BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN

BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN

BÀI TẬP CHƯƠNG I Bài 2: Hệ tiên đề K gồm :điểm ,đường,thuộc + Khái niệm cơ bản + Các tiên đề : i) có ít nhất một điểm ii) qua hai điểm phân biệt có không quá một đường. iii)mỗi đường có ba điểm phân biệt. iv)Mỗi điểm nằ trên ba đường phân biệt a.Chứng minh các định lý: + Hai đường thẳng biệt có không quá một điểm chung. + Có ít nhất là bảy điểm ,có ít nhất là bảy đường. b.Xây dựng các mô hình của K gồm bảy điểm ,bảy đường hoặc chín điểm,chín đường. Giải a.Chứng minh + Hai đường phân biệt có không qía một điểm chung. Nếu như hai đường thẳng phân biệt a và b có hai điểm chung là A và B ( ) BA ≠ thì qia hai điểm A,B sẽ có hai đường thẳng phân biệt a và b (trái ii)) + Có ít nhất là bảy điểm ,bảy đường Theo tiên đề i) có ít nhất là một điểm ta kí hiệu là A ,theo iv) có ba đường phân biệt x,y,z qua A. Theo tiên đè iii) trên x ngoài biến A còn có 2 điểm phân biệt nửa B,C Tương tự trên y ngoài A có 2 điểm phân biệt D,E Trên z ngoài A có 2 điểm phân biệt G,H Theo định lý 1: hai đường thẳng phân biệt sẽ có không quá một điểm chung ⇒ Bảy điểm A,B,C,D,E,G,H đôi một phân biệt và khác nhau. Theo tiên đề iv) mỗi điểm nằm trên ba đường thẳng phân biệt .Nên ngoài x qua B còn có 2 diểm phân biệt khác ta đặt u,v. Tương tự :ngoài x qua C còn có 2 đường : ϕ ,w Theo tiên đề ii)qua hai điểm phân biệt có không quá một đường ⇒ Bảy đường ϕ ,,,,,, wvuzyx đôi một phân biệt và khác nhau. b.+ Mô hình K gồm bảy điểm ,bảy đường. Xét C∆ΑΒ có 3 đường trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau tại G. Ta có: bảy điểm A,B,C,D,E,F,G,H. Ta gọi mỗi đường là bộ đôi ba điểm { } { } { } { } { } { } { } DEFEGBFGCDGACEACDBBFA ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, + Mô hình K gồm chín điểm ,chín đường. Ta lấy 9 điểm phân biệt : 321321321 ,,,,,,,, CCCBBBAAA . Mỗi bộ ba điểm sau đây được xem là một đường: { } { } { } { } { } { } { } { } 123213333312222231321111 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, CBACBACBACBACBACBACBACBA Bài 4: Hãy dùng hệ tiên đề của hình học phẳng ở phổ thông để chứng minh các định lý sau đây. a.Có ít nhất ba điểm không thẳng hàng. b. Cho 4 điểm A,B,C,D phân biệt và thẳng hàng.Chứng minh rằng nếu C nằm giữa A và B,còn D nằm giữa B và C thì D nằm giữa A và B còn C nằm giữa A và D. c. Định lý Pát (tức tiên đề Pát trong hệ tiên đề Hinbe). Giải Chứng minh: 1 a.Có ít nhất ba điểm không thẳng hàng. Theo tiên đề 1,ta có ít nhất là hai đường thẳng a và b nào đó. Cũng theo tiên đề 1,trên a có ít nhất là hai điểm A và B. Đường thẳng b không thể đồng thời đi qua A và B ,vì như vậy sẽ trùng với đường thẳng a,theo tiên đề 2. Vậy trên b có ít nhất là một điểm C không nằm trên a. Vậy ta có ít nhất là ba điểm A,B,C, không thẳng hàng. b.Ta chứng minh C ở giữa A và D. Ta gọi a là đường thẳng chứa bốn điểm A,B,C,D. Theo tiên đề 4,điểm C chia các điểm còn lại của đường thẳng a thành hai tập hợp,ta gọi hai tập hợp đó là X và Y Vì C ở giữa A và B nên Avà B thuộc hai tập hợp khác nhau. Gỉa sử YXvàBA ∈∈ Theo giả thiết D ở giữa B và C nên theo tiên đề 3 C không ở giữa B và D Do YD ∈ và XA ∈ ⇒ C ở giữa A và D • Chứng minh D ở giữa A và B Điểm D chia các điểm của a thành hai tập hợp kí hiệu là ',' YX Theo giả thiết D ở giữa B và C nên B và C thuộc hai tập hợp khác nhau. Giả sử '' YvàBXC ∈∈ Theo chứng minh trên và theo tiên đề 3,vì C ở giữa A và D nên D không ở giữa A và C Vậy A và C cùng thuộc một tập hợp 'X hoặc 'Y Như vậy 'XA ∈ ngoài ra vì 'YB ∈ Suy ra D ở giữa A và B. c. Theo tiên đề 5 Đường thẳng a chia các điểm không thuộc nó thành hai tập hợp mà ta kí hiệu là X và Y. Theo định nghĩa của đoạn thẳng thì giả thiết đường thẳng a có một điểm ở giữa A và B ,A và B đều thuộc tập hợp khác nhau đó Gỉa sử YXvàBA ∈∈ ,do C không nằm trên a nên phải thuộc một trong hai tập hợp đó. Nếu XC ∈ thì B và C thuộc hai tập hợp khác nhau nên theo tiên đề 5 đường thẳng a và đoạn thẳng BC có điểm chung hay có một điểm của a ở giữa B và C Tương tự nếu YC ∈ thì có một điểm của a ở giữa A và C. Bài 6: Hãy dùng 12 tiên đề của hình học phẳng (tức là không dùng tiên đề 13 về hai đường thẳng song song) để chứng minh các định lý sau đây. a.Góc ngoài tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó. b. Nếu hai đường thẳng tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song. GI IẢ C B' A x B 2 a) Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó. Ta gọi Cx là tia đối của tia CB ta chứng minh rằng: · · ACx BAC> và · · ACx ABC> Gọi I là trung điểm AC và B’ là điểm đối xứng với B qua I. Khi đó hai tam giác AIB và CIB’ bằng nhau (c-g-c).Bở vậy · · 'ACB BAC= có thể chứng minh rằng tia CB’nằm trong góc · ACx ,tức là · · 'ACx ACB> Có thể chứng minh rằng tia CB’ nằm trong góc b) Gỉa sử hai đường thẳng a và b cắt đường thẳng c lần lượt tại A và B sao cho µ µ 1 1 A B= nếu a và b cắt nhau tại C thì tam giác ABC sẽ có một góc ngoài bằng một góc trong không kề với nó (trái với định lý a) B A c) vậy nếu hai đường thẳng tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song (đpcm) Bài 8: Cho V là không gian Ơ-clit n chiều (trên trường số thực) .Hãy gọi mỗi vecto u của V là một “điểm”,và với bất kì hai “điểm” u và v của V ta cho tương ứng với vecto uv − của V.Hãy chứng minh rằng khi đó V là không gian Ơ-clit n chiều. Giải Gọi mỗi vectơ u là một điểm và kí hiệu là U. Vậy các vectơ , , , a b x y r r r ur bây giờ được hiểu là các điểm A,B,X,Y… Theo tiên đề 1: Với bất kỳ hai điểm A và B (là hai vectơ a và b ) ta cho tương ứng với một vectơ hoàn toàn xác định của V ,đó là vectơ ab − Như vậy : AB b a= − uuur r r Theo tiên đề 2: Với mỗi điểm A cho trước (là vectơ a ) và mỗi vectơ u cho trước của V có một điểm duy nhất B sao cho uAB = Thật vậy ta chỉ cần lấy B là điểm b u a= + r r r Theo tiên đề 3: Với bất kỳ ba điểm A,B,C ta đều có AB BC AC+ = uuur uuur uuur Thật vậy nếu các điểm A,B,C lần lượt là các vectơ , ,a b c r r r thì , ,AB b a BC c b AC c a= − = − = − uuur r r uuur r r uuur r r , Từ đó suy ra AB BC AC+ = uuur uuur uuur Vậy cả ba tiên đề đều nghiệm Suy ra V là không gian Ơclic n chiều. BÀI TẬP CHƯƠNG II BÀI 1:PHÉP BIẾN HÌNH AFIN Bài 2: Cho phép afin f và hai điểm A,B phân biệt .Chứng minh rằng nếu ( ) ( ) BAf = và ( ) ( ) ABf = và I là trung điểm AB thì ( ) IIf = . Giải Ta có f là phép afin A và B là hai điểm phân biệt 3 ( ) BAf = , ( ) ABf = Gọi I là trung điểm của AB Gỉa sử ( ) 'IIf = Do f là phép afin nên f bảo toàn tỉ số đơn ( ) ABI IBIA −= ( ) ( ) AIBI IBfIAf '' −=⇒ −=⇒ ⇒ I’ là trung điểm AB Theo tính chất duy nhất của trung điểm ( ) ' ' IIf II =⇒ ≡⇒ Bài 4: Chứng minh rằng nếu phép afin f biến mỗi đường thẳng a thành đường thẳng a’ song song hoặc trùng với a thì f là phép tịnh tiến hoặc là phép vị tự. Giải Giả sử f là phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép afin f Ta chứng minh rằng tồn tại một số k sao cho với mọi u bất kỳ có : ( )f u ku= ur r r Thật vậy với vectơ u bất kỳ ta lấy hai điểm M,N sao cho uMN = Nếu gọi ( ) MfM =' và ( ) NfN =' và ''' uNM = Thì theo định nghĩa của f ta có : ( ) 'f u u= ur r ur Nhưng vì f biến đường thẳng MN thành đường thẳng M’N’ nên theo giả thiết ''// NMMN bởi vậy ( )f u ku= ur r r . Tương tự như vậy ,đối với vectơ v r ta cũng có ( ) 'f v k v= ur r r .Tuy nhiên ta chứng minh được 'k k= Thật vậy, nếu đặt vectơ w u v= + ur r r , thì ta cũng có ( ) '' ''( ) '' ''f w k w k u v k u k v= = + = + ur ur ur r r r r .Nhưng vì f biến đổi tuyến tính nên ( ) ( ) ( ) ( ) 'f w f u v f u f v ku k v= + = + = + ur ur ur r r ur r ur r r r .Tức là ' '' ''ku k v k u k v+ = + r r r r Từ đó ta suy ra nếu v r và u không cộng tuyến thì '', ' ''k k k k= = , vậy 'k k= . Còn nếu v r và u cộng tuyến ta lấy một vectơ z r không cộng tuyến với vectơ u thì ( )f z kv= ur r r Bây giờ ta lấy k=1 thì với mọi cặp điểm M,N và ảnh của chúng là M’.,N’ ta có ' 'MN M N= uuuur uuuuuur .Vậy ' 'MN M N= uuuur uuuuuur Vậy f tịnh tiến theo vectơ 'MM v= uuuuur r . Nếu 1k ≠ (chú ý rằng nếu 0k ≠ ) thì với cặp điểm M,N và ảnh của chúng ta có ' 'M N k MN= uuuuuur uuuur suy ra hai đường thẳng MM’ và NN’ cắt nhau tại O và ,OM kOM ON kON= = uuuur uuuur uuur uuur Vậy f là phép vị tự tâm O tỉ số k. Bài 6: Cho hai tứ giác ABCD và A’B’C’D’.Với điều kiện nào thì có phép afin f biến các đỉnh A,B,C,D lần lượt thành các đỉnh A’,B’,C’,D’? Giải Vì ba điểm A,B,C cũng như ba điểm A’,B’,C’ không thẳng hàng cho nên có một phép afin f duy nhất biến A,B,C lần lượt thành A’,B’C’ Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD I’ là giao điểm của hai đường chéo A’C’ và B’D’ Phép afin f biến D thành D’ khi và chỉ khi nó biến I thành I’. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi ( ) ( ) , , ', ', 'A B I A B I= và ( ) ( ) ',',',, IDBIDB = 4 Bài 8: Tìm biểu thức tọa độ của phép afin biến các điểm ( ) ( ) ( ) 0,3,2,0,0,1 −CBA lần lượt thành các điểm ( ) ( ) ( ) 1,2',4,1',3,2' −−− CBA Giải Biểu thức tọa độ của phép biến đổi afin có dạng:    ++= ++= 2 1 ' ' adycxy abyaxx Vì nó biến ba điểm A,B,C thành A’,B’,C’ nên :            −=+− −=+− =+ −=+ =+ =+ ⇒            +−=− +−=− += +=− += += ⇒ 13 23 42 12 3 2 31 32 24 21 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ac aa ad ab ac aa ac aa ad ab ac aa Ta có : 1 2 aa −= thay vào phương trình : ( ) 11 44 223 23 1 1 11 1 =⇒=⇒ =⇒ −=+−−⇒ −=+− aa a aa aa Từ phương trình 22 33 acac −=⇒=+ thay vào phương trình: ( ) 12 84 133 13 2 2 22 2 =⇒=⇒ =⇒ −=+−−⇒ −=+− ca a aa ac Tương tự từ phương trình : 12212 1 −=⇒−=⇒−=+ bbab Và 22242 2 =⇒=⇒=+ ddad Vậy ta có biểu thức tọa độ là:    ++= +−= 2' 1' yxy yxx Bài 10: Cho hai phép afin: Phép f: ' 2 5 ' 3 7 x x y y x y = + −   = − +  Phép g: ' 4 ' 2 5 x x y y x y = − +   = − + +  Tìm biểu thức tọa độ của g o f và f 0 g Xét f: ' 2 5 ' 3 7 x x y y x y = + −   = − +  A(0,0); B(1,0); C(1,0) f(A): ' 2.0 0 5 ' 3.0 0 7 x y = + −   = − +  ' 2 8 ' 4 3 24 x x y y x y = − + −   = − +  ⇒ f(A)= (-5,7) 5 f(B): ' 2.1 0 5 ' 3.1 0 7 x y = + −   = − +  ⇒ f(B)= (-3,10) f(C): ' 2.0 1 5 ' 3.0 1 7 x y = + −   = − +  ⇒ f(C)=(-4,6) xét g: ' 4 ' 2 5 x x y y x y = − +   = − + +  g(f(A)): ' 5 7 4 ' 5 2.7 5 x y = − − +   = + +  ⇒ g(f(A))=(-8,24)=A’ g(f(B)): ' 3 10 4 ' 3 2.10 5 x y = − − +   = + +  ⇒ g(f(B))=(-9,28)=B’ g(f(C)): ' 4 6 4 ' 4 2.6 5 x y = − − +   = + +  ⇒ g(f(C))=(-6,21)=C’ Ta có A(0,0); B(1,0); C(0,1); A’(-8,24); B’(-9,28); C’(-6,21) Biểu thức tọa độ của g 0 f là: ' ' ' ' x ax by c y a x b y c = + +   = + +  8 24 ' 9 28 ' ' 6 21 ' ' c c a c a c b c b c − =   =   − = +  = +   − = +  = +  ⇒ 8 1 2 ' 4 ' 3 ' 24 c a b a b c = −   = −   =  =   = −  =  Vậy biểu thức tọa độ của g 0 f là ' 2 8 ' 4 3 24 x x y y x y = − + −   = − +  Tương tự ta xét biểu thức tọa độ của f 0 g: Xét g: ' 4 ' 2 5 x x y y x y = − +   = − + +  A(0,0); B(1,0); C(0,1) 6 g(A)= 8 14 ' 9 18 ' ' 8 9 ' ' c c a c a c b c b c =   =   = +  = +   = +  = +  ' 0 0 4 ' 0 2.0 5 x y = − +   = − + +  ⇒ g(A)=(4,5) g(B)= ' 1 0 4 ' 1 2.0 5 x y = − +   = − + +  ⇒ g(B)=(5,4) g(C)= ' 0 1 4 ' 0 2.1 5 x y = − +   = − + +  ⇒ g(C)=(3,7) xét f: ' 2 5 ' 3 7 x x y y x y = + −   = − +  f(g(A))= ' 2.4 5 5 ' 3.4 5 7 x y = + −   = − +  ⇒ f(g(A))=(8,14)=A’’ f(g(B))= ' 2.5 4 5 ' 3.5 4 7 x y = + −   = − +  ⇒ f(g(B))=(9,18)=B’’ f(g(C))= ' 2.3 7 5 ' 3.3 7 7 x y = + −   = − +  ⇒ f(g(C))=(8,9)=C’’ Vậy ta có A(0,0); B(1,0); C(0,1); A’’(8,14); B’’(9,18); C’’(8,9) Biểu thức tọa độ của f 0 g là : ' ' ' ' ' x ax by c y a x b y c = + +   = + +  8 14 ' 9 18 ' ' 8 9 ' ' c c a c a c b c b c =   =   = +  = +   = +  = +  ⇒ 8 ' 14 1 ' 4 0 ' 5 c c a a b b =   =   =  =   =  = −  Vậy biểu thức tọa độ của f 0 g là: 7 ' 8 ' 4 5 14 x x y x y = +   = − +  Bài 12: Tìm điểm bất động và đường thẳng bất động (tức là đường thẳng biến thành chính nó) cùa các phép afin sau đây: a/ ' 7 1 ' 4 2 4 x x y y x y = − +   = + +  b/ 13 8 ' 5 5 5 4 7 4 ' 5 5 5 a x x y y x y  = + −     = + −   Giải a/Điểm bất động: Giải hệ phương trình 7 1 4 2 4 x x y y x y = − +   = + +  ta được điểm bất động là 1 ; 2 2 A   = − −  ÷   . Đường thẳng bất biến : Nếu đường thẳng (d) có ảnh là đường thẳng (d’) và phương trình của (d’) là ' ' 0Ax By C+ + = thì phương trình của (d) là: ( ) ( ) 7 1 4 2 4 0A x y B x y C− + + + + + = Hay: ( ) ( ) 7 4 2 4 0A B x A B y A B C+ + − + + + + = Để hai đường thẳng (d) và (d’) trùng nhau ta cần có điều kiện: 7 4 2 4A B A B A B C A B C + − + + + = = (*) Từ đẳng thức với dấu bằng đầu tiên ta suy ra: 2 2 5 4 0A AB B+ + = hay ( ) ( ) 4 0A B A B+ × + = +/Nếu A B= − thì từ đẳng thức với dấu bằng thứ hai của (*) ta suy ra : 3 3B C C+ = , suy ra 3 2B C = . Vậy ta có thể lấy: 3, 2C B= − = − và 2A = và được đường thẳng bất biến có phương trình: 2 2 3 0x y− − = +/Nếu 4A B= − thì từ dấu bằng thứ hai của (*) ta suy ra 6C C= vậy 0C = và phương trình đường thẳng bất biến là: 4 0x y− = b/Điểm bất động : Giải hệ phương trình: 13 8 5 5 5 4 7 4 5 5 5 a x x y y x y  = + −     = + −   Hệ phương trình trên tương đương với một phương trình: 2 2 0x y+ − = Vậy mọi điểm của đường thẳng 2 2 0x y+ − = đều là điểm bất động. Đường thẳng bất biến: Nếu đường thẳng (d) có ảnh là đường thẳng (d’) và (d’) có phương trình: ' ' 0Ax By C+ + = thì phương trình của (d) là: ( ) ( ) 13 4 8 4 7 4 5 0A x y B x y C+ − + + − + = 8 Hay: ( ) ( ) 13 4 4 7 8 4 5 0A B x A B y A B C+ + + − − + = . Để (d) ≡ (d’), điều kiện là: 13 4 4 7 8 4 5A B A B A B C A B C + + − − + = = (*) Ta suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 13 4 4 7 2 3 2 0 2 2 0 A B B A B A A AB B A B A B + = + ⇒ − − = ⇒ − + = +/Nếu 2A B= thay vào (*) ta được : 2C B = − . Vậy lấy 1B = thì và được đường thẳng bất biến 2 2 0x y+ − = . +/Nếu 2A B= − thì thay vào (*) ta được 5 5C C= ,đúng với mọi C. Vậy ta có vô số đường thẳng bất biến song song với nhau: 2 0x y C− + = Bài 14: Viết biểu thức tọa độ của các phép afin trong các trường hợp sau đây: a. Mọi điểm của trục Ox đều là điểm bất động và điểm (2,6) biến thành điếm (-1,-4). b. Mọi điểm của đường thẳng x+2y-1=0 đều là điểm bất động và điểm ( ) 1,2 biến thành điểm (2,1). Giải a. Vì điểm O biến thành chính nó và vecto (1;0) biến thành chính nó nên biểu thức tọa độ của phép afin đã cho có dạng: ' ' x x cy y dy = +   =  Vì điểm (2;6) biến thành điểm (-1;-4) nên: -1 = 2 + 6c -4 = 6d Vậy 1 2 c − = , 2 3 d − = . Biểu thức tọa độ của phép afin đã cho là: 1 ' 2 2 ' 3 x x y y y  = −     = −   b. Biểu thức của f có dạng: ' ' x ax cy p y bx dy q = + +   = + +  9 Lấy hai điểm nào đó trên đường thẳng đã cho, chẳng hạn M(1;0), N(-1;1) thì M và N đều biến thành chính nó, còn B biến thành B’, nên: 1 0 1 1 2 2 2 2 a p b q a c p b d q a c p b d q = + = + − = − + + = − + + = + + = + + Ta tìm được: 5 1 1 , 0, , 1, , 0 4 2 4 a b c d p q= = = = = − = Vậy phép afin đã cho có biểu thức tọa độ: 5 1 1 ' 4 2 4 ' x x y y y  = + −    =  Bài 16: Các phép afin sau đây có phải là phép thấu xạ hay không? Nếu có, hãy tìm tỉ số thấu xạ, nếu không phải là thấu xạ trượt a. ' ' x x y ky =   =  b. ' 1 ' 1 x y y x = − +   = − +  c. ' 4 2 1 ' 3 3 1 x x y y x y = + +   = + −  d. ' ' x x p y ky q = +   = +  e. ' ' x x y y y = +   =  Giải a. Trong biểu thức x’ = x, y’ = ky ta phải có 0k ≠ . Nếu k = 1 thì đó là phép đồng nhất. Nếu 1k ≠ thì các điểm bất động có tọa độ thỏa mãn hệ: x x y ky =   =  10 [...]... mỗi phép có tính chất đó là một phép tịnh tiến hoặc vị tự” Từ đó suy ra tập các phép vị tự và phép tịnh tiến làm thành một nhóm con của nhóm Af(P) và chứa nhóm các phép tịnh tiến Bài 22: Hình H gồm một tam giác ABC nội tiếp đường elip (E), hình H’ gồm một tam giác A’B’C’ nội tiếp đường elip (E’) Hai hình H và H’ có tương đương afin không? Nếu có thêm giả thiết tâm elip (E) trùng với trọng tâm tam giác... H’ có tương đương afin hay không? Giải Gọi O và O’ lần lượt là tâm của (E) và (E’) ta có một phép afin duy nhất f biến A,B,C lần lượt thành A’,B’,C’.Tức là biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.Nói chung f không biến O thành O’ nếu hai tứ giác OABC và O’A’B’C’ không tương đương afin tức là không biến (E) thành (E’).Vậy nói chung hai hình H và H’ không tương đương afin Nếu phép afin f nói trên biến... ; CB1 A1 = CMA1 ¼ AB Vậy ¼ 1C1 = CB1 A1 ⇒ A1, B1, C1 thẳng hàng Bài 28: Cho hình bình hành ABCD, hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên hai đường thẳng AD và DC sao cho (ADM) = (DCM) Tìm quỹ tích giao điểm BM và AN Giải A' M' D' N' B' 15 C' Gọi A’B’C’D’ là một hình vuông bất kì, và f là phép biến đổi afin biến hình bình hành ABCD thành hình vuông A’B’C’D’ Khi đó f biến điểm M thành điểm M’ nằm trên... tròn này tiếp xúc với hai cạnh A’D’, B’C’ và đi qua tâm của hình vuông Quỹ tích I là tạo ảnh của đường tròn đó, nên quỹ tích I là đường elip với AB là một đường kính, đi qua tâm hình bình hành ABCD và tiếp xúc với AD và BC Bài 30: cho hình vuông ABCD Hãy chỉ ra những phép đẳng cự biến hình vuông đó thành chính nó Giải: Vì phép đẳng cự là phép afin nên ta chỉ cần chứng minh Xét phép biến ba điểm không... , C1' ,đó chính là elip (E’).Vậy trong trường hợp này H và H’ tương đương afin 12 A C1 B1 B A1 A' C'1 B' B'1 O' C A'1 C' Bài 24: Chứng tỏ rằng các khái niệm sau đây là những khái niệm afin: Đường bậc hai; Tâm của đường bậc hai; Đường tiệm cận của đường bậc hai; Tiếp tuyến của đường bậc hai Giải a Giả sử đối với một mục tiêu afin, cho đường bậc hai S có phương trình: Ax 2 + By 2 + 2Cxy + 2 Dx + 2 Ey... −1   uuu  u ur q  M 1M =  0; y0 + ÷ k −1   Từ đó: u u ur uuu uuu u ur ⇒ M 1 M ' = k M 1M Vậy tỉ số thấu xạ là k Bài 18: Chứng minh rằng mọi phép afin biến tam giác ABC thành chính nó đều có thể phân tích của không quá hai phép thấu xạ Phép afin biến V ABC thành chính nó sẽ biến tập hợp gồm 3 điểm A, B, C thành chính nó Bây giờ ta xét các trường hợp sau: + TH1: f1: A→A B→B C→C Khi đó f1 ta có phép... tiến làm thành một nhóm, tập hợp các phép tịnh tiến làm thành một nhóm Xét quan hệ giữa các nhóm đó với nhau và với nhóm các phép afin Af(P) Giải: r Ta dễ dàng thấy rằng nếu T là phép tịnh tiến theo vectơ v , còn T’ là phép tịnh tiến theo vectơ u r r u r v ' thì tích T 'oT và T oT ' đều là phép tịnh tiến theo vectơ v + v ' , ngoài ra phép tịnh tiến là phép afin Từ đó suy ra tập hợp các phép tịnh tiến... qũy tích I là đường thẳng Ox Vì ( M , M , , J ) = k nên x1 = kx + ky − kx + ky , y1 = =0 1+ k 1+ k kx − ky − kx − ky = 0, y1 = 1− k 1− k Vậy quỹ tích J là đường thẳng Oy BÀI TẬP CHƯƠNG III ÁNH XẠ XẠ ẢNH VÀ BIẾN HÌNH XẠ ẢNH ÁNH XẠ XẠ ẢNH Bài 2: cho 4 điểm A, B, C, D của mặt phẳng P trong đó bất kì ba điểm nào cũng độc lập r r r a, b,c sao chứng minh rằng có thể tìm cho các điểm đó các vector đại diện lần... định phép dời hình: ta gọi d1 là trung trực của đoạn thẳng AA’ và Đ1 là phép đối xứng qua d1 Gọi B1 là ảnh của B qua Đ1 Thì AB =A’B1, do đó A’B1 = A’B’ Lại gọi d2 là trung trực của đoạn thẳng B1B’ (d2 đi qua A’ ) và Đ2 là phép đối xứng qua đường thẳng d2 thì Đ2 biến A’ thành A’ và biến B1 thành B’ Như vậy tích Đ2  Đ1 chính là phép dời hình biến A, B thành A’, B’ Nếu d1//d2 thì phép dời hình đó là phép... hình là số các tiếp chung cắt d Vậy bài toán có thể không có nghiệm, hoặc 2, 3, 4 nghiệm và cũng có thể có vô số nghiệm.( Khi đường tròn đối xứng với nhau qua d) d tuyến d D O1 có 1, hai 20 Câu 52 chứng minh rằng: a) Tích hai phep vi tự là một phép vị tự hoặc phép tịnh tiến b) Tích một phép vị tự là một phép tịnh tiến hoặc một phép tịnh yien61 và một phép vị tự là một phép vị tự hoặc tịnh tiến c) Tập . uuur Vậy cả ba tiên đề đều nghiệm Suy ra V là không gian Ơclic n chiều. BÀI TẬP CHƯƠNG II BÀI 1:PHÉP BIẾN HÌNH AFIN Bài 2: Cho phép afin f và hai điểm A,B phân biệt .Chứng minh rằng nếu ( ) ( ) BAf. thấu xạ là k. Bài 18: Chứng minh rằng mọi phép afin biến tam giác ABC thành chính nó đều có thể phân tích của không quá hai phép thấu xạ. Phép afin biến V ABC thành chính nó sẽ biến tập hợp gồm. đó suy ra tập các phép vị tự và phép tịnh tiến làm thành một nhóm con của nhóm Af(P) và chứa nhóm các phép tịnh tiến. Bài 22: Hình H gồm một tam giác ABC nội tiếp đường elip (E), hình H’ gồm