Hoàn thiện hệ thống bài tập hình học afin và hình học ơclit

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN LÊ THỊ HẢI YẾN HOÀN THIỆN HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN VÀ HÌNH HỌC ƠCLIT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ThS PHẠM THANH TÂM HÀ NỘI - 2015 Lời cảm ơn Sau thời gian miệt mài nghiên cứu với hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo Phạm Thanh Tâm, khóa luận đến hoàn thành Qua xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Phạm Thanh Tâm, người trực tiếp hướng dẫn bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu thời gian thực khóa luận Tôi chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa Toán tạo điều kiện tốt cho thời gian làm khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận giúp đỡ, đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng năm 2015 Sinh viên Lê Thị Hải Yến Lời cam đoan Tôi xin cam đoan khóa luận kết trình học tập, nghiên cứu nỗ lực thân với giúp đỡ thầy cô, bạn sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Phạm Thanh Tâm Trong trình làm khóa luận có tham khảo tài liệu có liên quan hệ thống mục tài liệu tham khảo Khóa luận “Hoàn thiện hệ thống tập hình học afin hình học Ơclit” trùng lặp với khóa luận khác Hà Nội, ngày 05 tháng năm 2015 Sinh viên Lê Thị Hải Yến Mục lục Mở đầu 1 Không gian afin 1.1 Không gian afin 1.2 Mục tiêu afin tọa độ afin 1.3 Phẳng không gian afin 1.4 Vị trí tương đối phẳng 1.5 Tâm tỉ cự hệ điểm 1.6 Tập lồi không gian afin 1.7 Ánh xạ afin phép biến đổi không 1.8 Nhóm biến đổi afin hình học afin 1.9 Siêu mặt bậc hai afin 1.10 Một số tập đề nghị Không gian Ơclit 2.1 Không gian Ơclit 2.2 Các phẳng không gian Ơclit 2.3 Góc thể tích không gian Ơclit 2.4 Ánh xạ đẳng cự phép biến đổi đẳng cự 2.5 Hình học Ơclit 2.6 Nhóm đồng dạng hình học đồng dạng 2.7 Siêu mặt bậc hai Ơclit 2.8 Các bất biến hàm bậc hai ứng dụng gian afin 12 14 18 20 21 22 25 32 35 39 40 44 47 52 54 57 61 2.9 Siêu cầu không gian Ơclit 66 2.10 Một số tập đề nghị 71 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo 75 Mở đầu Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học chiếm vị trí quan trọng Toán học sở, tảng để nghiên cứu môn khoa học khác Trong trình học tập, nghiên cứu chuyên ngành hình học, phận quan trọng tương đối khó chương trình toán phổ thông Với mong muốn nghiên cứu sâu hình học tìm hiểu sâu hình học afin hình học Ơclit, chọn đề tài “Hoàn thiện hệ thống tập hình học afin hình học Ơclit” làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Khóa luận nhằm mục đích: Giúp sinh viên có nhìn sâu hình học afin hình học Ơclit Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Nghiên cứu tập hình học afin hình học Ơclit • Các tài liệu tham khảo liên quan đến hình học afin hình học Ơclit Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày hệ thống số tập hình học afin hình học Ơclit Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu Chương Không gian afin Trong chương cần ý đến số khái niệm sau: 1.1 Không gian afin: Cho không gian véctơ V trường K, tập A = ∅ mà phần tử gọi điểm ánh xạ ϕ : A × A −→ V −−→ Kí hiệu ϕ(M, N ) = M N với M, N ∈ A Bộ ba (A, ϕ, V) gọi không gian afin hai tiên đề sau thỏa mãn: − i) Với điểm M ∈ A véctơ → u ∈ V, có điểm N ∈ A −−→ → − cho M N = u −−→ −−→ −−→ ii) Với ba điểm M, N, P ∈ A có M N + N P = M P Không gian afin (A, ϕ, V) gọi không gian afin A liên kết với không gian véctơ V, gọi tắt không gian afin A trường K (hoặc K không gian afin A) Không gian véctơ liên kết V thường kí hiệu → − A Không gian afin A gọi n chiều (kí hiệu dimA = n) dimV = n Khi trường K trường số thực R, ta nói A không gian afin thực, K = C, ta nói A không gian afin phức 1.2 Độc lập afin: Hệ m + điểm A0 , A1 , , Am (m ≥ 1)của không −−−→ −−−→ −−−→ → − gian afin A gọi độc lập m véctơ A0 A1 , A0 A2 , , A0 Am A hệ véctơ độc lập tuyến tính Hệ gồm điểm A0 (tức trường hợp m = 0) xem độc lập 1.3 Mục tiêu afin: Cho không gian afin n chiều A liên kết với không Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG KHÔNG GIAN AFIN → − → − − − − gian véctơ A Gọi ε = {→ e1 , → e2 , , → en } sở A O − − − điểm thuộc A Khi tập hợp {O; ε} hay {O; → e1 , → e2 , , → en } mục − tiêu afin A O gọi điểm gốc mục tiêu, → ei gọi véctơ sở thứ i mục tiêu 1.4 Tọa độ afin: Trong không gian afin n chiều A cho mục tiêu afin −−→ → − − − − {O; → e1 , → e2 , , → en } Với điểm X ∈ A ta có véctơ OX ∈ A , có n phần tử x1 , x2 , , xn trường K cho −−→ − − − OX = x1 → e1 + x2 → e2 + + xn → en Bộ n phần tử (x1 , x2 , , xn ) gọi tọa độ điểm X mục tiêu chọn, kí hiệu: X(x1 , x2 , , xn ) hay X = (x1 , x2 , , xn ) 1.5 Phẳng không gian afin: Cho không gian afin A liên kết → − − với không gian véctơ A Gọi I điểm A → α không → − gian véctơ A Khi tập hợp: −−→ − α = { M ∈ A IM ∈ → α} − gọi phẳng (gọi tắt "phẳng") qua I có phương → α → − Nếu α có số chiều m α gọi phẳng m chiều hay gọi m - phẳng 1.6 Vị trí tương đối phẳng: Trong không gian afin An − cho p - phẳng α q - phẳng β (với p ≤ q ) có phương → α → − β a) Các phẳng α β gọi cắt chúng có điểm chung − b) Cái phẳng α gọi song song với β → α không gian → − β c) Các phẳng α β gọi chéo chúng không cắt không song song với Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG KHÔNG GIAN AFIN d) Giao α ∩ β hiểu theo nghĩa thông thường thuyết tập hợp gọi giao hai phẳng α β e) Tổng α + β giao tất phẳng chứa α β , α + β gọi tổng hai phẳng α β 1.7 Tâm tỉ cự: Cho k điểm P1 , P2 , , Pk không gian afin A k k λi = Khi có số thuộc trường K: λ1 , λ2 , , λk cho i=1 điểm G cho k −−→ → − λi GPi = i=1 Điểm G nói gọi tâm tỉ cự hệ điểm Pi gắn với họ hệ số λi Trong trường hợp λi nhau, điểm G gọi trọng tâm hệ điểm Pi 1.8 Tập lồi không gian afin thực: Một tập X không gian afin thực gọi tập lồi với hai điểm P, Q thuộc X đoạn thẳng P Q nằm hoàn toàn X 1.9 Đơn hình m - chiều: Cho m + điểm độc lập P0 , P1 , , Pm Ta biết m - phẳng α qua m + điểm gồm điểm M cho (với điểm O đó) −−→ OM = m −−→ λi OPi với i=0 m λi = i=0 Bây xét tập hợp gồm điểm M cho −−→ OM = m −−→ λi OPi với i=0 m λi = λi ≥ 0, i = 0, 1, , m i=0 Tập hợp gọi m - đơn hình với đỉnh: P0 , P1 , , Pm kí hiệu S(P0 , P1 , , Pm ) Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG KHÔNG GIAN ƠCLIT Dùng phép đổi biến x = Cx 24 12 (5) ⇒ 9x3 − √ x − √ x + 30x + 45 = 5 ⇒ 3x3 + 10x − √ x − √ x + 15 = 5 25 10 ⇔ x3 + x + −2 √ x1+ √ x2− 5 ⇒ 3X3 − 2X2 = Suy (S) mặt trụ parabolic =0 Bài tập 2.7.3 Tùy theo giá trị α xác định dạng đường bậc hai S E2 xác định phương trình: x21 + 2αx1 x2 + x22 = + + + + + + 2.8 Bài giải α=0 (S) ⇒ x21 + x22 = (đường tròn) α = −1 (S) ⇒ (x1 − x2 )2 = (cặp đường thẳng song song) α=1 (S) ⇒ (x1 + x2 )2 = (cặp đường thẳng song song) α=0 (S) : (1 − α)x21 + (1 + α)x22 = α=1 |α| < : (S) elip |α| > : (S) hyperbol Các bất biến hàm bậc hai ứng dụng Bài tập 2.8.1 Dùng bất biến, xác định dạng đường bậc hai E2 có phương trình sau: a) 5x2 + 16xy + 5y − 6x − 10y − = 0; b) 12xy + 5y − 12x − 22y − 19 = Bài giải a) 5x2 + 16xy + 5y − 6x − 10y − = Ta có: 61 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG KHÔNG GIAN ƠCLIT −3 −3 −5 K3 = −3 = −128 = ⇒ (S) không suy biến −5 J2 = 3 = 16 > 0; J1 = 10; K3 J1 = −1280 < nên (S) elip Có λ2 − 10λ + 16 = ⇒ λ1 = 8, λ2 = Khi (S) có phương trình y2 2 = 8x + 12y = ⇔ x + b) 12xy + 5y − 12x − 22y − 19 = Ta có: −19 −6 −11 K3 = −6 = 1296 = ⇒ (S) không suy biến −11 6 = −36 = 0; J1 = nên (S) hyperbol Có λ2 − 5λ − 36 = ⇒ λ1 = 9, λ2 = −4 Khi (S) có phương trình x2 y2 2 − = 9x − 4y = 36 ⇔ J2 = Bài tập 2.8.2 Tìm phương trình tắc mặt bậc hai E3 sau: a) 2x2 + 2y − 5z + 2xy − 2x − 4y − 4z + = 0; b) 2x2 + 2y + 3z + 4xy + 2yz + 2zx − 4x + 6y − 2z + = Bài giải a) 2x + 2y − 5z + 2xy − 2x − 4y − 4z + = Ta có: 2 62 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG KHÔNG GIAN ƠCLIT −2 −1 −2 2 K4 = = −125; 2 −1 1 J2 = 2 2 + + = 10; 2 3 2 J3 = 2 = 1 Ta có phương trình đặc trưng λ3 + λ2 − 17λ + 15 = ⇔ (λ − 1)(λ2 + 2λ − 15) = ⇔ λ1 = 1, λ2 = 3, λ3 = −5 Khi (S) có phương trình x + 3y − 5z + = b) 2x2 + 2y + 3z + 4xy + 2yz + 2zx − 4x + 6y − 2z + = Ta có: −2 −1 −2 2 K4 = = −125; 2 −1 1 J2 = 2 2 + + = 10; 2 3 2 J3 = 2 = 1 Ta có phương trình đặc trưng λ3 − J1 λ2 + J2 λ − J3 = ⇔ λ λ2 − 7λ + 10 = ⇔ λ1 = 2, λ2 = 5, λ3 = Khi (S) có phương trình 63 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG KHÔNG GIAN ƠCLIT 2X + 5Y −2 25 Z = Bài tập 2.8.3 Chứng minh hai hyperbol vuông cắt bốn điểm đường bậc hai qua bốn giao điểm hyperbol vuông cặp đường thẳng vuông góc Bài giải Hypebol vuông (1) có phương trình x2 y − = a2 a2 Hypebol vuông (2) có phương trình (x − x0 )2 (y − y0 )2 − = b2 b2 Đường bậc hai qua bốn điểm có phương trình x2 y (x − x0 )2 (y − y0 )2 λ − −1 +µ − −1 =0 a2 a2 b2 b2 tương đương với µ µ µ x20 x20 λ λ µ 2 + x − + y −2 x0 x+2 y0 y−λ−µ+µ − = a2 b a b b b b b Rõ ràng J1 = 0; µ λ + 2 µ λ a b J2 = = − + < λ µ a b − 2+ a b Nếu K3 = đường bậc hai qua bốn giao điểm cặp đường thẳng cắt vuông góc Nếu K3 = đường bậc hai qua bốn giao điểm đường hyperbol vuông Bài tập 2.8.4 Trong E3 cho hai mặt bậc hai (S) có phương trình: x2 + y + z + 2axy + 2axz + 2ayz = 64 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG KHÔNG GIAN ƠCLIT a) Chứng tỏ với a khác 1, (S) mặt tròn xoay b) Với giá trị a, (S) mặt elipxôit tròn xoay Bài giải a) λ nghiệm phương trình λ3 − 3λ2 + 3(1 − a2 )λ + 3a2 − 2a3 − = ⇔ (λ − + a) λ2 − λ(a + 2) + + a − 2a2 = có nghiệm λ1 = λ2 = − a; λ3 = + 2a K4 = −2a3 + 3a2 − Với a = 0, (S) có phương trình x2 + y + z = ⇒ (S) mặt cầu Với a = 1, (S) có phương trình (x + y + z)2 = ⇒ (S) cặp mặt phẳng song song Với a = − , K3 = − ⇒ (S) có phương trình 3 X + Y = ⇒ (S) mặt trụ tròn xoay 2 Với a = 0; 1; , (S) có phương trình −2a3 + 3a2 − 2 (1 − a)X + (1 − a)Y + (1 + 2a)Z + =0 − (−2a3 + 3a2 − 1) ⇔ (1 − a)X + (1 − a)Y + (1 + 2a)Z − = b) (S) elipxôit  a0 ⇔ ⇔ ⇔ − < a < a>− + 2a > Bài tập 2.8.5 Thiết lập phương trình mặt bậc hai (S) chứa đường hyperbol sau đây:    a2  b2  c2  xz = xy = yz = ; ;  x=0 y=0 z=0 Xác định dạng mặt đưa phương trình tắc 65 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG KHÔNG GIAN ƠCLIT a = b = c = Bài giải a) Mặt bậc hai (S) có phương trình a2 b2 c2 t yz − + h xz − + k xy − = 2 Để (S) qua hyperbol ta cần có t = 0; h = 0; k = Khi  hb kc2     + =0  t = −b2 2      hb + kc = 2    ta hb2 h = a2 2 ⇔ ta + hb = ⇒ + = 2    2 b a     k= 2 ta2 + kc2 =    ta + kc = c2 2 Vậy (S) có phương trình a2 b2 b a2 c2 2 −b yz − + a xz − + xy − = 2 c b) Khi a = b = c = 1, (S) có phương trình −yz + xz + xy − = ⇔ −2yz + 2xz + 2xy − = Ta có đa thức đặc trưng λ3 − J1 λ2 + J2 λ − J3 = λ3 − 3λ + có nghiệm λ1 = λ2 = 1; λ3 = −2 ⇒ K4 = Vậy (S) có phương trình tắc dạng X + Y − 2Z − = 2.9 Siêu cầu không gian Ơclit Bài tập 2.9.1 Trong không gian En cho p điểm A1 , A2 , , Ap họ hệ số λ1 , λ2 , , λp Tìm tập hợp điểm M cho p λi d2 (M, Ai ) = k, i=1 k số thực cho trước 66 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG KHÔNG GIAN ƠCLIT Bài giải Gọi G tâm tỉ cự hệ A1 , A2 , , Ap với hệ số λ1 , λ2 , , λp tức p −−→ → − λi GAi = (1) i=1 Ta có −−→ −−→ d2 (M, Ai ) = M G + GAi −−→ −−→ −−→ −−→ = M G2 + 2M G.GAi + GAi suy p p λi d (M, Ai ) = i=1 −−→ λi d (M, G) + 2M G p i=1 p i=1 p λi d2 (G, Ai ) i=1 p λi d2 (M, G) + = −−→ λi GAi + i=1 λi d2 (G, Ai ) (1) i=1 Suy p p p λi d (M, Ai ) = k ⇔ λi d2 (G, Ai ) λi d (M, G) = k − i=1 i=1 i=1 p λi = : a) i=1 p λi d2 (G, Ai ) = k tập hợp điểm M En *) Nếu i=1 p *) Nếu p λi d2 (G, Ai ) = k tập hợp điểm M tập rỗng i=1 λi = Khi b) i=1 d2 (M, G) = p λi p k− λi d2 (G, Ai ) i=1 i=1 *) Nếu vế phải số dương tập điểm M siêu cầu En tâm G p *) Nếu k − λi d2 (G, Ai ) = tập điểm M điểm G i=1 67 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG KHÔNG GIAN ƠCLIT *) Nếu vế phải số âm tập điểm M tập rỗng Bài tập 2.9.2 Trong En cho siêu cầu (C) siêu phẳng (α) có phương trình: n n 2 (xi − ) = r ; (α) : (C) : i=1 Ai xi + A0 i=1 a) Tìm điều kiện hệ số , Ai , r để (C) (α): điểm chung; cắt nhau; tiếp xúc b) Trong trường hợp siêu cầu (C) cắt siêu phẳng (α) theo siêu cầu (C ) siêu phẳng (α), tìm bán kính (C ) tìm tọa độ tâm (C ) Bài giải Gọi I tâm siêu cầu (C) n Ai + A0 a) Ta có d(I, α) = i=1 n i=1 A2i n n Ai + A0 > r 1) Nếu i=1 i=1 A2i (C) (α) điểm chung n n Ai + A0 < r 2) Nếu i=1 i=1 n n Ai + A0 = r 3) Nếu i=1 i=1 A2i (C) (α) cắt A2i (C) (α) tiếp xúc b) Đường thẳng ∆ qua I ∆ ⊥ α có phương trình xi = + tAi , i = 1, , n 68 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG KHÔNG GIAN ƠCLIT Gọi ∆ ∩ α = H , điểm H tương ứng với t xác định sau n − Ai + A0 i=1 t= n i=1 A2i H có tọa độ (x1 , x2 , , xn ) n Ai + A0 xi = − i=1 n i=1 Ai , (i = 1, , n) A0i Siêu cầu (C ) có bán kính r r = r2 − d2 (IH) Bài tập 2.9.3 Cho họ siêu cầu tổng quát En cho có siêu phẳng (α) siêu phẳng đẳng phương hai siêu cầu phân biệt họ Khi họ siêu cầu gọi chùm siêu cầu tổng quát a) Chứng minh chùm siêu cầu tổng quát xác định hai siêu cầu tổng quát phân biệt chùm b) Tìm tập hợp tâm siêu cầu tổng quát thuộc chùm siêu cầu c) Khi biết phương trình hai siêu cầu tổng quát chùm siêu cầu, viết phương trình siêu cầu tổng quát tùy ý chùm Bài giải 69 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG KHÔNG GIAN ƠCLIT a) Siêu cầu (S1 ) có phương trình n f1 (x1 , , xn ) = i=1 x2i + Siêu cầu (S2 ) có phương trình n f2 (x1 , , xn ) = I1 (a11 , a12 , , a1n ) x2i + n i=1 n a1i xi + a10 = a2i xi + a20 = i=1 i=1 2 I2 (a1 , a2 , , a2n ) Hai siêu cầu (S1 ) (S2 ) xác = Tâm định siêu phẳng đẳng phương (α) có phương trình a10 − a20 − x i + = i=1 Suy chùm cầu hoàn toàn xác định biết hai siêu cầu chùm b) Siêu cầu (S) có phương trình n f (x1 , , xn ) = i=1 x2i n +2 xi + a0 = i=1 Khi (S) thuộc chùm siêu cầu (S1 ) (S2 ) nhận α siêu đẳng phương, suy siêu phẳng α xác định n i=1 (a1i − )xi + a10 − a0 = siêu phẳng (α) a10 − a0 ⇔ − = (ai − a2i ) với i = 1, , n a0 − a0 Ta ý phương trình I1 I2       x1 −a1 a1 − a1         =   +   t       xn −a1n a2n − a1n a1i Vậy tâm I siêu cầu (S) đường thẳng I1 I2 I1 I2 ⊥α c) Lấy (S) có phương trình λf1 (x1 , , xn )+µf2 (x1 , , xn ) = λ2 + µ2 > n n x1i λ (1) +2 a1i xi + a10 i=1 x2i + +µ i=1 70 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân a2i xi + a20 = (2) CHƯƠNG KHÔNG GIAN ƠCLIT Ta chứng minh (S) siêu cầu Thậy vậy, λ + µ = n x2i (2) ⇔ i=1 + λ+µ n (λa1i + µa2i )xi + i=1 (λa10 +µa20 ) = λ+µ (3) Khi (3) phương trình siêu cầu Ta có (S) thuộc chùm siêu cầu xác định (S1 ) (S2 ) Siêu phẳng đẳng phương β (S1 ) (S) có phương trình n (λa1i + µa2i − (λ + µ)a1i )xi + λa10 + µa20 − (λ + µ)a10 = i=1 n ⇔2 i=1 µ(a2i − a1i )xi + µ(a20 − a10 ) = Rõ ràng α ≡ β Nếu λ + µ = (2) phương trình siêu đẳng phương α 2.10 Một số tập đề nghị − − Bài tập 2.10.1 Trong không gian afin An cho mục tiêu afin {O, → e1 , , → en } Chứng minh có cách định nghĩa tích vô hướng cho − − An trở thành không gian Ơclit mà mục tiêu {O; → e1 , , → en } trở thành mục tiêu trực chuẩn Bài tập 2.10.2 Cho phương trình tham số phẳng α phương trình tổng quát phẳng β mục tiêu trực chuẩn không gian Ơclit En Tìm điều kiện (về hệ số phương trình đó) để α β trực giao Bài tập 2.10.3 Đơn hình S(P0 , P1 , , Pm ) gọi vuông đỉnh P0 −−→ −−→ P0 Pi P0 Pj = với i = j Ta xét (m - 1) - đơn hình Si (P0 , , Pi , , Pm ) (kí hiệu Pi nghĩa bỏ điểm Pi tập hợp điểm P0 , P1 , , Pm ) 71 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG KHÔNG GIAN ƠCLIT Chứng minh rằng: m V (Si ) V (S0 ) = i=1 Bài tập 2.10.4 Hai đơn hình n chiều S(Ao , A1 , , An ) S(A0 , A1 , , An ) gọi d(Ai , Aj ) = d(Ai , Aj ); i, j = 0, 1, , n Chứng minh hai đơn hình có phép đẳng cự f : En −→ En cho f (Ai ) = Ai Bài tập 2.10.5 Cho phép đẳng cự f : En −→ En điểm bất động Chứng minh I điểm mà d(I, I ) ≤ d(M, M ) với điểm M ∈ En (ở ta kí hiệu I = f (I), M = f (M )) đường thẳng qua I I đường thẳng bất động Bài tập 2.10.6 Chứng minh f : En −→ En phép đẳng cự điểm bất động đường thẳng bất động song song với Bài tập 2.10.7 Trong E3 cho ba đường thẳng qua điểm đôi vuông góc Gọi f phép đẳng cự biến tập ba đường thẳng thành Có phép khác vậy? Bài tập 2.10.8 Cho tam giác ABC E2 Mỗi cạnh chia thành ba đoạn thẳng nối điểm chia với đỉnh đối diện với cạnh Ta đường thẳng làm thành hình lục giác Chứng minh đường chéo hình lục giác đồng quy điểm Bài tập 2.10.9 Trong E2 , chứng minh rằng: hình bình hành ngoại tiếp elip đường chéo hình bình hành đường kính liên hợp elip Bài tập 2.10.10 Chứng minh rằng: a) Nếu f : E2 −→ E2 phép đồng dạng thuận (tức phép đồng dạng 72 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG KHÔNG GIAN ƠCLIT mà detf > 0) phép dời hình f tích phép vị tự tâm I (tỉ số k > 0, khác 1) phép quay quanh I Cách phân tích giao hoán b) Nếu f : E2 −→ E2 phép đồng dạng nghịch (tức detf < 0) phép phản chiếu f tích phép vị tự tâm I (tỉ số k > 0, k = 1) phép đối xứng qua đường thẳng I Cách phân tích giao hoán Bài tập 2.10.11 Giả sử f : E3 −→ E3 phép đồng dạng mà phép đẳng cự Chứng minh rằng: a) Nếu f đồng dạng thuận f tích vị tự tâm I (tỉ số k > 0, k = 1) phép quay quanh đường thẳng d qua I Cách phân tích giao hoán b) Nếu f đồng dạng nghịch f tích vị tự tâm I (tỉ số k > 0, k = 1) với phép quay quanh đường thẳng d qua I phép đối xứng qua mặt phẳng vuông góc với d I Bài tập 2.10.12 Trong hệ tọa độ trực chuẩn E2 cho đường bậc hai có phương trình: f (x1 , x2 ) = 3x21 − 2x1 x2 + 2x22 + 6x1 − = a) Chứng tỏ (S) đường elip b) Viết phương trình đường elip có trục đối xứng với (S), có bán trục gấp đôi bán trục elip cho Bài tập 2.10.13 Viết phương trình mặt nón chứa hai phương trình sau: y + z − 2by = ; x=0 x2 + z − 2ax = y=0 73 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân Kết luận Khóa luận với đề tài “Hoàn thiện hệ thống tập hình học afin hình học Ơclit”, nghiên cứu nội dung chủ yếu sau: Luận văn trình bày số tập hình học có liên quan đến hình học afin hình học Ơclit Đối với vấn đề lựa chọn cho luận văn, hi vọng vấn đề giúp cho việc nghiên cứu vấn đề khác hình học afin hình học Ơclit thuận lợi Buổi đầu làm quen với nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian khả chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong thầy cô, bạn sinh viên đóng góp ý kiến trao đổi để luận văn hoàn thiện thực trở thành tài liệu tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên Cuối xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo Phạm Thanh Tâm, người hướng dẫn bảo tận tình cho nghiên cứu đề tài Đồng thời, xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ hình học đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn 74 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân Tài liệu tham khảo [1] Văn Như Cương, Hình học afin Ơclit, Nhà xuất Giáo dục 1998 [2] Nguyễn Mộng Hy, Hình học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục 2007 [3] Nguyễn Mộng Hy, Bài tập hình học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục 2007 [4] Hà Trầm, Bài tập hình học afin Ơclit, Nhà xuất Đại học Sư phạm 2008 [5] Phạm Khắc Ban - Phạm Bình Đô, Bài tập hình học afin Ơclit, Nhà xuất Đại học Sư phạm 2008 [6] Các tài liệu khác, nguồn internet, 75 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân [...]... P và Q thì M P = k M Q với k < 0 Bài tập 1.6.2 Chứng minh rằng giao của hai tập lồi (nếu có) là một tập lồi Bài giải Giả sử A và B là hai tập lồi C = A ∩ B = ∅ M ∈ C ⇒ M ∈ A, M ∈ B; N ∈ C ⇒ N ∈ A, N ∈ B Suy ra đoạn M N ⊂ A và đoạn M N ⊂ B do đó đoạn M N ⊂ C Vậy C là tập lồi 20 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN AFIN 1.7 Ánh xạ afin và các phép biến đổi của không gian afin Bài tập. .. ◦ f là phép tịnh tiến 1.8 Nhóm biến đổi afin và hình học afin Bài tập 1.8.1 Mặt phẳng Ơclit là không gian afin hai chiều Trong những định lý sau đây về tam giác (đơn hình hai chiều), định lý nào thuộc hình học afin a) Định lý: “Ba đường trung tuyến đồng qui.” b) Định lý: “Ba đường phân giác đồng qui.” 22 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN AFIN c) Định lý: Mêhêlauýt “Nếu trên ba... Không gian afin A gọi là đẳng cấu với không gian afin A nếu có đẳng f cấu afin f : A −→ A Khi đó ta kí hiệu A ∼ A 1.14 Biến đổi afin: Phép đẳng cấu afin f : A −→ A từ không gian afin A lên chính nó được gọi là một biến đổi afin, hay cho gọn là phép afin 1.15 Tương đương afin: Gọi F là một nhóm biến đổi của không gian X , H1 và H2 là hai hình nào đó của X Khi đó hình H1 gọi là tương đương với hình H2... N và N khác ∅ và không giao nhau 19 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN AFIN Khi đó các đường thẳng nối trọng tâm của hệ điểm trong N và hệ điểm trong N đồng quy tại G là trọng tâm của hệ m điểm ban đầu 1.6 Tập lồi trong không gian afin Bài tập 1.6.1 Chứng minh rằng nếu M nằm giữa hai điểm P và Q thì −−→ −−→ M P = k M Q với k < 0 Bài giải Vì M nằm giữa hai điểm P và Q nên với điểm... lập của không gian afin An (m < n) Gọi N và N là hai tập con không rỗng của M và không giao nhau Chứng minh rằng có hai cái phẳng chéo nhau α và α sao cho N ⊂ α và N ⊂ α Bài giải 14 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN AFIN Không làm mất tính chất tổng quát ta có thể giả thiết: M là tập gồm m + 1 điểm P0 , P1 , , Pm ; N là tập gồm r + 1 điểm P0 , P1 , , Pr ; N là tập gồm m − r điểm... KHÔNG GIAN AFIN = φ[(M, M ), (P, P )] − → − → Vậy (A × A , φ, A × A ) là một không gian afin trên trường K Bài tập 1.1.2 Chứng minh rằng nếu M0 , M1 , , Mm là hệ m + 1 điểm độc lập thì điều kiện cần và đủ để hệ m + 2 điểm M0 , M1 , , Mm , Mm+1 không độc lập là với điểm O tùy ý ta có: −−→ OM m+1 = m m −−→ λi OMi với i=0 λi = 1 i=0 Bài giải −−−→ −−−→ −−−−→ Hệ M0 , M1 , , Mm độc lập khi và chỉ khi hệ véctơ... bài toán cho trường hợp có m điểm phân biệt Bài giải Gọi G là trọng tâm của hệ bốn điểm P1 , P2 , P3 , P4 Theo Bài tập 1.5.1, G thuộc đường thẳng nối hai trung điểm của các cạnh đối diện của tứ diện P1 P2 P3 P4 và G thuộc đường thẳng nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện của tứ diện P1 P2 P3 P4 suy ra bảy đường thẳng đồng quy tại G Mở rộng cho hệ m điểm phân biệt Chia hệ m điểm thành hai tập N và. .. 1.16 Bất biến afin: Gọi F là một nhóm biến đổi của không gian X , và H là một hình trong X Một tính chất nào đó của hình H sẽ gọi là bất biến đối với nhóm F nếu mọi hình H tương đương với hình H (đối với nhóm F ) đều có tính chất đó Các tính chất bất biến đối với nhóm afin Af (A) của không gian afin 6 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN AFIN A thường gọi là tính chất afin 1.17 Siêu... hai (S) nếu I ∈ (S) và I là tâm của (S) 7 Lê Thị Hải Yến - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN AFIN BÀI TẬP 1.1 Không gian afin → − → − Bài tập 1.1.1 Cho (A,ϕ, A ) và (A ,ϕ , A ) là hai không gian afin trên trường K, xét ánh xạ: − → − → φ : ((A × A ) × (A × A )) −→ A ×A ((M, M ), (N, N )) → (ϕ(M, N ), ϕ (M , N )) → − → − Chứng minh rằng (A × A , φ, A × A ) là một không gian afin trên trường K (gọi... Pr+1+k ) i=1 k=1 Suy ra hệ P0 , P1 , , Pm không độc lập (trái với giả thiết) Trường hợp tổng số điểm trong N và N nhỏ hơn (m + 1) thì chứng minh hoàn toàn tương tự chỉ xét như trên các điểm trong N và N Bài tập 1.4.2 Cho α và β là hai cái phẳng trong không gian afin An Chứng minh rằng: → − −→ → a) α∩β = ∅ khi và chỉ khi với mọi P ∈ α, mọi Q ∈ β có P Q ∈ /− α+β, → − −→ → hoặc khi và chỉ khi có P ∈ α, ... hình học Ơclit, chọn đề tài Hoàn thiện hệ thống tập hình học afin hình học Ơclit làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Khóa luận nhằm mục đích: Giúp sinh viên có nhìn sâu hình học afin hình. .. hình học Ơclit Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Nghiên cứu tập hình học afin hình học Ơclit • Các tài liệu tham khảo liên quan đến hình học afin hình học Ơclit Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày hệ thống. .. trình làm khóa luận có tham khảo tài liệu có liên quan hệ thống mục tài liệu tham khảo Khóa luận Hoàn thiện hệ thống tập hình học afin hình học Ơclit trùng lặp với khóa luận khác Hà Nội, ngày 05