Phương pháp đặt ẩn phụ trong tính tích phân

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi Đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 05: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp 1: Lượng giác hoá (đặt x =f(t), trong đó f(t) là một hàm số lượng giác) Ví dụ 1: Tính các tích phân sau a) I = 1 2 2 0 1 x dt   b) I = dx 1x 1 1 0 2   c)I = dx x   2 1 0 2 1 1 d) I = 2 2 2 1 4 x x dx   e) I = 2 3 2 2 1 dx x x   f) I =   1 2 0 ln 1 x dx 1 x    Bài giải: a. I = 1 2 2 0 1 x dt   Đặt x = sint, 2 2 t      cos dx tdt   Đổi cận: Với x = 0 thì t = 0 Với x = 1 2 thì t = 6  Khi đó: I =   6 6 6 2 2 0 0 0 1 1 sin cos cos 1 cos2 2 t tdt tdt t dt           = 6 0 1 1 1 3 sin 2 2 2 2 6 4 t t                    Chú ý: Ta cũng có thể đặt x = cost,   0; t   b. I = dx 1x 1 1 0 2   Đặt x = tant, 2 2 t      2 2 (1 tan ) os dt dx t dt c t     Đổi cận: Với x = 0 thì t =0 Với x = 1 thì t = 4  Khi đó: I = 2 4 4 4 2 0 0 0 (1 tan ) 1 tan 4 t dt dt t t            c. I = dx x   2 1 0 2 1 1 http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi Đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Đặt x = cost,   0; t   sin dx tdt    Đổi cận: Với x = 0 thì t = 2  Với x = 1 2 thì t = 3  Khi đó: I = 3 3 3 3 2 2 2 2 2 sin sin sin 6 1 cos tdt tdt dt t t t                      Chú ý: Ta cũng có thể đặt x = sint, 2 2 t      d. I = 2 2 2 1 4 x x dx   Đặt x = 2sint, 2 2 t      2cos dx tdt   Đổi cận: Với x = 1 thì t = 6  Với x = 2 thì t = 2  2 2 2 2 2 2 6 6 6 4sin 4 sin .2cos 4 sin 2 2 (1 cos4 ) I t t tdt tdt t dt                2 6 1 3 2 sin 4 2 4 3 8 t t                      e) I = 2 3 2 2 1 dx x x   Đặt x = 2 1 cos , 0; sin 2 sin t t dx dt t t            Đổi cận: Với x = 2 thì t = 2  Với t = 2 3 thì t = 3  Khi đó: 2 2 2 2 3 2 3 3 1 cos sin 6 1 1 1 sin sin tdt t I dt t t t                http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi Đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà f) I =   1 2 0 ln 1 x dx 1 x    Đặt 2 tan cos dt x t dx t    =(1+tan 2 t)dt Đổi cận: Với 0 0, 1 4 x t x t        4 4 2 2 0 0 ln(1 tan ) (1 tan ) ln(1 tan ) 1 tan t I t dt t dt t            Đặt 4 t y dt dy       Đổi cận: Với 0 , 0 4 4 t y t y         1 tan 2 1 tan 1 tan( ) 1 4 1 tan 1 tan y t y y y             0 4 4 0 0 4 2 ln [ln 2 ln(1 tan )] ln2. | 1 tan ln 2 ln 2 2 . 4 8 I dy y dy y I y I I                     Phương pháp 2: Đặt t =f(x) Ví dụ 2: Tính các tích phân sau: a. I = 3 2 6 cos sin 5sin 6 xdx x x      b. I = 3 2 2 0 cos .sin 1 sin x xdx x    c. I = 2 3 0 cos .sin x xdx   d. 2 3 56 0 1 cos x.sin xcos xdx    Bài giải: a. Đặt sinx cos t dt xdx    Đổi cận: Với 1 6 2 x t     Với 3 3 2 x t     3 3 3 3 2 6 6 6 6 ( 2) ( 3) 1 1 ( ) 5 6 ( 2)( 3) ( 2)( 3) 3 2 dt dt t t dt I dt t t t t t t t t                              http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi Đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 3 2 1 2 3 3(6 3) ln ln 2 5(4 3) t t       b. Đặt 2 1 sin x 2sin cos t dt x xdx     Đổi cận: Với 0 1 x t    Với 2 2 x t     Ta có: 3 2 2 2 cos .sin sin .cos .sin x 1 1 1 1 1 sin 1 sin 2 2 x x x x dx t dt dt x x t t                2 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ln 1 ln 2 2 2 2 I dt t t t               c. Đặt 2 cos cos 2 sin t x t x tdt xdx       Đổi cận: Với 0 1 x t    Với 0 2 x t     Ta có: 3 2 2 cos .sin sin . cos .sin x (1 os ) cos .sin x x xdx x x dx c x x dx        4 6 2 1 . .( 2 ) 2 t t tdt t t dt      0 0 6 2 7 3 1 1 1 1 8 2 ( ) 2 7 3 21 I t t dt t t              d. Đặt 6 3 3 6 2 5 1 cos 1 cos 3cos sin 6 x t x t x xdx t dt        6 3 5 5 3 6 6 6 12 1 cos .sinx.cos .2 .cos 2 (1 ) (2 2 ) x xdx t t dt x t t dt t t dt        Đổi cận: Với 0 0, 1 2 x t x t        1 1 7 13 6 12 0 0 1 1 12 2 ( ) 2( ) 2( ) 7 13 7 13 91 t t I t t dt         Ví dụ 3: Tính các tích phân sau: a. I = 2 2 1 2 . 1 x dx x x    b. I = 3 5 2 0 1 x x dx   Bài giải: a. Đặt 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 t t t x x t x x x dx dt t t              Đổi cận: Với 1 1 x t    Với 2 3 x t    Khi đó: I =   2 2 4 3 3 3 2 4 4 1 1 1 1 1 2. . 1 1 1 2 2 1 2 2 t t t dt t t dt dt t t t                http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi Đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà = 3 3 1 1 1 1 1 1 68 3 1 2 3 2 81 3 81 t t                   b. Đặt 2 2 2 1 1 2 2 t x t x tdt xdx        Đổi cận: Với 0 1 x t    Với 3 2 x t    Khi đó: I =     2 2 2 2 2 2 6 4 2 7 5 3 1 1 1 1 2 1 848 1 . 2 ( ) 7 5 3 105 t t dt t t t dt t t t          Ví dụ 4: Tính tích phân I = ( 1)( 2) b a dx x x    a. Với a = 0, b = 2 b. Với a = - 5 , b = - 3 Bài giải: a) Vì   0;2 x nên 1 0 2 0 x x        Đặt   1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 ( 1)( 2) x x dx t x x dt dx x x x x                      2 ( 1)( 2) dx dt t x x     Đổi cận: Với 0 1 2 x t    Với 2 2 3 x t    Khi đó: I = 2 3 2 3 1 2 1 2 2 3 2 2ln 2ln 1 2 dt t t          b) Vì   5; 3 x    nên 1 0 2 0 x x        Đặt 1 1 ( 1) ( 2) 2 ( 1) 2 ( 2) t x x dt dx x x                         ( 1) ( 2) 2 ( 1)( 2) x x dx x x          2 ( 1)( 2) dx dt t x x      Đổi cận: Với 5 2 3 x t     Với 3 1 2 x t     Khi đó: I = 1 2 2 3 1 2 2 3 2 3 2 2ln 2ln 1 2 dt t t           Ví dụ 5:Tính các tích phân sau ln3 x x 3 0 e dx a. (1 e )   1 3 2ln . 1 2ln e x b dx x x    http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi Đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Bài giải: a) Đặt 2 1 1 2 x x x e t e t e dx tdt        Đổi cận: Với x = 0 thì t = 2 Với x = ln3 thì t = 2 Khi đó I = 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 tdt dt t t t         b) Đặt 2 2 1 2ln 1 2ln 2ln 1 2 dx x t x t x t tdt x           Đổi cận: Với 1 1 x t    Với 2 x e t   Khi đó I =   2 2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 20 2 22 2 2 4 2 4 3 3 t t tdt t dt t t                 Một số cách đặt ẩn phụ khác  Với I = ( ) a a f x dx   , đặt x t    Với I = 2 0 ( ) f x dx   , đặt 2 t x     Với I = 0 ( ) f x dx   ,đặt t x     Với I = 2 0 ( ) f x dx   , đặt 2 t x     Với I = ( ) b a xf x dx  , đặt x a b t    Ví dụ 6: Tính các tích phân sau: a. I = 1 2004 1 sin x x dx   c. I = 2 0 .sinx.cos x xdx   b. I = 4 2 4 4 0 cos cos sin xdx x x    d. I = 2 3 0 cos x xdx   Bài giải: a. I = 1 0 1 2004 2004 2004 1 1 0 sin x sin x sin x x dx x dx x dx        (1) Xét J = 0 2004 1 sin x x dx   . Đặt x = - t thì dx = - dt Đổi cận: Với 1 1 x t     Với 0 0 x t    http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi Đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Khi đó: J = 0 1 1 2004 2004 2004 1 0 0 ( ) sin( ) sin sin x t t dt t tdt x dx           (2) Thay (2) vào (1) được I = 0 b. Đặt 2 t x dt dx       Đổi cận: Với 0 2 x t     Với 0 2 x t     Khi đó: I = 4 0 4 4 2 2 4 4 4 4 4 4 0 0 2 cos ( )( ) sin sin 2 cos sin cos sin cos ( ) sin ( ) 2 2 t dt tdt xdx t t x x t t                   Do đó: 2I = 4 4 2 2 4 4 0 0 cos sin cos sin 2 4 x x dx dx I x x             c. Đặt x t dx dt       Đổi cận: Với 0 x t     Với 0x t     Khi đó: I =         0 2 2 0 sin cos sin cos t t t dt t t tdt               2 2 0 0 0 sin cos sin cos sin 2 cos 2 t tdt t t tdt t tdt I               0 0 1 2 sin3 sin cos3 cos 4 8 3 3 I t t dt I t t                     d. Đặt 2 x t dx dt       Đổi cận: Với 2 0 x t     Với 0 2 x t     Khi đó: I 0 2 3 3 2 0 (2 )cos (2 )( ) (2 )cos t t dt t tdt              2 2 2 3 3 0 0 0 2 cos cos (cos3 3cos ) 2 tdt t tdt t t dt I              2 0 1 2 sin3 3sin 0 0 2 3 I t t I               B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính các tích phân sau: a) dx 3x 1 3 3 2   b) 1 2 1 3 2 4 1 dx x x   c) dx 1xx 1 1 0 2   d) dx xa a   2 0 22 1 http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi Đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà e) 1 2 2 0 1 4 x dx x    f)   3 2 3 2 0 1 dx x   g) 4 3 2 3 2 4 x dx x   h) 1 2 0 1 x x dx   i)   3 3 2 0 1 dx x   j) I = 2 2 2 2 0 1 x dx x  ĐS: a) 312  b) 6  c) 9 3 d) 6  e) a 4  f) 3 g) HD: đặt 2 ,0 sin 2 4 x t t     3 48 32 I     h) đặt x =tant, 2 2 t      2 2 1 3 I    i) HD: đặt x = tant, 2 2 t      3 2 I  j) 2 8   Bài 2: Tính các tích phân sau: a. I = 6 2 2 0 sin 2 2sin cos xdx x x    b. I = 2 3 2 2 2sin cos 1 dx x x      c. I = 2 2 0 os 8 2sin c xdx x    ĐS: a) 5 ln 4 b) đặt t = tanx 3 3 ln 3 2 I   c) 6 2  Bài 3: Tính các tích phân sau: a. I = 4 6 0 tan cos2 x dx x   b. I = 2 2 2 0 sin 2 cos 4sin x dx x x    c. I = 2 0 sin 2 sinx 1 3cos x dx x     d. I = 2 1 1 1 x dx x   e. 1 3 4 2 0 3 2 x I dx x x     f. 2 1 ln (2 ln ) e x I dx x x    g. 4 0 sin 4 sin 2 2(1 sinx cos ) x dx I x x               h. ln5 ln3 2 3 x x dx I e e      i. 2 0 sin 2 cos 1 cos x x I dx x     j. 1 1 3ln ln e x x I dx x    k. I = 2 4 0 1 2sin 1 sin 2 x dx x     m. 3 1 1 x dx I e    n. 4 0 4 1 2 1 2 x I dx x      ĐS: a)   1 10 ln 2 3 2 9 3   b) 2 3 c) 34 27 d) 11 4ln 2 3  e) 3 ln3 ln 2 2  http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi Đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà f) 1 3 ln 3 2   g) 4 3 2 4  i) 2ln 2 1  j) 116 135 k) 1 ln 2 2 l)   2 ln 1 2 e e    m) 34 3 10ln 3 5  Bài 4: Tính các tích phân sau a) I = 2 x sin xdx 3 1     b) I =   1 x 2 1 dx (e 1) x 1     c) I = 1 2 1 ln(1 ) 1 x x dx e     ĐS: a) I = 0 b) I = 0 c) I = 0 . Khóa học: Tích phân ôn thi Đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 05: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp 1: Lượng. 2 2 . 4 8 I dy y dy y I y I I                     Phương pháp 2: Đặt t =f(x) Ví dụ 2: Tính các tích phân sau: a. I = 3 2 6 cos sin 5sin 6 xdx x x      b. I = 3 2 2 0 cos.      Một số cách đặt ẩn phụ khác  Với I = ( ) a a f x dx   , đặt x t    Với I = 2 0 ( ) f x dx   , đặt 2 t x     Với I = 0 ( ) f x dx   ,đặt t x     Với I