Bài tập 1.8.1. Mặt phẳng Ơclit là không gian afin hai chiều. Trong những định lý sau đây về tam giác (đơn hình hai chiều), định lý nào thuộc hình học afin.
a) Định lý: “Ba đường trung tuyến đồng qui.” b) Định lý: “Ba đường phân giác đồng qui.”
c) Định lý: Mêhêlauýt “Nếu trên ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy ba điểm A0, B0, C0 thì điều kiện cần và đủ để A0, B0, C0 thẳng hàng là:
[ABC0].[BCA0].[CAB0] = 1.00 Hãy chứng minh định lý đó.
Bài giải
a) Đây là định lý của hình học afin. Vì trong hình học afin phẳng hai tam giác bất kì là tương đương nên ta xét tam giác đều A1B1C1.
Khi đó tồn tại f là phép biến đổi afin biếnA1 7→ A, B1 7→ B, C1 7→C. Trong tam giác đều A1B1C1 ba đường trung tuyến đồng quy nên từ f biến đổi afin kéo theo f biến ba đường trung tuyến của tam giác đều A1B1C1 thành ba đường trung tuyến của tam giác ABC.
Suy ra ba đường trung tuyến của tam giác ABC đồng quy.
b) Cho ∆ABC không đều, ∆A1B1C1 là tam giác đều. Phép biến đổi afin f của mặt phẳng biến:
A7→ A1, B 7→ B1, C 7→ C1.
Khi đó f không thể biến các đường phân giác của ∆ABC thành các đường phân giác của ∆A1B1C1 (phân giác AI ⇒ −IB→ = −AB
AC
−→
IC với
−AB
AC 6= −1). Còn A1M1 là đường trung tuyến và là đường phân giác. Suy ra định lý “Ba đường phân giác đồng qui” không phải là định lý của hình học afin.
c) Định lý Mêhêlauýt là định lý của hình học afin vì giả thiết và kết luận của định lý chỉ phụ thuộc vào tỉ số đơn.
+ Điều kiện cần: A1, B1, C1 thẳng hàng. Từ A vẽ đường thẳng song song với A1B1 cắt BC tại D. Khi đó
[CAB1] = [CDA1] và [ABC1] = [DBA1]
⇒ [CAB1].[ABC1] = [CDA1].[DBA1]
= [CBA1] = 1
[BCA1]
+ Điều kiện đủ: Giả sử [BCA1].[ABC1].[CAB1] = 1, đường thẳng A1B1 cắt AB tại C10 ta có
[BCA1].[CAB1].[ABC01] = 1 ⇒ C1 ≡ C01.
Bài tập 1.8.2. Tìm điều kiện để hai tập hợp gồm bốn điểm trong không gian afin An(n≥ 3) tương đương afin.
Bài giải
Cho hai bộ bốn điểm A, B, C, D và A0, B0, C0, D0.
a) Nếu hai trong bốn điểm độc lập thì tương đương afin. b) Nếu hai bộ đó cùng không độc lập.
+ Giả sử A, B, C và A0, B0, C0 là hai bộ độc lập, khi đó có phép biến đổi afin f : A7→ A0, B 7→ B0, C 7→C0. Ta có −−→ AD = t1−→ AB +t2−→ AC nếu f(D) =D0 ⇔ −→f (−−→ AD) = t1 −−→ A0B0 +t2 −−→ A0C0 = −−→ A0D0. + A, B, C, D và A0, B0, C0, D0 là hai bộ bốn điểm thẳng hàng. Khi đó tồn tại f : A 7→A0, B 7→B0. Nếu
( f(C) =C0 f(D) = D0 ⇔ ( −→ AC = t1−→ AB −−→ AD = t2 −→ AB ⇔ ( −−→ A0C0 = t1−−→ A0B0 −−→ A0D0 = t2−−→ A0B0 .