Phương pháp đạt điểm tối đa câu hàm số - phần 1 - ViettelStudy

Trong đó n0 là chỉ số dừng của đạo hàm cấp n khi dạng vô định 2 xfx y 2x 2xfx Ý nghĩa hình học: Một hàm liên tục và có đạo hàm trên [a;b] thì tồn tại trên đồ thị C : y = fx các điểm mà t

CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ – ĐẠO HÀM

I MIỀN (TẬP) XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ: D = {x∈R | y = f(x)∈R}

Hàm số Tập xác định Hàm số Tập xác định Hàm số Tập xác định

( ) x A

0 x B

( ) ( ) x

B

x A

⎣

⎡

= xxe

0 x A

x arcsin

⎣

⎡

= x ln

x log

D x

x g x f

g

f D D

II MIỀN (TẬP) GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ: f(D) = {y∈R | y = f(x), ∀x∈D}

1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình f(x)-y = 0, ∀ x∈D

( ) ( ) x b f

a x f

a , D

( ) x b f a

b x f a

b , a D f

ab 2 b a : Côsi BĐT

*

định.

xác x A làm x a, a a x

A

*

+ +

≤ +

≥ +

∀

∀

≥ +

III HÀM HỢP g o f

=

g f f

f

g f g f

f

g

o o o

f g

f g o f

f

f f

f o

D T 0 T , D

D T

; D x f D x

| x D

*

f g g

f và x f g x f g : D x

*

Z D

: f g D

T

*

Z D : g và T D :

f hàm hai của hợp hàm

V GIỚI HẠN HÀM SỐ:

1 Phương pháp 1: Khử dạng vô định

0

0

Cơ sở của phương pháp là làm xuất hiện dạng trong biểu thức hàm các thừa số (x - x 0 ), để rồi giản ước chính các thừa số đó của tử

số và mẫu số trong ( )

( ) x g

x f lim

0

x x→ với các chú ý:

• Nếu tử và mẫu là các đa thức, sử dụng phép chia đa thức tử và mẫu cho (x - x 0 ) Riêng ở đây ta dùng thủ thuật chia Hormer

• Nếu chỉ ở tử hoặc mẫu có chứa căn thức, ta nhân cho tử và mẫu một lượng liên hợp của căn thức đó

A + B ←⎯→ A − B A ± B ←⎯→ A ± AB + B

Nếu tử và mẫu đều có chứa căn thức, ta sẽ nhân vào tử và mẫu cùng hai lượng liên hợp giao hoán tương ứng

• Không loại trừ các khả năng sử dụng nhanh các hằng đẳng thức:

• Để ý rằng việc biến đổi sơ cấp có thể làm dạng vô định này trở thành dạng vô định khác Chẳng hạn:

( ) ( ) x g x (dạng 0 theo thứ tự đó)

• PP 1 : Đặt số mũ lớn nhất của các đa thức thành phần ở tử và mẫu làm nhân tử chung để khử vô định

• PP 2 : Dùng các định lý giới hạn tương đương:

⇒ +∞

và 0 a với

; x a

b x a

~ c bx ax

/

3

) 0 a (

; a x

~ c bx ax x

) 0 a (

; a x

~ c bx ax x

2/

x a

~ x P x

1/

x 2

2 2

n n n

3 Phương pháp 3: Khử dạng vô định ∞ − ∞

Cơ sở của phương pháp tìm giới hạn này là:

1/ Sử dụng lượng liên hợp

2/ Sử dụng biểu thức tiệm cận: ( ) x

a

b x a

~ c bx

ax2+ + + + ε trong đó: a > 0 và lim ( ) x 0

x ε =

∞

→

3/ Sử dụng các hằng đẳng thức

4/ Không dùng hàm số tương đương cho dạng tổng

4 Phương pháp 4: Giới hạn của hàm lượng giác

• TH 1 : Khi x → 0 (x tính bằng radian)

Không loại trừ nhân các lượng liên hợp lượng giác

( 1 sin u + ) ←⎯→ −llh ( 1 sin u 1 cos u ) ( + ) ←⎯→ −llh ( 1 cos u )

• TH 2 : Khi x → x0hàm lượng giác có dạng vô định (x tính bằng rađian)

t x x x

x t

0

0 0

x h lim x

f lim

x

| V x , x h x g x f

0 0

0

0

x x x

x x

x

0 x

6 Hàm chứa giá trị tuyệt đối:

→

0 lim

hay x

f x f lim

D x , R x f

y 0 x 0

x x

0 0

0 0

* Liên tục tại x 0 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

lim x

f x f lim x

f

lim

0 x

x

0 x

x 0 x

x x

x

0

0 0

0

8 Công thức giới hạn:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x lim e x

a 1 x

lim e 0 x

x lim

x lim x.e 0 x

x lim a 0

x lim a x

lim log x a

x 0 lim ln x x

a 1 lim ln x

g

x f lim

y lim

x

x x x

= Δ

Δ

=

→ Δ

→

−

→ +

→

0

0 x

x

0

0 x

x 0

0 x

x

0

x x

x f x f lim x

'f trái ĐH

x x

x f x f lim x

'f phải ĐH x

x

x f x f lim

x

'f

0 0

0 0

0

x 'f thì f không có đạo hàm tại x 0

1 Chứng minh hàm số liên tục:

Cơ sở của phương pháp để chứng minh một hàm f liên tục tại x 0 , cần làm 3 bước:

B 1 : Kiểm tra x ∈0 Df; tìm số trị f(x 0 ) (1)

x

x

0 0

x

x

x tại tục liên f thì x f x f lim x

f lim x

phải bên tục liên f thì , x

Ghi chú 1: Không loại trừ sử dụng ba phương pháp sau đây để chứng minh hàm liên tục tại x0 :

(1) PP 2 : f là hàm sơ cấp xác định tại x 0 ⇒ f liên tục tại x 0

(2) PP 3 : lim y 0 ⇒ f liên tục tại x

0

x Δ =

→

(3) PP 4 : f khả đạo hàm tại x 0 ⇒ f liên tục tại x 0

Ghi chú 2: Ngoài ra, khi chứng minh hàm f liên tục trên một tập thì sử dụng các định nghĩa:

ĐN 1 : f liên tục trong ( ) a , b ⇔ f liên tục tại mọi x0∈ ( ) a ; b

ĐN 2 : f liên tục trên [ ] ( )

a tại phải tục liên f

b a;

trong tục liên f b

; a

2 Tìm đạo hàm tại một điểm:

B 1 : Tính ( ) ( ) b và nếu b R

x x

x f x f lim x

y lim

0

0 x

x 0

−

−

= Δ

x x

x f x f

x x

x f x f

lim

0 ): đạo hàm bên trái điểm x 0

Ghi chú: Nếu x0 là điểm thông thường của tập xác định, ta có thể dùng công thức tìm y’=f’(x) rồi thay vào ta có f’(x 0 )

3 Tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Δ ta làm ba bước cơ bản:

B 1 : Gọi Δx là số gia của biến số tại x tùy ý trong D, Δy là số gia của hàm số tương ứng Ta tính Δy từ: y + Δy = f(x + Δx)

B 2 : Lập tỷ số

1) Hàm cơ bản:

1 v

' v u v '.

u v

u

' v u v '.

u '

v

.

u

' v ' u '

v

u

số) hằng : (c ' u c

Cho u = u(x); y = f(u) đều khả đạo hàm thì hàm hợp y =

(f o u)(x) = f[u(x)] cũng khả đạo hàm và y’ = u’(x).f’[u(x)]

hay y 0 = y’ u u’x

x

D f D

D D f : f

1 1

Ta có:

x

y y

1 ' x ' x

1 '

1) Định nghĩa:

( ) x dy 'f ( ) ( ) x d x f

v v

u d

dv u du v v u d

dv du v u d

x o

' u ' y ' y

u f.

' u ' y u

f u f y

4 Bảng tính đạo hàm:

Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x) Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x)

2 = + ( ) u

' u

; x 2

lnx

x 1

x sin

2 = − +

a ln x 1

5 Đạo hàm cấp cao:

Khi cần tính đạo hàm cấp (n): y (n) = f (n) (x), người ta sử dụng phương pháp tính quy nạp bằng ba bước cơ bản như sau:

• Tính y’, y”, y’” để dự đoán công thức của: y (n) = f (n) (x) (1)

• Giả sử (1) đúng ∀ k ≥ 1, tức là ta có: y (k) = f (k) (x) (2)

• Lấy đạo hàm hai vế biểu thức (2) để chứng minh:

y (k+1) = f (k+1) (x); đúng ∀ k ≥ 1

Kết luận: Công thức (1) là đạo hàm cấp (n) cần tìm

6 Ứng dụng của đạo hàm:

• Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại một điểm f’(x 0 ) nếu tồn tại hệ số góc của tiếp

tuyến với đồ thị (C): y = f(x) tại điểm đó:

ϕM(x ,y )0 0(h.1)

tx(C): y = f(x)

( x0

' )

f

tg

k = ϕ = (là ý nghĩa hình học của đạo hàm)

• Nếu một hàm f có đạo hàm tại x 0 thì hàm f liên tục tại điểm x 0

• Nhưng một hàm f liên tục tại x 0 thì chưa chắc có đạo hàm tại điểm x 0

• Một hàm f không liên tục tại x 0 thì không có đạo hàm tại điểm x 0

• Giả sử hàm f : y = f(x) có đạo hàm y’=f’(x) trên D, ta có:

) f là hàm hằng trên D ⇔ 'f ( ) x = 0 ; ∀ x ∈ D ( 1 )

) f đồng biến trên D ⇔ 'f ( ) x ≥ 0 ; ∀ x ∈ D ( 2 )

) f nghịch biến trên D ⇔ 'f ( ) x ≤ 0 ; ∀ x ∈ D ( 3 )

Để ý trong (2) và (3), đạo hàm thể hiện một hàm số đơn điệu nghiêm cách (đồng biến hay nghịch biến) trong D có thể bằng không

tại những giá trị rời rạc của biến số (xem h.2) nhưng không thể triệt tiêu trong một khoảng tùy ý của ( ) α ; ⊂ β D (xem h.3)

A f(a)

f(b) 0

(C) : y = f(x)

x B

• Nếu hàm f liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm: x0∈ ( ) a ; b

• Nếu:

[ ] ( ) ( )

phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất x 0 a;b

• Giả sử hàm f : y = f(x) xác định trên đoạn [a;b]

) Hàm f đạt một cực đại tại x0∈ ( a ; b ), nếu tồn tại một lân cận V ( ) ( ) x0 ∈ a ; b sao cho: f ( ) ( ) x < f x0 ; ∀ x ≠ x0

) Hàm f đạt một cực tiểu tại x0∈ ( a ; b ), nếu tồn tại một lân cận V ( ) ( ) x0 ∈ a ; b sao cho: f ( ) ( ) x > f x0 ; ∀ x ≠ x0

* Định lý 1 Fermat: (Điều kiện cần để hàm số f có cực trị)

Nếu hàm f có đạo hàm tại V(x 0 ) và đạt một cực trị tại x 0 đó thì điều kiện cần là f’(x 0 ) = 0

(C):y=f(x)

x

Ý nghĩa hình học: tiếp tuyến với đồ thị (C) : y = f(x) tại điểm cực trị thì song song trục hoành

Hệ quả: Mọi điểm cực trị của hàm số y = f(x) đều là điểm tới hạn

* Định lý 2: (Điều kiện đủ thứ nhất để hàm f có cực trị)

Nếu hàm f có đạo hàm tại V(x 0 ) và f’(x 0 ) = 0 (*), đồng thời f’ đổi dấu khi x đi qua x 0 thì đủ để f đạt một cực trị tại x 0

• Khi f’(x 0 ) = 0 và khi f’(x) đi qua x 0 mà không đổi dấu, ta nói (x 0 ;f(x 0 )) là một điểm uốn với tiếp tuyến nằm ngang Điều kiện

(*) có thể thay thế bằng f’(x 0 ) và f liên tục tại x 0

• Tiếp điểm nằm trên đường cong (C) : y = f(x) là điểm uốn ⇔ tại đó đường cong vặn mình băng qua tiếp điểm đó

* Định lý 3: (Tồn tại điểm uốn)

Nếu f có đạo hàm bậc hai f” tại V(x 0 ) (**) và f”(x 0 ) = 0; đồng thời f” đổi dấu khi đi qua x 0 thì M(x 0 ;y 0 ) là điểm uốn của (C) : y = f(x)

Trong (**) nếu f” không tồn tại thì cần có thêm tồn tại x ∈0 V ( ) x0 để f liên tục tại x 0 ; thì M vẫn là điểm uốn

(C):y=f(x)

x

• f”(x) < 0 trên (a;b) ⇔ Đồ thị (C) : y = f(x) lồi trong (a;b) về phía y dương

• f”(x) > 0 trên (a;b) ⇔ Đồ thị (C) : y = f(x) lõm trong (a;b) về phía y dương

* Định lý 4: (Điều kiện đủ thứ hai để một hàm có cực trị)

Nếu f’(x 0 ) = 0 trong V(x 0 ) đồng thời f”(x 0 ) # 0 thì hàm f có cực trị tại x 0 Cụ thể:

f'(x )=00

0

f"(x )>00

* Định lý 5: (Điều kiện tồn tại hàm ngược - Điều kiện đủ)

Nếu f là một hàm số liên tục, đơn điệu ngặc trong [a;b] thì f có hàm số f -1 xác định trên [f(a);f(b)]

• Lúc đó f -1 cũng liên tục đơn điệu ngặt trên [f(a);f(b)] và cùng chiều biến thiên với f

• Xét tính đối xứng của hai đồ thị hai hàm ngược nhau (C) : y = f(x) và (C -1 ) : y = f -1 (x) qua đường phân giác thứ nhất

• Hàm f tăng nghiêm ngặt (nếu f giảm ngặt ta sẽ biến đổi sơ cấp chẳng hạn (-f) sẽ là hàm tăng ngặt) Lúc đó, ta có:

( ) x f ( ) x f ( ) x x ; x D f ( ) D f

D trên ngặt tăng f

x f lim

' g

x 'f lim 0

0 Dạng x

g

x f lim

0 0 0 0

0

n x x x

x x

x x

) Trong đó n0 là chỉ số dừng của đạo hàm cấp n khi dạng vô định

2

xfx

y

2x

2xfx

Ý nghĩa hình học: Một hàm liên tục và có đạo hàm trên [a;b] thì tồn tại trên đồ thị (C) : y = f(x) các điểm mà tiếp tuyến tại đó song

song với đoạn nối hai đầu nút của đồ thị

Hệ quả: (Định lý Rolle)

giữa 2 nghiệm x ;x phân biệt 1 2

f liên tục trên a;b và f a f b

nếu có của f x 0 phải có

f có đạo hàm trên a;b

ít nhất 1 nghiệm x của f' x 0 0

CHỦ ĐỀÀ 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU

I TÍNH TĂNG - GIẢM (ĐƠN ĐIỆU) CỦA HÀM SỐ:

; a x , 0 x 'f

x f x f x x : b

; a x , x b

Hàm : b

; a x , 0 x 'f

x f x f x x : b

; a x , x b

II TĂNG - GIẢM TRONG KHOẢNG:

1 Hàm bậc 2: y = ax2+ bx + c ⇒ y ' = 2 ax + b Tăng, giảm trong ( α; +∞ )

Hệ số Hàm f tăng y ' ≥ 0 , ∀ x ∈ ( α ; +∞ ) Hàm f giảm y ' ≤ 0 , ∀ x ∈ ( α ; +∞ )

a = 0 m = m1⇒ y ' = b > 0 : nhận m1 m = m1⇒ y ' = b < 0 : nhận m1

Hệ số f tăng y ' ≥ 0 , ∀ x ∈ ( α ; +∞ ) Hệ số f giảm y ' ≤ 0 , ∀ x ∈ ( α ; +∞ )

' y

; x

' y

; x

* TH2: ( − ∞ ; α ] hoặc ( - ∞ ; α ] và ( ) α β ; hoặc [ ] α β ;

∞ + α

∞

−

0 0

'

y

x x

>

2

1 x x

0 a

− +

−

∞ +

∞

−

0 0

' y

x x

( ) 0 và a.y' ( ) 0 '

y a

x

≤ β

≤ α

⇔

≤ β

−

∞ + α

∞

−

0 0

'

y

x x

>

2

1 x x

0 a

+

− +

∞ +

∞

−

0 0

' y

x x

( ) 0 và a.y' ( ) 0 '

y a

x

≤ β

≤ α

⇔

≤ β

x

g '

b x ' a

c bx ax

+

= +

+ +

=

Cách 1: Giải như phần II.2

Cách 2: Phần II.2 cũng có thể làm theo cách này

f tăng ( α; +∞ ) hoặc x ≥ α f giảm ( α; +∞ ) hoặc x ≥ α

) ( ) ( )

−

∞ + α

g CĐ x g

0 x

'

b x

g x g max

; a

b trong giảm x g 0 x g max

; x , 0 x g thì

; x , 0 ' y +

∞ + α

∈

∀

≥ +∞

CT

x

g

0 x

'

b x

g x g min

; a 2

b trong tăng x g 0 x g min

; x , 0 x g thì

; x ,

0

'

y

x g

III DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PT VÀ BPT:

1 Bất đẳng thức:

Nếu BĐT có 2 biến thì: f ( ) ( ) α < f β với a < α < β < b

Xét tính đơn điệu của f(x) trong khoảng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

<

α

⇔

⇒ β α

f f giảm

x f

f f tăng

x f

;

2 Phương trình có nghiệm duy nhất:

• Chứng minh phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm duy nhất

) Suy đoán x = x 0 là nghiệm của phương trình

) Chứng minh x 0 là nghiệm duy nhất ⇔ f(x) luôn luôn tăng (hoặc giảm)

• Chứng minh phương trình f(x) = g(x) có 1 nghiệm duy nhất

) Suy đoán x = x 0 là nghiệm của phương trình

) Chứng minh f(x) và g(x) là 2 hàm số đối đơn nghiêm cách (đồng - nghịch biến)

CHỦ ĐỀÀ 3: CỰC TRỊ HÀM SỐ

f ' x 0 không đổi dấu

0 f' x 0 Nghiệm kép

Chú ý: Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó f’(x) = 0 hoặc đạo hàm không tồn tại

II CỰC TRỊ HÀM HỮU TỶ:

0 C cắt Ox tại 2 điểm ở 2 bên TCĐ.

y' 0 y' 0;x 1 x 2 2 điểm cực trị cùng 1 phía đối với Ox

*f có CĐ, CT và 2 giá trị CĐ, CT cùng dấu

đồ thị cắt Ox tại 2 điểm phâ

1) f có cực trị mà hoành độ lớn hơn y' 0 thỏa x 1 x 2

2) f có cực trị mà hoành độ nhỏ hơn x 1 x hoặc x 2 1 x 2

3) f có cực trị trong ; y ' 0 thỏa x 1 x 2

4) f đạt CĐ tại x , , đạt

α ⇔ = α < <

α ⇔ < α < < ≤ α

α β ⇔ = α < < < β

∈ α β CT tại điểm ngoài x 0∈ α β ⇔[ ]; y ' 0 thỏa = α ≤x 1 ≤ β ≤ 2 x

IV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG QUA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ:

1 Dạng 1: Đường thẳng qua 3 điểm cố định của (C m ) : y = f m (x) có bậc ba:

1/ Gọi (x 0 ;y 0 ) là điểm cố định hệ phương trình đặc trưng của các điểm cố định tương ứng từ y 0 = f m (x 0 ) (I) là:

=

+ + +

=

⇔

) II ( 0 d x c x b x a

x

g

) ( d

x c x b x a

x

f

1 0 1

2 0 1

3 0 1

0

2 0 2

2 0 2

3 0 2 0

m

Với (II) là phương trình đặc trưng cho hoành độ điểm cố định

2/ Thực hiện phép chia đa thức f m (x 0 ) : g(x 0 ) để đưa (I) về dạng:

quả hệ trình phương

0 không

bằng

0 0

⇒ d : y x : là đường thẳng đi qua ba điểm cố định của (C m ); ∀m

Hay ba điểm cố định của (C m ) đi qua ∀m thẳng hàng trên (d) (mặc dù ta không cần tìm rõ ba tọa độ cụ thể của ba điểm cố định đó)

2 Dạng 2: Đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm bậc ba (C m ) : y=f m (x)

1/ Gọi (x 0 ,y 0 ) là các điểm cực trị của (C m ) thì nó thỏa hệ:

0 không

bằng 0 0

x u x f y : C 1

2/Ta có: ( ) d : y = α x + β là đường thẳng qua hai cực trị của (C m ) (mặc dù ta không cần tìm rõ tọa độ hai điểm cực trị của nó)

4 Dạng 4: Đường thẳng đi qua ba điểm uốn của (C m ) : y = f m (x)

1/ Gọi (x 0 ;y 0 ) là điểm uốn của (C m ); thì nó thỏa hệ: ( )

=

=

=

0 d x c x b x a x g y

x f y

1 0 1

2 0 1

3 0 1 0

"

0

0 m 0

Với g(x 0 )=0 là phương trình đặc trưng cho điểm uốn và đã được chứng minh là có 3 nghiệm phân biệt

2/ Thực hiện phân tích: Biến đổi thêm bớt để rút ra: ( )

quả hệ trình phương

0 không

bằng 0

3/ ⇒ ( ) d : y = α x + β ; ∀ m ∈ Dm: là đường thẳng qua ba điểm uốn

V PHƯƠNG TRÌNH CHÙM PARABOL:

Trong hệ trục Oxy; đường cong (P): y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) là một Parabola có trục đối xứng song song Oy

Khi (P) đi qua đồng thời ba điểm A(x A ;y A ); B(x B ;y B ); C(x C ;y C ) cố định thì ta luôn xác định được bộ ba (a;b;c) duy nhất trong hệ trục

Oxy

Khi (P) chỉ đi qua hai điểm A, B hoặc chỉ đi qua duy nhất điểm A, thì ta sẽ nhận được các Parabola lưu động của họ Parabola và

chúng tạo thành chùm (như chùm đường thẳng, chùm đường tròn trong mp (Oxy) đó)

x y : P

• Tập hợp các Parabola (Pλ) đi qua nhiều nhất hai điểm cố định A và B gọi là chùm Parabol (Pλ); với là tham số đặc

trưng của chùm

0

≠ λ

• Khi chùm (Pλ) qua đúng hai điểm A, B phân biệt ta được chùm có hai điểm đế, đường thẳng (AB) được gọi là đường đế của

chùm (Pλ) lúc đó

• Phương trình của chùm (Pλ) đi qua hai điểm đế A, B và nhận d ≡ ( ) AB : y = α x + q làm đường đế, có dạng:

( ) Pλ : y = λ ( x − xA)( x − xB) + α x + β ( λ ≠ 0 ) (*)

) Khi đường đế xiên góc: ( yA≠ yBvà α ≠ 0 ), là trường hợp tổng quát của (*)

) Khi đường đế nằm ngang: ( yA = yBhay α = 0 ), ta có trường hợp (Pλ) có đường đế bằng ( ) d : y = yA = β

(vuông góc với các trục đối xứng của (Pλ))

=

) Khi α = 0 , A ≡ Bta có trường hợp (Pλ) là chùm tự tiếp xúc tại đỉnh (chung đỉnh, đường đế vuông góc với trục đối

xứng duy nhất của (Pλ))

( ) P : y ( x x )2 yA ( 3 )

A +

− λ

B

x x y :

Đế bằng (IV)

BB2 : Họ (Pλ) thỏa các cặp thứ tự (I, III); phương trình (Pλ) có dạng tổng quát như ở (*)

) Khi (Pλ) thỏa (I, IV): phương trình (Pλ) có dạng đặc biệt như ở (1)

) Khi (Pλ) thỏa (II, III): phương trình (Pλ) có dạng đặc biệt như ở (2)

) Khi (Pλ) thỏa (II, IV): phương trình (Pλ) có dạng đặc biệt như ở (3)

BB3 : Đưa các giá trị cụ thể của giả thiết vào phương trình của (Pλ), ta sẽ xác định được λ = λ0 bằng các phương trình đặc trưng

Lấy x 0 thay vào các phương trình (Pλ) ta có ngay ycbt

VI TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ CỰC TRỊ HÀM SỐ:

1 Nằm cùng phía với trục hoành

0 ' y

2 1

2 Nằm ở hai góc phần tư:

(I) và (III) (II) và (IV)

x 0 x

0 ' y hoặc 0 y

2 1

x 0 x

0 ' y hoặc 0 y

; 0 x

0 y

; 0 x

0 ' y

' y

2 1

2 2

1 1

VII ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ HÀM BẬC 3 CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 1 HOẶC 3 ĐIỂM:

(*) 0 d cx bx ax : điểm giao PTHĐ d

cx bx ax

+

= +

c

bx

ax

kép nghiệm 0

c

bx

ax

chung nghiệm

a

b x

0

kép nghiệm hoặc

nghiệm vô

0 c bx ax

0 x g 0

x x nghiệm 2

có

0 c bx ax

0

0 2

(*) không có nghiệm đặc biệt

c bx 2 ax 3 '

0 y y

0 ' y

0 ' y

0 ' y

min max

Ghi chú: PT bậc 3: y=0 không thể có 3 nghiệm phân biệt

⇔

0 y y

0 ' y

min max

VIII ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ HÀM BẬC 3 CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 3 ĐIỂM CÓ HOÀNH ĐỘ DƯƠNG (HAY ÂM):

Hoành độ Hoành độ dương Hoành độ âm

0 x

0 x

0 0 af

0 ' y

min max CT CĐ

x x

0 af

0 ' y

min max

2 1

x x

0 af

0 ' y

min max

2 1

CHỦ ĐỀÀ 4: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT

I GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT TRÊN ĐOẠN [a;b]:

• f liên tục trên [a;b] có M[GTLN] và m[GTNN] của f trên [a;b]

; a x

f , f , b f , a f min m

f , f , b f , a f max M

b a;

trên tục liên f minf maxf,

2 Dùng MGT tìm max, min: m ≤ y0 ≤ M

3 Dùng BĐT Côsi, Bunhiacôpsky

0 0

'

y

x x

+

− +

∞ +

∞

−

max min

y

0 0

' y

x x

− +

−

∞ +

a f y min y

' y

f y max y

' y

x

II GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM BẬC 2 TRÊN [ ] α; β :

• a>0 hoành độ đỉnh

a

b

x0 = −

) Nếu x 0∈ α β[ ]; : min y f x= ( )0 ; max y max f= { ( ) ( )α , f β }

) Nếu x 0 ∉ α β[ ]; : so sánh f( )α và f( )β suy ra max y và min y.

• a<0

) Nếu x 0∈ α β[ ]; : max y f x= ( )0 ; min y max f= { ( ) ( )α , f β }

) Nếu x 0 ∉ α β[ ]; : so sánh f( )α và f( )β suy ra max y và min y.

III TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ:

1 Phương pháp 1: GTLN f x( ) max f x và GTNN f x ( ) ( ) min f x( )

x D∈ f = x D∈ f x D∈ f = x D ∈ f

( )

f x m; x D đn

x f max a

f

b x

a ≤ ≤

=

f(b)

2 Phương pháp 2:

BB1 : Kiểm tra tính liên tục của hàm f trên Df = [ ] a ; b

BB2 : Tìm các số cực đại, số cực tiểu (giá trị y 0 =f(x 0 ) của các cực trị địa phương tại các điểm x0∈ ( ) a ; b )

Tìm f(a), f(b): là các số trị biên của hàm f

BB

( ) ( )

3 : So sánh f(a), f(b) và các y 0 , ta có:

các

; b f

; a

f

max

M

b x a 0 b

x

a

b x a 0 b

CHỦ ĐỀÀ 5: LỒI, LÕM, ĐIỂM UỐN, TIỆM CẬN

I LỒI, LÕM, ĐIỂM UỐN I(x 0 ,f(x 0 )):

Dấu hiệu điểm uốn:

Dấu hiệu 1:f x ′′ ( )0 = 0 ; f x đổi dấu - ,x ; x , ′′ ( )0 ( ∞ 0) ( 0 +∞ )

II CÁC DẠNG ĐIỂM UỐN:

HÌNH DẠNG ĐIỂM UỐN DẤU HIỆU NHẬN BIẾT ĐIỂM UỐN

I

(T)

(C)f"<0

f x đổi dấu khi x đi qua x0

I x ; f x 0 0 : là điểm uốn của C : y f x

f x không đổi dấu khi x đi qua x0

I x ; f x 0 0 : là điểm uốn của C : y f x

(C) f"<0 f">0

4

i : f x không đổi dấu khi x băng qua x hoặc 0

f x đổi dấu khi x đi qua x0

điểm uốn của C : y f x=

III TIỆM CẬN:

Tiệm cận đứng x = x 0 Tiệm cận ngang y = y 0 Tiệm cận xiên y = ax+b

b ax y lim

y lim a

x x x x

Chú ý:

x P

Tìm nghiệm x 0 của Q(x) =

0 Bậc P(x)≤Bậc Q(x) Bậc P(x) > Bậc Q(x) 1 bậc Bậc P(x) > Bậc Q(x) 2 bậc

' a

' b P '

a

' ab b ' a x ' a

a x Q

x

P ' b x ' a

c bx ax

=

= +

+ +

=

TCX : ' a

' ab b ' a x ' a

a y 0 '

→∞

b Nhánh trái : y - a x

p Nhánh trái : y ax b- x

C y f x g x x mà T y g x là tiệm cận cong.

CHỦ ĐỀÀ 6: KHẢO SÁT HÀM SỐ

I HÀM BẬC HAI: ( ) P : y = f ( ) x = ax2+ bx + c ( a ≠ 0 )

• Tam thức bậc hai có dạng: ( ) P : y = f ( ) x = ax2+ bx + c ( a ≠ 0 )

Gọi

2a

b - x đặt 0, khi

; ac 4

=

Δ , ta có f(x 1 ) = f(x 2 ) = 0 thì x 1 , x 2 là hai nghiệm của tam thức bậc hai (cũng là

hai nghiệm của phương trình bậc hai: ax 2 +bx+c = 0)

• Tính chất của các nghiệm số x 1 ; x 2 (quy ước x 1 < x 2 )

thuận) Viete

lý (Định a

P = < ⇔ < < (hai nghiệm trái dấu)

Ta có hai trường hợp nhỏ:

2 1

x x 0 a

b S

x x 0 a

b S

0 a

b S

0 a

c P

b S

0 a

c P

; a

b S

d = − là trục đối xứng của (P)

• Dấu tam thức bậc hai:

Viết tam thức dưới dạng: 4 af ( ) x = a2x2 + 4 abx + 4 ac ( a ≠ 0 )

x

af

4

2 2

2 2

= Δ Δ

− +

=

⇔

− + +

=

⇔

Từ (*) ta có định lý thuận về dấu tam thức bậc hai như sau:

Tam thức bậc hai luôn có dấu của hệ số a; với mọi giá trị của x và chỉ loại trừ hai trường hợp:

a

b af

b

−a

Δ

−

y

(P)S

x

a2

b

−a

f GTNN

R

a 4 x f GTNN

R

∈

) Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai:

Nếu tồn tại số thực α thỏa af ( ) α < 0, thì tam thức B 2 có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và x1 < α < x2

) Hệ quả:

Nếu tồn tại hai số α và β sao cho f ( ) ( ) α f β < 0thì tam thức B 2 có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 và có một nghiệm nằm trong

khoảng ( )( α ; β với α < β )