Phương pháp đặt ẩn phụ trong tính tích phân

BÀI GIẢNG SỐ 05: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Phương pháp 1: Lượng giác hoá (đặt x =f(t), trong đó f(t) là một hàm số lượng giác)

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau

a) I =

1

2

2 0

1 x dt

1 x

1 1 0 2

x





2 1

0

2 1 1

d) I =

2

1

4

x x dx

 e) I =

2 3 2

dx

x x 

 f) I = 1  

2 0

ln 1 x

dx

1 x







Bài giải:

a I =

1

2

2 0

1 x dt



Đặt x = sint,



  dxcostdt

Đổi cận: Với x = 0 thì t = 0

Với x = 1

2thì t = 6



1

2

=

6 0

sin 2





Chú ý: Ta cũng có thể đặt x = cost, t0;

b I = dx

1 x

1 1

0

2

Đặt x = tant,

os

dt

c t

Đổi cận: Với x = 0 thì t =0

Với x = 1 thì t =

4



Khi đó: I =

2

4

(1 tan )

t dt

dt t t

 





c I = dx

x

2

1

2 1 1

Đặt x = cost, t0;dx sintdt

Đổi cận: Với x = 0 thì t =

2



Với x = 1

2thì t = 3



Khi đó: I =

3 2

2

1 cos

dt t t

t









Chú ý: Ta cũng có thể đặt x = sint,

d I =

2

1

4

x x dx



Đặt x = 2sint,



  dx2 costdt

Đổi cận: Với x = 1 thì t =

6



Với x = 2 thì t =

2



4sin 4 sin 2 cos 4 sin 2 2 (1 cos 4 )

2 6







e) I =

2

3

2

dx

x x 



Đặt x = 1 , 0; cos2

t



Đổi cận: Với x = 2 thì t =

2



Với t = 2

3 thì t = 3



Khi đó:

2 3 2

1 cos sin

6

1 sin sin

tdt t











f) I = 1  

2 0

ln 1 x

dx

1 x







cos

dt

t

   =(1+tan2t)dt

Đổi cận: Với 0 0, 1

4

2 2

ln(1 tan )

(1 tan ) ln(1 tan )

1 tan

t

t





Đặt

4

y

4 0 0

4

2

ln [ln 2 ln(1 tan )] ln 2 |

1 tan

ln 2 ln 2

y









Phương pháp 2 : Đặt t =f(x)

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:

a I =

3

2 6

cos sin 5sin 6

xdx



 b I =

3 2

2 0

cos sin

1 sin

x







c I =

2

3 0

cos sinx xdx



2

6 0

1 cos x.sin x cos xdx







Bài giải:

a Đặt ts inxdtcosxdx

Đổi cận: Với 1

Với 3

2

  

3 2 1 2

t

t

b Đặt 2

1 s in x 2 sin cos

Đổi cận: Với x   0 t 1

Với 2

2

Ta có:

cos sin sin cos sin x 1 1 1

1

2 2

1 1

t



c Đặt t cosxt2 cosx2tdt sinxdx

Đổi cận: Với x   0 t 1

Với 0

2

cos sinx xdxsin x cos sin xx dx(1cos x) cos sin xx dx

1 t ( 2t tdt) 2 t t dt

0 0



1 cos x   t 1 cos xt 3cos xsinxdx6t dt

1 cos x.s inx.cos xdx t t dt.2 cos x 2 (1t t dt) (2t 2t )dt

2

1

6 12

1 1 12

t t

Ví dụ 3: Tính các tích phân sau:

a I =

2

2 1

2 1

x dx

x x 

 b I =

3

0 1

x x dx



Bài giải:

a Đặt

2

Đổi cận: Với x   1 t 1

Với x2  t 3

4

2

=

3 3 1

b Đặt t 1x2 t2  1 x22tdt2xdx

Đổi cận: Với x   0 t 1

Với x 3  t 2

2

2

1

t  t dt t  t t dt  t  t  t 

Ví dụ 4: Tính tích phân I =

( 1)( 2)

b

a

dx

x x



a Với a = 0, b = 2 b Với a = - 5 , b = - 3

Bài giải:

a) Vì x 0; 2nên 1 0

2 0

x x

 





 



2 ( 1)( 2)

t

Đổi cận: Với x   0 t 1 2

Với x   2 t 2 3

Khi đó: I =

2 3

2 3

1 2

1 2

dt

t t















b) Vì x    5; 3nên 1 0

2 0

x x

 





 



 ( 1) ( 2)

2 ( 1)( 2)

 

2 ( 1)( 2)

t

Đổi cận: Với x    5 t 2 3

Với x    3 t 1 2

Khi đó: I =

1 2

2 3

1 2

2 3

dt

t t















Ví dụ 5:Tính các tích phân sau

ln 3 x

e dx

e

x

Bài giải:

a) Đặt 1e x   t 1 e xt2e dx x 2tdt

Đổi cận: Với x = 0 thì t = 2

Với x = ln3 thì t = 2

Khi đó I =

2

2



b) Đặt 1 2 lnx t 1 2 lnx t2 2 lnx t2 1 dx 2tdt

x

Đổi cận: Với x   1 t 1

Với x e t 2

2

2

t

Một số cách đặt ẩn phụ khác

 Với I = ( )

a

a

f x dx

 , đặt x t

 Với I =

2 0 ( )

f x dx



 , đặt

2

 Với I =

0 ( )

f x dx



 ,đặt t x

 Với I =

2 0 ( )

f x dx



 , đặt t2  x

 Với I = ( )

b

a

xf x dx

 , đặt xa b t 

Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:

a I =

1

2004 1

sin x

 c I = 2

0 s inx.cos





b I =

4 2

0

cos cos sin

xdx





 d I =

2

3 0 cos





Bài giải:

a I =

Xét J =

0 2004 1 sin x

 Đặt x = - t thì dx = - dt Đổi cận: Với x    1 t 1

Với x   0 t 0

Khi đó: J =

( t) sin( t dt) t sintdt x sin xdx

Thay (2) vào (1) được I = 0

b Đặt

2

Đổi cận: Với 0

2

  

Với 0

2

Khi đó: I =

4

2

cos ( )( )

2

cos sin cos sin cos ( ) sin ( )

t dt





 

Do đó: 2I =

cos sin





c Đặt x  t dx dt

Đổi cận: Với x   t 0

Với x  0 t 

0

0





2





1







d Đặt x2  t dx dt

Đổi cận: Với x2   t 0

Với x  0 t 2

Khi đó: I

(2 t) cos (2 t)( dt) (2 t) cos tdt





2





2 0

1

2 3



B BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tính các tích phân sau:

a) 1 dx

3

2

  b)

1

2dx

 c) 1 dx

1 2

   d) dx

a

 2 1

e)

1 2

2 0

1 4

x

dx x





3 2

3 2

dx x



 g)

4

3 2

4

x



 h)

1

2 0

1

x x dx



i)

3

3 2

dx

x



 j) I =

2 2 2

2

0 1

x dx x





ĐS: a)

3

12



b)

6

 c)

9

3

 d)

6

 e)

a 4

 f) 3

g) HD: đặt 2 , 0

t



48 32

   h) đặt x =tant,

3

i) HD: đặt x = tant,

2

I

  j) 2

8

 

Bài 2: Tính các tích phân sau:

a I =

6

0

sin 2

2 sin cos

xdx





 b I =

2 3

2

2

2 sin cos 1

dx



 c I =

2

2 0

os

8 2 sin

c xdx

x







ĐS: a) ln5

4 b) đặt t = tanx

3 3 ln

3 2

I

 

 c) 6 2



Bài 3: Tính các tích phân sau:

a I =

4 6

0

tan

cos 2

x dx x



 b I =

2

0

sin 2 cos 4 sin

x

dx





2 0

sin 2 s inx

1 3cos

x

dx x









d I =

2

x dx x

 e

x



1

ln (2 ln )

e

x







g

4

0

sin

4 sin 2 2(1 s inx cos )

I





ln5

ln 3 x 2 x 3

dx I

e e





i

2 0

sin 2 cos

1 cos

x









j

1

1 3ln ln

e

x



2 4

0

1 2 sin

1 sin 2

x dx x







 m

3

1 x 1

dx I

e







n

4

0

x

x





 



ĐS: a) 1ln 2 3 10

2  9 3 b)

2

3 c)

34

27 d)

11

4 ln 2

3  e)

3

ln 3 ln 2 2



f) 1 ln3



 g) 4 3 2

4

 i) 2 ln 2 1 j) 116

135 k)

1

ln 2 2 l)  2 

ln e  e 1 2 m) 34 10 ln3

Bài 4: Tính các tích phân sau

a) I =

2

x

sin xdx

3 1



   b) I =

1

1

dx (e 1) x 1

1

ln(1 ) 1

x

x dx e







ĐS: a) I = 0 b) I = 0 c) I = 0