8 kỹ thuật đặt điểm tối đa nguyên hàm tích phân - Nguyễn Tiến Đạt

(III) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số. Không có câu nào sai. Cả ba câu trên đều sai. Trong hai câu trên:?. A. Cả hai câu đều đúng. Cả hai câu đ[r]

(1)

(2)

LỜI NÓI ĐẦU

Khi em cầm tay sách tức em quan tâm đến việc học mình, chúc mừng tinh thần học tập em!

Có thể em chưa biết, tích phân mảng rộng bao hàm nhiều dạng phương pháp xử lý khác Đặc biệt lên đại học, nghành liên quan đến kỹ thuật, tiếp cận Nguyên Hàm – Tích Phân mức độ cao

Tuy nhiên khuôn khổ kỳ thi THPT Quốc gia 2017, thầy chắt lọc cho em sách này:

 Đầy đủ phương pháp chắn có đề thi, bám sát cấu trúc đề Bộ Giáo

Dục

 Nhiều ví dụ đa dạng giải chi tiết theo hướng Step by Step (từng bước), dù học sinh gốc sử dụng sách

 Đề trắc nghiệm theo hướng để em tiếp cận rộng

 Kết hợp phương pháp sử dụng máy tính Casio, Vinacal

Thầy tự tin khẳng định rằng, em sử dụng thành thạo kỹ thuật sách này, việc đạt điểm tối đa chuyên đề Nguyên Hàm – Tích Phân đơn giản!

Cách sử dụng sách

Bước 1: Đọc kỹ hiểu phương pháp

Bước 2: Đọc ví dụ đóng sách làm lại

Bước 3: Làm đề trắc nghiệm bên cạnh đồng hồ (Cố làm nhanh có thể)

Chú ý: Khơng đọc phần bấm máy trước! Hãy nhuần nhuyễn giải tay trước, nhiều có khả bấm máy lâu tính tay nhiều

(3)

MỤC LỤC

Nguyên Hàm

A Định Nghĩa Và Tính Chất

B Bảng Các Nguyên Hàm, Đạo Hàm Cơ Bản

Trắc Nghiệm Lý Thuyết

Đáp Án Trắc Nghiệm Lý Thuyết 11

Kỹ Thuật 1: Sử Dung Bảng Nguyên Hàm Cơ Bản 12

Trắc Nghiệm Kỹ Thuật – Dạng 13

Đáp Án Trắc Nghiệm Kỹ Thuật – Dạng 14

Trắc Nghiệm Kỹ Thuật – Dạng 15

Đáp Án Trắc Nghiệm Kỹ Thuật – Dạng 15

Kỹ Thuật 2: Tính Nguyên Hàm Của Hàm Số Hữu Tỷ 16

Trắc Nghiệm Kỹ Thuật 22

Đáp Án Trắc Nghiệm Kỹ Thuật 23

Kỹ Thuật 3: Đổi Biến Dạng 24

1 Các Dạng Đổi Biến Số Thường Gặp 24

Trắc Nghiệm Đổi Biến Số Dạng 26

Đáp Án Trắc Nghiệm Đổi Biến Dạng 28

Tích Phân 30

Trắc Nghiệm Lý Thuyết Tích Phân 31

Đáp Án Trắc Nghiệm Lý Thuyết Tích Phân 33

Tích Phân Đổi Biến Dạng 37

Dạng                                             1 2 ( ) ( 1) ( )

n m n n n n n I f ax b xdx t ax b dt a dx x I dx t x dt n x dx ax I f ax b xdx t ax b dt ax dx 37

Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng (P1) 43

Đáp Án Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng (P1) 45

Dạng: 46

(4)

Trắc Nghiệm Dạng (ln ) b

a

I f x dx x

   50

Đáp Án Trắc Nghiệm Dạng (ln ) b a I f x dx x    51

Kỹ Thuật 4: Tích Phân Lượng Giác 51

1.Cơng Thức Lượng Giác Thường Sử Dụng: 51

Dạng 4.1 Sử Dụng Công Thức Nguyên Hàm Cơ Bản 53

Dạng 4.2: Dùng Công Thức Hạ Bậc 55

Dạng 4.3: Dùng Cơng Thức Biến Đổi Tích Thành Tổng 57

Dạng 4.4: Đổi Biến Số 59

Dạng 4.4.1 Kết Hợp Trong Dạng A,B,C,D Với D(Sinx)=Cosx, D(Cosx)=-Sinx 59

Dạng 4.4.2 Kết Hợp Trong Dạng A,B,C,D Và     sin sin ; cos sin d x  xdx d x   xdx 66

Dạng 4.4.3 Kết Hợp Trong Dạng A,B,C,D Và 67

    tan tan cos d x dx x dx x    ;     cot cot sin d x dx x dx x      67

Dạng 4.4.4 Kết Hợp Trong Dạng A,B,C,D Và dsinxcosx  cosxsinx dx 70

Đáp Án Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng (P3) 75

Kỹ Thuật 5: Đổi Biến Số Dạng 76

Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 85

Đáp Án Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 86

Kỹ Thuật 6: Tích Phân Từng Phần 87

Trắc Nghiệm Tích Phân Từng Phần 93

Đáp Án Trắc Nghiệm Tích Phân Từng Phần 97

Kỹ Thuật 7: Tích Phân Chứa Giá Trị Tuyệt Đối 98

Ứng Dụng Tích Phân 102

1 Tính Diện Tích Hình Phẳng 102

1.1 Diện Tích Hình Thang Cong 102

(5)

3 Bài Toán Chuyển Động 111

Trắc Nghiệm Ứng Dụng Tích Phân 113

Đáp Án Trắc Nghiệm Ứng Dụng Tích Phân 117

Kỹ Thuật 8: Sử Dụng Máy Tính Casio 118

Dạng: Tìm Nguyên Hàm F X  Của Hàm Số F X 118

Dạng: Tìm Nguyên Hàm F(X) Của F(X) Khi Biết ( )F xo M 120

Dạng: Tính Tích Phân 122

Dạng: Tìm A, B Sao Cho ( ) a b f x dx A  122

Dạng: Tính Diện Tích, Thể Tích 123

Dạng: Mối Liên Hệ Giữa A, B,C… 125

Phụ Lục: 127

A Đề Tổng Hợp Nguyên Hàm – Tích Phân 127

Đáp Án Đề Tổng Hợp 139

(6)

NGUYÊN HÀM A ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

1 Định nghĩa

Ta gọi F x  nguyên hàm f x  Vì với C số bất kỳ, ta có

 

 '    

'

F x C F x  f x nên F x  nguyên hàm f x  F x Ccũng nguyên hàm f x  Ta gọi F x C, (c số (constant) Họ nguyên hàm f x 

Ký hiệu:  f x dx F x    C

Hay đơn giản cho dễ hiểu đứa: NGUYÊN HÀM LÀ NGƯỢC LẠI CỦA ĐẠO HÀM

VÍ DỤ : x2 đạo hàm gì? ( ) ' 2x2  x chuẩn chưa?

Thì

2xdx x C

 Tại phải cộng thêm C? Vì đạo hàm số Nên (x2C) ' 2 x Người ta ghi thêm C vào cho đầy đủ?

Oke? Vậy tạm hiểu nguyên hàm nhé!! Tính chất

•  f x dx  ' f x 

• kf x dx k f x dx      , k.là số

• f x g x dx   f x dx  g x dx 

• f x   g x dx  f x dx  g x dx 

3 Sự tồn nguyên hàm

(7)

B BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM, ĐẠO HÀM CƠ BẢN

Bảng đạo hàm

(u hàm số hợp)

Bảng nguyên hàm

 x ' 1 kdx kx c  , k số

   

' ; ' '

x x u u u

 

1

, 1

x x dx c

 



 

  

    

1

ax b

ax b dx c

a

 

  

  

 

 lnu ' u', u

u

  1dx ln x c

x  

 dx 1ln ax b c

ax b a  



 eu 'u e' u e dx ex  xc

 eax bdx 1eax b c

a

    

 au 'u a' .ln ,u a 0 a

ln x

x a

a dx c a

 

 mx n a.lnmx n

a dx c

m a



  



sinu'u'.cosu cosxdxsinx c    

cos ax b dx sin ax b c a

   



cosu' u'.sinu sinxdx cosx c    

sin ax b dx cos ax b c a

    



   

2

'

tan ' ' tan

cos

u

u u u

u

   12 tan

cos xdx x c

 2   

1

tan

cos ax b dxa ax b c



   

2

'

cot ' ' cot

sin

u

u u u

u



    12 cot

sin xdx  x c

 2   

1

cot

sin ax b dx a ax b c

 Một số lưu ý

1 Cần nắm vững bảng nguyên hàm

2 Nguyên hàm tích (thương) nhiều hàm hàm số khơng tích (thương)

các nguyên hàm hàm thành phần

3 Muốn tìm nguyên hàm hàm số, ta phải biến đổi hàm số thành tổng hiệu

(8)

* Lưu ý:  f x dx F x    c F x'  f x  nên quên công thức nguyên hàm, ta cần liên tưởng đến đạo hàm Cụ thể sau:

VÍ DỤ ta cần tìm  f x dx  (mà qn cơng thức) ta tự đặt câu hỏi : “ hàm số mà lấy đạo hàm f(x)?” Với cách hỏi thế, kết hợp với việc nắm vững công thức đạo hàm, ta nhớ lại cơng thức ngun hàm cách dễ dàng

I BẢNG CÔNG THỨC MỞ RỘNG (LÀM NHANH TRẮC NGHIỆM)

Chú ý: Những cơng thức khơng có SGK, em dùng cho làm tự luận, phải chứng minh lại! (Cách chứng minh đơn giản nhất: Đạo hàm lại kết Hehe

1 dx

ax b ax b

e e c

a

   

 tgax bdx 1ln cosax b c

a

    



1 dx

ln

ax b ax b

m m c

a m

   

 cotgax bdx 1ln sinax b c

a

   

 2

dx

arctgx c

a x a a

 2dx  1cotg 

sin ax b a ax b c



  

 

2

dx

ln

a x c a x a a x



 

 

 2dx  1tg 

cos ax b  a ax b c



 2

2

dx

ln x x a c

x a    

 2

dx

arcsin x c

a a x  

(9)

TRẮC NGHIỆM LÝ THUYẾT

Câu Hàm số f x  có nguyên hàm K nếu:

A f x  xác định K B f x  có giá trị lớn K

C f x  có giá trị nhỏ K D f x  liên tục K

Câu Mệnh đề sau sai?

A Nếu F x  nguyên hàm f x   a b; C số

 d  

f x x F x C



B Mọi hàm số liên tục  a b; có nguyên hàm  a b;

C F x  nguyên hàm f x   a b; F x/  f x ,  x  a b; D  f x x d /  f x 

Câu Xét hai khẳng định sau:

(I) Mọi hàm số f x  liên tục đoạn  a b; có đạo hàm đoạn (II) Mọi hàm số f x  liên tục đoạn  a b; có nguyên hàm đoạn Trong hai khẳng định trên:

A Chỉ có (I) B Chỉ có (II)

C Cả hai D Cả hai sai

Câu Hàm số F x  gọi nguyên hàm hàm số f x  đoạn  a b; nếu:

A Với x a b; , ta có F x/  f x  B Với x a b; , ta có f/ x F x  C Với x a b; , ta có F x/  f x 

D Với x a b; , ta có F x/  f x , /   

F a  f a /   

F b  f b

(10)

(I) F nguyên hàm f D  x D F x: '  f x  (II) Nếu f liên tục D f có ngun hàm D

(III) Hai nguyên hàm D hàm số sai khác số

A Khơng có câu sai B Câu (I) sai

C Câu (II) sai D Câu (III) sai

Câu Giả sử F x  nguyên hàm hàm số f x  khoảng  a b; Giả sử G x  nguyên hàm f x  khoảng  a b; Khi đó:

A F x G x  khoảng  a b;

B G x F x C khoảng  a b; , với C số

C F x G x C với x thuộc giao hai miền xác định, C số

D Cả ba câu sai

Câu Xét hai câu sau:

(I) f x g x dx f x x d g x x F x d   G x C, F x  G x  tương ứng nguyên hàm f x g x   ,

(II) Mỗi nguyên hàm a f x   tích a với nguyên hàm f x  Trong hai câu trên:

A Chỉ có (I) B Chỉ có (II)

C Cả hai câu D Cả hai câu sai

Câu Các khẳng định sau sai?

A  f x x F x d    C  f t t F t d   C

B  f x x d  / f x 

C  f x x F x d    C  f u x F u d   C

(11)

A F x x2 nguyên hàm f x 2x B F x x nguyên hàm f x 2 x

C Nếu F x  G x  nguyên hàm hàm số f x  F x G x C (hằng số)

D Cả đáp án

Câu 10 Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  nguyên hàm f x  có dạng F x C (C số)

B  

   

/

d log

u x

x u x C

u x  



C F x  1 tanx nguyên hàm hàm số f x  1 tan2x D F x  5 cosx nguyên hàm hàm số f x sinx

A 0d x C (C số) B 1dx ln x C

x  

 (C số)

C

1

d

1

x

x x C

 

 

 



(12)

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM LÝ THUYẾT

Câu Để hàm số f x  có nguyên hàm K f x  liên tục K Chọn D Câu Sửa lại cho '' Tất nguyên hàm f x   a b; có đạo hàm

 ''

f x Chọn C

Câu Vì hàm số có đạo hàm x0 liên tục x0, hàm số liên tục x0 chưa có đạo hàm x0 Chẳng hạn xét hàm số f x  x điểm x0 Chọn B

Câu Với x a b; , ta có F x/  f x ,

   

/

F a  f a /   

F b  f b Chọn D

Câu 5.Chọn A

Câu Vì hai nguyên hàm D hàm số sai khác số Chọn B

Câu 7.Chọn C

Câu Vì  f x dx F x     C  f u du F u    C Chọn C

Câu Vì  / /     

1

x   xF x  f x F x x nguyên hàm hàm số

 

f x  x Chọn B

Câu 10 Vì  

        /

ln

d u x u x

dx u x C

u x  u x  

  Chọn B

Câu 11 Vì kết khơng với trường hợp   1 Chọn C

CÂU ĐÁP ÁN CÂU ĐÁP ÁN CÂU ĐÁP ÁN

1 D A B

2 C B 10 B

3 B C 11 C

(13)

KỸ THUẬT 1: SỬ DUNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN 

1 Tích đa thức lũy thừa PP

khai triển Tích hàm mũ PP khai triển theo công thức mũ Chứa PP

chuyển lũy thừa

4 Tích lượng giác bậc sin cosin PP khai triễn theo cơng thức tích thành tổng

 sin cos 1sin( ) sin( ) 

ax bx a b x  a b x

 sin sin 1cos( ) cos( ) 

ax bx a b x  a b x

 cos cos 1cos( ) cos( ) 

2

ax bx a b x  a b x

5 Bậc chẵn sin cosin PP

Hạ bậc

(14)

TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT – DẠNG

Câu 12 Tìm nguyên hàm ( ) 3

2

x f x  x  

A ( ) x F x x  C

B ( ) x F x x  C

C ( ) x F x x  C

D

2

( )

4

x F x  x  C

Câu 13 Tìm nguyên hàm f x( ) 2 x35x7.

A

4

5

( )

2

x x

F x    x C

B

4 5

( )

2

x x

F x    x C

C

4

3

( )

2

x x

F x    x C

D

4 5

( )

2

x x

F x    x C

Câu 14 Tìm nguyên hàm f x( ) 6 x512x3x28.

A

3

6

( )

3

x

F x x  x   x C

B

3

6

( )

3

x

F x x  x   x C

C

3

6

( )

3

x

F x x  x   x C

D

3

( )

3

x

F x x x   x C

Câu 15 Tìm nguyên hàm f x( ) ( x23 ) (x   x 1) A

4 2 3

( )

4

x x x F x    C

B

4 2 3

( )

2

x x x F x    C

C

4 2 3

( )

4

x x x F x    C

D

4 2 3

( )

4

x x x F x    C

Câu 16 f x( ) (3 x) 3 Biết nguyên hàm f(x) là ( ) (3 ) .

a

x

F x C

a



   Tìm a2

A

B 16 C 32 D

Câu 17

2

1

( )

3

f x x x

    Biết nguyên hàm f(x)

3

1

( ) x x

F x C

x a b

     Tính a-b?

A.0

B

C.2

D.3

Câu 18 f x( ) 10  2x Biết nguyên hàm f(x) ( ) . 2ln10

x

a

(15)

14 KỸ THUẬT 1: SỬ DUNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN - http://Hoc24h.vn

A.10

B 100 C

5

D.20

Câu 19 f x( ) x3 4x

x

    Biết nguyên hàm f(x)

4

( ) x ln

F x bx c x C a

    Tính a-b+c

A.5

B C.D.4

Câu 20

3

1

I x dx

x

 

   

 

 2x3 3b x C.

a

   Tính a-b?

A.0

B

C.2

D.3

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT – DẠNG

12 A 16 B 20 A

13 B 17 A

14 C 18 B

(16)

http://hoc24h.vn - KỸ THUẬT 1: SỬ DUNG BẢNG NGUYÊN HÀM

CƠ BẢN 15

Bài Tìm nguyên hàm hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước trường hợp sau:

Phương pháp: Tìm nguyên hàm hàm số f x( ), tức tính  f x dx F x( )  ( )C

Rồi sau F x( )o   C để tìm số C

VÍ DỤ : f x( )x34x5, (1) 3.F 

Ta có

4

3

( 5)

4

x

x  x dx x  x c 

 Mà (1) 3.F 



2

1

1 5.1

4    c

 c=

 Kết luận:

4

2

( )

4

x

F x  x  x 

TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT – DẠNG

Tìm F(x) biết:

Câu 21 f x( ) 5cos , ( ) 2.  x F   A F x( ) 3 x5sinx

B F x( ) 3 x5sinx 2 

C F x( ) 3 x5sinx2

D F x( ) 3 x5sinx 2 

Câu 22

2

3

( ) x , ( )

f x F e x



  Biết

2

5

( ) 3ln

2

x e

F x  x   c c chia hết cho mấy?

A

B C D

Câu 23

2

1

( ) , (1)

2

x

f x F

x



  Biết

2

( ) x ln

F x b x c a

   Kết a-b-c là?

A.4

B C.D.8

Câu 24

4

2

3

,

x x

I dx

x

 

  biết (1) 2.F  ĐS:

( ) a

F x x c x b x

    Tính a+b+c?

A.1

B C

3

D.4

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT – DẠNG

CÂU ĐÁP ÁN CÂU ĐÁP ÁN

Câu 21 D Câu 23 D

(17)

16 KỸ THUẬT TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ - http://Hoc24h.vn

KỸ THUẬT TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

 Bài tốn tổng qt: Tính ngun hàm ( ) ,

( )

P x

I dx

Q x

  với ( )P x ( )Q x đa thức không

Phương phápgiải:

Nếu bậc tử số ( )P x  bậc mẫu số ( )Q x PP

Chia đa thức Nếu bậc tử số ( )P x  bậc mẫu số ( )Q x PP

Xem xét mẫu số đó:

+ Nếu mẫu số phân tích thành tích số, ta sử dụng đồng thức để đưa dạng tổng phân số

Một số trường hợp đồng thức thường gặp:

1

( ) ( )

a b

ax m bx n an bm ax m bx n

 

    

       

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

A B m mx n A B A B x Ab Ba

Ab Ba n x a x b x a x b x a x b

  

    

     

  

        

2

1

,

( ) ( )

A Bx C x m ax bx c x m ax bx c



  

       với

2

4

b ac

   

2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )

A B C D

x a x b x a x a x b x b

     

      

+ Nếu mẫu số khơng phân tích thành tích số (biến đổi đưa dạng lượng giác)

Mẹo sử dụng Casio

( ) ( )

mx n A B x a x b x a x b



  

    

(Ta muốn tìm hệ số nào, ta xóa nghiệm mẫu thằng

( ) ( )

mx n x a x b



   Và

Calc nghiệm mẫu nó) Để tìm A Ta nhập vào máy tính

( )

mx n x b



 Calc x = a

Để tìm B Ta nhập vào máy tính

( )

mx n x a



(18)

http://hoc24h.vn - KỸ THUẬT TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM

SỐ HỮU TỶ 17

BÀI TẬP VẬN DỤNG

VÍ DỤ Tìm nguyên hàm 1 x I dx x      

Ta thấy bậc tử bậc mẫu: Chia đa thức

2

(2 ) 3.ln | 1|

1

x

I dx dx x x c

x x



       

 

 

VÍ DỤ Tìm ngun hàm

2 1 x x I dx x       

Ta thấy bậc tử lớn bậc mẫu: Chia đa thức

2 1 3

( ) 3ln

2 2

x x x

I dx I x dx x x C

x x

 

           

 

 

VÍ DỤ3 Tìm nguyên hàm 2

2

dx I x x     

2 ( )

2 ( 1)(2 5)

dx dx A B

I dx

x x x x x x

   

     

  

Ta có:

( 1) (2 5)

(2 )

1

2 3

5

3

B x A x

x A B A B A A B A B B                          

1 ln | | 1

3

( ) ln | 1| ln | 1| ln | |

1 3 3

x

I dx x C x x C

x x                  

Mẹo sử dụng máy tính:

Tìm A: Nhập vào máy

(2x5)Calc X = Thu

1

A

Tìm B: Nhập vào máy

1

x Calc X =

5

2 Thu B =

2

3

6 10

3

x x

I dx

x x x

         2

6 10 10

3 2

x x x x

I dx dx

x x x x x x

   

 

   

(19)

Xét:

  

2

6 10

1 2

x x A B C

x x x x x x

    

   

      

2

6x 10x A x x Bx x Cx x

         

   

2

6x 10x A B C x 3A 2B C x 2A

         

  

2

6

6 10 2

10 2

1 2

2

A B C A

x x A B C B

x x x x x x

A C                               Từ đó:

1

ln 2ln 3ln

1

I dx x x x C

x x x

 

          

 

 



Mẹo sử dụng máy tính

Tìm A: Ta nhập vào máy

  

2

6 10

1

x x x x

 

  Calc X=0 Thu A =

Tìm B: Ta nhập vào máy

 

2

6 10

2

x x x x

 

 Calc X=-1 Thu B =

Tìm C: Ta nhập vào máy

 

2

6 10

1

x x x x

 

 Calc X=-2 Thu C =

  

2

6 10 2

1 2

x x

x x x x x x

 

   

   

2

3

6 26 26

6 11

x x

J dx

x x x

           2

6 26 26 26 26

6 11

x x x x

J dx dx

x x x x x x

   

 

     

 

(20)

SỐ HỮU TỶ 19

   

2

6 26 26

1 3

x x A B C

x x x x x x

    

     

        

2

6x 26x 26 A x x B x x C x x

           

Cho x giá trị 1, 2, ta tìm A3;B2;C1 Từ đó:

3

3ln ln ln

1

J dx x x x C

x x x

 

           

  

 



•

  

2

8

2ln ln

6 3

x x

K dx dx dx x x C

x x x x x x

   

          

       

  

2

3

3 13 11

5

x x

L dx

x x x

 



  



  

2

3

3 13 11 13 11

5

x x x x

L dx dx

x x x x x

   

 

    

 

Ta tìm , ,A B C cho:

    

2

3 13 11

1

1 2

x x A B C

x x

x x x

 

  

 

  

 2     

2

3x 13x 11 A x B x x C x

         

     

2

3x 13x 11 A B x 4A 3B C x 4A 2B C

          

3

13

11

A B A

A B C B A B C C

  

 

 

     

     

 

Từ đó:

 2

1 3

ln 2ln

1 2

L dx x x C

x x x x

 

          

   

 

(21)

VÍ DỤ Tìm nguyên hàm

3

2

3

x x x

M dx x x           2

2 1

2

3 2

x x x

M dx x dx x dx

x x x x x x

                             1

2 ln ln

2

x dx x x x C

x x                  

2

3

2

x x

N dx

x x x

 



  



 

2

3

2

3

ln 2

2 2

d x x x x x

N dx x x x C

x x x x x x

  

 

      

     

 

VÍ DỤ Tìm nguyên hàm

  2 2

3 dx I x x    

Ta phân tích:

           2 2

1 1 1

4

3

x x

x x x x

x x

      

      

     

   

  2  2     2 2

1 1 1 1

4 x x x x x x x x

                              Từ đó:

  2 2

1 1

3 1 I dx x x x x                

 1 1 1ln 1ln

4 x x x x C

       

 

VÍ DỤ 10 Tìm ngun hàm

  2 2

3 dx J x x    

(22)

SỐ HỮU TỶ 21

   

         

2

2 2

4

1 1

49 49

3 4

x x

x x x x

 

    

       

   

       

Từ đó:

 2     2

1 1 1

49 49 49

J dx dx dx

x x

  

 

  

1 1 1 1

49 x 49 x 343 x x dx

 

      

     

1 1 1

ln

49 49 343

x

C

x x x



    

(23)

TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT

Câu 25

4

x x dx x   

 I a x. 2b x c.  .ln 2x 1 C Tính a-b-c ?

A

2 B

2 C

 D



Câu 26

3

4

x x dx x   

 có dạng F x a x. 3b x. 2c x d.  .ln 2x 1 C Tính a b c d.    ?

A

3 B

2 C D

Câu 27 1 x dx x  

 có dạng I a x b  ln x 1 C Tính a.b ?

A B C.6 D

Câu 28 x dx x  

 có dạng I a x b  ln x 2 C Tính b-a ?

A B C.4 D

Câu 29.Nguyên hàm  

2 x f x x  

 có dạng F x a x b  ln 2x 3 C Tính a.b ?

A

8

 B C D -6

Câu 30 x x dx x   

 có dạng I a x. 2b x c.  .ln x 2 C Tính b+c ?

A B C D

Câu 31

dx I x x     

A

3

I C

x

 



B

3

I C

x

  



C

3

I C

x

  



D

3 I C x     Câu 32 2 1 x I dx x     

 ĐS: ln

1

x

I x C

x



  



A ln

1

x

I x C

x



  



B ln

1

x

I x C

x



  



C ln

1

x

I x C

x



  



D ln

1 x I C x     Câu 33 23

4

x I dx x x     

 ln

4(2 1)

a

x C

b x

   

 Tính b – a ?

(24)

SỐ HỮU TỶ 23

C D

Câu 34

2

( 2)

x x

I dx

x



 



 ln

2

c

ax b x C

x

    

 Tính a + b – c?

A

B C

2

D

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT

25 C 29 A 33 B

26 A 30 D 34 B

27 C 31 C

(25)

24 KỸ THUẬT ĐỔI BIẾN DẠNG - http://Hoc24h.vn KỸ THUẬT ĐỔI BIẾN DẠNG

1 CÁC DẠNG ĐỔI BIẾN SỐ THƯỜNG GẶP

DẠNG CÁCH ĐỔI BIẾN

ax b dx 

 Đặt t ax b  1.

n n

x  x dx

 Đặt n

tx 

 

dx f x

x

 Đặt t x

sin cos

f x xdx

 Đặt tsinx

cos sin

f x xdx

 Đặt tcosx

tan cos2

dx f x

x

 Đặt ttanx

cot sin2

dx f x

x

 Đặt tcotx

 x x

f e e dx

 Đặt x

t e  ln dx

f x x

 Đặt tlnx

1

f x x dx

x x

     

   

   

 Đặt t x

x

 

Các bước để đổi biến: Bước 1: Đặt v(x) = t

Bước 2: vi phân: d(v(x)) = d(t) (Vi phân đạo hàm thôi, đạo hàm theo biến x, nhân thêm dx, đạo hàm theo biến t nhân thêm dt)

Bước 3: Chuyển hết f(x) f(t)

Ví dụ vi phân: d x( 22x 1) (x22x1) '.dx(2x2)dx VÍ DỤ : Tìm ngun hàm hàm số sau

1 I  x20041.x2003dx 

Đặt 2004 1 ( ) ( 2004 1) 2004 2003 2003

2004

tx  d t d x  dt x dxx dx dt Từ ta được:

1

2

1 1

2004 2004 2004

I   tdt t dt  t C  2004 13

3006 t C 3006 x C

(26)

http://hoc24h.vn - KỸ THUẬT ĐỔI BIẾN DẠNG 25

2• ex x ex 1. x

I  e  dx e  e dx

 

Đặt ex  t e dx dtx  Thay vào ta được:

 

1 1 x

t t t e

L e dt  e d t  e  C e  C

 

3 10

1

x

I dx

x



 

Đặt 10x    1 t x 1 t10dx10t dt9 Từ ta được:

   

10

9 10 18 19

1 10 10

.10 10 10

19

t

N t dt t t dt t t dt t t C t



         

 19  9

10 10

1

19 x x C

    

4 I  x21x10dx 

Đặt 1  x t dx dt Từ ta được:

1 2 10  1 2 2.10 10 2 11 12

O t t dt    t t t dt t dt t dtt dt

 11  12  13

11 12 13

1 1 1

1 1

11t 6t 13t C 11 x x 13 x C

(27)

26 KỸ THUẬT ĐỔI BIẾN DẠNG - http://Hoc24h.vn

TRẮC NGHIỆM ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG

Câu 34 Câu sau sai?

A Nếu F t'  f t  F u x/   f u x  

B  f t t F t d    C  f u x u x x F u x   ' d    C

C Nếu G t  nguyên hàm hàm số g t  G u x   nguyên hàm hàm số

 

 . /  g u x u x

D  f t t F t d    C  f u u F u d   C với u u x  

A Nếu  f t t F t d   C f u x u x x F u x  . / d    C



B Nếu F x  G x  nguyên hàm hàm số f x  F x G x dx có dạng

 

h x Cx D ( ,C D số C0)

C F x  7 sin2x nguyên hàm f x sin 2x D  

   

/

d

u x

x u x C u x  



Câu 36 (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x  2x1

A  d 22 2

f x x x x C

 B  d 12 1

3

f x x x x C

 C  d

3

f x x  x C

 D  d

2

f x x x C

 Câu 37 Để tính

ln

d x

e x x

 theo phương pháp đổi biến số, ta đặt:

A t e lnx. B tln x C tx. D t 1.

x

 Câu 38 F x  nguyên hàm hàm số y xe x2

(28)

http://hoc24h.vn - KỸ THUẬT ĐỔI BIẾN DẠNG 27 A   2

2 x

F x  e  B   1 5

x

F x  e 

C   2

x

F x   e C D   12 2

x

F x   e

Câu 39 F x  nguyên hàm hàm số y lnx x



Nếu F e 2 4 lnxdx

x

 bằng:

A  

2

ln

x

F x  C B  

2

ln 2

x F x  

C  

2

ln 2

x

F x   D  

2

ln

x

F x   x C

Câu 40 F x  nguyên hàm hàm số y e sinxcosx Nếu F  5 esinxcos dx x

 bằng:

A.F x esinx4 B F x esinxC

C F x ecosx4 D F x ecosxC Câu 41 F x  nguyên hàm hàm số ysin4xcosx

 

F x hàm số sau đây?

A  

5

cos

x

F x  C B  

4

cos

x F x  C

C  

4

sin

x

F x  C D  

5

sin

x F x  C

Câu 42 Xét mệnh đề sau, với C số: (I) tan dx x ln cos xC

(II) 3cos sin d 3cos

3

x x

e x x  e C

(29)

28 KỸ THUẬT ĐỔI BIẾN DẠNG - http://Hoc24h.vn

(III) cos sin d sin cos

sin cos

x x

x x x C

x x

   





Số mệnh đề là:

A B C D

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ĐỔI BIẾN DẠNG

34 A 37 B 40 A

35 D 38 C 41 D

36 B 39 B 42 D

Câu 34.Chọn A Vì F t'  f t F t  f t dt  Đặt t u x  dt u x dx / 

Suy F u x   f u x u x dx  . / 

 hay F u x/   f u x u x  . /  Câu 35.Chọn D Vì  

       /

ln

d u x u x

dx u x C

u x  u x  

 

Câu 36 Ta có I  f x dx   2x1 dx

Đặt

2 1

2

t x   t x 

 

2

1

2

2 3

t t

I td   t dt C x x C

         

 

  Chọn B

Câu 37 Đặt t lnx dt 1dx x

   Khi

lnx

t

e

dx e dt x 

  Chọn B

Câu 38 Đặt tx2 dt2xdx

Suy 1   1

2 2

t t t x

I  e dt d e  e  C e C Chọn C Câu 39 Đặt lnx t dt dx

x

   Suy  

2 ln2

2

t x

(30)

http://hoc24h.vn - 29

Vì    

2

2 4 ln 4 2

2

e

F e      C C Chọn B

Câu 40 Đặt tsinxdtcosxdx Suy I  e dt et   t C esinxC



Vì F   5 esin       C 5 1 C 5 C 4 Suy F x esinx4 Chọn A.

Câu 41 Đặt tsinx, suy dtcosxdx Khi

5

4 sin

5

t x

I t dt  C C Chọn D Câu 42 Xét (I): Ta có tan sin

cos

x x dx dx

x



  Đặt tcosxdt sinxdx

Khi sin ln ln cos

cos

x dt

dx t C x C

x   t      

  Do (I)

Xét (II): Đặt 3cos 3sin sin

3

t xdt  xdx xdx  dt

Khi 3cos 1 3cos

sin

3 3

x t t x

e x dx  e dt  e   C e C

  Do (II)

Xét (III): Đặt  

sin cos sin cos cos sin

t x x t x x tdt  x x dx

Khi 2tdt dt 2t C sinx cosx C

t      

  Do (III)

Chọn D

(31)

30 TÍCH PHÂN - http://Hoc24h.vn TÍCH PHÂN

Khái niệm tích phân

— Cho hàm số ( )f x liên tục K , a b K Hàm số ( )F x gọi nguyên hàm ( )

f x K ( )F b F a( ) gọi tích phân f x( ) từ a đến b kí hiệu

là ( )

b

a

f x dx

 Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ,

b

b a a

I  f x dx F x  F b F a với a gọi cận dưới, b cận

— Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ khác thay cho x, nghĩa là:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

I  f x dx  f t dt  f u du   F b F a

— Nếu hàm số y f x( ) liên tục khơng âm đoạn  a b; diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị y f x( ), trục Ox hai đường thẳng x a x b ,  là:

( ) b

a

S f x dx 

Tính chất tích phân

 ( ) ( )

b a

a b

f x dx   f x dx

  ( )

a

f x dx 

  ( ) ( ) ,

b b

a a

k f x dx k    f x dx

  với

(k 0)

  ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx  g x dx 

    ( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx  f x dx  f x dx 

(32)

http://hoc24h.vn - TÍCH PHÂN 31

TRẮC NGHIỆM LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN

Câu Cho hàm số f x  liên tục đoạn  a b; Hãy chọn mệnh đề sai đây:

A  d  d

b a

a b

f x x  f x x

 

B .d  , b

a

k x k b a   k

 

C  d  d  d

b c b

a a c

f x x f x x f x x

   với c a b;

D    d

b a

a b

f x dx f x x

 

Câu Giả sử hàm số f x  liên tục khoảng K , a b hai điểm K, k số thực tùy ý Khi đó:

(I)  d

a

f x x

 (II)  d  d

a b

b a

f x x f x x

  (II)  d  d

b b

a a

k f x x k f x x

 

Trong ba công thức trên:

A Chỉ có (I) sai B Chỉ có (II) sai

C Chỉ có (I) (II) sai D Cả ba

Câu Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A

1

dx

  

B 1    d 1 d 2 d

b b b

a a a

f x f x x f x x f x x

  

C Nếu f x  liên tục không âm đoạn  a b;  d b

a

f x x



D Nếu  

0

d

a

f x x

(33)

32 TÍCH PHÂN - http://Hoc24h.vn Câu Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A  d  d  d

b c b

a a c

f x x f x x f x x

   với , , a b c thuộc tập xác định f x 

B Nếu  d

b

a

f x x

 f x   0, x  a b;

C

2

d

2 1

x

x C x   





D Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  F x  nguyên hàm hàm số f x 

Câu Đặt  

1 d

x

F x  t t Đạo hàm F x/  hàm số đây? A / 

2

1

x F x

x



 B  

/ 1

F x  x

C / 

2

1

F x

x



 D    

/ 1 1 2.

F x  x  x

Câu Cho    

d x

F x  t t t Giá trị nhỏ F x  đoạn 1;1 là:

A

6 B C

5

 D

6

Câu Cho   2

0

3 d xt

F x t

t

 



 Xét mệnh đề:

I '  2

1

x F x

x

 



II Hàm số F x  đạt cực tiểu x II Hàm số F x  đạt cực đại x Mệnh đề đúng?

(34)

http://hoc24h.vn - TÍCH PHÂN 33 Câu Hãy chọn mệnh đề sai đây:

A

1

2

0

d d

x x x x

 

B Đạo hàm  

1

d x

t F x

t

 

 /   

0

F x x

x

 



C Hàm số f x  liên tục a a;     

0

d d

a a

a

f x x f x x





 

D Nếu f x  liên tục   d  d  d

b c c

a b a

f x x f x x f x x

  

Câu Cho f x  hàm số chẵn  

0

d

f x x a





 Chọn mệnh đề đúng:

A  

3

d

f x x a

 B  

3

d

f x x a







C  

3

d

f x x a





 D  

0

d

f x x a



Câu 10 Nếu f  1 12, f x'  liên tục  

4

' d 17

f x x

 Giá trị f  4 bằng:

A 29 B C 19 D

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN

1 D B B

2 B C 10 A

3 C C

(35)

34 TÍCH PHÂN - http://Hoc24h.vn Câu Sửa lại cho là:    

b a

a b

f x dx  f x dx

  Chọn D

Câu Công thức (2) sai, sửa lại cho    

a b

b a

f x dx  f x dx

 

Hai công thức (1) (3) Chọn B Câu Ta có

1

2

dx x

 

 

 Do A sai

Theo tính chất tích phân B sai (vì khơng có tính chất này)

Xét câu C Giả sử F x  nguyên hàm hàm số f x  đoạn  a b; Suy F x/  f x 0,  x  a b;

● F x/   0, x  a b; , suy F x  hàm nên     0.

b

b a a

f x dx F x 



● F x/   0, x  a b; , suy F x  đồng biến đoạn  a b; nên F b F a 

Do        

b

b a a

f x dx F x F b F a 

 Do C

Chọn f x 0

0

a a

dx C 

 f x 0 hàm số lẻ

Do D sai Chọn C

Câu Theo tính chất tích phân, suy A Chọn f x x   a b;  1; 2

Khi    

2

2 1

1

4

2

b

a

f x dx xdx x

 

    

  hàm f x x không thỏa mãn khơng âm

1; 2 Do B sai

Vì  

2

1

x x C

x x

   

  nên C sai

Ta có

2

x

nguyên hàm x

x

(36)

http://hoc24h.vn - TÍCH PHÂN 35

Do D sai Chọn A

Câu Áp dụng tính chất '    x

a

F x  f t dt nguyên hàm f x  Chọn B Câu Ta có    

3

2

1 1

5

3

x x

t t x x F x  t t dt      

 



Xét hàm số  

3 5

3

x x

F x    đoạn 1;1

Đạo hàm /  ; /  0

0

x F x x x F x

x

  

    

 

Suy  1 2;  0 5;  1

3

F    F   F 

Do hàm số liên tục 1;1 nên

 1;1    

5

min

6

F x F

    Chọn C

Câu Áp dụng tính chất '    x

a

F x  f t dt nguyên hàm f x  Suy / 

2

3

x F x

x

 

 Do I Lại có  

/

2

3

0

1

x

F x x

x



    



Qua điểm x ta thấy F x/  đổi dấu từ âm sang dương

Suy hàm số đạt cực tiểu x Khi đó, mệnh đề II đúng, mệnh đề III sai Chọn C Câu Do  

1

2 3

0

0;1

x x x x dxx dx Do A

Áp dụng tính chất '   

x

a

F x  f t dt nguyên hàm f x 

Suy / 

1

F x

x



 Do B

(37)

36 TÍCH PHÂN - http://Hoc24h.vn

Khi  

2

2 2

1

4

2

xdx x

 

   



2

2 0

2xdx x 4 Mệnh đề D theo tính chất tích phân Chọn C

Câu Áp dụng tính chất

''Nếu f x  hàm số chẵn      

0

2

a a

f x dx f x dx f x dx

 

 

   '' Chọn B

Câu 10 Ta có        

4

1

'

f x dx f x  f  f



Theo ta có

         

4

' 17 17 17 17 12 29

f x dx  f  f   f   f   

(38)

http://hoc24h.vn - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 37 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG



 ( ) ( )  ( )  ( )  ( )

b

a

b

f x u x dx F u x F u b F u a a



     



–Bước Biến đổi để chọn phép đặt t u x ( )dt u x dx ( ) (xem lại phương pháp đổi biến số phần nguyên hàm)

–Bước Đổi cận: ( ) ( )

x b t u b x a t u a

 

 



   

  (nhớ: đổi biến phải đổi cận)

–Bước Đưa dạng

( ) ( )

( ) u b

u a

I   f t dt đơn giản dễ tính tốn

DẠNG 

                                           1 2 ( )

( 1)

1

( )

n m n n n n n

I f ax b xdx t ax b dt a dx

x

I dx t x dt n x dx

ax

I f ax b xdx t ax b dt ax dx

VÍ DỤ 1: Tính tích phân I =

7 3 x dx x    Lời Giải:

Đặt t = 33x1  t3 = 3x +  x = 1

3

t 

dx = t2dt

Do đó: I =

3 2 1

( 1) 2 1

3 ( )

3

t

t dt

t t dt t

 

 

  = 2

1

2 1 31 46

3 15 15

t

   

(39)

38 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG - http://Hoc24h.vn

Lời giải:

Đặt t = 31x2 ,  t3 = 1+x2  3t2dt = 2xdxxdx = 3

2t dt Khi x = t =

Khi x = t = Do đó:

I =

2 2

4

1

3 ( 1)

( )

2

t t dt

t t dt t



 

  =

5 2

3 141

( )

2 20

t t

 

2

x dx x

 

Lời giải:

Đặt t = 1x2  t2 = 1- x2  2tdt = -2xdx-xdx = tdt

Khi x = t =

Khi x =

2 t = 2 Do đó:

I =

2 2

2

2 2

2

1

(1 )( )

( 1) ( )

3

t tdt t

t dt t t

     

  =2

3 12

7

1

2dx

x x 

Lời giải:

(40)

http://hoc24h.vn - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 39

I =

3 3

2

2 2

( )

2 ( 1)( 2)

tdt tdt

dt t  t  t t  t t

  

=

2

(2ln ln 1) (2ln ln 2)

3 t  t 3 4

1

3

0

1

x x dx



(Đề thi ĐH Ngoại Thương 1996)

Lời giải:

Đặt t = 1x2  t2 = – x2 xdx = -tdt

Khi x = t=1 Khi x= 1thì t = Do đó:

I =

0

2

0

1

(1 )( ) ( ) ( )

3 5 15

t t

t t tdt  t t dt     

 

1

x xdx



(Đề thi ĐH Y TPHCM 1997 – 1998)

Lời giải:

Đặt t = 1 x t2 = – x dx = -2tdt Khi x = t=1

(41)

Do đó: I =

0

2

0

1

(1 )( ) ( ) 2( ) 2( )

3 5 15

t t

t t  tdt  t t dt    

 

3

1

x

dx x

  

ĐH Cần Thơ khối D 1998

Lời giải:

Đặt t = x1  t2 = x+1  x = t2 -1dx = 2tdt Khi x = t=

I =

2 2

4

1

( 1)

.2 ( 2)

t

tdt t t dt t

    

  =2(

5

3

2 53

2 )

5 15

t

t t

  

1

3

0

1

x x dx



(ĐH Quốc Gia HN– khối B - 1998)

Lời giải:

Đặt t = 1x2  t2 = + x2 xdx = tdt

Khi x = t=1 Khi x= t =

Do đó: I =

2

1

4 2 1 2( 1)

( 1) ( ) ( ) ( )

5 5 15

t t

t  t tdt t t dt       

(42)

http://hoc24h.vn - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 41 VÍ DỤ 9:Tính tích phânI =

1

0

xdx x 

(ĐH Quốc Gia TPHCM khối A – 1998)

Lời giải:

Đặt t = 2x 1 t2 = 2x+1x =

2 1

2

t  

dx = tdt Khi x=0 t =

I =

2

3 3

2

1

( 1)

1 1 1

2 ( 1) ( )

2 3

t

tdt t

t dt t t



    

(43)

(44)

TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG (P1)

1 Tìm a thỏa mãn  19

0

1

a

x x dx

 =

120

A 1 B C

20 D

2 Tìm a thỏa mãn  

1 a

x x dx

 =

168

A B C -1 D 20

3 Tìm a,b,c:

1 x dx x 

 =1 1.lnc a b

A.8 B C

4 D n 4l

4 Tính    

10

2

1 2 x  x3x dx

 ? A 11 22  B 11 2  C 11

22 D

11 22  Tính 1

x x dx

 ?

A

4 B -1

4 C

15 D

6 Tính x dx x

 ? ( đề thi dự bị THPT Quốc Gia 2015 )

A B C

3 D

3 Tính

2 ?

x x dx

 ( đề thi Đại học khối B 2013 )

A 2

3



B 2

3 C

2 3



D  Tính

x x dx

 ?

A 5

6



B 5



C

6



(45)

9 Tính

9

x x dx

 ?

A 468

7



B

2 C 259

6 D

10.Tính

3

x x  dx

 ?

A 14

5 B C

3

5 D

11.Tính

7

3

0

x x dx

 (đề thi học kì II năm 2014-THPT Nguyễn Khuyến-TP.HCM) A 45

8 B

3

5 C

3 D 46 15

12.Tính

7 3

x dx x 

 ?

A 45

8 B

93

10 C

3 D 46 15

13.Tính

3

0

x x

e dx

x

 



  

 

 ? ( đề thi thử THPT QG 2015-THPT Hàn Thuyên-Bắc Ninh-Lần )

A 91

15

e  B

5

e  C 912

15

e  D 91

15

e  14.Tính

1

2

x

dx x x



  

 ?

A 2 1  B 2 2  C 4 1  D 2 1  

15.Tính  

1

3

0

1

x x x dx

 ?

A

15 B 15

 C 15

(46)

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG (P1)

CÂU ĐÁP ÁN CÂU ĐÁP ÁN CÂU ĐÁP ÁN CÂU ĐÁP ÁN

1 B C A 13 A

2 B C 10 A 14 A

3 A A 11 D 15 C

(47)

DẠNG: ( ) b

x x

a

I  f e e dx  Đặt t e xdt e dx x 

VÍ DỤ Tính tích phân I =

ln

0 x

dx e  

Lời giải:

Đặt t = ex1  t2 = x

e +12tdt = x

e dx dx = 22

t dt t 

Khi x = t =

Khi x = ln3 t = Do đó:

I =

2 2

2

2 2

2 1

( )

( 1) 1

tdt dt

dt t t   t   t t

  

=ln

2

1 2

ln ln ln

1 3

t t

     

 

ln 2

0

x x

e dx e  

Lời giải:

Đặt t = ex1  t2 = ex1 e dxx 2tdt Khi x = t =

Khi x = ln2 t = Do đó:I =

3 3

2

( 1)2 2

2 ( 1) 2( )

3

t tdt t

t dt t t

     

(48)

Câu 1: Tìm a biết:

ln

x x

e a e dx

 =16

3 

A B C D

Câu 2: Tính

  3 x x e dx e   ?

A 3 B

3 C 1 D

Câu 3: Tính

ln5 ln x x e dx e   ?

A 45

8 B 20

3 C

8

3 D 46 15

Câu 4: Tính

ln

0 x

dx e 

 ?

A 3ln 2 3

3  B  

2

ln

3  C ln 2  3 D  

1

ln

3 

Câu 5: Tính

ln 2 x x e dx e   ?

A A 3 B

3 C 1 D 2

3

Câu 6: Tính

ln 2 x x e dx e   ?

A

3 B

8

3

 C D 3

 Câu 7: Tính

ln

3

x x x e dx e e     ?

A ln B ln80

3 C ln

3 D 800 ln

3

Câu 8: Tính

ln16

0 x

dx e 

 ?

A ln B ln80

3 C ln

3 D ln

(49)

1 C A B

2 C D D

(50)

DẠNG (ln ) b

a

I f x dx x

    Đặt t lnx dt dx x

    

Nếu f(ln )x có chứa m n lnx với m, n số ta đặt ln t m n  ln x Bởi lẻ vi phân dt n dx

x

   không bị tính tổng quát so với đặt tlnx làm cho việc xử lý toán sau đặt ẩn phụ đơn Ngoài ra, gặp thức, ta đặt t n f(ln )x 

Nếu có chứa loga x ta chuyển lnx công thức: log log log ln ln

a a e

x

x e x

a

(51)

TRẮC NGHIỆM DẠNG (ln ) b

a

I f x dx x

  

Câu 1: Tính

1

ln ln e

x dx x  x

 ?

A 2

3



B



C 2



D 2

 Câu 2: Tính

1

1 3ln ln e x x dx x   ?

A 29

270 B 478

15 C 13

178 D 116 135

Câu 3: Tính

3

1

ln ln e x x dx x   ? A 3

9



B

3 33 2

8



C

3

9



D

3 33 2

7

 Câu 4: Tính 3

1 ln

e

dx x  x

 ?

A

3



B

3

2 C

3 4 3

2



D

3

3 3

 Câu 5: Tính

1 2ln 2ln e e x dx x x   

A

2 B

2 C

 D

Câu 6: Tính

3

1

ln

e x dx

x x



A 64

105 B 76

15 C 46

15 D 29 270

Câu 7: Tính

3 ln e x dx x  ln x

 ?

A 45

8 B

27 C

(52)

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM DẠNG (ln ) b

a

I f x dx x

  

1 A A B

2 D D

3 A B

KỸ THUẬT 4: TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC

1.CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG:

a Hệ thức bản:

sin2a + cos2a = 1; tana.cota =

2

1

1 tan ; cot

cos sin

a a

   

b Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina.cosa

2 2

cos 2a  cos asin a 2cos a  1 2sin a

2

2 tan cot

tan ; cot

1 tan 2cot

a a



 



c.Công thức hạ bậc

2 cos

sin

2

a

a   cos2 cos

2

a

a   tan2 cos

1 cos

a a

a

 

 d.Công thức biến tích thành tổng

 

1

cos cos cos( ) cos( )

2

a b  a b  a b

 

1

sin sin cos( ) cos( )

2

a b  a b  a b

 

1

sin cos sin( ) sin( )

2

(53)

52 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG - http://Hoc24h.vn Nhắc lại công thức nguyên hàm lượng giác:

Nguyên hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm mở rộng

cosxdxsinx C

 cosax b dx 1sinax b C a

   



sinxdx cosx C

 sinax b dx 1cosax b C a

    



1

tan

cos xdx x C

 2   

1

tan

cos ax b dxa ax b C



1

cot

sin xdx  x C

 2   

1

cot

sin ax b dx a ax b C

 Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)

2

0

( 1)!!

(1) !!

cos sin

( 1)!!

(2)

!!

n n

n n xdx xdx

n n

 

   

  

  

 

(Nếu n lẻ : Dùng ct (1) ; Nếu n chẵn: Dùng ct (2) )

Trong

n!! đọc n walliss định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn: 0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;     

6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10    

VÍ DỤ

11

10!! 2.4.6.8.10 256

cos

11!! 1.3.5.7.9.11 693

xdx



  



VÍ DỤ 2

10

9!! 1.3.5.7.9 63

sin

10!! 2.4.6.8.10 512

xdx



  

  

(54)

DẠNG 4.1 SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

VÍ DỤ 1: Tính

3

1

6

1 sin sin

x

I dx

x



  

Bài giải:

Ta thấy đề biểu thức dấu tích phân dạng thương nên phải biến đổi để khơng cịn dạng thương, mặt khác 12

sin x , sinx có cơng thức ngun hàm nên

 

3

4

1 2

6

4

1 sin

sin

sin sin

2

cot cos

2

x

I dx x dx

x x

 

  

    

 

      

 

Vậy 1

2

I    

VÍ DỤ 2: Tính

3 2

0

3cos sin

x

I dx

x

 

 

Bài giải:

Ta thấy biểu thức dấu tích phân dạng thương nên phải biến đổi để khơng cịn dạng thương, tử thức cosx, mẫu biểu thức theo sinx nên ta biến đổi tử theo sinx để rút gọn

 

3

2

0

1 sin cos

3cos

3

1 sin sin

x x x

I dx dx

x x

 



 

 

 

 

2 2

0

3

3 sin cos 3sin cos

4

x xdx x x

 

 

    

 

  32

Vậy 2

2

(55)

VÍ DỤ 3: Tính

3

3 2

4

1

sin cos

I dx

x x



 

Bài giải:

Ta có cơng thức ngun hàm 12 , 12

sin x cos x tách 2 2

1 1

sin xcos xsin x cos x biểu thức

dưới dấu tích phân tích hai hàm nên

Cách 1:

2

3

3 2 2

4

1 sin cos

sin cos sin cos

x x

I dx dx

x x x x

 



 

 

3

2

4

1

tan cot

cos x sin x dx x x



  

 

     

 

  33

Vậy

2 3

I  Cách 2:

3

3 2

4

1

sin cos (sin cos )

I dx dx

x x x x

 

 

3

4

2cot

sin 2xdx x



  

  

3



Vậy

2 3

I 

VÍ DỤ 4: Tính

4

6

cot

I xdx



(56)

Bài giải:

Ta khơng có cơng thức nguyên hàm cot2 xnên cần phải biến đổi Có hai cách Cách1:   4 2 6

cot cot 1

I xdx x dx

 

   

 4

6

cot 3

4 12

x x                  Cách 2: 4 6 cos cot sin x

I xdx dx

x

 

  22 2

6

1 sin

1 sin sin x dx dx x x                

 4

6

cot 3

4 12

x x

 

  

           

Bài tập tự luyện

Tính : a

2 2cot cos x dx x     b 4sin cos x dx x    c tan xdx   d cos cos x dx x 

 e

4 sin cos x dx x  

Đáp án: 11

3

a  b.2

c 

2

d  

4

e  

DẠNG 4.2: DÙNG CƠNG THỨC HẠ BẬC

VÍ DỤ 1: Tính

(57)

Bài giải:

Ta khơng có cơng thức ngun hàm cos2x nên phải dùng công thức hạ bậc

2 2

2

0

1 cos 1

cos sin

2 4

x

J xdx dx x x

  



  

     

 

 

Vậy 1

4

J 

VÍ DỤ 2: Tính

2 2

0

sin cos

J x xdx

 

Bài giải:

2

0

1 cos

sin cos cos

2

x

J x xdx xdx

 



  2 

0

1 1 cos

cos cos cos

2 2

x

x x dx x dx

 



 

     

 

 

2

1 1

sin sin

2 2x x x

 

 

      

 

Vậy

4

J  

VÍ DỤ 3:  

2

4

3

cos sin cos

J x x x dx



 

Bài giải:

   

2

4 2

3

0

cos sin cos cos 2sin cos

J x x x dx x x x dx

 

   

2

0

1 1 cos

cos sin cos

2 2

x

x x dx x dx

 



   

       

   

(58)

2

0

1

3cos cos cos

4 xdx x xdx

 

    2  

0

1

3cos cos cos

4 xdx x x dx

 

   

2 2

0 0

3 1

sin sin sin

8 x 64 x 12 x

  

   

Vậy J3 =

Bài tập tự luyện

Tính tích phân

a

3

2

0

cos sin

4

x x dx



  

 

 

 b

3

2

6

cos sinx xdx





c

20

sin 5xdx



 d  

2

0

2sin x sin cosx x cos x dx



 



e

4

sin xdx



 f

4

cos xdx

 

Đáp án:

3

a   

16

b   

 

1

40 20

c  

1

4

d  

4

e    

 

1

4

f    

 

DẠNG 4.3: DÙNG CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

VÍ DỤ 1: Tính tích phân:

3

6

sin cos

K x xdx



 

(59)

Biểu thức dấu tích phân tích hai hàm nên ta dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng

 

3

1

6

1

sin cos sin sin

2

K x xdx x x dx

 

   

6

1 1

cos8 cos

2 x x



 

   

  =

Vậy K10

VÍ DỤ 2: Tính tích phân:

2

0

cos cos cos

K x x xdx





Bài giải:

Ta có: cos cos cos 3x x xcos cos cosx x x

 

1

cos cos cos

2 x x x

 

 

1

cos cos cos

2 x x x

 

 

1

cos cos cos

4 x x x

   

Do  

2

0

1

cos cos cos

4

K x x x dx



    

2

1 1

sin sin sin

24 x x 4x 16 x



 

    

 

 

Vậy 2

8

K 

Bài tập tự luyện:

0

sin sin

a x xdx



 b

4

sin sin cos 5x x xdx



 6 

0

sin sin

c x x dx



(60)

Đáp án:

a

b  3 32

c 

DẠNG 4.4: ĐỔI BIẾN SỐ Các dạng thường gặp đổi biến

a Chứa biểu thức mang mũ

b Chứa mẫu

c Chứa

d Chứa mũ

Dạng f s inx cos x đặt tsinx t a b  sinx

Dạng f cosxsinx đặt tcosx t a b  cosx

Dạng tan  12 cos

f x

x đặt ttanx

Dạng cot  12 sin

f x

x đặt tcotx

Dạng f s inx cos sin x  xcosx đặt tsinxcosx

Dạng 4.4.1 Kết hợp dạng a,b,c,d với d(sinx)=cosx, d(cosx)=-sinx

VÍ DỤ 1: Tính:  

2

3

0

1 2sin cos

L x xdx



 

Bài giải:

Biểu thức dấu tích phân chứa biểu thức mang mũ d(sinx) = cosxdx Nên

Đặt: 2sin , 2cos cos

2

dt t  x dt xdx xdx

Đổi cận: x = t = 1; x =



t =3

Do  

3

2

3 3

1

0 1

1 2sin cos 10

2

dt t

L x xdx t



 

     

 

(61)

VÍ DỤ 2: Tính L2 =

3

cos xdx

 

Bài giải:

-Mặc dù chứa biểu thức mang mũ ta không đặt t = cosx tích phân khơng chuyển hồn tồn theo biến t

L2 =  

2

3

0

cos xdx cos sinx x dx

 

 

 

Đặt tsin ,x dtcosxdxcosxdx dt

Đổi cận: x = t = 0; x =



t =1

Do đó:  

1

2

0

2

3

t L  t dt t  

 



Rút kinh nghiệm:

- Dạng tổng quát sin2n1xdx sin2nxsinxdx (1 cos ) sin x n xdx

  

Đặt t = cosx ( chứa sinx mũ lẻ ta đặt t = cosx)

- Dạng tổng quát 2

cos n cos n cos (1 sin ) cosn

xdx x xdx x xdx

   

  

Đặt t = sinx ( chứa cosx mũ lẻ ta đặt t = sinx)

(62)

3

sin xcos xdx



 

Bài giải:

L3 =

3

sin xcos xdx



 =  

2

3

1 cos x cos xsinxdx



  

Đặt t = cosx, dt = - sinxdx sinxdx dt

Đổi cận: x =



2

t

  ; x =

2



0

t

 

Do L3 =    

1

0

2 2

1

2

1t t (dt) t t dt

 

1

17

3 480

t t

 

   

 

Vậy L3 = 17

480

VÍ DỤ 4: Tính

6

3

4

sin cos

L x xdx





Bài giải: Cả sin cosx mũ lẻ nên ta giải cách sau:

Cách 1:

 

6 6

3

4

0 0

1

(sin cos ) sin cos sin

8

L x x dx xdx x xdx

  

     

Đặt t = cos2x, dt = - 2sin2xdx sin

2

xdx dt

  

Đổi cận: x =



2

t

  ; x = 0 t

Do

1

2

1

2

1 1 11

(1 )

16 16 24 384 384

t

L  t dt  t    

 

(63)

Cách 2:

 

6

2

4

sin cos cos

L x x xdx



 

Đặt t = cosx, dt = - sinxdx sinxdx dt

Đổi cận: x =



2

t

  ; x = 0 t

Do

1

2 3

4

3

2

5

(1 ) ( )

4 384

t t

L  t t dt t t dt   

 

 

Vậy 4

384

L 

Ta tách cos3x = (1 – sin2x)cosx

VÍ DỤ 5: Tính

2

5

1 2sin sin

x

L dx

x

  



 ( ĐHKB - 2003)

Bài giải:

Đề dạng phân thức (1 2sin 2x dx) cos 2xdx

Đặt t = + sin2x, dt = 2cos2xdx cos

2

dt xdx

Đổi cận: x = t = 1; x =



t =

Do đó:

2

5

1

0

1 2sin 1

ln ln

1 sin 2 2

x dt

L dx t

x t

 

   



 

Vậy 5 1ln

2

L 

VÍ DỤ 6: Tính

 

0

6

2

sin 2 sin

x

L dx

x

  

(64)

Bài giải:

Đề chứa biểu thức mang mũ nên đặt t = + sinx dt = cosxdx nên ta phải dùng công thức nhân đôi tách sin2x

   

0

6 2

2

sin 2sin cos

2 sin sin

x x x

L dx dx

x x

 

 

 

 

 

Đặt t 2 sinxsinx t 2 Ta có dtcosxdx

Đổi cận

2

x  t = 1; x0 t =

Do  

2

6 2

1 1

2 2 4

2ln 2ln 2

t

L dt dt t

t t t t

    

         

   

 

Vậy L6 = 2ln2 -

sin sin

1 3cos

x x dx x



  

Bài giải:

Đề chứa thức d(cosx) = - sinxdx nên Đặt t 1 3cos x  t2 1 3cosx

2

2 3sin sin

3

tdt tdt xdx xdx

     

Đổi cận x = t = 2; x =



(65)

L7=  

2

0

2cos sin

sin sin

1 3cos 3cos

x x

dx dx

x x

 



 

 

 

 

2

1 1

1

2

3

2 2 44 10 34

2

3 9 27 27 27

t

t tdt t dt t t

  



   

 

         

 

 

Vậy L7 = 34

27

VÍ DỤ 8: Tính

4 cos

0

sin x

L e xdx





Bài giải:

Đề chứa mũ nên

Đặt t = cos2x, dt = -2sin2xdx sin

2

xdx dt

  

Đổi cận: x =



0

t

  ; x = 0 t

Do đó:

1

8 0

0

1 1

2 2

t t

L  e dt e  e

Vậy 8 1

2

L  e

VÍ DỤ 9: Tính

3

0

sin tan

L x xdx



 ( Dự bị A – 2005)

Bài giải:

 

3

2

9

0

sin

sin tan cos

cos

x

L x xdx x dx

x

 

  

Đặt t = cosx, dt = -sinxdx sinxdx dt

Đổi cận: x = t = 1; x =



thì

2

(66)

Do đó:  

1

2

1 1

3

1 ln ln

2

dt t

L t t

t

 

        

 



Vậy

3 ln

8

L  

Bài tập tự luyện: Tính tích phân

6

cos

2sin

xdx a

x







3

2

cos

sin

x b dx

x





 

4

2

6

cos

1 sin sin

x

c dx

x x



  

0

sin

3 cos

x

d dx

x







0

tan

f xdx





2

sin cos

1 cos

x x

g dx

x





 (ĐHKB- 2005)

Đáp án: ln

2

a

6

b  ln1 2 2

2

c   

3 3ln

4

d  ln

2

(67)

66 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG - http://Hoc24h.vn Dạng 4.4.2 Kết hợp dạng a,b,c,d    

sin sin ; cos sin

d x  xdx d x   xdx

VÍ DỤ 1: Tính

2

0

sin (1 sin )

M x x dx



 

Bài giải:

Đề chứa biểu thức mang mũ dsin2xsin 2xdx nên

Đặt

1 sin sin

t  xdt xdx



thì t =

Do đó:

2

3

1

15

4

t M t dt 

Vậy

15

M 

VÍ DỤ 2: Tính

4

2

0

sin cos

x

M dx

x



  

Bài giải:

Đề chứa mẫu d1 cos 2x sin 2xdx; sin4x = sin2xcos2x Nên

Đặt

1 cos sin

t  xdt  xdx



thì t =

Do đó:    

2

4 2

3

2

0

2

2sin cos

4 6ln 6ln

1 cos

t x x

M dx dt t t

x t





     



 

Vậy

4 ln

3

(68)

VÍ DỤ 3:

2

3 2 2

0

sin

cos 4sin

x

M dx

x x





 

Bài giải:

Đề chứa thức nên

Đặt t cos2 x4sin2 x2tdt 3sin 2xdx



thì t =

Do

2

3

1

2

3

tdt

M t

t

  

Vậy M3 =

3

Bài tập tự luyện: Tính tích phân:

2

sin

1 cos

x

a dx

x





 2

0

sin cos

4 3sin

x x

b dx

x



 

Đáp án: ln 2a

3

b 

Dạng 4.4.3 Kết hợp dạng a,b,c,d

   

2

1

tan tan

cos

d x dx x dx

x

   ;    

2

1

cot cot

sin

d x dx x dx

x

    

VÍ DỤ 1: Tính  

3

4

tan tan

N x x dx



 

Bài giải:

   

3

1

4

tan tan tan tan

N x x dx x x dx

 

   

(69)

Đổi cận: Khi x =



t =1; x =



t =

Do đó: 3 1 1 t N  tdt 

Vậy N11

VÍ DỤ 2: Tính

4 tan cos x N dx x  

Bài giải:

4

6 6 2

2 2

0 0

1 tan

tan tan cos

cos cos sin tan

x

x x x

N dx dx dx

x x x x

  

  

 

  

Đặt t = tanx 12

cos

dt dx x

 

Đổi cận: Khi x = t = 0; x =



t = 3 Dođó:

3

4

3

2 2

0

t t 1

1

N dt dt

t t             3 3 2 0

1 1

1

1 1

t dt t dt

t t t

                              3

1 1 10

ln ln

3 2

t t t t                  

Vậy N2 = 1ln 2 3 10

2  9

VÍ DỤ 3: Tính

4 2 sin cot N dx x x   

Bài giải:

Đề chứa thức d(cotx) = 12

sin xdx

 nên

Đặt

2

1

cot cot

sin

t x t x tdt dx

x

(70)



t = 43 ;khi

4

x t =1

Do

4

1

1 4

3 3

3

2 2

N   dt  t  

Vậy

3

N  

VÍ DỤ 4: Tính

2

4

1 sin

N dx

x



 

Bài giải:

Đề chứa biểu thức mang mũ sinx ta khơng đặt t = sinx d(sinx) = cosxdx khơng có đề

bài mà phải xem 14 12 12

sin x sin x sin x

Ta có  

2

4

1

1 cot

sin sin

N dx x dx

x x

 

  

Đặt cot 12

sin

t x dt dx x

   



t = 1;khi

x t =

Do  

1

2

0

4

3

t N  t dt t  

 



Vậy 4

3

N 

4

3 cos

x

a dx



 3 

4

cot cot

b x x dx



 

Đáp án

3

a  .1

(71)

70 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG - http://Hoc24h.vn Dạng 4.4.4 Kết hợp dạng a,b,c,d dsinxcosx  cosxsinx dx

VÍ DỤ 1: Tính

4

0

cos sin

sin cos

x x

P dx

x x



 

 

Bài giải:

Đặt tsinxcosxdtcosxsinx dx

Đổi cận x = t = 1;

4

x   t

Do đó:

2

1

ln ln

P dt t t

   

Vậy: P1ln

VÍ DỤ 2: Tính

 

2

0

cos

sin cos

x

P dx

x x





 



Bài giải:

Đặt t = sinx – cosx + dt cosxsinx dx

Đổi cận x = t = 2;

2

x   t

Do đó:

  

 

2

0

cos sin cos sin

sin cos

x x x x

P dx

x x



 



 



4

2

3 3

ln ln

4

t

dt t

t t

   

      

 



Vậy P2 =3 ln

4

VÍ DỤ 3: Tính

3

cos

sin cos

x

P dx

x x





 

(72)

Ta khơng tính P3 độc lập mà phải dựa vào

3 sin sin cos x Q dx x x   

 cách tính P Q P Q3 3; 3 sau

đó giải hệ để tính P3

Tính 3 3 cos sin sin cos x x

P Q dx

x x       2 0

1 1

1 sin cos

2 x dx x x 2

                    

Tính   

3

2

3

0

cos sin sin cos

cos sin

sin cos sin cos

x x x x

x x

P Q dx dx

x x x x

           

Đặt t = sinx + cosx dt cosxsinx dx



thì t=

Do 3 1 t

P Q dt

t

   

 

 

  

Giải hệ ta 3

4

P  

Vậy 3

4

P  

4

cos

sin cos

x a dx x x     cos sin cos x b dx x x      sin sin cos x c dx x x  

 d

4

sin

sin 2(1 sin cos )

x

dx

x x x

             (ĐHKB–2008)

(73)

Đáp án:

2 2ln

3

a    ln 21 8

2

b  .1

2

c

4

d 

Tính tích phân sau (khơng dùng máy tính)

( dạng f s inx cos x đặt tsinx t a b  sinx )

Câu 1: Tính

2

sin cos x x dx



 ? (đề HK II 2014- THPT Lương Văn Can- TP.HCM )

A

2 B

2 C

 D



Câu 2: Tính  

2

1 3sin cos x x dx





 ? (đề HK II 2014- THPT Quốc Trí- TP.HCM )

A

2 B

2 C

 D



Câu 3: Tính

2

cos sin

x dx x





 ? (đề HK II 2014- THPT Marie Curie- TP.HCM )

A ln4 B ln5 C ln3 D ln2

Câu 4: Tính

2

cos 2sin

x dx x





 ?

A ln5

3

  B 1ln5

2 C

1

ln

3 D

1

ln

3

 Câu 5: Tính

2

sin sin

x dx x





 ? (đề HK II 2014-THCS & THPT Bắc Mỹ- TP.HCM )

A 1-ln4 B 4ln5 C 3-ln3 D 2-2ln2

2

1 s inx cos x dx





 ?

A B C

(74)

2

3

1 2sinx cos x dx





 ?

A B 10 C 15 D 20

Tính tích phân sau ( dạng f cosxsinx đặt tcosx t a b  cosx)

Câu 8: Tính

3

4

s inx.cos x dx



 ? ( đề thi HK II-THPT Lê Thánh Tôn- TP.HCM )

A 64

105 B 31

160 C 46

15 D 29 270

Câu 9: Tính

3

s inx

cos x dx



 ? ( đề thi HK II-THPT Việt Mỹ Anh- TP.HCM )

A

2 B

4 C D

Câu 10: Tính

0

sin cos x x dx



 ?(đề thi thử THPT QG 2015-THPT Nguyễn Văn Trỗi- Hà Tĩnh-Lần1)

A B C.4 D.6

2

sin cos cosx x x dx





 ?

A 64

105 B 31

160 C 17

12 D 29 270

Câu 12: Tính

3

4sin cos

x dx x





 ?

A B C.4 D.6

Tính tích phân sau ( dạng tan  12 cos

f x

x  đặt ttanx )

2

1 tan

cos

x dx x

 

 ?

A 11

6 B

3 C

(75)

74 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG - http://Hoc24h.vn Câu 14: Tính

4

2 tan cos

x dx x   

 ? ( đề thi thử THPT QG 2015-THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa )

A 5 2

9



B 5



C 2



D 2



tan

3

cos sin

cos x

x e x dx x





 ?

A B C D

Câu 16: Tính

4 tan cos x dx x 

 ? ( đề thi Đại Học khối A năm 2008 )

A 10 1ln 2 3

27

   B 10 1ln 2 3

27 2 

C 10 1ln 2 3

27

   D 10 1ln 2 3

27

  

Tính tích phân sau ( dạng f s inx cos sin x  xcosx đặt tsinxcosx )

Câu 17: Tính

2 sin cos sin cos x x dx x x      ?

A ln B ln C 1ln

2 D

ln 2

Câu 18: Tính

4

sin cos

x x dx x x      ?

A ln3

4



 B ln3

4



C ln3



 D ln3

2

  Câu 19: Tính

4

cos

sin cos

x dx x x     ?

A 2ln

2

 

 B

1 2ln

2

 



C 2ln

2

 

 D

3 2ln

2

 

 Câu 20: Tính

  cos

sin cos

(76)

A 11

6 B

32 C

2 D

Câu 21: Tính

2

4

1 sin cos

sin cos

x x dx x x



 





A B C D -1

Câu A Câu B Câu 13 B Câu 19 A

Câu C Câu B Câu 14 A Câu 20 B

Câu D Câu D Câu 15 C Câu 21 C

Câu B Câu 10 A Câu 16 A

Câu D Câu 11 C Câu 17 D

(77)

76 KỸ THUẬT 5: ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG - http://Hoc24h.vn KỸ THUẬT 5: ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG

DẤU HIỆU CÁCH CHỌN

2

a x sin

cos

x a t x a t

  

 

2

x a sin

cos

a x

t a x

t

    

  2

a x  xx a tgtacotgt 

a x a x



 x a cost

a x a x



 x a cost

2 2

a b x x asint

b



2 2

1

(a b x )n , n=1, 2, …

a x tgt

b

(78)

http://hoc24h.vn - KỸ THUẬT 5: ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 77 VÍ DỤ 1: Tính tích phân(với a>0)

I=

2

a

dx a x



Lời giải:

Đặt t= asint, t  ;

2

 

 

 

 , dx= acostdt

Với x = t=0 Với x=

2

a

t=



Do đó: I =

6

2 2

0

cos

0

6

sin

a tdt

dt a a t

 

   



 

VÍ DỤ 2: Tính tích phân(với a >0)

I= 2 2

0

a

dx a x



Lời giải:

Đặt x = tgt , t  ;

2

 

 

 

 ,  dx = a(tg

2t + 1)dt

Với x = t=0 Với x= a t =

4



Do đó:

I =

2

4

2 2

0

( 1)

( 0)

4

a tg t dt dt

a a tg t a a a

 



   



(79)

78 KỸ THUẬT 5: ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG - http://Hoc24h.vn VÍ DỤ : Tính tích phân:

1

2 2

1 x

I dx

x

  

Lời giải:

Đặt x = sint, dx = costdt

Khi x =

2 t =



Khi x = t =



Do đó:

I =

2

2 2

4 4

cos sin

( 1)

sin sin sin

t t

dt dt dt

t t t

  



  

  

=-(cotgt+t)  

=1-4



1

2

x dx x

 

Lời giải:

Đặt x = 2cost, dx = -2sintdt Khi x = t =

2



Khi x = t =



(80)

http://hoc24h.vn - KỸ THUẬT 5: ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 79

I =

2

3

2

4cos 2sin

2 (1 2cos ) sin

2sin

t tdt

t dt t t t

 



 

          

 

 

2

0

4

x x dx



Lời giải:

Đặt x = 2sint, dx = 2cosdt Khi x = t =

Khi x = t =

 4sin2

x  t

Do đó: I =

2 2

0 0

16sin cost tdt sin 2tdt (1 cos )t dt

  

  

  

=2

0

1

sin 2( 0)

4

t t

 



     

 

 

VÍ DỤ 6: Tính tích phân

I =

2

x dx x

 

Lời giải:

Đặt x = sint, dx = cosdt Khi x = t =

Khi x =

2 t =

(81)

80 KỸ THUẬT 5: ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG - http://Hoc24h.vn

Do đó:

I =

4

4 4 2 2

3

0

0 0

sin cos sin sin (1 cos ) (cos )

sin cos

t t t tdt t d t

dt tdt t



  

  

  

  

= (-cost + 3cos

3t) 4 

=2

3 12

I =

2 2

2

x dx x





Lời giải:

Đặt x = sint, dx = cosdt Khi x = t =

Khi x =

2 t =



Do đó: I =

2

4 4

2 4

0

0 0

sin cos 1 1

sin (1 cos ) sin

cos 2

t tdt

tdt t dt t t

t

  

 

 

        

 

  

2 2

3

1

dx x x  

Lời giải:

Đặt x =

cost , dx =

sin cos

tdt t

Khi x =

3 t =

(82)

Khi x = t =



Do đó: I =

4 2 2

4

6 6

sin sin

cos cos

sin 12

1

cos cos

t t

t dt t dt dt t t

t t t t

  

 

  



   



  

I =

1

2

0

4

x  x dx



Lời giải:

Đặt x = sin

3 t dx =

2 cos

3 tdt

Khi x = t = Khi x = t =

3



Do đó:

I =

3 3

2 2

0 0

4

sin 4sin cos sin (1 cos )

3 t t tdt 3 tdt 3 t dt

  

   

  

=

0

2

sin ( )

4

3 t t 3

 

    

 

 

I =

2

1

x dx x

  

Lời giải:

(83)

Khi x=0 t =



Khi x =

2 t =



Do đó:

I =

2

4 2

2

2 4

2cos cos cos

1 cos 2 2 2

.sin sin sin 2sin cos

1 cos 2sin sin sin 2

2 2

t t t

tdt tdt tdt dt

t t t

t

   



   



   

=

2

4

2

2cos (1 cos ) ( sin )

2

t

dt t dt t t

 



      

 

VÍ DỤ 11: Tính tính phân I =

3

2

1

dx x x



Lời giải:

Đặt x = tgt,  dx = 2

cos

dt t

Khi x=1 t =



Khi x = t =



2

1

cos

x

t

 

Do đó:

I =

3

4

cos

(ln ) ln( ) ln( )

cos sin

t dt dt t

tg tg tg tgt t t

 

   

(84)

http://hoc24h.vn - KỸ THUẬT 5: ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 83 VÍ DỤ 12: Tính tích phân

I =

1

2

0 (1 )

dx x

 

Lời giải:

Đặt x =

3tgt,  dx =

2

1

(1 )

cos

3

dt

tg t dt t  

Khi x=0 t = Khi x = t =

3



1+3x2=1+tg2t Do đó:

I =

3 3

2

0

0 0

1 1 1

cos (1 cos ) sin

1

3 3

dt

tdt t dt t t

tg t

  



 

      

  

   = ( 3)

3

2

 

I =

3

2

9 2x

dx x

 

Lời giải:

Đặt x=

2tgt,  dx =

3 cos

dt t

Khi x=

2 t =



(85)

Khi x =

2 t =



2

9 3

cos

x tg t

t

   

Do đó:

I =

4 4

3 2 2

2

6 6

3 1

.3

sin

cos cos

2 2 2 2

9 cos cos sin (1 sin ).sin

2

dt dt d t

t t dt

t tg t t t t t

tg t

   

  



   

Đặt: v=sint

I =

2

2 2

1

2

1 1 1

2 ( ) ln

(1 )

dv v

dv

v v v v v v

  

      

    

  = 2 2  ln( 6 3)

1

2

1 x dx

 

 (Đại học Y HN 1998)

Lời giải:

Đặt x = sint,  dx=costdt

Khi x =

2

 t =

 

Khi x = t=



` 1x2  1 sin 2t  cost

Do đó: I =

2

6

1 1

cos (1 cos ) sin

2 2

tdt t dt t t

 

 

 

 

       

 

(86)

TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG

2 , a dx a x a 

 ?

A ln 2   B.ln 1  2 C ln 2   D ln 2  

Câu 2: Tính 2

a

a x dx

 ?

A  

2

2 ln

2

a    

  B  

2

2 ln

2

a    

 

C  

2

2 ln

2

a    

  D  

2

1 ln

2

a    

 

Câu 3: Tính 2  

0

,

a

x x a dx a



A  

4

3 ln

8

a    

  B  

4

2 ln

8

a    

 

C  

4

3 ln

8

a  

 

  D  

4

3 ln

2

a  

 

 

Câu 4: Tính

1 01 dx x   ? A 16 

B  C



D

 Câu 5: Tính

1 x dx x   A 16 

B  C



D

 Câu 6: Tính

2 dx x   ?

A ln 2   B.ln 1  2 C ln 2   D ln 2  

Câu 7: Tính

1

x  dx

 ?

A 1ln 1 2

2

2  B  

1

ln

2

2   C  

1

ln

2

2   D  

1

ln

2 

2

2 2,

a

dx a x a 

(87)

A ln B ln 1  3 C ln 2  3 D ln 3  

2

2 2 , 0

a

x a dx a

 ?

A 3 1ln 2 3

2

a    

  B  

2 3 1ln 2 3

2

a    

 

C a2 3 ln 1   3

  D a2 2ln 2   2 Câu 10: Tính

3 2

1

x  dx

 ?

A 1ln 1 2

2 2  B  

5

ln

2 2 

C ln 1 2

2   D  

5

ln

2 2 

Câu 11: Tính

5

9

x  dx

 ?

A 10 9ln 3

 B 10 9ln

 C 10 ln 3 C 10 9ln 3

 Câu 12: Tính

3

2

dx x 

 ?

A ln 2   B.ln 1  2 C ln 2   D ln 2  

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG

1 B A B

2 A B 10 A

3 A A 11 B

(88)

87 KỸ THUẬT 6: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN - http://hoc24h.vn KỸ THUẬT 6: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN



Định lý: Nếu u u x ( ) v v x ( ) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn  a b; thì:

 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b b

b a

a a

I u x v x dx    u x v x u x v x dx   hay

b b

b a

a a

I udv u v vdu

Thực hành:

— Nhận dạng: Tích hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác,… — Đặt:

Vi phân Nguyên m

u du dx

dv dx v

     

 



    

  Suy ra:

b b

b a

a a

I udv u v vdu

— Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ dv phần cịn lại Nghĩa có ln hay loga x

thì chọn uln hay log ln

ln a

u x x

a

  dv cịn lại Nếu khơng có ln; log chọn u đa

thức dv cịn lại Nếu khơng có log, đa thức, ta chọn u lượng giác,… — Lưu ý bậc đa thức bậc ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm

— Dạng mũ nhân lượng giác dạng nguyên hàm phần luân hồi

Tìm nguyên hàm: VÍ DỤ I xsin2xdx

Theo thứ tự ưu tiên trên, với nguyên hàm tích Hàm đa thức với Hàm lượng giác, nên ta ưu tiên đặt u x

Đặt 1

sin cos

2

du dx u x

dv xdx v x

  

 

  

 

 

1 1

cos cos cos sin

2 2

I x x xdx x x x C

        

VÍ DỤ 2 2x

I x e dx

Đặt

2

x x

du xdx u x

v e dv e dx

   

 

 

 

 

2 2 2

1

2

x x x

I x e xe dx x e I

    

Tính

1

x

(89)

88 KỸ THUẬT 6: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN - http://Hoc24h.vn

Đặt 2 2

1 2

1 1

1

2 2

2

x x x x

x x

du dx u x

I xe e dx xe e C v e

dv e dx

  

       

  



  

Từ đó:

 

2 2 2

1 1

2 4

x

x x x x x e

I  x e  xe  e  C   C

VÍ DỤ I  xcos 22 xdx 

2

1

1 cos 1

cos cos

2 2

x

I x xdxx  dx xdx x xdx x I

Tính

1 cos

I  x xdx Đặt

1

2

1

cos sin

4

du dx u x

dv xdx v x

 

  

 

 

   

 

1

1 1

sin sin sin cos

8 8 32

I x x xdx x x x C

      

Từ đó: sin 4 cos 4

4 32

I  x  x x x C

VÍ DỤ I  2x2 x 1e dxx



-Với VÍ DỤ này, mà bậc P x 2, sử dụng phương pháp Nguyên hàm phần ta phải tiến hành hai lần Tuy nhiên, trường hợp này, ta sử dụng cách khác đây! Đặt:

     

2

4

2

2 x x

x x

du x dx u x x

I x x e x e dx dv e dx v e

  

   

       

 

 

 

  

Tính 4 1

x

I  x e dx Đặt u 4xx du x4dx

dv e dx v e

  

 



   

 

     

1 4 4

x x x x x

I x e e dx x e e C x e C

(90)

89 KỸ THUẬT 6: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN - http://hoc24h.vn

2 1 x 4 3 x 2 3 4 x

I x x e x e C x x e C

          

VÍ DỤ I  e2xcos 3xdx



Đặt

2

1

cos sin

3 x

x du e dx

u e

dv xdx v x

 

  

 

 

 

2 2

1

1 2

sin sin sin

3 3

x x x

I e x e xdx e x I

     

Đặt

2

1

sin cos

3 x

x du e dx

u e

dv xdx v x

 

  

 

  

 

2 2

1

1 2

cos cos cos

3 3

x x x

I e x e x e x M

       

Từ đó:

2 2

1

1 2 2

sin sin sin cos

3 3 3 3

x x x x

I  e x M  e x I  e x  e x I

 

2 2

1

1 13

sin cos sin cos

3 9 9

x x x x

e x e x I I e x e x C

      

 

3sin cos

13

x

x x e

I  C

  

VÍ DỤ  

2

ln

1

x x x

I dx x     

Đặt  

2 2 ln 1 1 dx

u x x du

x x

dv dx v x

x                      

(91)

VÍ DỤ I  ln2x x21dx 

Đặt:    

2

2ln

ln

1

dx du x x

u x x

x

dv dx v x

                      

2 2

2

.ln ln

1

xdx

I x x x x x

x

      

 

   

2 2

ln 1.ln

x x x x x x x C

        

VÍ DỤ

2 lnx I dx x      Ta có 2 ln x I dx x

 Đặt

2 2ln ln dx du x u x x dx dv v x x                

Ta I 1lnx C

x x

   

VÍ DỤ 12

ln ln I dx x x          2 1

ln ln ln ln

dx dx

I dx I I

x x x x

 

       

 

  

Tính I1 Đặt

1

ln ln

dx

u du

x x x

dv dx v x

              

Từ 1 2

ln

x

I I

x

  Từ

ln

x

I C

x

 

VÍ DỤ 10 ln

1

x I x dx

x

 



(92)

Đặt

2

ln 1

1

dx x du

u x

x

dv xdx x x



 

  

   

 

   

 

Từ 1ln

2

x

I x C

x



  



VÍ DỤ 11 I  2x35x22x4e dx2x



Giả sử:    

2 x x

Q x  x  x e dx ax bx cx d e C

2x3 5x2 2x 4e2x 3ax2 2bx c e 2x 2ax3 bx2 cx d e 2x

          

   

3

2x 5x 2x 2ax 3a 2b x 2b 2c x c 2d

          

 

2

5

2

2 2

4

x

a a

a b b

Q x x x e C b c c

c d d

 

 

    

 

       

    

 

    

 

2 1 x 2 3 4 x

R x  x e dx  x  x e C

IV PHƯƠNG PHÁP PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

VÍ DỤ I sin xdx

Đặt x t   x t2 dx2tdt I sin 2t  tdt 2 sint tdt

 

Đặt 2 cos cos cos 2sin

sin cos

u t du dt

I t t tdt t t t C dv tdt v t

 

 

        

    

  

Vậy I 2sin x2 xcos x C

2

ln d

(93)

Đặt ln

dt u t du

t dv dt

v t



 

 

  

   Khi

2

2 2

1 1 1

ln ln 2ln

I t t dt t t t   VÍ DỤ 3: Biết 2

1

ln 1

d ln

2 a

x

I x

x

   Giá trị a bằng:

Đặt

2

ln

1

dx u x du

x dx

dv

v x

x



 

 

 

  

   

 

Khi 2

1

ln ln ln

1

a a a

x dx a a

I

x x a x a a

 

          

   Suy a2

VÍ DỤ 4: Kết tích phân  

3 2

ln d

I  x x x viết dạng I aln 3b với , a b số nguyên Khi a b nhận giá trị?

Đặt    

2

ln

1

x x

du dx dx

u x x

x x x x dv dx v x

 



    

   

 



 

  

Khi    

3 3

3

2

2 2

2

2 1

ln ln

1

x

I x x x dx x x x dx

x x

  

        

   

 

   

2

ln ln 3ln

x x x x x

(94)

TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Câu (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tính tích phân

1

ln d e

I x x x

A

I  B

2 2

e

I   C

2 1

e

I   D

2 1

e I  

Câu Khẳng định sau kết

3

ln d

e ea

x x x b

 

 ?

A ab64 B ab46 C a b 12 D a b 4

Câu Kết tích phân  

1

2

ln d

I x x x viết dạng I aln 3bln 2c với , , a b c số hữu tỉ Hỏi tổng a b c  bao nhiêu?

A B C

2 D

Câu Cho

1

ln d e

k

I x

x

 Xác định k để I e 2

A k e 2 B k e C k e 1 D k e 1

Câu Tính tích phân

1

2 dx

I x x

A 2ln 12 ln

I   B 2ln

ln

I   C 2ln 12

ln

I   D 2ln

ln

I  

Câu Kết tích phân  

1

2 xd

I  x e x viết dạng I ae b với , a b Khẳng định sau đúng?

A a b 2 B 3

28

a b  C ab3 D a2b1

Câu Cho tích phân

2

sin

sin xd

I x e x



(95)

94 KỸ THUẬT 6: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN - http://Hoc24h.vn Bước 1: Đặt tsinxdtcos dx x Đổi cận

1

0

2 d

1

t

x t

I te t x  t

   

  

   

 

Bước 2: Chọn d d

d td t

u t u t v e t v e

 

 



 

 

  Suy

1 1

0

d d

t t t t

te t te  e t e e  

 

Bước 3:

2 td

I  te t

Hỏi giải hay sai? Nếu sai sai đâu?

A Bài giải sai từ Bước B Bài giải sai từ Bước

C Bài giải hoàn toàn D Bài giải sai từ Bước

Câu Cho 2

0

cos d , sin d

x x

I e x x J e x x

 

 

0

cos d x

K e x x



 Khẳng định

khẳng định sau?

(I) I J e.(II) I J K.(III)

5

e K

 



A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Chỉ (III) D Cả (II) (III)

Câu Cho

1

d

nx

n x

e

I x

e

 

 với n Giá trị I0 I1 là:

A B C D

Câu 10: Tính

4

2 cos x x dx



 ? (đề thi HK II 2014-THPT Nguyễn Hữu Thọ-TP.HCM)

A 2

4



  B 2

4



 C D 2

Câu 11: Tính

2

.ln

x x dx

 ? (đề thi HK II 2014-THPT Văn Lang-TP.HCM)

A 2ln 4 B 2ln

 C.2ln

 D 2ln

Câu 12: Tính

0

.cos x

e x dx



(96)

A e  B e

C

e

D

e



Câu 13: Tính

2

.cos

x x dx



 ?

A

3

 

B

6

 

C

2

 

D

4

 

Câu 14: Tính

2 2 1 ln x x dx x 

 ? ( đề thi Đại Học khối A, A1 năm 2013 )

A 5ln

2 2 B

5 ln

2 C

5

ln

2 2 D

3 ln

2

 Câu 15: Tính

1 x x dx e   ?

A 112

4 4 e B

5 11

2 2 e C

5

4 4 e D

11 4e

Tính tích phân sau (tách thành tích phân A, B với A: dạng B: tích phân phần )

Câu 16: Tính a-b biết:  

2

3

1 ln e

e x x dx

a b

  



A B

2

3

e

C D 4e

Câu 17: Biết    

1

2

1

b

x e c

x e dx a



  

 Tính a c?

b

A B C D

Câu 18: Tính  s inx o

x x dx

 

 ? ( đề thi thử THPT QG 2015- THPT Chu Văn An- HN)

A

3

  B

3   C 3   D 3  Câu 19: Tính  

2

2x ln x dx

 ? ( đề minh họa 2015- Bộ GD & ĐT )

A 13 ln

2  B

13

2ln

2  C

13

3ln

2  D

13

4ln

2 

(97)

96 KỸ THUẬT 6: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN - http://Hoc24h.vn Câu 20: Tính

2

4

cos x dx a



  

 Tìm a?

A B  C D

Câu 21: Tính

2

0

sin

a

x dx

 = 2 Tìm a

A B 2 C 2 D 

2

sin ln cos x x dx





 ? (đề thi thử THPT QG 2015-THPT Phan Đình Phùng-HN )

A -1

2 B

2 C

2 D



Câu 23: Tính

1

.x

x e dx

 ?

A -1

2 B

2 C

2 D



1

3

0

8 x

x  x e dx

 ?

A e B 5-e C e+4 D

(98)

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1 C C 13 C 19 C

2 A D 14 A 20 B

3 C B 15 A 21 A

4 D 10 A 16 C 22 A

5 A 11 B 17 D 23 C

(99)

98 KỸ THUẬT 7: TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI - http://Hoc24h.vn

1 Dạng

Giả sử cần tính tích phân ( ) b

a

I  f x dx, ta thực bước sau

Bước Lập bảng xét dấu (BXD) hàm số f(x) đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

x a

x x2 b

( )

f x   

Bước Tính

1

( ) ( ) ( ) ( )

x x

b b

a a x x

I  f x dx f x dx f x dx f x dx

KỸ THUẬT 7: TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

VÍ DỤ Tính tích phân

2

3

I x x dx



   

Giải

Bảng xét dấu

x 3

2 3 2

x  x  

   

1

2

3

59

3

2

I x x dx x x dx



       

Vậy 59

2

I 

VÍ DỤ Tính tích phân

2

5 cos 4sin

I x xdx



(100)

99 KỸ THUẬT 7: TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI - http://hoc24h.vn Dạng

Giả sử cần tính tích phân ( ) ( )

b

a

I   f x  g x dx, ta thực

Cách

Tách ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

I   f x  g x dx f x dx g x dx sử dụng dạng

Cách

Bước Lập bảng xét dấu chung hàm số f(x) g(x) đoạn [a; b]

Bước Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối f(x) g(x)

ĐS:

6

I   

VÍ DỤ Tính tích phân  

2

1

I x x dx



  

Giải

Cách

 

2 2

1 1

1

I x x dx x dx x dx

  

      

0 2

1 1

( 1) ( 1)

xdx xdx x dx x dx

 

      

1

0

2 2

1 1

0

2 2

x x x x

x x

 

   

         

(101)

100 KỸ THUẬT 7: TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI - http://Hoc24h.vn

Cách

Bảng xét dấu

x –1 x – +  + x – – – +

     

0

1

1 1

I x x dx x x dx x x dx



          

 1

0 2

1 0

x x x x

     

Vậy I 0

3 Dạng

Để tính tích phân max ( ), ( )

b

a

I  f x g x dx min ( ), ( ) b

a

J  f x g x dx, ta thực bước sau:

Bước Lập bảng xét dấu hàm số ( )h x  f x( )g x( ) đoạn [a; b]

Bước

(102)

101 KỸ THUẬT 7: TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI - http://hoc24h.vn VÍ DỤ Tính tích phân  

4

2

max 1,

I  x  x dx

Giải

Đặt    

( ) 4

h x  x   x x  x Bảng xét dấu

X h(x) + – +

     

1

2

0

80

1

3

I  x  dx x dx x  dx

Vậy 80

3

I 

VÍ DỤ Tính tích phân  

2

min , 4x

I  x dx

Giải

Đặt h x( ) 3 x 4 x3x x 4

Bảng xét dấu

x h(x) – +

 

2

1 2

0 1

3

3 4

ln ln

x

x x

I  dx x dx  x   

 

 

Vậy

ln

(103)

102 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - http://Hoc24h.vn ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1 TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1.1 Diện tích hình thang cong

Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đường

( ), ,

y f x x a x b  trục hoành ( ) b

a

S  f x dx

Phương pháp giải toán

Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) đoạn [a; b]

Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ( ) b

a

f x dx



VÍ DỤ Tính diện tích hình phẳng giới hạn yln , x x1, x e Ox

Giải

Do lnx  0 x  1; e nên

 1

1

ln ln ln 1

e e

e

S  x dx xdx x x  Vậy S1 (đvdt)

VÍ DỤ Tính diện tích hình phẳng giới hạn

4 3, 0,

y  x x x x Ox

Giải

Bảng xét dấu

x y – +

   

1

2

0

4

S     x x dx   x x dx

1

3

2

0

8

2 3

3 3

x x

x x x x

   

           

(104)

103 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - http://hoc24h.vn 1.2 Diện tích hình phẳng

1.2.1 Trường hợp

Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y f x y g x x a x b( ),  ( ),  ,  ( ) ( )

b

a

S  f x g x dx

Bước Lập bảng xét dấu hàm số ( )f x g x( ) đoạn [a; b]

Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ( ) ( ) b

a

f x g x dx



1.2.2 Trường hợp

Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường

( ), ( )

y f x y g x S f x( ) g x dx( )





  Trong ,   nghiệm nhỏ lớn phương

trình ( )f x g x( ) a    b

Bước Giải phương trình ( )f x g x( )

Bước Lập bảng xét dấu hàm số ( )f x g x( ) đoạn  ; 

Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f x( ) g x dx( )









VÍ DỤ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y x 311x6, y6x2, x0, x2 Giải

Đặt 3

( ) ( 11 6) 6 11

h x  x  x  x x  x  x

( )

(105)

104 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - http://Hoc24h.vn

Bảng xét dấu

x h(x) – +

   

1

3

0

6 11 6 11

S   x  x  x dx x  x  x dx

1

4

3

0

11 11

2 6

4 2

x x x x

   

           

   

Vậy

2

S (đvdt)

VÍ DỤ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y x 311x6, y6x2 Giải

Đặt h x( ) ( x311x 6) 6x2 x36x211x6

( )

h x       x x x Bảng xét dấu

x h(x) + –

   

2

3

1

6 11 6 11

S  x  x  x dx x  x  x dx

2

4

3

1

11 11

2 6

4 2

x x x x

   

          

   

Vậy

2

S (đvdt)

Chú ý:Nếu đoạn  ;  phương trình ( )f x g x( ) khơng cịn nghiệm ta dùng công thức f x( ) g x dx( ) f x( ) g x dx( )

 

 

  

(106)

105 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - http://hoc24h.vn VÍ DỤ 5.Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x y 3, 4x.

Giải

Ta có x3 4x      x 2 x 0 x 2

   

0

3

2

4

S x x dx x x dx



      

0

4

2

4

x x



   

       

   

Vậy S8 (đvdt)

VÍ DỤ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x 24 x 3 trục hoành

Giải

Ta có x2 4 x      3 0 t2 4t 3 0, t x 0

1

3 3

x

t x

t x x

 

  

 

  

   

  

3

2

3

4

S x x dx x x dx



            

1

2

0

2 x 4x dx x 4x dx

       

 

  

1

3

2

0

16

2 3

3 3

x x

x x x x

    

 

          

    

 

Vậy 16

3

S (đvdt)

VÍ DỤ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x2 4x3 y x 3 Giải

Phương trình hồnh độ giao điểm

2

4 3

(107)

2

3

0

4 3

5

4 3

x

x x x x

x

x x x

  

  

      

 

     

 

Bảng xét dấu

x

2

4

x  x + – +

     

1

2 2

0

5

S x x dx x x dx x x dx

         

1

3 3

0

5 109

6

3 3

x x x x x x

x

     

           

     

Vậy 109

6

S (đvdt)

VÍ DỤ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x2 1 , y x 5 Giải

2 1 5 1 5, 0

x   x   t   t t x 

2

0

3

1

3

1

t x

x t t

t t t

  

 

       

 

 

    

 

   

3

2

3

1 5

S x x dx x x dx



          

Bảng xét dấu

x

2 1

x  – +

   

1

2

0

2

S x x dx x x dx

(108)

107 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - http://hoc24h.vn

1

3

0

73

2

3 3

x x x x

x x

   

         

   

Vậy 73

3

S (đvdt)

Chú ý:

Nếu hình phẳng giới hạn từ đường trở lên vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH khơng có)

2 TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY

2.1 Trường hợp

Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y f x( ) 0  x  a b; , y0, x a

( )

x b a b  quay quanh trục Ox 2( )

b

a

V  f x dx

VÍ DỤ Tính thể tích hình cầu hình trịn 2

( ) :C x y R quay quanh Ox

Giải

Hoành độ giao điểm (C) Ox x2 R2   x R

Phương trình ( ) :C x2y2 R2  y2 R2x2

 2  2

0

2

R R

R

V  R x dx  R x dx



      

3

2

0

4

3

R

x R

R x 

 

    

(109)

108 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - http://Hoc24h.vn Trường hợp

Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x g y ( ) 0  y  c d; , x0, y c

( )

y d c d  quay quanh trục Oy 2( )

d

c

V g y dy

VÍ DỤ 10 Tính thể tích hình khối ellipse

2

( ) :E x y

a b  quay quanh Oy

Giải

Tung độ giao điểm (E) Oy

2

y

y b b    

Phương trình

2 2

2

2 2

( ) :E x y x a a y

a b     b

2 2

2

0

2

b b

b

a y a y

V a dy a dy

b b

 



   

        

   

 

2

4

3

R

a y a b a y

b



 

    

 

Vậy

2

4

a b

V   (đvtt)

3 Trường hợp

Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y f x y g x( ),  ( ), x a

 

( , ( ) 0, ( ) ; )

x b a b f x   g x   x a b quay quanh trục Ox 2( ) 2( )

b

a

V  f x g x dx

VÍ DỤ 11 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường y x 2, y2 x quay quanh Ox Giải

Hoành độ giao điểm 4 0

1

x x

x x x

 

 



   



(110)

 

1

4

0

V  x x dx  x x dx

      

1

5

0

1

5x 2x 10



  

    

 

Vậy

10

V   (đvtt)

(ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017)

Viết Kí hiệu  H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y2x1ex, trục tung trục hồnh

Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình  H xung quanh trục Ox

A V  4 e B V 4 2 e C V e25. D V e25 

Ta có    

1

2 2 2

1

0

2 x x

V  x e  dx  x  x e dx I

Đặt    

2 1

2

0

2

2 1

2

x

x x

x

du x

u x x e

I x x x e dx e

v dv e dv

 



   

       

 

 

  

1

2 I

  

Đặt  

1

1 2

1

0 0

1

1 1 1 3

1

2 2 4

2

x x

x

du dx

u x e e e

I x e dx

e dv e dx v

   

 

        

  



  

Do

2

5

e

I   suy  

5

(111)

110 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - http://Hoc24h.vn Trường hợp

Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x f y x g y( ),  ( ), y c

 

( , ( ) 0, ( ) ; d )

y d c d f y   g y   y c quay quanh trục Oy 2

( ) ( )

d

c

V  f y g y dy

VÍ DỤ 12 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường x  y2 5, x 3 y quay

quanh Oy

Giải

Tung độ giao điểm

5

2

y

y y

y

  

      



   

2

2 2

2

5

V  y y dy



      

 

2

4

1

11 16

y y y dy 



    

2

5

2

1

11 153

3 16

5

y y

y y 





 

      

 

Vậy 153

5

(112)

3 BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG

Quãng đường từ thời điểm a đến thời điểm b (Mối liên hệ quãng đường vận tốc): ( )

b

a

Sv t dt

Mối liên hệ vận tốc v gia tốc a: ( )v t a t dt( )

VÍ DỤ Một ô tô chạy với vận tốc 20m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, tô chuyển động chậm dần với vận tốc v t  40t20( / )m s ,trong t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét ?

A 0,2 m B m C 10 m D 20 m

Giải:

Lấy mốc thời gian lúc ô tô bắt đầu đạp phanh Gọi T thời điểm ô tô dừng Ta có v(T)=0 = -40T+20

 T = 0,5

Như khoảng thời gian từ lúc đạp phanh đến ô tô dừng 0.5s Trong khoảng thời gian 0.5s đó, tơ quãng đường là:

0.5

(20 40 ) 5( )

S   t dt m

Chọn đáp án B

VÍ DỤ Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s tăng tốc với gia tốc a t  3t t m s2( / )2

Quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc ? A 4000

3 m B 4300

3 m C 1900

3 m D 2200

3 m

Giải

2

(3 )

2

(113)

112 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - http://Hoc24h.vn Lấy mốc thời gian lúc bắt đầu tăng tốc

(0) 10

v 

Vận tốc thời điểm T

2

( ) 10

2

t t v T

   

 Quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng:

10

4300

(3 10) ( )

2 3

t t

S    dt  m

Chọn đáp án B

VÍ DỤ Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N(t) Biết '  4000 0,5

N t

t



 lúc đầu đám vi

trùng có 250.000 Sau 10 ngày số lượng vi trùng (lấy xấp xỉ hang đơn vị): A 264.334 B 257.167 C 258.959 D 253.584

Giải

Số vi trùng ngày thứ t

N(t) = 4000 8000.ln |1 0,5 |

1 0,5 tdt  t C



Số vi trùng thời điểm ban đầu 250.000 N(0)=8000.ln |1 0,5.0 | C=250000

 C = 2500000

 Số vi khuẩn sau 10 ngày : N(10) = 8000.ln |1 0,5.10 | 250000 264334   (con)

(114)

TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Câu 1:(ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Viết cơng thức tính thể tích V khối trịn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục Ox hai đường thẳng x a x b a b ,    , xung quanh trục Ox

A 2 

d b

a

V  f x x B 2 

d b

a

V  f x x

C  d

b

a

V  f x x D  d b

a

V  f x x

Câu Cho hình phẳng hình (phần tơ đậm) quay quanh trục hồnh Thể tích khối trịn xoay tạo thành tính theo công thức nào?

A     2d b

a

V f x g x  x

B 2  2  d

b

a

V f x g x  x

C     2d b

a

V f x g x  x

D     d

b

a

V f x g x  x

Câu Viết cơng thức tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox

tại điểm x a x b a b ,    , có thiết diện bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x a x b    S x 

A  d b

a

V S x x B  d b

a

V  S x x

C  d b

a

V S x x D  d

b

a

V  S x x

Câu (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Viết Kí hiệu  H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y2x1ex, trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay

(115)

A V  4 e B V 4 2 e C

5

V e  D  

5

V  e  

Câu Thể tích phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x0 x3, có thiết diện bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x 0 x 3 hình chữ nhật có hai kích thước x 2 9x2 , bằng:

A V 3 B V 18 C V 20 D V 22

Câu Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng có phương trình x0 x2, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x 0; phần tư đường trịn bán kính 2x2, ta kết sau đây?

A V 32  B V 64  C 16

V   D V 8 

Câu Hình phẳng C giới hạn đường y x 21, trục tung tiếp tuyến đồ thị hàm số

1

y x  điểm  1; , quay quanh trục Ox tạo thành khối trịn xoay tích bằng:

A

V   B 28 15

V   C 15

V   D V 

Câu Khối tròn xoay tạo nên ta quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn đồ thị

 P y: 2x x 2 trục Ox tích là: A 16

15

V   B 11 15

V   C 12 15

V   D 15

V  

Câu Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y2x x 2 y x quay quanh trục Ox tạo thành

khối trịn xoay tích bằng:

A

V  B

V  C

V  D V 

Câu 10 Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn parabol y 4 x2 y 2 x2

quay quanh trục Ox kết sau đây?

A V 10  B V 12  C V 14  D V 16 

Câu 11 Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường 4y x 2, y x qua

(116)

115 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - http://hoc24h.vn A 124

15

V   B 126 15

V   C 128 15

V   D 131 15

V  

Câu 12 Cho hình phẳng  H giới hạn đường y x, y x x4 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình  H quanh trục hồnh nhận giá trị sau đây:

A 41

V   B 40

V   C 38

V   D 41

V  

Câu 13 Thể tích khối trịn xoay tạo nên quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn

 C :ylnx, trục Ox đường thẳng x e là:

A V e2  B V e1  C V e D V e1 

Câu 14 Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường y x, y  x 2,

y quay quanh trục Oy, có giá trị kêt sau đây?

A

V   B

V   C 32 15

V   D 11

V  

Câu 15 Một vật chuyển động với vận tốc    

2 4

1, m/s

3

t v t

t



 

 Quãng đường vật

giây ? (Làm tròn kết đến hàng phần trăm)

A 18,82 m B 11,81m C 4,06 m D 7, 28 m

Câu 16 Bạn Nam ngồi máy bay du lịch giới vận tốc chuyển động máy bay

  3 5 m/s 

v t  t  Quãng đường máy bay từ giây thứ đến giây thứ 10 :

A 36m B 252m C 1134m D 966m

Câu 17 (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, tô chuyển động chậm dần với vận tốc v t   5 10t (m/s), t

là khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét ?

A 0,2 m B m C 10 m D 20 m

Câu 18 Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s tăng tốc với gia tốc a t  3t t2(m/s2) Quãng đường vật

đi khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc ?

A 4000m

3 B

4300 m

3 C

1900 m

3 D

2200 m

(117)

Câu 19 Một vật chuyển động với vận tốc v t  m/s , có gia tốc '  m/s2

1

v t t



 Vận tốc ban đầu

vật m/s Vận tốc vật sau 10 giây (làm tròn kết đến hàng đơn vị):

A 14 m/s B 13m/s C 11m/s D 12 m/s

Câu 20 Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N t  Biết '  4000 0,5

N t

t



 lúc đầu đám vi

trùng có 250.000 Sau 10 ngày số lượng vi trùng (lấy xấp xỉ hang đơn vị):

A 264.334 B 257.167 C 258.959 D 253.584

Câu 21 Gọi h t  cm mực nước bồn chứa sau bơm nước t giây Biết '  13 8

5

h t  t

và lúc đầu bồn khơng có nước Tìm mức nước bồn sau bơm nước giây (làm tròn kết đến hàng phần trăm):

A 2,33 cm B 5,06 cm C 2,66 cm D 3,33 cm

Câu 22 Khẳng định sau ?

A Nếu w t'  tốc độ tăng trưởng cân nặng/năm đứa trẻ,  

10

' d

w t t

 cân nặng đứa

trẻ 10 tuổi

B Nếu dầu rò rỉ từ thùng với tốc độ r t  tính galơng/phút thời gian t,  

120

d

r t t



biểu thị lượng galơng dầu rị rỉ

C Nếu r t  tốc độ tiêu thụ dầu giới, t năm, bắt đầu t0 vào ngày tháng năm 2000 r t  tính thùng/năm,  

17

d

r t t

 biểu thị số lượng thùng dầu tiêu thụ

từ ngày tháng năm 2000 đến ngày tháng năm 2017

(118)

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1 A C 13 C 19 B

2 B A 14 C 20 A

3 A C 15 B 21 C

4 D 10 D 16 D 22 D

5 B 11 C 17 C

(119)

118 KỸ THUẬT 8: SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO - http://Hoc24h.vn KỸ THUẬT 8: SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO

Các bạn ý: Khi dùng casio cho nguyên hàm, tích phân Nhớ phải chuyển hết sang Radian

(qw4)

DẠNG: Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x

PHƯƠNG PHÁP:

Bước Tính f(a) (Với a giá trị nằm TXĐ) Chú ý: Chọn a cho kết f(a) thật xấu

Bước Tính F’(a) đáp án

Bước So sánh Bước Bước Nếu giống chọn

VÍ DỤ (Trích đề minh họa 2017 BGD) Tìm nguyên hàm hàm số ( )f x  2x1

A ( ) 2(2 1)

f x dx x x C

 B ( ) 1(2 1)

3

f x dx x x C

 C ( )

3

f x dx  x C

 D ( )

2

f x dx x C



Giải  Bước Chọn a =

Tính f(2) Nhập ( )f x  2x1

r2 ’

 Bước

(120)

119 KỸ THUẬT 8: SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO - http://hoc24h.vn

Đáp án A => Không giống Kết Bước 1=> LOẠI A

Đáp án B (Giống kết bước 1)

 Chọn B

VÍ DỤ Hàm số F x ln sinx3cosx nguyên hàm hàm số hàm số sau đây:

A f x cosx3sinx B  

cos 3sin

sin 3cos

x x f x

x x

 



C  

cos 3sin

sin 3cos

x x f x

x x

 



 D.  

sin 3cos

cos 3sin

x x f x

x x

 



 Bước 1:

 Bước 2: Thử đáp án

Đáp án A (Ấn Calc x=1) => Không giống kết Bước Loại A

(121)

120 KỸ THUẬT 8: SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO - http://Hoc24h.vn

Dạng: Tìm ngun hàm F(x) f(x) biết F x( )o M

Phương pháp: Ta nhập: ( ) ( )

o

x

A

f x dx F A

 Với A số thuộc tập xác định Thử đáp án, đến

khi Kết M chọn đáp án

VÍ DỤ : Tìm Ngun hàm F(x) hàm số: f(x) = 2cos 2 sin cos

x

x x Biết ( )F

 

-2

A tanx - cotx -2 B tanx - cotx C tanx + cotx -4 D cotx tanx -2

Giải  Thử đáp án A: Nhập vào máy tính

4

2

cos

(tan 2)

sin cos tan

A

x

A

x x A



  

 Ấn, Calc X=1 (x giá trị

cũng được); Calc A=1

r = =

Không -2 => Loại đáp án A

 Thử đáp án B:

r = =

(122)

121 KỸ THUẬT 8: SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO - http://hoc24h.vn VÍ DỤ Tìm ngun hàm F(x) hàm số

3

2

3

( )

2

x x x f x

x x

  



  ,

1 (1)

3

F 

A

2 2 7

( )

2

x F x

x

  



B

2 2 13

( )

2

x F x x

x

   



C

2

2 13

( )

2

x F x x

x

   



D ( )

1

F x x x

  

Giải 

Thử đáp án A: Nhập vào máy tính

1 2

2

3

( )

2

A

x x x A

dx

x x A

     

  

 Ấn Calc A = (A bất

kỳ, em lấy số khác)

Không

3 Loại đáp án A

1 2

2

3 13

( )

2

A

x x x A

dx A

x x A

      

  

 Ấn Calc A = (A bất kỳ, em có

thể lấy số khác)

(123)

Dạng: Tính tích phân

Ấn nút y Nhập tích phân cần tính

VÍ DỤ : Tính:

1

ln e

I  xdx

A I = B I = e C I = e D I = e

Nói chung Easy ^^!

Dạng: Tìm a, b cho ( ) a

b

f x dx A



VÍ DỤ Tìm a cho 2

2

1

2

a

dx x  x  

A a = B a=3 C a=6 D a=4

Nhập vào hình Ấn Calc thay giá trị đáp án Thấy Calc A = thỏa mãn

Chọn B

VÍ DỤ Tìm a b cho 2 1ln8

1

b

a

x dx x   

A a = 3; b = B a = 2; b =3 C.a=1; b =3 D a = 0; b =

Ấn Calc A = 2; B = Ta thấy kết = 1ln8

(124)

DẠNG: TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH Nhập trị tuyệt đối máy tính: qc

VÍ DỤ Tính diện tích hình phẳng giới hạn yln , x x1, x e Ox

Giải

VÍ DỤ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x y 3, 4x Giải

Ta có

4 2

x  x      x x x

Lấy giá trị cận lớn bé

VÍ DỤ Tính diện tích hình phẳng giới hạn

4

y x  x y x 3

Giải

2

4 3

x  x  x

2

3

0

4 3

5

4 3

x

x x x x

x

x x x

  

  

      

 

     

 

(125)

VÍ DỤ : Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường y x 2, y2 x quay quanh Ox Giải

Hoành độ giao điểm 4 0

1

x x

x x x

 

 

   





1

3 10

V  x x dx 

    

VÍ DỤ Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường x  y2 5, x 3 y quay quanh

Oy

Giải

Tung độ giao điểm

5

2

y

y y

y

  

      



   

2

153

5

V  y y dy 



(126)

Dạng: mối liên hệ a, b,c…

VÍ DỤ : Nguyên hàm hàm số: y = 2 cos

x

x e

e

x



 



 

  là: tan

x

a e b x C Tính a+b

A.2 B C D

Lấy cận (Giả sử lấy 1) Ta lưu KQ vào biến A

qJz

Ta có

1

tan1 ( tan 0)

.( ) (tan1 tan 0)

a e b a e b A a b CacDapAn

a e e b A

a b CacDapAn

    



  

    

 

  

 Thử đáp án A:

1

.( ) (tan1 tan 0)

2

a e e b A

a b

    



  

Nghiệm Lẻ => Loại đáp án A

1

.( ) (tan1 tan 0)

3

a e e b A

a b

    



  



(127)

126 KỸ THUẬT 8: SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO - http://Hoc24h.vn VÍ DỤ :

1 2

x

K x e dx=

2

e a b



Tính a+2b

A B C D

Lưu vào biến A

Ta có

2

e a

A a A b e b

      

Ta giải hệ sau để tìm a b

2

a A b e a b CacDapAn

   



 



 Thử đáp án A Số xấu => Loại A

 Thử đáp án B

Số xấu => Loại B

 Thử đáp án C

(128)

127 PHỤ LỤC: - http://hoc24h.vn PHỤ LỤC:

A.ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Câu :

Hàm số không nguyên hàm hàm số ( ) (2 2) ( 1)

x x

f x x

 



A

1

x x x

 

 B

2 1

1

x x x

 

 C

2 1

1

x x x

 

 D

2

1

x x Câu : Cho đồ thị hàm số y f x ( ) Diện tích hình phẳng (phần gạch hình) là:

A

0

3

( ) ( )

f x dx f x dx





  B

1

3

( ) ( )

f x dx f x dx





 

C

3

0

( ) ( )

f x dx f x dx





  D

4

( )

f x dx



Câu : Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y x 22xvà y  x2 xcó kết là:

A 12 B 10

3 C D 6

Câu : Kết sai kết sao?

A 1

10 5.2 ln ln

x x

x dx x x C   

  

 B 4

3

2 ln

4

x x dx x C

x x



    



C

2

1ln

2

1

x dx x x C

x x



  

 

 D tan2xdxtanx x C 

(129)

128 ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - http://Hoc24h.vn đườngy x e , x 1, x , y 0 12 x2    quanh trục ox là:

A (e2e) B (e2e) C

e

 D e

Câu : Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đườngy 4, y , x 1, x 4  

x quanh trục ox là:

A 6 B 4 C 12 D 8

Câu :

Giá trị 4

2

1 (1 tan )

cos

x dx

x

 

 bằng:

A

5 B

1

3 C

1

2 D Câu :

Nếu d ( )

a

f x dx

 ; d ( )

b

f x dx

 , với a d b  b ( ) a

f x dx

 bằng:

A 2 B 3 C 8 D 0

Câu :

Hàm số

2 ( ) ln

x

x e

e

f x   t tdt đạt cực đại x?

A ln 2 B C ln 2 D ln 4

Câu 10 :

Cho tích phân sin2

0

.sin cos

x

I e x xdx



 Nếu đổi biến số tsin2x

A

1

1 (1 ) t

I e t dt B

1

0

2 t t

I  e dt te dt

  

C

1

2 (1 )t

I e t dt D

1

0

1

2 t t

I  e dt te dt

  

(130)

129 ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - http://hoc24h.vn

A 2 B 2 C 2 D 2

Câu 12 : Diện tích hình phẳng giới hạn đường

y x ,trục Ox đường thẳng

x 2 là:

A 8 B

3 C 16 D

16

Câu 13 : Cho hình phẳng  H giới hạn đường y sin x ; x 0 ; y 0 và x  Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình  H quay quanh Ox

A 2 B

2



C

4



D

2

 Câu 14 :

Cho tích phân 2

1

1 x

I dx

x



  Nếu đổi biến số t x2

x





A

2

t dt I

t

  

 B

3 2

2

t dt I

t

 

 C

2

tdt I

t

 

 D

3

2

tdt I

t

  

Câu 15 : Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x x 21 trục ox đường thẳng x=1 là:

A 2

3

 B

3

 C 2

3

 D

3

 Câu 16 : Tìm nguyên hàm:

( x )dx

x

 

A 53 4ln

3 x  x C B

3

4 ln

5 x x C

  

C 33

4 ln

5 x  x C D

3

4ln

5 x  x C

Câu 17 :

Tích phân

0

cos sinx xdx



(131)

130 ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - http://Hoc24h.vn

A

3

 B

3 C

3

2 D

Câu 18 : Hàm số sau không nguyên hàm hàm số

2 (2 ) ( ) ( 1) x x f x x   

A

1 x x x    B 1 x x x    C x

x D

2 1 x x x   

Câu 19 : Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x 24x5 hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số tai A(1;2) B(4;5) có kết dạng a

b đó: a+b

A 12 B 13

12 C 13 D

4 5

Câu 20 :

Giá trị tích phân  

2

I x 1 ln xdx là:

A 2ln

9



B ln 2

9



C ln

9



D ln 2

9

 Câu 21 : Kết

2 x dx x 

 là:

A 1x2 C B

2

1

1 x C

 

 C

1

1x C D  1x2 C

Câu 22 : Hàm số F x( ) ln sin x3cosx nguyên hàm hàm số hàm số sau đây:

A ( ) cos 3sin

sin 3cos x x f x x x  

 B f x( ) cos x3sinx

C ( ) cos 3sin

sin 3cos x x f x x x     D sin 3cos ( ) cos 3sin x x f x x x    Câu 23 :

Giá trị tích phân

e

x 2ln x

I dx

x



(132)

131 ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - http://hoc24h.vn A e2

2

 B e2 1

2

 C 2

e 1 D e2

Câu 24 :

Giả sử

0

2 I sin 3x sin 2xdx a b

2 

   , đó, giá trị a b là:

A

6

 B

10 C

3 10

 D

5

Câu 25 : Tìm nguyên hàm: (x2 2 x dx)

x

 



A 3ln

3

x

x x C

   B 3ln

3

x

X x

 

C 3ln

3

x

x x C

   D 3ln

3

x

x x C

  

Câu 26 :

Tìm nguyên hàm:

( 3)dx

x x 

A 2ln

3

x C

x  B

1 ln

3

x C x

 

 C

1

ln

x

C x

 

D 1ln

3

x C x  Câu 27 : Diện tích hình phẳng giới hạn đường (P): y=2x2 , (C): y= 1x2 Ox là:

A 2  B 2

2



 C

2

8  D

4 2 Câu 28 :

Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2

2 x 27

y=x ; y= ; y=

8 x là:

A 27ln2-3 B 63

8 C 27ln2 D 27ln2+1

Câu 29 : Tìm nguyên hàm: (1 sin ) x dx2



A 2 cos 1sin

3x x4 x C ; B

2

2 cos sin

(133)

C 2 cos 1sin

3x x4 x C ; D

2

2 cos sin

3x x4 x C ;

Câu 30 :

Cho 2

1

2

I x x  dx u x 21 Chọn khẳng định sai khẳng định sau:

A

I udu B

3

I udu C 27

3

I D

3

2

I u

Câu 31 :

Cho biết  

f x dx 3

 ,  

5

g t dt 9

 Giá trị    

5

Af x g x dx là:

A Chưa xác định

được B 12 C 3 D 6

Câu 32 : Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x 2 đường thẳng y2x là: A

3 B

2 C

3 D 23 15

Câu 33 : Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x - 4x - 62 trục hoành hai đường

thẳng x=-2 , x=-4

A 12 B 40

3 C

92

3 D

50

Câu 34 :

Giả sử

0

3x 5x

I dx a ln b

x



 

  



 Khi đó, giá trị a 2b là:

A 30 B 40 C 50 D 60

Câu 35 : Kết lnxdx là:

A x x x Cln   B Đáp án khác C x x Cln  D xlnx x C  Câu 36 : Tìm nguyên hàm:

( x dx)

x



A 5ln

5

x  x C B 5ln

5

x x C

(134)

C 5ln

5

x x C

   D 5ln

5

x  x C

Câu 37 :

Tìm nguyên hàm:

( 3)dx

x x



A 1ln

3

x C

x  B

1

ln

x

C x



 C 1ln

3

x C

x  D

1

ln

x

C x

  Câu 38 : Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y x 3 y x 5 bằng:

A 4 B

6 C 0 D 2 Câu 39 :

Cho hai tích phân 2

sin xdx 

 2

0

cos xdx 

 , khẳng định đúng:

A 2 2

0

sin xdx cos xdx

 



 

B Không so sánh được

C 2 2

0

sin xdx cos xdx

 



  D 2 2

0

sin xdx = cos xdx

 

 

Câu 40 :

Cho hai tích phân 2

0

sin

I xdx



 2

0

cos

J xdx



 Hãy khẳng định đúng:

A I J B I J C I J D Không so sánh

được

Câu 41 : Hàm số

( ) x

F x e nguyên hàm hàm số

A f x( ) 2 xex2 B f x e( ) 2x C ( )

2 x

e f x

x

 D f x( )x e2 x2 1

Câu 42 :

Tính x ln 2dx

x

(135)

A 2 x  1 C B 2 x C C 2 x1C D 2 x  1 C Câu 43 :

Cho tích phân

2

sin cos

x I

x



 



 

 , với 1 I bằng:

A

 B 2 C 2 D



Câu 44 : Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x21 , y x 5 có kết

A 35

12 B

10

3 C

73

3 D

73

Câu 45 :

Nếu ( )

d

a

f x dx

 , ( )

d

b

f x dx

 với a < d < b ( ) b

a

f x dx



A -2 B 0 C 8 D 3

Câu 46 : Kết sai kết sao? A tan

1 cos 2

dx x C

x  



 B

2

1ln 1

1 1

dx x C

x x x

 

 

  



C ln(ln(ln )) ln ln(ln )

dx x C

x x x  

 D

2 41 ln 3

xdx x C

x    





Câu 47 : Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y = x3 – x y = x – x2 :

A Đáp án khác B 37

6 C

33

12 D

37 12

Câu 48 : Tìm nguyên hàm: (x3 x dx)

x

 



A

2 ln

4x  x 3 x C B

4

1

2 ln

(136)

C 2 ln

4x  x 3 x C D

4

1

2 ln

4x  x 3 x C

Câu 49 : Cho hình phẳng giới hạn đường y x y x quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng:

A  B

6



C 0 D 

Câu 50 : Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đườngy x, y , y 2 x quanh trục ox là:

A 12



B 6 C 35

12



D



Câu 51 :

Biến đổi 01

x dx

x

 

 thành 2

1

( )

f t dt

 , với t 1x Khi f t( ) hàm hàm số sau?

A f t( ) 2 t2 2t B f t t t( ) 2 C f t t t( ) 2 D f t( ) 2 t22t Câu 52 :

Cho

0 cos x

Ie xdx;

0 sin x

Je xdxvà

0

cos x

Ke xdx Khẳng định khẳng định sau?

(I) I J e  

(II) I J K 

(III)

5

e K  

A Chỉ (II) B Chỉ (III) C Chỉ (I) D Chỉ (I) (II)

Câu 53 : Hàm số y tan 2x nhận hàm số nguyên hàm?

A tan 2x x B 1tan 2x x

2  C tan 2x x D

1

tan 2x x

2 

(137)

136 ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - http://Hoc24h.vn y = x2;x y 2quanh trục ox

A

10

 B

3



C

10



D

10

 Câu 55 :

Cho

0

1 sin cos

64

n

I x xdx



  Khi n bằng:

A 3 B 4 C 6 D 5

Câu 56 : Tìm nguyên hàm: (2e3x)2dx 

A 3

3

x x

x e  e C B 4

3

x x

x e  e C

C 4

3

x x

x e  e C D 4

3

x x

x e  e C

Câu 57 :

Giả sử 5

ln

2

dx K

x 

 Giá trị K là:

A 3 B 8 C 81 D 9

Câu 58 : Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x + 11x - 6,3 y = 6x2,x 0,x 2 có kết dạng a

b a-b

A 2 B -3 C 3 D 59

Câu 59 : Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = -x + 4x2 tiếp tuyến với đồ thị

hàm số biết tiếp tuyến qua M(5/2;6) có kết dạng a

b a-b

A 12

11 B 14 C 5 D -5

(138)

137 ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - http://hoc24h.vn A

8 B

2

7 C 12

1

D

6

Câu 61 : Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x2 + 1, tiếp tuyến với đường điểm M(2; 5) trục Oy là:

A

3 B

5

3 C 2 D

8

Câu 62 :

Giá trị

x

Ix.e dx là:

A 1 B

e

 C

e D 2e 1

Câu 63 : Tính

1

dx x



 , kết là:

A

C x

 B 2 1 x C C

2

1x C D C 1x

Câu 64 : Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y =(e1)x y  (1 e xx) là: A

2

e

 B 2 C

2

e

D

e

Câu 65 : Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 2x x2 3 trục hoành là: A 125

24 B

125

34 C 125

14 D

125 44 Câu 66 :

Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y 4 x patabol

2

x

(139)

138 ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - http://Hoc24h.vn A 28

3 B

25

3 C

22

3 D 26

3

Câu 67 : Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y x24x3 và y=x+3 có kết là:

A 55

6 B

205

6 C

109

6 D

126

Câu 68 : Tìm nguyên hàm: (x2 2 x dx)

x

 



A 2s inx 1sin

2x 4 x C B

3

2sinx- sin

2x x C

C cos x 1sin

2x 4 x C D

3

2s inx sin

2x 4 x C

Câu 69 Gọi h t  cm mực nước bồn chứa sau bơm nước t giây Biết '  13 8

5

h t  t

và lúc đầu bồn khơng có nước Tìm mức nước bồn sau bơm nước giây (làm tròn kết đến hàng phần trăm):

A 2,33 cm B 5,06 cm C 2,66 cm D 3,33 cm

Câu 70 Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v t   5 10t (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét ?

(140)

ĐÁP ÁN ĐỀ TỔNG HỢP

01 B 28 C 55 A

02 A 29 D 56 D

03 C 30 A 57 A

04 A 31 B 58 C

05 C 32 A 59 C

06 C 33 C 60 C

07 A 34 B 61 D

08 B 35 D 62 B

09 A 36 D 63 B

10 A 37 D 64 C

11 D 38 B 65 A

12 B 39 D 66 A

13 B 40 B 67 C

14 A 41 A 68 D

15 C 42 B 69 C

16 D 43 A 70 C

17 B 44 C

18 D 45 D

19 C 46 A

20 B 47 D

21 D 48 D

22 A 49 B

23 B 50 C

24 B 51 A

25 D 52 A

26 D 53 B

(141)

140 B TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 10 NĂM GẦN ĐÂY - http://Hoc24h.vn

B TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 10 NĂM GẦN ĐÂY

Bài (THPT QG 2016): Tính tích phân I=

3

2

3 (x x x 16)dx

 ĐS: I = 88

Bài (THPT QG 2015): Tính tích phân:

1

(x3)e dxx

 ĐS: I = 4-3e

Bài (ĐH A2014): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y x 2 x 3 y2x1

ĐS:I = 1/6

Bài (ĐH B2014) : Tính tích phân :

2 2

3

x x

I dx

x x

 





 ĐS : I  1 ln

Bài (ĐH D2014) : Tính tích phân :

 

4

1 sin

I x xdx



  ĐS :

4

I 

Bài (ĐH A2013) : Tính tích phân :

2 2

1 ln

x

I x dx x



 ĐS : 5ln

2

I  

Bài (ĐH B2013) : Tính tích phân :

1

2

I x x dx ĐS : 2

3

I  

Bài (ĐH D2013) : Tính tích phân :

1

2

( 1)

1

x

I dx

x

 



 ĐS : I  1 ln

(142)

141 B TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 10 NĂM GẦN ĐÂY - http://hoc24h.vn

1 ln(x 1)

I dx

x

 

 ĐS : n 2ln

3

I  l 

Bài 10 (ĐH B2012) : Tính tích phân :

x I dx x x   

 ĐS : n 3ln

2

I l 

Bài 11 (ĐH D2012) : Tính tích phân :

/4

(1 sin )

I x x dx



   ĐS :

2 1

32

I  

Bài 12 (ĐH A2011) : Tính tích phân :

4

sin ( 1) cos

sin cos

x x x x

I dx

x x x



  



 ĐS : n

4

I   l    

 

sin os x x I dx c x  

 ĐS : n 2 3

3

I    l 

4

2

x I dx x    

 ĐS : 34 10 n

3

I   l   

 

1 2

0

2

x x

x

x e x e

I dx

e

  



 ĐS : 1 n1

3

e

I   l 

2 ln (ln 2) e x I dx x x  

 ĐS : n3

3

(143)

142 B TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 10 NĂM GẦN ĐÂY - http://Hoc24h.vn

1

3

(2 ) ln

e

I x xdx x

  ĐS :

2

1

e

I  

2

3

0

( os 1) os

I c c xdx



  ĐS :

15

I  

3

2

3 ln

( 1)

x

I dx

x

 



 ĐS : 1(3 ln27)

4 16

I  

3

1

x

dx I

e

 

 ĐS : I ln(e2  e 1) 2

4

tan os2

x

I dx

c x



 ĐS : 1ln(2 3) 10

2

I   

sin( )

4

sin2 2(1 s inx cos )

x dx

I dx

x x

 

 

  

 ĐS :

4

I  

2

lnx I dx

x

 ĐS : ln

16

I  

(144)

143 B TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 10 NĂM GẦN ĐÂY - http://hoc24h.vn

y (e 1)x, y (1 e xx) ĐS : 1

e

S 

Bài 25 (ĐH B2007) : Cho hình phẳng H giới hạn đường y x lnx, y0 , x e Tính thể

tích khối trịn xoay tọa thành quay hình H quanh trục Ox

ĐS :

3

(5 2)

27

e

V  

ln e

I x xdx ĐS :

4

5

32

e

I  

2

0

sin

os 4sin

x

I dx

c x x

 

 

ĐS :

I 

ln5 ln

2

x x

dx I

e e



 



ĐS : ln3

I 

1

2

( 2) x

I  x e dx

ĐS :

2

5

e

I  

(145)

144 TÀI LIỆU THAM KHẢO - http://Hoc24h.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Giải tích 12 Nâng Cao (Nhà xuất giáo dục) Sách Bài tập Giải tích 12 (Nhà xuất giáo dục)

3 Câu hỏi tập trắc nghiệm Toán 12 – Nguyễn Phú Khánh – Huỳnh Đức

Khánh (Nhà xuất ĐHQG Hà Nội)

4 Tuyển tập chuyên đề kỳ thuật tính Tích Phân – Trần Phương (Nhà xuất ĐHQG Hà Nội)

8 kỹ thuật đặt điểm tối đa nguyên hàm tích phân - Nguyễn Tiến Đạt

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan