Chuyên đề Tích phân

WWW.ToanCapBa.Net CHUYÊN ĐỀ 1 TÍCH PHÂN A. TÓM TẮT KIẾN THỨC I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản: Bảng 1 Bảng 2 Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C a ( hằng số) ax + C x α 1 1 x C α α + + + ( )ax b α + a 1 1 ( ) 1 ax b C α α + + + + 1 x ln x C+ 1 ax b+ 1 ln ax b C a + + x a ln x a C a + x e x e C+ ax b e + 1 ax b e C a + + sinx -cosx + C sin(ax+b) 1 cos( )ax b C a − + + cosx sinx + C cos(ax+b) 1 sin( )ax b C a + + 2 1 cos x tanx + C 2 1 cos ( )ax b+ 1 ( )tg ax b C a + + 2 1 sin x -cotgx + C 2 1 sin ( )ax b+ 1 cot ( )g ax b C a − + + ' ( ) ( ) u x u x ln ( )u x C+ 2 2 1 x a− 1 ln 2 x a C a x a − + + tanx ln cos x C− + 2 2 1 x a+ 2 2 ln x x a C+ + + cotx ln sin x C+ Ví dụ 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1. 3 1 ( ) cos 1 f x x x x = + + − 2. 2 2x 5 f(x) x 4x 3 − = − + Ví dụ 2: Tính các tích phân: 1. 5 cos sinx xdx ∫ 2. cos tgx dx x ∫ 3. 1 ln x dx x + ∫ II. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa: WWW.ToanCapBa.Net Trang 1 1 WWW.ToanCapBa.Net Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ ] ;a b . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a= = − ∫ ( Công thức NewTon - Leiptnitz) 2. Các tính chất của tích phân: • Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : ( ) 0 b a f x dx = ∫ • Tính chất 2: ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= − ∫ ∫ • Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên [ ] ;a b thì: ( ) b a cdx c b a= − ∫ • Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên [ ] ;a b và ( ) 0f x ≥ thì ( ) 0 b a f x dx ≥ ∫ • Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ] ;a b và [ ] ( ) ( ) x a;bf x g x≥ ∀ ∈ thì ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx≥ ∫ ∫ • Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên [ ] ;a b và ( ) ( m,M laø hai haèng soá)m f x M≤ ≤ thì ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a− ≤ ≤ − ∫ • Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ] ;a b thì [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ • Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ] ;a b và k là một hằng số thì . ( ) . ( ) b b a a k f x dx k f x dx= ∫ ∫ • Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ] ;a b và c là một hằng số thì ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx= + ∫ ∫ ∫ • Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên [ ] ;a b cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa là : ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x dx f t dt f u du= = = ∫ ∫ ∫ B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I. Phương pháp phân tích. WWW.ToanCapBa.Net Trang 2 2 WWW.ToanCapBa.Net * Nội dung: Sử dụng các phép biến đổi đại số kết hợp với các tính chất của tích phân đưa tích phân cần tìm về các tích phân có trong bảng nguyên hàm sau đó áp dụng định nghĩa. Các ví dụ: 1) Tính : 16 1 x ∫ dx 1 3 1 ( 1)x − − ∫ dx 4 0 π ∫ sin 2x dx 2 0 π ∫ cos 2 x dx 2 0 π ∫ sin 4 x dx 2 4 π π ∫ cot 2 x dx 2) Tính: 2 4 2 4 2 sin tg x x π π − ∫ dx 3 0 π ∫ ( cosxcos3x + sin4xsin3x) dx 3 6 π π ∫ tg 2 x dx 1 0 ∫ e 2x + 1 dx 3) Tính : 4 0 ∫ | x-2 | dx 4 2 ∫ 2 6 9x x− + dx 3 4− ∫ | x 2 -4 | dx 3 4 4 π π ∫ cos2 1x + dx Bài 1: Tính các tích phân sau: 1) 1 3 0 x dx (2x 1)+ ∫ 2) 1 0 x dx 2x 1+ ∫ 3) 1 0 x 1 xdx− ∫ 4) 1 2 0 4x 11 dx x 5x 6 + + + ∫ 5) 1 2 0 2x 5 dx x 4x 4 − − + ∫ 6) 3 3 2 0 x dx x 2x 1+ + ∫ 7) 6 6 6 0 (sin x cos x)dx π + ∫ 8) 3 2 0 4sin x dx 1 cosx π + ∫ 9) 4 2 0 1 sin2x dx cos x π + ∫ 10) 2 4 0 cos 2xdx π ∫ 11) 2 6 1 sin2x cos2x dx sinx cosx π π + + + ∫ 12) 1 x 0 1 dx e 1+ ∫ . 13) dxxx )sin(cos 4 0 44 ∫ − π 14) ∫ + 4 0 2sin21 2cos π dx x x 15) ∫ + 2 0 13cos2 3sin π dx x x 16) ∫ − 2 0 sin25 cos π dx x x 17) ∫ −+ − 0 2 2 32 4 dx xx 18) ∫ ++ − 1 1 2 52xx dx Bài 2: 1) 3 2 3 x 1dx − − ∫ 2) 4 2 1 x 3x 2dx − − + ∫ 3) 5 3 ( x 2 x 2 )dx − + − − ∫ 4) 2 2 2 1 2 1 x 2dx x + − ∫ 5) 3 x 0 2 4dx− ∫ 6) 0 1 cos2xdx π + ∫ 7) 2 0 1 sinxdx π + ∫ 8) dxxx ∫ − 2 0 2 Bài 3: 1) Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) Asin x B= π + thỏa mãn đồng thời các điều kiện ' f (1) 2= và 2 0 f(x)dx 4= ∫ 2) Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức : 2 2 3 0 [a (4 4a)x 4x ]dx 12+ − + = ∫ II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : WWW.ToanCapBa.Net Trang 3 3 WWW.ToanCapBa.Net 1) DẠNG 1: Tính I = b ' a f[u(x)].u (x)dx ∫ bằng cách đặt t = u(x) Công thức đổi biến số dạng 1: [ ] ∫ = ∫ )( )( )()('.)( bu au b a dttfdxxuxuf (1) Cách thực hiện: Bước 1: Đặt dxxudtxut )()( ' =⇒= Bước 2: Đổi cận : )( )( aut but ax bx = = ⇒ = = Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được [ ] ∫ = ∫ = )( )( )()('.)( bu au b a dttfdxxuxufI (tiếp tục tính tích phân mới) CHÚ Ý: +, Khi gặp dạng f(x) có chứa (    thì đặt t = lnx (ví dụ 7, 9). +, Khi f(x) có chứa   thì thường đặt t = u(x).( ví dụ 4,7, 5, 10 ) +, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu. Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức (1) và vận dụng hợp lý. Ví dụ: Tính các tích phân sau: 1) 2 3 2 0 cos xsin xdx π ∫ ; 2) 2 5 0 cos xdx π ∫ ; 3) 4 2 0 sin4x dx 1 cos x π + ∫ ; 4) 1 3 2 0 x 1 x dx− ∫ . 5) 2 2 3 0 sin2x(1 sin x) dx π + ∫ ; 6) 4 4 0 1 dx cos x π ∫ ; 7) e 1 1 lnx dx x + ∫ ; 8) 4 0 1 dx cosx π ∫ . 9) e 2 1 1 ln x dx x + ∫ ; 10) 1 5 3 6 0 x (1 x ) dx− ∫ ; 11) 6 2 0 cosx dx 6 5sinx sin x π − + ∫ ; 12). 3 4 0 tg x dx cos2x ∫ 13) 4 0 cos sin 3 sin2 x x dx x π + + ∫ ; 14) ∫ + 2 0 22 sin4cos 2sin π dx xx x ; 15) ∫ −+ − 5ln 3ln 32 xx ee dx . 16) ∫ + 2 0 2 )sin2( 2sin π dx x x ; 17) ∫ 3 4 2sin )ln( π π dx x tgx ; 18) ∫ − 4 0 8 )1( π dxxtg ; 19) ∫ + − 2 4 2sin1 cossin π π dx x xx . 20) ∫ + + 2 0 cos31 sin2sin π dx x xx ; 21) ∫ + 2 0 cos1 cos2sin π dx x xx ; 22) ∫ + 2 0 sin cos)cos( π xdxxe x ; 23) ∫ −+ 2 1 11 dx x x ; 24) ∫ + e dx x xx 1 lnln31 ; 25) ∫ + − 4 0 2 2sin1 sin21 π dx x x . WWW.ToanCapBa.Net Trang 4 4 WWW.ToanCapBa.Net 26) 8 2 3 1 1 dx x x + ∫ ; 27) 7 3 3 2 0 1 x dx x+ ∫ ; 28) 3 5 2 0 1x x dx+ ∫ ; 29) ln2 x 0 1 dx e 2+ ∫ . 30) 7 3 3 0 1 3 1 x dx x + + ∫ ; 31) 2 2 3 0 1x x dx+ ∫ ; 32) ∫ + 32 5 2 4xx dx . 2) DẠNG 2: Tính I = b a f(x)dx ∫ bằng cách đặt x = (t)ϕ Công thức đổi biến số dạng 2: [ ] ∫ = ∫ = β α ϕϕ dtttfdxxfI b a )(')()( Cách thực hiện: Bước 1: Đặt dttdxtx )()( ' ϕϕ =⇒= Bước 2: Đổi cận : α β = = ⇒ = = t t ax bx Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được [ ] ∫ = ∫ = β α ϕϕ dtttfdxxfI b a )(')()( (tiếp tục tính tích phân mới) Chú ý: * Nếu f(x) có chứa: +,       thì đặt    với t                , hoặc    với      . +,       thì đặt    với        ! " #  " # " $ % , hoặc    với      . +,        thì đặt     hoặc     . Ví dụ: Tính các tích phân sau: 1) 1 2 0 1 x dx− ∫ 2) 1 2 0 1 dx 1 x+ ∫ 3) 1 2 0 1 dx 4 x− ∫ 4) 1 2 0 1 dx x x 1− + ∫ 5) 1 4 2 0 x dx x x 1+ + ∫ 6) 2 0 1 1 cos sin dx x x π + + ∫ 7) 2 2 2 2 0 x dx 1 x− ∫ 8) 2 2 2 1 x 4 x dx− ∫ 9) 2 3 2 2 1 dx x x 1− ∫ 10) 3 2 2 1 9 3x dx x + ∫ 11) 1 5 0 1 (1 ) x dx x − + ∫ 12) 2 2 2 3 1 1 dx x x − ∫ 13) 2 0 cos 7 cos2 x dx x π + ∫ 14) 1 4 6 0 1 1 x dx x + + ∫ 15) 2 0 cos 1 cos x dx x π + ∫ 16) ∫ ++ − 0 1 2 22xx dx WWW.ToanCapBa.Net Trang 5 5 WWW.ToanCapBa.Net 17) ∫ ++ 1 0 311 x dx 18) ∫ − − 2 1 5 1 dx x xx . III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: * Kiến thức: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D vi phân của hàm số ký hiệu: dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx. * Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau: +, & ' & ' & &       (  ) . +,     &* ' &* ' * & & *    (  . +, & & & &   (  ; & & & &    (   . +, & &    &  & '   '  '   '        . +,     & &         . Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: 1)   & + , - ; 2) .    &  - 3) *    * & . /* - ; 4) . 0 &   - . Ví du 2ï: Tính các tích phân sau: 1) 1 2 3 0 2 1 x x+ ∫ ; 2) 1 2 3 0 ( ) 2 x x− ∫ dx; 3) 1 2 3 0 2 1 x x+ ∫ dx ; 4) 2 1 0 x xe dx ∫ ; 5) 3 1 2 1 x x e − − ∫ dx . 6) 1 2 ln e x x + ∫ dx ; 7) 2 1 ln e e dx x x+ ∫ ; 8) 3 3 0 sin cos x x π ∫ dx ; 9) 3 cos 0 sin x x e π ∫ dx ; 10)    & * / - . VI. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần: [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').( Hay: [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduvuudv . Cách thực hiện: Bước 1: Đặt )( )(' )(' )( xvv dxxudu dxxvdv xuu = = ⇒ = = WWW.ToanCapBa.Net Trang 6 6 WWW.ToanCapBa.Net Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduvuudv . Bước 3: Tính [ ] b a vu. và ∫ b a vdu Chú ý: Giả sử cần tính tích phân '  12& - ta thực hiện Đặt  1 3&4 2&  (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm 4 và vi phân 5 &  & không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân '  4& - phải tính được. Đặc biệt: i/ Nếu gặp ' ' '     6& 3 6&3 * 6& - - - với P(x) là đa thức thì đặt  6 . ii/ Nếu gặp '  6 & - thì đặt   . iii/ Nếu gặp '   * &  - , '   * &  - thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt   *   . . Ví dụ: Tính các tích phân sau: 1) 2 5 1 lnx dx x ∫ 2) 2 2 0 xcos xdx π ∫ 3) 1 x 0 e sinxdx ∫ 4) 2 0 sin xdx π ∫ 5) e 2 1 xln xdx ∫ 6) 3 2 0 x sin x dx cos x π + ∫ 7) 2 0 xsinxcos xdx π ∫ 8) 4 2 0 x(2cos x 1)dx π − ∫ 9) 2 2 1 ln(1 x) dx x + ∫ 10) 1 2 2x 0 (x 1) e dx+ ∫ 11) e 2 1 (xlnx) dx ∫ 12) 2 0 cosx.ln(1 cosx)dx π + ∫ 13) 2 1 ln ( 1) e e x dx x + ∫ 14) 1 2 0 xtg xdx ∫ 15) ∫ − 1 0 2 )2( dxex x 16) ∫ + 1 0 2 )1ln( dxxx 17) ∫ e dx x x 1 ln 18) ∫ + 2 0 3 sin)cos( π xdxxx 19) ∫ ++ 2 0 )1ln()72( dxxx 20) ∫ − 3 2 2 )ln( dxxx WWW.ToanCapBa.Net Trang 7 7 WWW.ToanCapBa.Net C. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : a a f(x)dx 0 − = ∫ 2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : a a a 0 f(x)dx 2 f(x)dx − = ∫ ∫ . Ví dụ: Tính tích phân I=      &      - Bài 2: 1) CMR nếu f(x) là một hàm số liên tục trên đọan [-a; a] với a > 0 thì:     1& 1 1 &     - - . Ví dụ: Tính tích phân Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn f (x) + f (- x) =   . Tính tích phân /  /  7 1&     - Bài 3 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ 0; a] với a > 0, thì     1& 1 &  - - . Bài 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và thoả mãn f(x) = f( a +b - x) thì ' '    ' 1&  1&    - - Hệ quả: a) 2 2 0 0 f(sinx)dx f(cosx)dx π π = ∫ ∫ b) 0 0 xf(sinx)dx f(sinx)dx 2 π π π = ∫ ∫ . Ví du: Tính tích phân a)   7  &   - ;      '8   &      - . Bài 5: Nếu f (x) là hàm số liên tục, tuần hoàn có chu kỳ T thì : 9  9 9  9    1& 1& 1&  :     ;  - - - . Ví dụ: Tính các tích phân a)    7    &     - b) , +  8  &   - . WWW.ToanCapBa.Net Trang 8 8 WWW.ToanCapBa.Net Bài 6:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì + 0 ( ) ( ) vôùi R vaø a > 0 1 x f x dx f x dx a α α α α − = ∈ + ∫ ∫ ; a 1≠ Ví dụ : Tính các tích phân sau: a) 1 4 1 2 1 x x dx − + ∫ b) 1 2 1 1 1 2 x x dx − − + ∫ c) 2 sin 3 1 x x dx π π − + ∫ ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau: 1) n 2 + n n 0 cos x dx vôùi n Z cos x sin x π ∈ + ∫ ; 2) 4 2 4 4 0 cos x dx cos x sin x π + ∫ ; 3) . 6 2 6 6 0 sin x dx sin x cos x π + ∫ 4) 5 0 xsin xdx π ∫ ; 5) 2 2 2 4 sin x cosx dx x π π − + − ∫ ; 6) 1 4 2 1 sin 1 x x dx x − + + ∫ ; 7) 2 0 xsinx dx 4 cos x π − ∫ 8) 4 3 0 cos sinx x xdx π ∫ ; 9)  ,    & +    - ; 10) . ,  2  &   - . 11) . 0 0  .     0       - ; 12) .    &      - . D. PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC 1. Dạng bậc lẻ với hàm sin. Phương pháp chung: Đặt t = cosx khi đó dt = - sinx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo biến t. Chú ý:                                  Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân   /  7   &   - . Giải Đặt   & & <       3      <   <          7    &    &  <      - -   / =  .        & / = = ! " #      " # " # $ % - . Vậy  7 =  . WWW.ToanCapBa.Net Trang 9 9 WWW.ToanCapBa.Net 2. Dạng bậc lẻ với hàm cos. Phương pháp chung: Đặt t = sinx khi đó dt = cosx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo biến t. Chú ý:                                Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân  =  7  &   - . Giải Đặt   & & <      3      <   <    =     7  &    &   <    - -   / =       ,    &  / = = ! " #       " # " # $ % - . Vậy , 7 =  . 3. Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos. Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc Chú ý:                      Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân  .   7   &   - . Giải   .       7   &    & .     - -         .&  & 0 .      - -         .&  & 0 ,      - - /       . 0 0. . /  !  " #     " # " # $ % . Vậy 7 /   . Nhận xét: Ví dụ 4. Tính tích phân   & 7         - . Giải Đặt        &  2 & 2  & &       <   <       3      <   <  WWW.ToanCapBa.Net Trang 10 10 . Phương pháp phân tích. WWW.ToanCapBa.Net Trang 2 2 WWW.ToanCapBa.Net * Nội dung: Sử dụng các phép biến đổi đại số kết hợp với các tính chất của tích phân đưa tích phân cần tìm về các tích phân có.    - . D. PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC 1. Dạng bậc lẻ với hàm sin. Phương pháp chung: Đặt t = cosx khi đó dt = - sinx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo biến. − − −−= − − −= − 0 2 0 2 0 2 21ln 2 1 21 )21( 2 1 21 x x xd x dx = - 5ln 2 1 2 .Tích phân dạng : ∫ ++ + cbxax dxBAx 2 )( Với a.A ≠ 0 Cách làm: Tách tích phân đã cho thành hai tích phân có chung mẫu là cbxax ++ 2 ,một tích phân có tử là đạo hàm của