Ứng dụng của bất đẳng thức Bunhiacopski

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page1 I.Bất đẳng thức Bunhiacơpxki ( BCS ) : Cho 2 bộ số thực () 12 ; ; ; n aa a và () 12 ; ; ; n bb b , mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có: () () ( ) 2 22 222 2 11 2 2 1 2 1 2 nn n n ab a b a b a a a b b b+++ ≤+++ +++ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 12 12 n n a aa bb b === với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0. II. Các hệ quả : Hệ quả 1: Nếu 11 nn ax ax C++ =(khơng đổi) thì () 22 1 22 1 min n n C xx aa ++ = + + đạt được khi 1 1 n n x x aa == Hệ quả 2: Nếu 222 1 n x xC++ = (khơng đổi) thì () 22 11 1 max nn n ax ax C a a + += ++ đạt được khi 1 1 0 n n x x aa == ≥ () 22 11 1 min nn n ax ax C a a++ =− ++ Dấu “=” xảy ra 1 1 0 n n x x aa ⇔==≤ III.Bất đẳng thức Bunhiacơpxki mở rộng: • Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacơpxki cho 3 dãy số thực khơng âm () 12 ; ; ; n aa a ; () 12 ; ; ; n bb b ; () 12 ; ; ; n cc c ta ln có : () () ( ) ( ) 2 33 333 333 3 111 222 1 2 1 2 1 2 nnn n n n abc abc a bc a a a b b b c c c+++ ≤+++ +++ +++ Chứng minh: Đặt 33 3 33 3 33 3 333 12 12 12 , , nn n Aaa aBbb bCcc c= + ++ = + ++ = + ++ Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page2 Nếu 0A = hoặc 0B = hoặc 0C = thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì khi đó cả hai vế của bất đẳng thức đều bằng 0. Vậy ta chỉ xét trường hợp 0; 0; 0ABC>>> Đặt ;; iii iii abc xyz ABC === với 1;2;3i = Khi đó ta có: 333 123 333 123 333 123 1 1 1 xxx yyy zzz ⎧ ++= ⎪ ++= ⎨ ⎪ ++= ⎩ và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 111 2 22 3 33 1xyz xyz xyz++≤ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số khơng âm: ( ) 333 ;; 1;2;3 iii xyzi= ta có: 333 111 111 333 222 222 333 333 333 3 3 3 x xx xyz x xx xyz x xx xyz ⎧ ++ ≤ ⎪ ⎪ ⎪ + + ≤ ⎨ ⎪ ⎪ ++ ≤ ⎪ ⎩ Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được: 111 2 22 3 33 1xyz xyz xyz + +≤(đpcm) Đẳng thức xảy ra 111 111 222 222 333 333 abc ABC xyz abc xyz ABC xyz abc ABC ⎧ == ⎪ == ⎧ ⎪ ⎪⎪ ⇔==⇔ == ⎨⎨ ⎪⎪ == ⎩ ⎪ == ⎪ ⎩ Hay () :: :: 1;2;3 iii abc ABCi==tức là: 111 2 2 2 3 33 :: :: ::abc abc abc = = • Tổng qt : bất đẳng thức Bunhiacơpxki mở rộng cho rộng cho m dãy số thực khơng âm: Cho m dãy số thực khơng âm: () 12 ; ; ; n aa a , () 12 ; ; ; n bb b , … , () 12 ; ; ; n KK K Ta có: () ( ) ( )( ) 11 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 m mm mmm m m m m nn n n n n ab K a b K a b K a a a b b b K K K+++ ≤++++++ +++ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 11 1 2 2 2 : : : : : : : : : nn n ab K ab K a b K==( chứng minh tương tự như trên) I- MỘT SỐ VÍ DỤ : Bài 1: Cho ,, x yz là ba số dương thỏa 4 9 16 49xy z++ =. Chứng minh rằng: 12564 49T xy z = ++≥ Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page3 Đẳng thức xảy ra khi nào? Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho sáu số 2;3;4 x yzvà 158 ;; x yz ta được: () ()()() 2 2 2 222 12584 1 5 8 49. 4 9 16 2 3 4Txyz x y z xy z xyz ⎡ ⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎡⎤ ⎢ ⎥ =++ ++ = + + + + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎜⎟ ⎣⎦ ⎢ ⎥ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎣ ⎦ 2 2 158 2. 3. 4. 49xyz xyz ⎛⎞ ≥++ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ 12564 49T xy z ⇒=+ + ≥ Đẳng thức xảy ra khi 1 2 158 5 234 3 4 9 16 49 2 x xyz y xy z z ⎧ = ⎪ ⎧ ⎪ == ⎪⎪ ⇔= ⎨⎨ ⎪⎪ ++ = ⎩ = ⎪ ⎪ ⎩ Bài 2 : Cho 0; 0xy>> và 22 x yxy+≤+.Chứng minh: 325xy+≤+ Hướng dẫn giải Giả thiết: 22 22 111 222 xyxy x y ⎛⎞⎛⎞ +≤+⇔− +− ≤ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số: () 11 1; 3 ; ; 22 xy ⎛⎞ −− ⎜⎟ ⎝⎠ ta có: 2 22 11 11 1. 1 3. 10 5 22 22 yxy ⎡⎤ ⎡⎤ ⎛⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ −+−≤ −+−≤ ⎢⎥ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢⎥ ⎝⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣⎦ ⎢⎥ ⎣⎦ () 2 32 5xy⇒+− ≤ 32 5xy⇒+ −≤ 325xy⇒+ ≤+ Đẳng thức xảy ra khi 15 210 135 210 x y ⎧ =+ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ =+ ⎪ ⎩ Bài 3 : Cho , , 0abc≥ ; 1abc++=.Chứng minh: Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page4 222 1111 30 ab bc ac abc + ++≥ ++ Hướng dẫn giải Gọi 222 1111 A ab bc ac abc =+++ ++ Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số: ( ) 222 222 1111 ;;; ;3 ;3 ;3 ab bc ca abc abc ab bc ca ⎛⎞ ⎜⎟ ++ ⎝⎠ ++ Ta có: () () 2 222 1333 9 9 9a b c ab bc ca A+++ ≤ + + + + + ()( ) 2 100 7abc abbcca A ⎡⎤ ⇒≤+++ ++ ⎣⎦ (*) Mà () 2 11 (do 1) 33 ab bc ca a b c a b c++≤ ++ = ++= Do đó: (*) 30.A⇒≥ Đẳng thức xảy ra khi 1 3 abc=== Bài 4 : Cho ; ; 0xyz> và thoả 1 x yz++≤.Chứng minh : 222 222 111 82xyz xyz ++ ++ +≥ Hướng dẫn giải Gọi 222 222 111 Sx y z x yz =+++++ Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số: () 1 1; 9 ; ;x x ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ Ta có: 22 22 911 181. 82.xxx x x x +≤ + + = + (1) Tương tự: 2 2 91 82.yy y y +≤ + ` (2) 2 2 91 82.zz z z +≤ + (3) Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được: 111 .82 9Sxyz x yz ⎛⎞ ≥+++ + + ⎜⎟ ⎝⎠ Hay () () 111 .82 81 9 80Sxyz xyz xyz ⎛⎞ ≥+++++−++ ⎜⎟ ⎝⎠ Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page5 () 111 2.9.3. 80 162 80 82xyz xyz ⎛⎞ ≥++++−≥−= ⎜⎟ ⎝⎠ Vậy 222 222 111 82xyz xyz ++ ++ +≥ Bài 5 : Cho ba số thực dương ,,abcthoả ab bc ca abc + += .Chứng minh rằng: 22 22 22 222 3 ba cb ac ab bc ca +++ ++≥ Hướng dẫn giải Ta có: 22 22 22 2 2 2211 2 ba ba ab ab a b ++ ==+ (do ,abdương) Đặt 111 ;;xyz abc === thì giả thiết ,, 0 ;; 0 1 abc xyz ab bc ca abc x y z >> ⎧⎧ ⇔ ⎨⎨ ++= ++= ⎩⎩ và (đpcm) 22 22 22 2223xy yz zx⇔+++++≥ Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có: () ( ) () 2 22 222 323 x yxyyxyy+=++≥++ () 22 1 22 3 x yxy⇒+≥ + Tương tự () 22 1 22 3 y zyz+≥ + () 22 1 22 3 zx zx+≥ + Vậy () 22 22 22 1 2223333 3 xy yz zx xyz+++++≥ ++= Đẳng thức xảy ra khi 1 3 xyz=== Với 1 3 xyz=== thì 3abc=== Bài 6 : Chứng minh: () 111 1abccab−+ −+ −≤ + với mọi số thực dương ;; 1abc≥ Hướng dẫn giải Đặt 222 1;1;1axbycz−= −= −= Với ; ; 0.xyz> Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: ()()() 222 1111xyz z x y ⎡ ⎤ ++≤ + + ++ ⎣ ⎦ Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có: Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page6 ()() () ( ) 22 22 11 11 x yx y xyzx y z+≤++⇒++≤+++ (1) ()() ()() 22 22 2 11 111.1xy zxy z+++≤++++ (2) Kết hợp (1) và (2) ta có ()()() 222 1111xyz z x y ⎡ ⎤ ++≤ + + ++ ⎣ ⎦ Vậy () 111 1abccab−+ −+ −≤ + (đpcm) Bài 7 : Cho ; ; 0abc> và thoả 1abc = .Chứng minh: ()()() 333 1113 2 abc bca cab ++≥ +++ Hướng dẫn giải Đặt 111 ;;xyz abc === 1; 0; 0; 0xyz x y z⇒=>>> Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau : A= 222 3 2 xyz yz zx xy + +≥ +++ Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số : () ;; ; ; ; xyz yz zx xy y zzxxy ⎛⎞ +++ ⎜⎟ ⎜⎟ +++ ⎝⎠ Ta có: ()( ) 2 x yz yzzxxyA++ ≤ +++++ 3 33 . 22 2 xyz Axyz ++ ⇒≥ ≥ =(do 1xyz = ) 3 2 A⇒≥ Đẳng thức xảy ra khi 1 x yz=== Với 1 x yz===thì 1.abc=== Bài 8 : Cho ; ; 0abc> .Chứng minh: ()() ()() ()() 1 abc a abac b bcba c cacb ++≤ ++ + ++ + ++ + Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số: ( ) ( ) ;;;ab ca Ta có: () ()() ()() 2 ac ab a b c a ac ab a b c a+≤++⇒+≤++ ()() aacaba abca⇒+ + ≤+ + + ()() aaa aacab abc aabac ⇒≤= ++ ++ ++ + (1) Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page7 Tương tự: ()() bb abc bbcba ≤ ++ ++ + (2) ()() cc abc ccacb ≤ ++ ++ + (3) Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được: ()() ()() ()() 1 abc a abac b bcba c cacb ++≤ ++ + ++ + ++ + Đẳng thức xảy ra khi abc==. Bài 9 : Cho ; 0ab> và thoả 22 9ab+=.Chứng minh : 32 3 32 ab ab − ≤ ++ Hướng dẫn giải Ta có: 22 9ab+= () ()() 2 29 233 ab a b ab a b a b ⇔=+− ⇔=++ +− 2 3 3 3 322 ab ab ab ab a b ab ⇔=+− ++ + ⇔=− ++ Mà theo BĐT Bunhiacơpxki thì 22 2. 3 2ab a b+≤ + = Nên 32 3 32 ab ab − ≤ ++ Đẳng thức xảy ra khi 22 ;0 3 9 2 ab ab ab ab > ⎧ ⎪ ⎪ +=⇔== ⎨ ⎪ ⎪ = ⎩ Bài 10: Cho ; ; ;abcddương tuỳ ý.Chứng minh : 111 p qpqpq a b c pa qb pb qc pc qa + ++ ++≥ + + +++ Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có () () 2 2 pq pq p qpaqb paqb ab ab ⎛⎞ ⎛⎞ += + ≤+ + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ Tương tự ta chứng minh được () ()() () 22 ; pq pq p qpbqcpqpcqa bc ca ⎛⎞ ⎛⎞ +≤+ + +≤+ + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức ta có : Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page8 () () 2 111 111 pq pq p aqb pbqc pcqa abc ⎡⎤ ⎛⎞ +++≤+++ ⎜⎟ ⎢⎥ +++ ⎝⎠ ⎣⎦ Hay () 111111 pq p aqb pbqc pcqa abc ⎡⎤ +++≤++ ⎢⎥ +++ ⎣⎦ Vậy 111 p qpqpq a b c pa qb pb qc pc qa + ++ ++≥ + + +++ Bài 11 : Cho 4 số dương ;;;abcd.Chứng minh: 33332222 3 a b c d abcd bcd cda bd a abc +++ +++≥ ++ ++ + + ++ Hướng dẫn giải Đặt 3333 abcd P bcd cd a bda abc =+++ ++ ++ ++ ++ Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số: ()()()() () 3333 ;;;; ;;; abcd ab c d bc d a cd b a d a b c bcd cd a bd a abc ⎛⎞ ++ ++ ++ ++ ⎜⎟ ⎜⎟ ++ ++ ++ ++ ⎝⎠ Ta có: () ()()()() 2 222 2 a b c d Pabcd bcda cd ab dabc+++ ≤ +++ +++ +++ ++⎡⎤ ⎣⎦ () () ( ) 2 2 222 2 222 2 abcd Pabcd abcd ⎡⎤ ⇔ +++ ≤ +++ − +++ ⎣⎦ (1) Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số: () ( ) ; ; ; ; 1; 1;1;1abcd ta được: () () 2 222 2 4abcd abcd+++ ≤ + + + (2) Từ (1) và (2) ta được () ( ) 2 222 2 222 2 222 2 3 3 abcd Pabcd abcd P +++ ≤ +++ ⇔+++≤ Vậy 33332222 3 a b c d abcd bcd cda bda abc +++ +++≥ ++ ++ ++ ++ Bài 12 : Cho các số dương ;;abc thỏa a + b + c = 1 . Chứng minh : 1 111 abc ba cb ac + +≥ +− +− +− Hướng dẫn giải Đặt 111 222 abc abc A ba cb ac bc ca ab =++ =++ +− +− +− + + + Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có: () () () () ()()() 2 2 222 222 222 222 abc abc a bc b ca c ab bc ca ab abc abc bca cab bc ca ab ⎡⎤ ++ = + + + + + ⎢⎥ ++ + ⎣⎦ ⎡⎤ ≤++ +++++ ⎡⎤ ⎣⎦ ⎢⎥ +++ ⎣⎦ Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page9 () () 2 3 abc A ab bc ca ++ ⇔≥ ++ Ta lại có: ()( ) 2 3abc abbcca++ ≥ + + . Suy ra ( ) () 3 1 3 ab bc ca A ab bc ca ++ ≥= ++ Vậy 1 111 abc ba cb ac ++≥ +− +− +− Dấu đẳng thức xảy ra khi 222 1 3 1 bc ca ab abc abc abc += += + ⎧ ⎪ == ⇔=== ⎨ ⎪ ++= ⎩ Bài 13 : Giả sử các số thực ;;; x yztthoả mãn điều kiện: ( ) ( ) 22 22 1ax y bz t + ++= với ;ablà hai số dương cho trước. Chứng minh: ()() ab xzyt ab + ++≤ Hướng dẫn giải Do ; 0ab> nên từ giả thiết ta có: ()() 2222 22 22 22 22 1 1 1 xy zt ax y bz t baab xzyt babaab ++ ++ +=⇔ + = ⇔+++= Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có: () () 2 22 2 x zxz xz b a ba ba ba ⎛⎞ ⎛⎞ += + ≤+ + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ (1) Tương tự : ()() 22 2 y t yt ba ba ⎛⎞ +≤+ + ⎜⎟ ⎝⎠ (2) Cộng từng vế (1) và (2) ta được: ()()() 22 22 22 x zyt ab xz yt ba baba ab ⎛⎞ + +++≤+ +++ = ⎜⎟ ⎝⎠ (3) Mặt khác ()()()() 22 2 x zyt xzyt+++≥ + + (4) Do đó từ (3) và (4) suy ra: ()() ab xzyt ab + ++≤ Dấu đẳng thức xảy ra xz ba xy yt ax ba zt b xz yt ⎧ = ⎪ = ⎪ ⎧ ⎪⎪ ⇔= ⇔ ⎨⎨ == ⎪⎪ ⎩ +=+ ⎪ ⎪ ⎩ Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page10 Bài 14 : Cho các số thực dương ;;; x yztthoả mãn 1.xyzt = Chứng minh: ()()()() 3333 11114 3 x yz zt ty y xz zt tx z xt ty yx t xy yz zx +++ ≥ ++ ++ ++ + + Hướng dẫn giải Với ;;; x yzt dặt 1111 ; ; ; ( ; ; ; 0)abcd abcd xyzt ==== >và 1abcd = 1111 ;;;xyzt abcd ⇒= = = = Bất đẳng thức cần chứng minh tương với: 333 3 11114 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 3 bc cd bd ac cd ad ad bd ab ab bc ac abc d +++≥ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ++ ++ ++ ++ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 3333 4 3 abcd bcd cda dab abc bcd adc abd abc ⇔+++≥ ++ + + ++ ++ ()()()() 333 3 4 3 abcd abcd bcda cd ab dabc ⇔+++≥ ++ + + ++ ++ (vì 1abcd = ) 2222 4 3 abcd bcd cd a d ab abc ⇔+++≥ ++ + + ++ ++ Đặt 2222 abcd S bcd cd a d ab abc =+++ ++ + + ++ ++ Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có: ()()()()( ) 2 .S bcd cda dab abc abcd++ + + + + ++ + ++ ≥ +++ ⎡⎤ ⎣⎦ () () () 2 1 33 abcd Sabcd abcd +++ ⇒≥ = +++ +++ (1) Áp dụng BĐT Cauchy với 2 số dương: 2 ; 2ab ab cd cd+≥ +≥ Suy ra () 2abcd ab cd+++ ≥ + Lại áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ;ab cd ta có: 4 222ab cd abcd abcd+≥ = = (vì 1abcd = ) (2) Từ (1) và (2) suy ra 4 3 S ≥ Vậy 333 3 11114 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 3 bc cd bd ac cd ad ad bd ab ab bc ac abc d +++≥ ⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞ ++ ++ ++ ++ ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠ Dấu đẳng thức xảy ra khi 11abcd x yzt====⇔==== . [...]... − c ⎠ 2 2 3 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = b+c−a c+ a −b a +b−c 5 7 6 = = Hay 2c 2a 2b a b c Vậy GTNN của biểu thức P là 26, đạt được khi = = > 0 7 6 5 a b c trong đó a,b,c là các số thực dương thỏa Bài 5 : Tìm GTNN của biểu thức P = + + 1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c mãn a + b + c = 1 Hướng dẫn giải Vì a + b + c = 1 nên 1 + b − a = ( a + b + c ) + b − a = 2b + c Tương tự ta cũng chứng minh được:... 2R 2 2 a b c2 + 2 + 2 2 c a Bài 3 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = b a b c + + b c a 36 ⎛ abc ⎞ a+b+c Bài 4 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác và p = Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ⎜ p 2 + ⎟ 35 ⎝ 2 p ⎠ M thuộc miền trong của ΔABC đến các cạnh BC;CA;AB.Chứng minh: x + y + z ≤ Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 25  Trường THPT Chuyên Tiền Giang... d 2 2 2 Chứng minh: Ta có: (a (1) ⇔ ( a + c ) + ( b + d ) ≤ a 2 + b 2 + 2 2 2 2 + b 2 )( c 2 + d 2 ) + c 2 + d 2 (a ⇔ a 2 + 2ac + c 2 + b 2 + 2bd + d 2 ≤ a 2 + b 2 + 2 ⇔ ac + bd ≤ (a 2 (1) 2 + b 2 )( c 2 + d 2 ) + c 2 + d 2 + b 2 )( c 2 + d 2 ) Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo BĐT Bunhiacơpxki VẬN DỤNG 2 DẠNG TRÊN: 1 1 4 + ≥ a b a+b Hướng dẫn giải Bài 1:Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh:... z − 1) ≤ Chứng minh: x + y + z ≤ 4 3 a + 2b b + 2c c + 2a + + ≥ a+ b+ c Bài 6: Cho a; b; c là 3 số khơng âm.Chứng minh: 3 3 3 bc ca ab 3 Bài 7: Cho 3 số dương a; b; c có abc = 1 Chứng minh: 2 + 2 + 2 ≥ 2 2 2 a b+a c b c+b a c a+c b 2 1+ x 1+ y 1+ z 9 + 3 3 Bài 8: Cho 3 số dương x; y; z có x + y + z = 1 Chứng minh: + + ≥ 2 y+z z+x x+ y Bài 2: Cho a; b; c; d > 0 Chứng minh: a b c ( Bài 9: Chứng minh:... là các số thực dương Chứng minh : BĐT cần chứng minh tương đương với: ⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞ ⎛ c ⎞ 25 ⎜ + 1⎟ + 16 ⎜ + 1⎟ + ⎜ + 1⎟ > 8 + 25 + 16 + 1 = 50 ⎝b+c ⎠ ⎝c+a ⎠ ⎝ a+b ⎠ 25 16 1 50 (1) Hay + + ≥ b+c c+a a+b a+b+c Ký hiệu P là vế trái của (1) Áp dụng BĐT BCS ta có: ( 5 + 4 + 1) 52 42 12 50 P= + + ≥ = b + c c + a a + b (b + c ) + ( c + a ) + ( a + b ) a + b + c b+c c+a a+b = = Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi... BĐT cần chứng minh 2 Bài 10 : Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh: a b c 3 + + ≥ 2 2 2 2 ab + b bc + c ca + a Hướng dẫn giải Ký hiểu P là cế trái của BĐT cần chứng minh Áp dụng BĐT BCS ta có: P= Hay P ≥ ( a b b + c + a b +1 +1 b c x+ y+ z ) c a ≥ c +1 a ⎛ a + ⎜ ⎝ b a +1 + b 2 b c⎞ + ⎟ c a⎠ b c +1 + +1 c a 2 x +1 + y +1 + z +1 (1) với x = a b c ,y = ,z = b c a ( chú ý xyz = 1 ) Sử dụng BĐT Cauchy... vì nó tương đương với BĐT đúng: 2 2 2 a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b ) ≥ 0 ⇒ đpcm Bài 12 : Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương a, b, c : (a ) (b ) 3 (c ) 3 b − bc + c + 3 + c − ca + a a − ab + b Hướng dẫn giải Ký hiệu P là vế trái của BĐT BCS ta có: 2 2 2 2 (a ) 2 (b ) 2 2 Áp dụng BĐT BCS ta có: P = ≥3 2 ab + bc + ca a+b+c (c ) 2 2 a ( b 2 − bc + c 2 ) + 2 b ( c 2 − ca + a... 2 số dương c; d thay đổi sao cho a + b < c + d Chứng minh: Bài 13: Cho a; b; c ∈ Chứng minh: a 2 + (1 − b ) + b 2 + (1 − c ) + c 2 + (1 − a ) ≥ 2 2 2 (a − c) c2 a2 + ≥ Dấu “=” xảy ra khi nào? c+d a+b−c−d a+b 2 2 2 Bài 16: Cho a1 ; a2 ; ; an là các số thực thoả mãn a12 + a2 + + an = 3 Chứng minh: Bài 17: Cho a; b; c; p; q > 0 Chứng minh: Bài 18: Chứng minh rằng với mọi ai ∈ a a1 a2 + + + n < 2 n... 2 2 2 2 2 2 2 + b2 + c 2 6 Thay a 2 + b 2 + c 2 = 1 vào BĐT trên ta nhận được BĐT cần chứng minh Bài 7 : Cho a, b, c, d là các số thực dương Chứng minh: a b c d a b c 3 + + ≥ ( BĐT Nesbit ) 2) 1) + + + ≥2 b+c c+d d +a a+b b+c c+a a+b 2 Hướng dẫn giải 3 1) Đặt P là vế trái của BĐT đã cho Ta cần chứng minh P ≥ 2 Áp dụng BĐT BCS ta có: ( BĐT Nesbit ) (a + b + c) a2 b2 c2 P= + + ≥ a (b + c ) b ( c + a )... a + b a 2 ( b + c ) + b2 ( c + a ) + c2 ( a + b ) Để chứng minh được bài tốn ta cần chứng minh: 2 2 ( a 3 + b3 + c 3 ) ≥ a ( b + c ) + b 2 ( c + a ) + c 2 ( a + b ) 2 (**) (**) ⇔ a 3 + b3 − a 2 b − b 2 a + b3 + c3 − b 2 c − bc 2 + c3 + a 3 − c 2 a − ca 2 ≥ 0 ⇔ ( a − b) ( a + b) + (b − c ) (b + c ) + ( c − a ) (c + a ) ≥ 0 2 2 2 (***) Bất đẳng thức (***) là đúng ⇔ (**) là đúng – Bài tốn đúng a4 b4 c4 . 333 123 333 123 333 123 1 1 1 xxx yyy zzz ⎧ ++= ⎪ ++= ⎨ ⎪ ++= ⎩ và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 111 2 22 3 33 1xyz xyz xyz++≤ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số khơng âm: ( ) 333 ;; 1;2;3 iii xyzi= ta. dưỡng học sinh giỏi K10 Page2 Nếu 0A = hoặc 0B = hoặc 0C = thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì khi đó cả hai vế của bất đẳng thức đều bằng 0. Vậy ta chỉ xét trường hợp 0; 0; 0ABC>>>. ax C a a++ =− ++ Dấu “=” xảy ra 1 1 0 n n x x aa ⇔==≤ III .Bất đẳng thức Bunhiacơpxki mở rộng: • Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacơpxki cho 3 dãy số thực khơng âm () 12 ; ; ; n aa a