Phương trình mũ - phần 3 - ViettelStudy

PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A.PHƢƠNG TRÌNH MŨ VẤN ĐỀ 1: Các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ. I.Công thức lũy thừa và căn thức. . . . m n m n m n m n m n m n n n n n m n m m n m n a a a a a a aa a b a b aa aa         II. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ. 1) Đƣa về dạng cơ bản. () 0 (0 1) ( ) log fx a b a b a f x b          2)Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số. Biến đổi phƣơng trình về dạng :   () ( ) ( ) 01 gx f x a f x g x a         Nếu cơ số a không phụ thuộc x ( a=a(x))   ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ( ) 1)( ( ) ( )) 0 g x f x ax a x a x a x f x g x           3)Phƣơng pháp dùng ẩn số phụ. Đặt t= ()fx a chọn cơ số a thích hợp Điều kiện t >0 Biến đổi phƣơng trình mũ về phƣơng trình bậc 2 , bậc3 theo t Giải phƣơng trình này và chọn nghiệm t >0 Giải tiếp suy ra x 4)Phƣơng phƣơng pháp đƣa về phƣơng trình tích. -Nhóm các số hạng rồi đặt thừa số chung suy ra phƣơng trình tích 5)Phƣơng pháp lấy logarit thích hợp 2 về. Dạng ( ) ( ) 01 01 f x g x a ab b            Lấy logarit cơ số a 2 vế ( ).log ( )log ( ) ( ).log aa a f x a g x b f x g x b   PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 6)Phƣơng pháp dùng tính đơn điệu. Biến đổi phƣơng trình về dạng f(x)=g(x) Trong đó f(x) và g(x) là 2 hàm số đơn điệu Đoán nhận 1 nghiệm x= 0 x Suy ra phƣơng thình có nghiệm duy nhất x= 0 x III.Một số ví dụ. VD1:Giải phƣơng trình 0,5 1 (0,2) 5.(0,04) 5 x x    Giải: 1 1 1 2 1 2 11 2( 1) 22 23 51 (1) 5. 25 5 5 5.5 55 23 3 x x x x xx xx x                      VD2: Giải phƣơng trình:   2 2 24 4 2 5. 2 6 0 xx xx        Giải: Điều kiện 2 4 0 2xx     hoặc 2x      2 2 24 4 (1) 2 5. 2 2 6 0 xx xx         Đặt t= 2 4 ( 2) xx . Điều kiện t>0  2 4 5 6 3 2 2 t tt t           2 4 22 22 3 ( ai) 2 t=4 ( 2) 4 4 4 4 4 04 4 16 8 4 5 2 xx t lo x x x x x x x x x x                              PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT ĐS: 5 2 x  VD3.Giải phƣơng trình 8.3 3.2 24 6 x x x    (1) Giải: (1) 8.(3 3) 2 (3 3) (3 3)(2 8) 0 3 3 1 2 8 3 x x x x x x x x x                   ĐS: x=1;x=3 VD4.Giải phƣơng trình 2 42 35 xx  (1) Giải: Lấy logarit cơ số 3 hai vế 22 3 3 3 2 3 ( 4)log 3 2 .log 5 4 2 log 5 2 log 5 4 0 x x x x xx          2 33 2 33 log 5 log 5 4 log 5 log 5 4 x x            VD5.Giải phƣơng trình 37 2 55 x x     Giải: Ta thấy x=1 là một nghiệmcủa phƣơng trình Đặt 37 () 55 x fx     là hàm số giảm trên R ( ) 2 x gx là hàm số tăng trên R Mà f(1)=g(1) Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất x=1 VD6. Giải phƣơng trình: 1 1 1 2 3 5 2 3 5 x x x x x x         Giải: Đặt 1 ( ) 2 3 5 x x x fx     là hàm số tăng trên R 11 ( ) 2 3 5 x x x gx       là hàm số giảm trên R Mà 11 22 fg              nên phƣơng trình có nghiệm x= 1 2 PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT VD7 Giải phƣơng trình: 22 3.25 (3 10).5 3 0(1) xx xx       Giải : Đặt t= 2 5 x (t>0) (1) 2 3 (3 10) 3 0(2)t x t x      1 3 3 t tx        Với 2 5 5 1 1 1 5 2 log 3 3 3 2 log 3 x tx x           Với 2 3 5 3 (3) x t x x       (3) có 1 nghiệm x=2 Đặt 2 ( ) 5 x fx   là hàm số tăng trên R ( ) 3g x x là hàm số giảm trên R Vậy (3) có nghiệm duy nhất x=2 Vậy (1) có nghiệm : x=2 ; 5 2 log 3x  IV.Một số bài tập: Bài 1: Giải phƣơng trình: 1 4 2 4 2 2 16 x x x      Bài 2: Giải phƣơng trình:   1 2 log 9 5.3 4 xx  Bài 3: Giải phƣơng trình:     2 3 2 3 4 xx     Bài 4: Giải phƣơng trình: 2 1 2 4 .3 3 2 .3 2 6 x x x x x x x       Bài 5: Giải phƣơng trình: 111 9 6 4 0 xxx    VẤN ĐỀ 2: Tìm m để phƣơng trình mũ có nghiệm, có nghiệm duy nhất. I. Tìm m để phƣơng trình mũ: F(x,m)=0 (1) có nghiệm x  D. Cách giải: -Đặt ẩn phụ: t:=q(t), tìm điều kiện cho ẩn phụ t. -Chuyển điều kiện x  D thành điều kiện t  T. -Biến đổi phƣơng trình (1) thành phƣơng trình bậc 2 theo t f(t,m)=0 (2). *Cách 1. -Biến đổi (2) tƣơng đƣơng với f(t)=m (2’) với t  T. -Tính f’(t), lập bảng biến thiên. -Để (1) có nghiệm x  D khi và chỉ khi (2’) có nghiệm t  T điều này cũng tƣơng đƣơng với đƣờng thẳng y=m có điểm chung với đồ thị y=f(t) -Dựa vào bảng biến thiên để tìm điều kiện của m. PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT *Cách 2. -Ta có (1)  f(t,m)=0 (2) (bậc 2 theo t) -Để (1) có nghiệm x  D khi và chỉ khi (2) có nghiệm t  T Tức là (2) có 1 trong 2 nghiệm thuộc T hoặc cả hai nghiệm đều thuộc T. II. Tìm m để phƣơng trình có nghiệm duy nhất *Cách 1. Điều kiện cần. -Giả sử phƣơng trình có nghiệm x 0 . Dựa vào tính đối xứng, hàm số chẵn, giá trị tuyệt đối … phƣơng trình có nghiệm x 1 . -Từ đó phƣơng trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi x 0 =x 1 . -Thay vào phƣơng trình để tìm giá trị m. Điều kiện đủ. -Thay giá trị m vừa tìm đƣợc vào phƣơng trình. -Giải phƣơng trình và chọn m sao cho thỏa mãn điều kiện phƣơng trình có nghiệm duy nhất. Từ đó đƣa ra kết luận các giá trị m thỏa mãn. *Cách 2. -Bằng cách đặt ẩn phụ t=q(x) để đƣa phƣơng trình đã cho về dạng f(t)=m. -Đặt y=f(t) với t  T -Tính f’(t), lập bảng biến thiên trên T. -Từ đó phƣơng trình (2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đƣờng thẳng y=m chỉ có duy nhất một điểm chung với đồ thị y=f(t). -Dựa vào bảng biến thiên để có đƣợc giá trị m cần tìm. III.Một số ví dụ : VD1: Định m để phƣơng trình:       1 4 2 3 2 3 0 1 xx m m m      có nghiệm Giải: Đặt: t=2 x (t>0)            2 22 22 2 2 1 1 2 3 3 0 2 6 3 2 1 6 3 63 20 21 m t m t m mt m m t t m t t t t tt mt tt                         Đặt     2 2 63 0 21 tt f t t tt          2 2 2 2 4 8 12 21 1 0 4 8 12 0 3 tt ft tt t f t t t t                    PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Bảng biến thiên: Để (1) có nghiệm   2xR có nghiệm t>0  Đƣờng thẳng y=m cớ điểm chung với đồ thị   y f x . Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 3 3 2 m   ĐS: 3 3 2 m   Ví dụ 2: Cho phƣơng trình:       3 16 2 1 4 1 0 1 xx x m m      Tìm m để phƣơng trình có 2 nghiệm trái dấu. Giải: Đặt:   40 x tt phƣơng trình (1) trở thành         2 3 2 1 1 0 2f t m t m t m       Phƣơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu 12 0 1 2 1 2 0 4 4 4 1 xx x x t t         (2) có nghiệm t 1 , t 2 thõa 0 < t 1 < 1 < t 2           . 1 0 . 0 0 3 4 3 0 3 1 0 3 3 4 3 1 3 4 1 af af mm mm m m m m                                           Vậy phƣơng trình có 2 nghiệm trái dấu khi: . 3 1 4 m    Ví dụ 3: Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm duy nhất:   1 1 3 2 1 2 x m   Giải: Phƣơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT       1 2 2 2 2 3 2 0 3 11 1 2 1 log 3 2 3 2 1 log 3 2 1 log 3 2 x mm x mm xm xm                       Phƣơng trình có nghiệm duy nhất       22 2 1 log 3 2 1 log 3 2 log 3 2 0 3 2 1 1 mm m m m               IV.Một số bài tập: Bài 1: Tìm m để phƣơng trình     4 9 2 2 3 1 0 xx m m m      có nghiệm. Bài 2: Tìm m để phƣơng trình .2 2 5 0 xx m     có 1 nghiệm duy nhất. Bài 3: Định m để phƣơng trình:     3 2 2 3 2 2 tgx tgx m    Có đúng 2 nghiệm trong , 22      Bài 4:Tìm k để phƣơng trình     1 1 4 3 2 .2 3 1 0 xx k k k        có 2 nghiệm trái dấu. Bài 5:Giải và biện luận phƣơng trình .3 .3 8 xx mm   B.PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT VẤN ĐỀ 1: Các phƣơng pháp giải phƣơng trình logarit. I.Dạng cơ bản:   log log 0, 1 log , ; ; 0 a N a x x a x N x a a a a x x a x x           Công thức đổi cơ số: log log log log log log a a a b b a x x b x x b    1 log log x a a x  ; log log bb ca ac 3 1 log log 3 log log a a a a xx xx       II.Các phƣơng pháp giải phƣơng trình logarit. 1.Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số -Biến đồi phƣơng trình về dạng: PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT              log log 0 1 0 0 aa f x g x a fx gx f x g x                 2.Phƣơng pháp đặt ẩn phụ: -Chọn ẩn số phụ thích hợp, biến đối phƣơng trình đã cho thành một phƣơng trình đại số. 3.Phƣơng pháp đƣa về dạng phƣơng trình tích: -Nhóm các số hạng, đặt thừa số chung suy ra phƣơng trình tích. 4.Phƣơng pháp dùng tính đơn điệu. -Suy đoán 1 nghiệm đặc biệt và chứng minh nghiệm đó duy nhất. 5.Dạng:     01 log log 01 m ab a f x a g x b       -Suy đoán nghiệm x 0 và chứng minh nghiệm duy nhất. -Nghiệm duy nhất x 0 thõa:     0 0 m n f x a g x a        6.Dùng phƣơng pháp đối lập. AB Am Am Bm Bm             7.Dạng:         log log a x a x f x g x           0 1 0 ax ax fx f x g x             III.Một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải phƣơng trình:      4 2 11 log 3 log 4 1 24 xx Giải: ĐK: 0 1 x x                     2 2 2 2 11 1 log 3 . .8log 1 log 4 42 log 3 1 log 4 3 1 4 2 x x x x x x x x x             PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT  Nếu 0< x <1 :  Nếu x>1 ĐS: 3; 3 2 3xx    Ví dụ 2: Giải phƣơng trình:   12 11 4 lg 2 lgxx   Giải: ĐK: 4 0 0 lg 4 10 lg 2 1 100 x x xx x x                  Đặt:   lg 4 2t x t t            2 2 12 11 42 2 2 4 4 2 10 8 4 2 3 2 0 1 2 tt t t t t t t t t tt t t                             1 lg 1 10t x x      2 2 lg 2 10 100t x x      ĐS: x=10; x=100 Ví dụ 3: Giải phƣơng trình:     32 log log 1 1xx PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Giải: Điều kiện: 0x  Đặt: 2 log 3 t t x x           2 1 log 1 3 2 1 3 13 12 22 t t t t t t                Nhận xét: t=2 là nghiệm của (2) Vế trái là hàm số giảm. Vế phải là hàm số hằng. Nên phƣơng trình có 1 nghiệm duy nhất là 2 3 2 log 2 3 9t x x      ĐS: x=9 IV.Một số bài tập: Bài 1: Giải phƣơng trình         2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 log 1 log 1 log 1 log 1x x x x x x x x           Bài 2: Giải phƣơng trình: 4 21 2 log 1 21 x x x     Bài 3: Giải phƣơng trình:     22 3 2 3 log 2 9 9 log 4 12 9 4 0 xx x x x x         Bài 4: Giải phƣơng trình:   9 log 1 lg 0 2 x x    Bài 5: Giải phƣơng trình:     22 3 1 log 3 1 2 log 1 log 2 x xx       VẤN ĐỀ 2: Định m để phƣơng trình logarit có nghiệm, có nghiệm duy nhất: I.Tìm m để phƣơng trình:     , 0 1F x m  có nghiệm xD -Đặt ẩn số phụ: log a tx thích hợp. -Chuyển điều kiện x D t T   -Biến đổi (1) thành phƣơng trình bậc 2 theo t. Biến đổi phƣơng trình này về dạng:     2f t m -Tính   ,f t t T   . Lập bảng biến thiên -Để (1) có nghiệm trên D  (2) có nghiệm trên T. -Dựa vào bảng biến thiên  điều kiên của m II. Định m để phƣơng trình logarit có nghiệm duy nhất: Cho phƣơng trình ( chứa logarit )     , 0 1F x m  -Đặt:   t p x -Tìm điều kiện của tT -Biến đổi phƣơng trình (1) về dạng:     2f t m [...]... Bài 1: Tìm m để phƣơng trình 4 log 2 x  2  log 1 x  m  0 có nghiệm thuộc khoảng  0,1 Bài 2: Giải và biện luận phƣơng trình theo m 2log3 x  log3  x  1  log3 m  0   2 Bài 3: Tìm m để phƣơng trình lg 2 x 2  mx  lg 2  x  3  0 có nghiệm     Bài 4: Cho phƣơng trình: log 2 mx3  5mx 2  6  x  log 2 m 3  x  1 1 Tìm các giá trị của x nghiệm đúng phƣơng trình (1) với mọi m  0...PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT -Tính f   t  với t  T -Lập bảng biến thiên trên T -Phƣơng trình (1) có nghiệm duy nhất  (2) có nghiệm duy nhất trên T -Dựa vào bảng biến thiên  Đk của m  Cách khác: Phƣơng trình (1)  (2) là phƣơng trình bậc hai với x   Để (1) có nghiệm duy nhất   2  có 1 nghiệm kép x1  x2   b... để phƣơng trình: lg  x 2  2mx   lg  x  1  0 1 có nghiệm Giải: Ta có: 1  lg  x 2  2mx   lg  x  1 x 1  0  2  x  2mx  x  1 x  1     x2  x  1  m  2  2x   x2  x  1 Đặt: f  x    x  1 2x 2 x 2  2 f  x   0 vì x>1 4x2 Bảng biến thiên: PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm x>1  m   1 2 Ví dụ 2: Tìm m để phƣơng trình: ... nghiệm     Bài 4: Cho phƣơng trình: log 2 mx3  5mx 2  6  x  log 2 m 3  x  1 1 Tìm các giá trị của x nghiệm đúng phƣơng trình (1) với mọi m  0   Bài 5: Với giá trị nào của a thì phƣơng trình: log a a  a  x  Có nghiệm duy nhất 2 log x a .           PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT ĐS: 5 2 x  VD3.Giải phƣơng trình 8 .3 3.2 24 6 x x x    (1) Giải: (1) 8. (3 3) 2 (3 3) (3 3)(2 8) 0 3 3 1 2 8 3 x x x x x x x x x  . x=1;x =3 VD4.Giải phƣơng trình 2 42 35 xx  (1) Giải: Lấy logarit cơ số 3 hai vế 22 3 3 3 2 3 ( 4)log 3 2 .log 5 4 2 log 5 2 log 5 4 0 x x x x xx          2 33 2 33 log. phƣơng trình:   1 2 log 9 5 .3 4 xx  Bài 3: Giải phƣơng trình:     2 3 2 3 4 xx     Bài 4: Giải phƣơng trình: 2 1 2 4 .3 3 2 .3 2 6 x x x x x x x       Bài 5: Giải phƣơng trình: 111 9