2 1 1 3 dt Suy ra I 2(t 1) 2 2(t 1) (t 1) 1 1 3 ln t 1 ln t 1 C 2 t 1 2 1 1 3 ln x ln x 1 1 ln 2 2 x ln x 1 1 x ln x 1 1 C Ví dụ 3.5.6 Tìm họ nguyên hàm I (x 1) 2009 (2x 1) 2 013 dx Lời giải Nguyễn Tất Thu Page 35 www.boxtailieu.net C Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Ta có I x 1 2009 2x 1 1. . .Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Đặt t x 1 x t 1 dx dt I (t 1) 2 t2 dt 1 2 1 dt t 2 ln t 1 C t t2 t 1 C x 1 x 1 2ln x 1 8) Đặt t 2x3 3x2 1 dt 6(x 2 x)dx 1 dt 1 1 1 1 t3 18 t2 18 (2x3 3x2 1) 2 C 6 9) Ta có: I dx (1 5x) Đặt t 2 x 1 6dx dt 1 5x (1 5x)2 x 2x Khi đó: I ne u dx 3 1 Đặt... 1 3 1 3 1 dx 1 x 1 2 2 2 x 1 x 1 x 1 1 1 1 C 1 3 ln x 1 3 ln x 1 2 x 1 x 1 w w w 2x4 12 ) Ta có: I dx 2 2 (x 1) x 2 dx 2 (x x 1) (x2 x 1) 1 (ax b)(x2 x 1) (cx d)(x 2 x 1) (a c)x3 (a b c d)x 2 (a b c d)x b d a c 0 a b c d 0 1 1 1 ... x 1 3 3 3 3 13 ) Ta có: 1 x2 x 1 (x2 x) 1 dx I dx 2 x x x2 x 1 (x2 x)(x2 x 1) 1 1 ln x2 1 C 2 2 x 1 ox I ta ilie 14 ) Ta có: x3 3x 2 (x 1) 2 (x 2) 2 1 Và x2 x 1 (x 1) (x 2) (x 2) (x 1) 2 3 3 2 1 1 Nên I ln x 1 ln x 2 C 3 x 1 3 1 tdt 1 15) Đặt t x2 xdx dt Suy ra I 2 t 2 2t 1 2 ne... 2x 1 3 u x3 du 3x2dx 19 ) Đặt xdx 1 dv v 2 2 2 (x 1) 2(x 1) I x3 2 2(x 1) 3 1 (1 )dx 2 2 x 1 Nguyễn Tất Thu Page 12 www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM x3 2(x2 1) 3 x 1 ln x 1 C 2 2 x 1 1 t 1 1 t 1 dt dt 20) Đặt t x3 I 2 3 t(t 3t 2) 3 t(t 1) (t 2) 3 1 t 1 t(t 1) . 2 2 1 1 1 1 1 dt 4 1 t 1 t (1 t) (1 t) 1 1 1 1 t ln C 4 t 1 t 1 1 t 1 1 1 1 sin x ln C 4 sin x 1 sin x 1 1 sin x . 2 dx I (x 1) . Lời giải. Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 (1 x) (1 x) 1 1 1 1 2 1 4 4 (1 x) (1 x) (1 x) (1 x) (1 x) (1 x) x 1 2 2 1 1 1 1 1 4 1. 2 6 6 6 4 2 6 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 2 3 3 3 6 3 3 3 3 3 x 1 d(x ) 1 1 1 1 x 1 dx d(x ) ln C ' 3 6 6 x 1 (x 1) (x 1) x 1 x 1 x 1