BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN

BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN

BÀI TẬP CHƯƠNG I

Bài 2: Hệ tiên đề K gồm :điểm ,đường,thuộc

+ Khái niệm cơ bản

+ Các tiên đề :

i) có ít nhất một điểm ii) qua hai điểm phân biệt có không quá một đường.

iii)mỗi đường có ba điểm phân biệt.

iv)Mỗi điểm nằ trên ba đường phân biệt a.Chứng minh các định lý:

+ Hai đường thẳng biệt có không quá một điểm chung.

+ Có ít nhất là bảy điểm ,có ít nhất là bảy đường.

b.Xây dựng các mô hình của K gồm bảy điểm ,bảy đường hoặc chín điểm,chín

đường.

Giải a.Chứng minh

+ Hai đường phân biệt có không qía một điểm chung

Nếu như hai đường thẳng phân biệt a và b có hai điểm chung là A và B (A≠B)thì qia hai điểm A,B sẽ có hai đường thẳng phân biệt a và b (trái ii))

+ Có ít nhất là bảy điểm ,bảy đường

Theo tiên đề i) có ít nhất là một điểm ta kí hiệu là A ,theo iv) có ba đường phân biệt x,y,z qua A

Theo tiên đè iii) trên x ngoài biến A còn có 2 điểm phân biệt nửa B,CTương tự trên y ngoài A có 2 điểm phân biệt D,E

Trên z ngoài A có 2 điểm phân biệt G,HTheo định lý 1: hai đường thẳng phân biệt sẽ có không quá một điểm chung

⇒ Bảy điểm A,B,C,D,E,G,H đôi một phân biệt và khác nhau.

Theo tiên đề iv) mỗi điểm nằm trên ba đường thẳng phân biệt Nên ngoài x qua Bcòn có 2 diểm phân biệt khác ta đặt u,v

Tương tự :ngoài x qua C còn có 2 đường :w,ϕTheo tiên đề ii)qua hai điểm phân biệt có không quá một đường

⇒Bảy đường x,y,z,u,v,w,ϕ đôi một phân biệt và khác nhau

b.+ Mô hình K gồm bảy điểm ,bảy đường.

Xét ∆ΑΒC có 3 đường trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau tại G

Ta có: bảy điểm A,B,C,D,E,F,G,H

Ta gọi mỗi đường là bộ đôi ba điểm

{A,F,B} {, B,D,C} {, A,E,C} {, A,G,D} {, C,G,F} {, B,G,E} {, F,E,D}+ Mô hình K gồm chín điểm ,chín đường

Ta lấy 9 điểm phân biệt :A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3.Mỗi bộ ba điểm sau đây được xem là một đường:

{A1,B1,C1} {, A1,B2,C3} {, A1,B3,C2} {, A2,B2,C2} {, A2,B1,C3} {, A3,B3,C3} {, A3,B1,C2} {, A3,B2,C1}

Bài 4: Hãy dùng hệ tiên đề của hình học phẳng ở phổ thông để chứng minh các định lý sau đây.

a.Có ít nhất ba điểm không thẳng hàng.

b Cho 4 điểm A,B,C,D phân biệt và thẳng hàng.Chứng minh rằng nếu C nằm giữa A

và B,còn D nằm giữa B và C thì D nằm giữa A và B còn C nằm giữa A và D.

c Định lý Pát (tức tiên đề Pát trong hệ tiên đề Hinbe).

Giải Chứng minh:

a.Có ít nhất ba điểm không thẳng hàng.

Theo tiên đề 1,ta có ít nhất là hai đường thẳng a và b nào đó

Cũng theo tiên đề 1,trên a có ít nhất là hai điểm A và B

Đường thẳng b không thể đồng thời đi qua A và B ,vì như vậy sẽ trùng với đường thẳng a,theo tiên đề 2

Vậy trên b có ít nhất là một điểm C không nằm trên a

Vậy ta có ít nhất là ba điểm A,B,C, không thẳng hàng

b.Ta chứng minh C ở giữa A và D.

Ta gọi a là đường thẳng chứa bốn điểm A,B,C,D

Theo tiên đề 4,điểm C chia các điểm còn lại của đường thẳng a thành hai tập hợp,ta gọi hai tập hợp đó là X và Y

Vì C ở giữa A và B nên Avà B thuộc hai tập hợp khác nhau

Suy ra D ở giữa A và B

c Theo tiên đề 5

Đường thẳng a chia các điểm không thuộc nó thành hai tập hợp mà ta kí hiệu là X

và Y

Theo định nghĩa của đoạn thẳng thì giả thiết đường thẳng a có một điểm ở giữa A

và B ,A và B đều thuộc tập hợp khác nhau đó

Gỉa sử A∈XvàB∈Y ,do C không nằm trên a nên phải thuộc một trong hai tập hợp đó

Nếu C∈X thì B và C thuộc hai tập hợp khác nhau nên theo tiên đề 5 đường thẳng

a và đoạn thẳng BC có điểm chung hay có một điểm của a ở giữa B và C

Tương tự nếu C∈Y thì có một điểm của a ở giữa A và C

Bài 6: Hãy dùng 12 tiên đề của hình học phẳng (tức là không dùng tiên đề 13 về hai đường thẳng song song) để chứng minh các định lý sau đây.

a.Góc ngoài tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.

b Nếu hai đường thẳng tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song.

GI I Ả

C

B' A

x B

a) Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.

Ta gọi Cx là tia đối của tia CB ta chứng minh rằng: ·ACx BAC>· và ·ACx ABC>·

Gọi I là trung điểm AC và B’ là điểm đối xứng với B qua I

Khi đó hai tam giác AIB và CIB’ bằng nhau (c-g-c).Bở vậy ·ACB'=BAC· có thể chứng minh rằng tia CB’nằm trong góc ·ACx,tức là ·ACx ACB>· '

Có thể chứng minh rằng tia CB’ nằm trong góc

b) Gỉa sử hai đường thẳng a và b cắt đường thẳng c lần lượt tại A và B sao cho µA1=µB1

nếu a và b cắt nhau tại C thì tam giác ABC sẽ có một góc ngoài bằng một góc trong không kề với nó (trái với định lý a)

B A

c) vậy nếu hai đường thẳng tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường

thẳng đó song song (đpcm)

Bài 8: Cho V là không gian Ơ-clit n chiều (trên trường số thực) Hãy gọi mỗi vecto u của V

là một “điểm”,và với bất kì hai “điểm”u và v của V ta cho tương ứng với vecto v−u của V.Hãy chứng minh rằng khi đó V là không gian Ơ-clit n chiều.

Giải

Gọi mỗi vectơ u là một điểm và kí hiệu là U

Vậy các vectơ a b x yr r r ur, , ,

bây giờ được hiểu là các điểm A,B,X,Y…

Theo tiên đề 1: Với bất kỳ hai điểm A và B (là hai vectơ a và b ) ta cho tương ứng với một vectơ hoàn toàn xác định của V ,đó là vectơ b−a

Như vậy : uuur r rAB b a= −

Theo tiên đề 2: Với mỗi điểm A cho trước (là vectơ a) và mỗi vectơ u cho trước của V cómột điểm duy nhất B sao cho AB=u

Thật vậy ta chỉ cần lấy B là điểm b u ar r r= +

Theo tiên đề 3: Với bất kỳ ba điểm A,B,C ta đều có uuur uuur uuurAB BC+ =AC

Thật vậy nếu các điểm A,B,C lần lượt là các vectơ a b cr r r, ,

Từ đó suy ra uuur uuur uuurAB BC+ = AC

Vậy cả ba tiên đề đều nghiệm

Suy ra V là không gian Ơclic n chiều

BÀI TẬP CHƯƠNG II BÀI 1:PHÉP BIẾN HÌNH AFINBài 2: Cho phép afin f và hai điểm A,B phân biệt Chứng minh rằng nếu f( ) ( )A = B và

IB f IA f

'' =−

⇒

−

=

⇒

⇒I’ là trung điểm AB

Theo tính chất duy nhất của trung điểm

( ) '

'

I I

Giả sử f là phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép afin f

Ta chứng minh rằng tồn tại một số k sao cho với mọi u bất kỳ có : ur rf u( )=kur

Thật vậy với vectơ u bất kỳ ta lấy hai điểm M,N sao cho MN =u

Nếu gọi M'= f( )M và N'= f( )N và M'N'=u'

Thì theo định nghĩa của f ta có : ur rf u( )=uur'

Nhưng vì f biến đường thẳng MN thành đường thẳng M’N’ nên theo giả thiết MN//M'N'

bởi vậy ur rf u( )=kur

Tương tự như vậy ,đối với vectơ vr

ta cũng có ur rf v( )=k v'r.Tuy nhiên ta chứng minh được'

k k=

Thật vậy, nếu đặt vectơ w u vur r r= + , thì ta cũng có ur urf w( )=k w k u v''ur= ''(r r+ =) k u k v''r+ ''r.Nhưng

vì f biến đổi tuyến tính nên ur urf w( )=ur r rf u v( + =) ur rf u( )+ur rf v( )=ku k vr+ 'r.Tức là ku k v k u k vr+ 'r= ''r+ ''r

.Vậy MNuuuur uuuuuur=M N' '

Vậy f tịnh tiến theo vectơ MMuuuuur r'=v

Nếu k ≠1(chú ý rằng nếu k≠0) thì với cặp điểm M,N và ảnh của chúng ta có

Vì ba điểm A,B,C cũng như ba điểm A’,B’,C’ không thẳng hàng cho nên có một phép afin

f duy nhất biến A,B,C lần lượt thành A’,B’C’

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

I’ là giao điểm của hai đường chéo A’C’ và B’D’

Phép afin f biến D thành D’ khi và chỉ khi nó biến I thành I’

Điều đó xảy ra khi và chỉ khi (A B I, , ) (= A B I', ', ') và (B,D,I) (= B,'D,'I')

Bài 8: Tìm biểu thức tọa độ của phép afin biến các điểm A( ) ( ) (1,0,B 0,2,C −3,0) lần lượt thành các điểm A'( ) (2,3,B' −1,4) (,C' −2,−1)

=

++

a by ax x

Vì nó biến ba điểm A,B,C thành A’,B’,C’ nên :

−

−

=+

−

=+

−

=+

=+

=+

23

42

12

32

31

32

24

2132

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

a c

a a

a d

a b

a c

a a

a c

a a

a d

a b

a c

a a

Ta có : a=2 a− 1 thay vào phương trình :

( )

11

44

22

3

23

1 1

1 1 1

−

a a

a

a a

a a

Từ phương trình c+a2 =3⇒c=3−a2 thay vào phương trình:

( )

12

84

13

3

13

2 2

2 2 2

−

c a

a

a a

a c

1'

y x y

y x x

Bài 10: Cho hai phép afin:

c a b a b c

x y

Vậy ta có A(0,0); B(1,0); C(0,1); A’’(8,14); B’’(9,18); C’’(8,9)

Biểu thức tọa độ của f0 g là :

c c a a b b

Từ đẳng thức với dấu bằng đầu tiên ta suy ra:A2+5AB+4B2 =0hay (A B+ ) (× +A 4B) =0

+/Nếu A= −Bthì từ đẳng thức với dấu bằng thứ hai của (*) ta suy ra :3B C+ =3C , suy ra

3B= 2C

Vậy ta có thể lấy:C= −3,B= −2 và A=2 và được đường thẳng bất biến có phương trình:

2x−2y− =3 0

+/Nếu A= −4B thì từ dấu bằng thứ hai của (*) ta suy ra C =6C

vậy C =0 và phương trình đường thẳng bất biến là: 4x y− =0

b/Điểm bất động : Giải hệ phương trình:

+/Nếu A=2B thay vào (*) ta được :C = − 2B

Vậy lấy B=1thì và được đường thẳng bất biến 2x y+ − =2 0.

+/Nếu 2A= −B thì thay vào (*) ta được 5C=5C,đúng với mọi C

Vậy ta có vô số đường thẳng bất biến song song với nhau:

Bài 14:

Viết biểu thức tọa độ của các phép afin trong các trường hợp sau đây:

a Mọi điểm của trục Ox đều là điểm bất động và điểm (2,6) biến thành điếm (-1,-4).

b Mọi điểm của đường thẳng x+2y-1=0 đều là điểm bất động và điểm ( )1, 2 biến thành điểm (2,1).

Lấy hai điểm nào đó trên đường thẳng đã cho, chẳng hạn M(1;0), N(-1;1) thì M và N đều biến thành chính nó, còn B biến thành B’, nên:

Vậy tất cả các điểm của trục y = 0 đều là điểm bất động Đây là một phép thấu xạ với cơ sở là đường thẳng Ox Nếu ta lấy M = (0;1) thì M có ảnh là M’ = (0;k), và MM’ cắt nhau tại O Vì'

OMuuuuur=kOMuuuur nên ta có tỉ số thấu xạ là k

b Trong biểu thức x'= +x p y, '=ky q+ ta cũng phải có k ≠0

Nếu k = 1 thì ta có phép tịnh tiến theo vectơ ur=( ; )p q Vậy nếu p = q = 0 thì ta có phép đồng nhất, nó cũng là một phép thấu xạ Nếu một trong hai số p và q khác không, ta được phép tịnh tiến, đó không phải là phép thấu xạ

Nếu k ≠ 1 , các điểm bất động có tọa độ thỏa mãn hệ:

Hệ phương trình trên vô nghiệm khi , nên phép afin đã cho không phải là phép thấu xạ.Khi p = 0, các điểm bất động là mọi điểm của đường thẳng d: (k - 1) + q = 0 Vậy phép afin

đã cho là một phép thấu xạ với cơ sở là đường thẳng đó

Ta hãy lấy một điểm M không nằm trên d, chẳng hạn M =(0;y0) với (k−1)y0+ ≠q 0 Khi

đó M có ảnh là M'=(0;ky0+q) Đường thẳng MM’ cắt đường thẳng d tại điểm

1

kq

k q

Phép afin biến VABC thành chính nó sẽ biến tập hợp gồm 3 điểm A, B, C thành chính

nó Bây giờ ta xét các trường hợp sau:

Gọi I là trung điểm BC, khi đó I là địểm bất động của f2 Vậy tất cả các điểm của đường thẳng

AI là điểm bất động Vậy ta có phép thấu xạ với cơ sở là đường thẳng AI, phương thấu xạ là phương của BC, tỉ số thấu xạ bằng -1

+ TH3:

B→C

C→A

Vậy ta có phép afin f mà f(A)=B, f(B)=C, f(C)=A

Gọi g là phép thấu xạ sao cho g(A)=A, g(B)=C, g(C)=B (TH2) Nếu đặt g0f =h thì theo TH2 ta có h(A)=C, h(B)=B, h(C)=A, do đó theo TH2, h cũng là một phép thấu xạ

Từ g0f =h ⇒ g0 g0 f = g0 h ( vì g là phép thấu xạ có tỉ số -1 nên g0g=e (e là phép đồng nhất )

Vậy f=g0h, tức là f là tích của 2 phép thấu xạ

Bài 20:

Chứng minh rằng các phép vị tự và các phép tịnh tiến làm thành một nhóm, tập hợp các phép tịnh tiến làm thành một nhóm Xét quan hệ giữa các nhóm đó với nhau và với nhóm các phép afin Af(P).

Giải:

Ta dễ dàng thấy rằng nếu T là phép tịnh tiến theo vectơ vr

, còn T’ là phép tịnh tiến theo vectơ'

nhóm Af(P) và chứa nhóm các phép tịnh tiến.

Bài 22:

Hình H gồm một tam giác ABC nội tiếp đường elip (E), hình H’ gồm một tam giác

A’B’C’ nội tiếp đường elip (E’) Hai hình H và H’ có tương đương afin không? Nếu có thêm giả thiết tâm elip (E) trùng với trọng tâm tam giác ABC và tâm elip (E’) trùng với trọng tâm tam giác A’B’C’ thì H và H’ có tương đương afin hay không?

Giải

Gọi O và O’ lần lượt là tâm của (E) và (E’) ta có một phép afin duy nhất f biến A,B,C lần lượt thành A’,B’,C’.Tức là biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.Nói chung f không biến O thành O’ nếu hai tứ giác OABC và O’A’B’C’ không tương đương afin tức là không biến (E) thành (E’).Vậy nói chung hai hình H và H’ không tương đương afin

Nếu phép afin f nói trên biến O thành O’ thì nó cũng biến (E) thành (E’).Thật vậy nếu gọi

A'

a c







''

b d



÷



A C







C B



÷



''

a b







''

c d







''

C B



÷

 và

A C







C B



÷

 có cùng hạng Từ đó vì A,B, C không đồng thời bằng không nên hạng của ma trận thứ hai ít nhất phải bằng 1, suy

ra A’,B’,C’ cũng không đồng thời bằng không

Như vậy phương trình (1’) cũng là phương trình của một đường bậc hai S’

b. Giả sử đường bậc hai S có tâm là I Ta chứng minh rằng nếu f là phép biến đổi afin thì f(I) cũng là tâm của đường bậc hai f(S) Theo định nghĩa, vì I là tâm của S nên với mục tiêu afin (I e e; :ur uur1 2)

phương trình của S có dạng:

Bây giờ nếu chọn mục tiêu (I e e'; :ur uur1 2)

trong đó I'= f I e( ), 'uur1= f e e( )ur uur1 , '2 = f e( )uur2 thì hiển

nhiên là: nếu M có tọa độ (x ; y) đối với mục tiêu (I e e; :ur uur1 2)

thì M’ = f(M) cũng có tọa độ (x ; y) đối với mục tiêu (I e e'; :ur uur1 2)

và vì vậy đối với mục tiêu này phương trình của f(S) cũng là:

Từ đó suy ra I’ cũng là tâm của f(S)

Vậy khái niệm của tâm đường bậc hai là khái niệm afin

c Cũng lập luận như trên ta thấy rằng nếu ur

là phương tiệm cận của đường bậc hai S thì với mọi phép biến đổi afin f ta có f u( )r

là phương tiệm cận của f(S) và do đó nếu đường thẳng D là tiệm cận của S thì f(D) cũng là tiệm cận của f(S)

Bài 26: Cho V ABC nội tiếp elip(E) và một điểm M trên (E) Gọi O là tâm của (E)

và A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB Gọi A 1 , B 1 ,C 1 là các điểm lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho MA 1POA’, MB 1POB’, MC 1POC’ CMR

A 1 , B 1 , C 1 thẳng hàng.

Dùng phép biến đổi afin f sao cho ảnh f(E) là đường tròn Bây giờ, trong TH(E) là đường tròn, ta có thể tóm tắt lại như sau: Cho VABC nội tiếp đường tròn, và M là một

điểm trên đường tròn Gọi A 1 , B 1 , C 1 lần lượt là đường thẳng BC, CA, AB CMR 3 điểm

Cho hình bình hành ABCD, hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên hai đường thẳng AD

và DC sao cho (ADM) = (DCM) Tìm quỹ tích giao điểm BM và AN.

Giải

C1

M

C B’’’

Gọi A’B’C’D’ là một hình vuông bất kì, và f là phép biến đổi afin biến hình bình hành ABCD thành hình vuông A’B’C’D’ Khi đó f biến điểm M thành điểm M’ nằm trên đường thẳng AD sao cho(A, D, M) = (A’, D’, M’), và biến điểm N thành N’ nằm trên DC sao cho (D, C, N) = (D’, C’, N’) Giao điểm I’ của B’M’ và A’N’ là ảnh của điểm I Ta dễ dàng chứng minh

B M ⊥A N và do đó quỹ tích I’ là đường tròn đường kính A’B’, đường tròn này tiếp xúc vớihai cạnh A’D’, B’C’ và đi qua tâm của hình vuông Quỹ tích I là tạo ảnh của đường tròn đó, nên quỹ tích I là đường elip với AB là một đường kính, đi qua tâm hình bình hành ABCD và tiếp xúc với AD và BC

Bài 30: cho hình vuông ABCD Hãy chỉ ra những phép đẳng cự biến hình vuông đó thành chính nó.

Giải:

Vì phép đẳng cự là phép afin nên ta chỉ cần chứng minh

Xét phép biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng và được f1 làphép đồng nhất, f2 là phép đối xứng trục d1 là trung trực AB

A B

B A

C B

B A

C B

B A

D B

C A

B B

C A

A B

B A

Bài 32: hãy chỉ ra các phép đẳng cự biến tam giác đều ABC thành chính nó.

Giải:

Cho ba phép quay với tâm O của tam giác đều và ba góc quay lần lượt:00,1200,2400 và

ba phép đối xứng qua ba đường thẳng chứa các đường cao của tam giác

Bài 34: viết biểu thức tọa độ của các phép sau đây:

a).Phép đối xứng qua đường thẳng Ox và đối xứng qua đường thẳng Oy.

b).Phép đối xứng qua điểm I(a;b).

c).Phép tịnh tiến theo vectơ v (a;b)

d).Phép đối xứng qua đường thẳng ax +by +c =0

Nếu d1//d2 thì phép dời hình đó là phép tịnh tiến Trường hợp này xảy ra khi AA ' BB= '

do đó vecto của phép tịnh tiến v= AA' Nếu d1 và d2 cắt nhau tại I thì phép dời hình đó là phép quay tâm I và góc ϕ =góc AIA’.

b Gọi M(x, y), M’(x’, y’) đối xứng với M qua I(a, b)

x a x b y

y

b

a x

x

a

b y a x y b

2''

'

)','(),

(

'

c Gọi M(x, y), M’(x’, y’) là ảnh của M theo T v

x a x b y y

a x x v

MM

'

''

'' 

d Gọi M(x0,y0) là ảnh của M qua đường thẳng d

gọi (d’) là đường thẳng đi qua M(x0, y0) nhận nd ( b a, ) là vecto chỉ phương

0

)(

)(

0 0

0 0

0 0

=+

ay

bx

y y a x x b b

y y

x

y

p y

x

x

αα

αα

cossin

'

sincos

−+

=+

1(cossin

0sin

)1(coscos

sin

sincos

q y x

p y

x q

y x

y

p y

x

x

ϕϕ

ϕ

ϕλϕ

ϕ

ϕϕ

2(sin4)cos1(2sin

cos21cos1cossin

sin1

ϕϕ

ϕϕ

=

−

=+

−+

cossin

cossin

2 ϕ

ϕ

p

+) Nếu ϕ =2kπ và p=q=o thì ta có phép đồng nhất: mọi điểm điều bất động.

+) Nếu ϕ =2kϕ và p,q không đồng thời bằng không, ta có phép tịnh tiến theo vecto)

,

( q p

v= nên không có điểm bất động.

Bài 38: Chứng tỏ rằng các phép dời hình sau đây là phép đối xứng trượt, hãy tìm trục đối xứng và vecto trượt:

cossin

'

sincos

'

'

'

y y

x

y

x y

x

x

y y y

x x

ϕϕ

ϕϕ

45

3'

65

35

4

'

y x y

y x x