186 CHƯƠNG 5 PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT BẤT ĐẲNG THỨC. BÀI 1 PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. A. Phương trình mũ: 1. Dạng cơ bản: với f(x) b a b0 0a1:a b f(x) log > ⎧ ⎪ <≠ =⇔ ⎨ = ⎪ ⎩ 2. Đưa về cùng cơ số: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) g (x) aa= (1) . Nếu a là một số dương và khác 1 thì : (1) f(x) g(x)⇔= . Nếu cơ số a thay đổi thì : [] a0 (1) (a 1) f(x) g(x) 0 > ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ −−= ⎪ ⎩ (2) Lưu ý khi giải (2) phải có điều kiện để f(x) và g(x) xác đònh. 3. Logarit hoá hai vế: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) g (x) ab= (*) với 0a,b1<≠ Ta có: (*) f(x).loga g(x).logb⇔= với 0c1<≠ . 4. Đặt ẩn phụ: Có thể đặt 2 ta,t0=> với a thích hợp để đưa phương trình mũ về phương trình đại số. Lưu ý những cặp số là nghòch đảo của nhau như 21,± 23,± 38,± 52,± 524,± … 5. Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất. Một số phương trình được giải bằng cách tìm một nghiệm đặc biệt và dùng tính chất hàm số mũ để chứng minh nghiệm đó là duy nhất. 187 B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ: Ta có thể dùng các phương pháp biến đổi như phương trình mũ và các công thức sau: . Nếu a > 1 thì: f(x) g(x) a a f(x) g(x)>⇔> f(x) g(x) a a f(x) g(x)≥⇔≥ . Nếu 0 < a < 1 thì: f(x) g(x) a a f(x) g(x)>⇔< f(x) g(x) a a f(x) g(x)≥⇔≤↓ Tổng quát ta có: [] f(x) g(x) a0 aa (a 1) f(x) g(x) 0 > ⎧ ⎪ >⇔ ⎨ − −> ⎪ ⎩ [] f(x) g(x) a0 aa (a 1) f(x) g(x) 0 > ⎧ ⎪ ≥⇔ ⎨ − −≥ ⎪ ⎩ II. CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: Giải phương trình: xxx (2 3) (2 3) 4 − ++ = (Học viện công nghệ bưu chính viễn thông năm 1998) Giải xxx (2 3) (2 3) 4 − ++ = xx 23 23 1 44 ⎛⎞⎛⎞ −+ ⇔ += ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ (1) Vì 23 01, 4 − < < và 23 01 4 + < < Nhận xét: x = 1 là nghiệm của (1), ta chứng minh x = 1 duy nhất Vế trái là hàm số mũ giảm Vế phải là hàm hằng ⇒ x = 1 duy nhất. 188 Ví dụ 2: Giải phương trình: x2 x2 41610.2 −− += (*) (ĐH Hàng Hải năm 1998). Giải Điều kiện: x20 x2−≥⇔≥ Đặt x2 t2 − = (t > 0) (*) 2 t10t160⇔− += t8t2⇔=∨= . t = 8: x2 3 282x23x11 − == ⇔ −=⇔= . t = 2: x2 22x21x3 − =⇔ −=⇔= Vậy nghiệm phương trình: x 11 x 3=∨= Ví dụ 3: Giải phương trình: 2xx (3 2) (3 2) (5)−++= (ĐH Ngoại Thương Hà Nội năm 1997) Giải Ta có: 2xx ( 3 2) ( 3 2) ( 5)−++= * Xét x < 0: Vế trái = 2x (3 2) (3 2) 1−++>> vế phải * Xét x0:≥ vế trái > vế phải ⇒ Phương trình vô nghiệm. Ví dụ 4: Cho phương trình: tgx tgx (3 2 2) (3 2 2) m(1)++−= 1. Giải phương trình khi m = 6 2. Xác đònh m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm trong khoảng , 22 ππ ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ . (ĐH Quốc Gia TPHCM (Luật) năm 1996) Giải 1. m = 6: tgx tgx (1) (3 2 2) (3 2 2) 6 (2)⇔+ +− = Nhận xét: (3 2 2)(3 2 2) 1+−= Đặt tgx tgx 1 t(322)(t0) (322) t =+ >⇒− = 189 2 t322 1 (2) t 6 t 6t 1 0 t t322 ⎡ =+ ⇔+ = ⇔ − += ⇔ ⎢ =− ⎢ ⎣ . t = 3 tgx 22:(3 22) 3 22 t g x1 x k (kz) 4 π + +=+⇔=⇔=+π∈ . t = 3 t g x1 1 22:(322) 322 (322) 322 − −+ =−= =+ + t g x1x k' (k'z) 4 π ⇔ =− ⇔ =− + π ∈ 2. tgx tgx (3 2 2) (3 2 2) m (1)++−= Theo câu 1: Ta có: 2 1 tmtmt10 (3) (t0) t + =⇔− += > vì x,tgxR 22 ππ ⎛⎞ ∈ −⇒∈ ⎜⎟ ⎝⎠ tgx t(322) 0⇒= + > (1) có đúng 2 nghiệm x, 22 ππ ⎛⎞ ∈ −⇔ ⎜⎟ ⎝⎠ (3) có đúng 2 nghiệm phân biệt dương. 2 m40 0 p0 10(hiển nhiên) m2 s0 m0 ⎧ −> ∆> ⎧ ⎪ ⎪⎪ ⇔ >⇔ > ⇔ > ⎨⎨ ⎪⎪ >> ⎩ ⎪ ⎩ Vậy m > 2 thì (1) có 2 nghiệm , 22 π π ⎛⎞ ∈− ⎜⎟ ⎝⎠ Ví dụ 5: Giải bất phương trình: x x 2 231 < + (1) (ĐH Ngoại Thương năm 1995) Giải x x xx 31 (1) 2 3 1 1 22 ⎛⎞ ⎛⎞ ⇔< +⇔< + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ (2) 190 Đặt x x 31 f(x) 22 ⎛⎞ ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ là hàm số giảm vì cơ số a < 1 (a > 0) và f(2) = 1. (2) f(2) f(x) x 2⇔<⇔< Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 2 Ví dụ 6: Giải bất phương trình: xx1x 25 5 5 5 + +< + (ĐH DÂN LẬP NN - TH năm 1998). Giải Ta có: xx1x 25 5 5 5 + +< + Điều kiện x 0≥ x2 x x (5 ) 5.5 5 5 0⇔−−+< (1) Đặt x t5 (t0)=> 2 (1) t 6t 5 0 1 t 5⇔−+<⇔<< x 15 5 0 x1 0x1⇔< <⇔ < <⇔ < < Ví dụ 7: Giải bất phương trình: x3x 22 9 − +≤ (ĐH Kỹ thuật Công Nghệ năm 1998) Giải x3x 22 9 − +≤ x3x x x 8 22.2 92 90 2 − ⇔+ ≤⇔+−≤ (1) Đặt x t2= (t > 0) 2 8 (1) t 9 0 t 9t 8 0 1 t 8 t ⇔+ −≤ ⇔ − +≤ ⇔≤≤ 0x3 222 0x3⇔≤≤⇔≤≤ 191 III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. 1.1. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn 35 , 42 ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ của phương trình: 2 cos2x cos x 443 + = (ĐH Kiến Trúc Hà Nội năm 1998). 1.2. Tìm tất cả các giá trò của m để bất phương trình sau đây nghiệm đúng với mọi x > 0. xxx (3m 1).12 (2 m).6 3 0 + +− + < (Học viện công nghệ bưu chính viễn thông năm 1999). 1.3. Xác đònh các giá trò của m để bất phương trình sau đây có nghiệm: xx 4m.2m30 − ++≤ (ĐH Y DƯC TPHCM năm 1999). 1.4. Giải phương trình: x1 x 24x1 + − =− (ĐH Ngoại Thương năm 1997) 1.5. a. Giải bất phương trình: 21 1 xx 11 312 33 + ⎛⎞ ⎛⎞ + > ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ (*) b. Đinh m để mọi nghiệm của (*) đều là nghiệm của: 2 2x (m 2)x 2 3m 0 + ++−< 192 HƯỚNG DẪN VÀ GIẢI TÓM TẮT 1.1. 2 cos2x cos x 443(1)+= với 35 x, 42 ⎡⎤ ∈− ⎢⎥ ⎣⎦ Ta có: 2 cos2x 2cos x 1=− 22 2 2 2cos x 1 cos x 2cos x 1 cos x (1) 4 4 3 4 .4 4 3 0 −− ⇔+=⇔ +−= (1) Đặt 2 cos x t4= (t > 0) 2 2 t2(nhận) t (1) t 3 0 t 4t 12 0 t60(loại) 4 = ⎡ ⇔+−=⇔+−=⇔ ⎢ =− < ⎣ t = 2: 22 cos x 2 2 2cos x 42(2cosx)22 2=⇔ =⇔ = 22 12 335 2cos x 1 cos x cosx x x , 224442 ππ ⎡ ⎤ ⇔=⇔=⇔=±⇔=∨=∈− ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1.2. xxx (3m 1).12 (2 m).6 3 0++−+< (1) xx (3m 1).4 (2 m).2 1 0⇔+ +− +< (*) Đặt x t2(t0)=> vì x > 0 ⇒ t > 1 (*) 2 (3m 1)t (2 m)t 1 0⇔++−+< (**) (1) đúng x 0 (**)∀> ⇔ đúng t 1∀> . (**) 22 (3t t)m t 2t 1⇔−<−−− 2 2 2 (t 2t 1) m (3t t 0) 3t t −++ ⇔< −> − Đặt 2 2 (t 2t 1) f(t) (t 1) 3t t ++ =− > − 2 22 7t 6t 1 f'(t) 0 (3t t) +− => − (vì 2 t1 7t 6t10)>⇒ + −> 193 BBT: mminf(t) 2 m 2⇒< =−⇔<− 1.3. xx 4m.2m30−++≤ (1) Đặt x t2 = (t > 0) 2 (1) t mt m 3 0 ⇔ −++≤ 2 t 3 m(t 1) (t 1) ⇔ +≤ − ≠ 2 2 t3 m (khi t 1) t1 t3 m (khi 0 t 1) t1 ⎡ + ≤> ⎢ − ⎢ ⇔ ⎢ + ≥<< ⎢ − ⎣ Đặt 22 2 t3 t2t3 f(t) f'(t) t1 (t 1) +−− =⇒= − − 2 t1 f'(t) 0 t 2t 3 0 t3 = − ⎡ =⇔ − −=⇔ ⎢ = ⎣ BBT: Từ BBT (1) ⇒ có nghiệm m3 m6 ≤ − ⎡ ⇔ ⎢ ≥ ⎣ 194 1.4. x1 x 24x1 + −=− xx xx 42.2 x1 2(2 2) x 1 (*) ⇔− =−+ ⇔−=−+ Nhận thấy x = 1 là nghiệm của (*). Ta chứng minh x = 1 duy nhất trong phương trình (*): Vế trái là hàm số tăng. Vế phải là hàm số giảm ⇒ x = 1 duy nhất. 1.5. a. (*) 21 xx 11 12 0 33 ⎛⎞ ⎛⎞ ⇔+−> ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ . Đặt 1 x 1 t0 3 ⎛⎞ => ⎜⎟ ⎝⎠ 2 tt120t4t3⇔+−>⇔<−∨> (loại). với t > 3 1 1 x x 111 33 3 1 10 3xx − ⎛⎞ ⇔>⇔>⇔−>⇔+< ⎜⎟ ⎝⎠ x(x 1) 0 1 x 0⇔+<⇔−<<. b. Đặt 2 f(x) 2x (m 2)x 2 3m=+++− BBT: f(x) 0, x ( 1,0) <∀∈− 12 1 mx10x f( 1) 0 2 4m 0 2 f(0) 0 2 3m 0 2 2 mm 33 ⎧ ≥⇒ ≤−<≤ ⎪ −≤ − ≤ ⎧⎧ ⎪ ⇔⇔ ⇔ ⎨⎨ ⎨ ≤−≤ ⎩⎩ ⎪ ≥⇔ ≥ ⎪ ⎩ . 18 6 CHƯƠNG 5 PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT BẤT ĐẲNG THỨC. BÀI 1 PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. A. Phương trình mũ: 1. Dạng cơ bản: với. ⎛⎞ ⇔+−> ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ . Đặt 1 x 1 t0 3 ⎛⎞ => ⎜⎟ ⎝⎠ 2 tt120t4t3⇔+−>⇔<−∨> (loại). với t > 3 1 1 x x 11 1 33 3 1 10 3xx − ⎛⎞ ⇔>⇔>⇔−>⇔+< ⎜⎟ ⎝⎠ x(x 1) 0 1 x 0⇔+<⇔−<< viễn thông năm 19 99). 1. 3. Xác đònh các giá trò của m để bất phương trình sau đây có nghiệm: xx 4m.2m30 − ++≤ (ĐH Y DƯC TPHCM năm 19 99). 1. 4. Giải phương trình: x1 x 24x1 + − =− (ĐH