Kỹ thuật phân tích trong tính tích phân

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 08: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH A. PHƯƠNG PHÁP: Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các hạng tử mà nguyên hàm của mỗi hạng tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết Chú ý: Điểm quan trọng là phép phân tích trong bước 1. Chúng ta có thể rút ra ý tưởng từ một vài ví dụ minh họa sau a. Với f(x) = (x 3 – 2 ) 2 thì viết lại f(x) = 6 3 4 4 x x   b. Với f(x) = 2 4 5 1 x x x    thì viết lại f(x) = 2 3 1 x x    c. Với f(x) = 2 1 5 6 x x   thì viết lại f(x) = 1 1 3 2 x x    d. Với f(x) = 1 2 1 3 2 x x    thì viết lại f(x) =   1 3 2 2 1 2 x x    e. Với f(x) =   2 2 3 x x  thì viết lại f(x) = 4 2.6 9 x x x   f. Với f(x) = 3 8cos .sinx x thì viết lại f(x) =   2 cos3 3cos sinx x x 2cos3 sin 6cos sin x x x x   sin 4 sin 2 3sin 2 sin 4 2sin 2 x x x x x      B. CÁC VÍ DỤ Loại 1: Phân tích đưa về tích phân cơ bản Ví dụ 1: Tính các tích phân a. I =   1 2004 0 1 x x dx   b. I = 1 0 1 x dx e   Bài giải: a. Ta có:       2004 2004 2005 2004 1 1 1 1 ( 1) ( 1) x x x x x x            Khi đó: I =   1 1 1 2004 2005 2004 0 0 0 1 ( 1) ( 1) x x x dx x dx         http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà =     1 2006 2005 0 1 1 1 1 1 2006 2005 2006 2005 4022030 x x                b. Ta có:   1 1 1 1 1 1 x x x x x x e e e e e e           1 1 1 1 0 0 0 0 (1 ) 2 1 ln 1 1 ln 1 1 1 x x x x x e d e I dx dx x e e e e                        Loại 2: Phương pháp hệ số bất định Ví dụ 2: Tính tích phân sau: a. I = 1 2 2 0 4 3 dx x x    b. I = 4 2 3 2 1 5 6 x dx x x     c. I = 3 2 3 2 3 3 3 3 2 x x dx x x      Bài giải: a. Ta có: 2 1 1 1 ( 1) ( 3) 1 1 1 4 3 ( 3)( 1) 2 ( 3)( 1) 2 3 1 x x x x x x x x x x                      1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 ( 3) ( 1) 2 3 1 2 3 1 dx dx d x d x I x x x x                                      1 2 0 1 ln 3 ln 1 2 x x    = 1 5 ln 2 3 b. Ta có:   2 3 2 2 1 2 1 5 6 ( 2)( 3) 2 3 ( 2)( 3) A B x A B x x A B x x x x x x x x                  Đồng nhất hệ số ta có 2 5 3 2 1 7 A B A A B B                  4 4 4 3 3 3 ( 2) ( 3) 5 7 5ln 2 7ln 3 5ln 2 2 3 d x d x I x x x x                  c. Có: 2 2 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 2 ( 1) ( 2) ( 1) 1 2 x x x x A B C x x x x x x x                http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 2 2 ( ) ( 3 2 ) 2 2 ( 1) ( 2) B C x A B C x B A C x x           Đồng nhất hệ số ta được 3 27 3 2 3 18 2 2 3 15 B C A A B C B B A C C                        3 3 3 3 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 2) 27 27 18 15 18ln 1 15ln 2 ( 1) 1 2 1 d x d x d x I x x x x x x                           = 27 18ln 2 2  Chú ý: Phương pháp được áp dụng để tính tích phân bất định trên là một trong số các phương pháp cơ bản để tích tích phân hàm số hữu tỉ Loại 3: Phương pháp nhân liên hợp Ví dụ 3: Tính tích phân I = 4 3 2 3 dx x x     Bài giải: Khử tính vô tỉ ở mẫu bằng cách trục căn thức, được: I =     4 4 4 1 1 2 2 3 3 3 1 1 2 3 2 ( 2) ( 3) ( 3) 5 5 x x dx x d x x d x                   =   4 3 3 3 2 2 ( 2) ( 3) 6 6 5 5 1 15 15 x x           Chú ý: Phương pháp được áp dụng để tính tích phân bất định trên là một trong số các phương pháp cơ bản để tích tích phân hàm số vô tỉ Loại 4: Phương pháp phân tích đối với tích phân lượng giác Ví dụ 4: Tính các tích phân a. I = 2 0 sinx dx   b. I = 3 2 4 sinx.cos dx x    c. I = 3 2 6 os sinx c xdx    Bài giải: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà a. Ta có: 2 (tan ) 2 ln tan sinx 2 2sin cos 2tan .cos tan 2 2 2 2 2 x d dx dx dx x d x x x x x           2 2 0 0 ln tan ln tan 0 2 2 x x I d              b. Ta có: 2 2 2 2 2 1 sin cos sinx 1 sinx.cos sinx. os cos sinx x x x c x x     3 3 3 3 3 2 2 4 4 4 4 4 (tan ) sinxdx (cos ) 1 2 ln tan cos sinx cos cos 2 tan 2 x d dx d x x I x x x x                             1 2 2 ln 3 tan 8     c. Ta có:   2 3 2 1 sin cos cos cos .cos cos sinx.cos sinx sinx sinx sinx x x x x x x x      2 2 2 2 6 6 6 6 cosxdx (sin ) sinx.cos sin x (sinx) sin sin d x I xdx d x x                  2 2 6 1 3 (ln sinx sin ) ln 2 2 8 x       Ví dụ 5: Tính các tích phân a. I = 2 4 0 sin xdx   b. I = 4 4 0 cos dx x   Bài giải: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà a. Ta sử dụng phép biến đổi 2 4 2 1 cos2 1 1 1 cos4 sin (1 2cos2 os 2 ) 1 2cos2 2 4 4 2 x x x x c x x                      3 1 1 cos2 cos 4 8 2 8 x x    2 2 2 2 0 0 0 0 3 1 1 3 1 1 3 cos2 cos4 ( sin 2 sin 4 ) 8 2 8 8 4 32 16 I dx xdx xdx x x x                 b. Sử dụng kết quả 2 (t anx) cos dx d x  4 4 4 2 3 2 2 0 0 0 1 1 4 . (1 tan ) (tan ) (t anx tan ) cos cos 3 3 dx I x d x x x x             Ví dụ 6: Tính các tích phân a. I = 4 2 0 tan xdx   b. I = 3 3 0 tan xdx   Bài giải: a. I =   4 4 2 0 0 1 1 t anx 1 cos 4 dx x x                b. Ta có: 3 2 2 2 1 1 sinx tan tan .t anx 1 tanx tanx. cos cos cos x x x x x            3 3 3 3 3 2 2 0 0 0 0 0 1 sin x (cos ) 1 3 t anx. t anx. (tan ) tan x+ln cos ln2 cos cos cos 2 2 dx d x I dx d x x x x x                        Tổng quát: Tính tích phân bất định tan , 2 n n I xdx n    Phân tích 2 2 2 2 2 2 2 1 1 tan tan .tan 1 tan tan . tan cos cos n n n n n x x x x x x x x                http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 1 2 1 tan tan 1 n n n I x dx n        1 2 1 tan 1 n n n I x I n       Đó là công thức truy hồi mà ta sẽ còn gặp lại Ví dụ 7: a. Xác định hằng số A, B, C sao cho 3sin cos 3 (sin 2cos 3) (cos 2sin ) x x A x x B x x C         b. Dựa vào kết quả đó tính tích phân 0 sin cos 1 sinx 2cos 3 x x I dx x        Bài giải: Ta có: 3sin cos 3 (sin 2cos 3) (cos 2sin ) x x A x x B x x C         ( 2 )sinx (2 )cos 3 A B A B x A C       Đồng nhất hệ số ta được: 2 3 1 2 1 1 3 3 0 A B A A B B A C C                      Khi đó I = 0 0 cos 2sin 1 ln sinx 2cos 3 ln5 sin 2cos 3 x x dx x x x x                         Chú ý: Thông thường trong bài tập không đưa gợi ý như câu a). Khi đó với các tích phân dạng: 1 1 1 2 2 2 sinx cos sinx cos b a a b x c I dx a b x c       Chúng ta nên sử dụng biện pháp phân tích     1 1 1 2 2 2 2 2 sinx cos sinx cos cosx- sin a b x c A a b x c B a b x C        ở đó A, B, C được xác định bằng phương pháp đồng nhất hệ số C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính các tích phân sau đây a)   1 0 dx 1x 1 b) dx 1xx 1x2 1 0 2    c)   3 1 23 dx x xxx http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà d) dx) x3 1 x4( 8 1 3 2   e) dx|1x| 2 2    g) dx|1x| 2 0   h) dx|1x| 2 2 2    i) 2 2 0 | x 2x 3|dx    k)   16 0 x9x dx l) 2 1 dx x 1 x 1     m)    3 2 2 dx 2xx 1x n) dx 2x3x x 1 0 2   o)   2 1 2 9x dx p)   3 1 2 3 16x dxx q)   5 4 2 dx 9x 1 r) 1 2 0 dx x 1   s)   3 2 2 dx 1x 1 t) dx8xx 2 0 3 32   Bài 2: Tính các tích phân sau đây a)   1 0 1x3 dxe b)   1 0 x xdxe 2 c)  4 1 x dx x e d)   2/ 0 3 xdxcosxsin e)   4 0 2 dx 2 x sin g)  e 1 2 dx x xln h)   4 0 x2cos dxx2sine i)    1 0 x2 dx) 1x 3 e( k) dx)xsin3 xcos 4 ( 4 4 2     l) dx xcos31 xsin 2 0    m) dx x )xsin(ln e 1  n) dx x xln1 e 1   o)    2/ 6/ 32 xdxcosxsin p)    4 0 dx x2sin21 x2cos q) dx x xln 2 e e  http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà r) dxx7sinx2sin 2 2     s)    3 4 2 xdxtg t) coxdxxsin41 6 0    u)    4 0 2 dx xcos x2sin1 v) dx xcotxsin 1 4 6 2    x) 2 0 sinxsin2xsin3xdx   . để tính tích phân bất định trên là một trong số các phương pháp cơ bản để tích tích phân hàm số vô tỉ Loại 4: Phương pháp phân tích đối với tích phân lượng giác Ví dụ 4: Tính các tích phân. pháp được áp dụng để tính tích phân bất định trên là một trong số các phương pháp cơ bản để tích tích phân hàm số hữu tỉ Loại 3: Phương pháp nhân liên hợp Ví dụ 3: Tính tích phân I = 4 3 2 3 dx x. 2 3sin 2 sin 4 2sin 2 x x x x x      B. CÁC VÍ DỤ Loại 1: Phân tích đưa về tích phân cơ bản Ví dụ 1: Tính các tích phân a. I =   1 2004 0 1 x x dx   b. I = 1 0 1 x dx e  