Tìm tọa độ đỉnh của tam giác khi biết tọa độ ba điểm Đào Chí Thanh-THPT chuyên Vĩnh Phúc Trong các bài thi ĐH hay các đề thi thử ĐH của các trường THPT ta thấy bài toán có nội dung hình
Trang 1Tìm tọa độ đỉnh của tam giác khi biết tọa độ ba điểm Đào Chí Thanh-THPT chuyên Vĩnh Phúc
Trong các bài thi ĐH hay các đề thi thử ĐH của các trường THPT ta thấy bài toán có nội dung hình học giải tích phẳng là bài toán tương đối khó Nó đòi hỏi học sinh có kiến thức hình học tương đối chắc chắn Bài viết này nhằm củng cố cho học sinh một số kiến thức về một vài điểm đặc biệt (các điểm này có cùng chất) thường gặp ở tam giác, từ đó xác định được tam giác
Bài toán 1 : Cho tam giác ABC biết toa độ trung điểm của ba cạnh Hãy xác định tọa độ các đỉnh của
tam giác
Hướng giải : Giả sử M; N ; P lần lượt là ba trung điểm của ba cạnh AB; BC; CA theo công thức
tính tọa độ của trung điểm ta có
Giải hệ này ta có tọa độ đỉnh của tam giác ABC
Bài tập minh họa 1 Cho tam giác ABC biết M(1;2); N(2;1) P(4;0) lần lượt là toa độ trung điểm của
ba cạnh AB; BC;CA Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác
Bài giải :
Áp dụng công thức trên ta có
Vậy :
Bài toán 2 : Cho tam giác ABC nhọn biết tọa độ chân đường cao Hãy xác định tọa độ các đỉnh của
tam giác
Hướng giải :
Giả sử AD; BE; CF là các đường cao của tam giác
ABC với trực tâm H Sử dụng tính chất của tứ
giác nội tiếp dễ rằng chứng minh được HD;HE;HF
là các đường phân giác trong của tam giác DEF
Bài tập minh họa 2: (HSG Thanh Hóa 2011)
Cho tam giác ABC nhọn có tọa độ chân các
đường cao hạ từ đỉnh A; B; C xuống các cạnh
tương ứng là
D(-1; - 2); E( 2; 2) ; F(-1; 2) Lập phương trình
đường thẳng chứa cạnh AC
Bài giải : Gọi H là trực tâm tam giác ABC ta có phương trình DE : 4x – 3y – 2 = 0 ; EF : y – 2 = 0
Vậy phương trình phân giác góc FED là :
Ta có hai phương trình đường thẳng là :
Khi thay tọa độ của F; D vào (d) thấy F; D cùng phía đối với (d) nên phương trình AC : 2x + y – 6 = 0
(Ta có thể tìm phương trình các cạnh còn lại và từ đó xác định các định của tam giác ABC)
H A
E
F
Trang 2Bài toán 3 : Cho tam giác ABC biết tọa độ P;Q;R
là ba điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp tam giác
ABC và các cạnh của tam giác ABC
Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác \
Hướng giải
Ta gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
phương trình đường tròn qua P; Q; R và lập phương
trình các cạnh tam giác ABC
Bài tập minh họa 3:
Cho tam giác ABC biết tọa độ P (3;0);Q (4;1);R
lần lượt là ba điểm tiếp xúc của đường tròn
nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC; CA; AB của tam giác ABC
Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác
Bài giải :
Do đường tròn nội tiếp tam giác ABC qua P; Q; R nên phương trình của nó là :
Ta có tâm I(3;1) vì vậy các đường thẳng AC; BC; AB đi qua Q; P ; R có véc tơ pháp tuyến là
sẽ có phương trình tương ứng là :
AC : x = 4 BC: 4x – 3y – 4 = 0 ; AB : y = 0
Nên tọa độ các đỉnh tam giác là A(4;4) ; B(1;0) ;C(4;0)
Bài toán 4: Cho tam giác ABC biết H là trực tâm tam giác ABC Biết tọa độ trung điểm E; F; K của
ba đoạn HA; HB; HC.Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác
Hướng giải:
Ta có EK // AC; EF // AB; FK // BC nên tam giác ABC là ảnh
của tam giác EFK qua phép vị tự tâm H tỷ số 2
Bài tập minh họa 4:
Cho tam giác ABC nhọn với H là trực tâm tam giác ABC Biết
HA; HB; HC.Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.
Bài giải
Ta thấy trực tâm tam giác ABC cũng là trực tâm tam giác EFK
Phương trình EH vuông góc với FK : - 3x + 4y + 2 = 0
Phương trình FH vuông góc với EK : x + 2y – 4 = 0
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ
nên tọa độ đỉnh A (6;4);B(0;2); C(3 ;- 2)
Bài toán 5 : Cho tam giác ABC biết tọa độ giao điểm của các đường cao với đường tròn ngoại tiếp
tam giác.Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác
Hướng giải :
Giả sử các đường cao cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại P,Q,R
Theo tính chất trực tâm H ta có HE= EP; HG= GR nên EF//PQ;
FG//QR vì vậy QC là phân giác góc PQR Hay đỉnh C là giao của
đường tròn và phân giác QC , tương tự ta xác định được đỉnh A; B
Bài tập minh họa 5:
Cho tam giác ABC biết ba đường cao AH; BH; CH của tam giác lần
lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại R(-1;-1) ; P (1;3); Q
Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác
A R
Q
P
H
A
K
E
F
G F
E H
R
P A
B
C Q
Trang 3Bài giải :
Do đường tròn ngoại tiếp tam giác qua P; Q; R nên có phương trình :
Lại có phương trình các đường thẳng RP : 2x – y =1; PQ : 2x + y – 5 = 0; RQ : x – 2y – 1 = 0
Nên phương trình các đường phân giác góc QPR là: x= 1; y = 3 thử lại ta thấy phân giác trong góc QPR là x = 1 nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ :
Vậy tạo độ đỉnh C ( -2 ; 2)
Tương tự tọa độ đỉnh A(2; 2) và B(1; -1)
Bài toán 6 : Cho tam giác ABC biết tọa độ giao điểm của các phân giác trong với đường tròn ngoại
tiếp tam giác.Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác
Hướng giải :
Ta có :
Hay
Từ đó ta có cách dựng sau :
Dựng đường tròn qua ba điểm đã cho, sau đó dựng các
đường thẳng
Vuông góc với dây cung cắt đường tròn tại các điểm đó là
đỉnh của tam giác
Bài tập minh họa 6:
Cho tam giác ABC biết tọa độ giao điểm của các phân giác trong kẻ từ đỉnh A; B; C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác lần lượt tại Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác
Hướng dẫn giải
Nhu chứng minh trên ta lập phương trình đường tròn qua P; Q; R
Ta có phương trình :
Phương trình PQ : y = 3; QR : x – y – 3 = 0; PR : 5x – 3y – 1 = 0
Vậy đường thẳng qua R vuông góc với PQ : x = 1;
đường thẳng qua P vuông góc với RQ : x + y = 1;
đường thẳng qua Q vuông góc với PR : 3x – 5y = 3;
Do đó tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ :
Do đó tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ :
Do đó tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ :
Giải các hệ này ta có
Bài toán 7 : Cho tam giác ABC biết tọa độ ba tâm
đường tròn bàng tiếp tam giác.Hãy xác định tọa độ các
đỉnh của tam giác
Hướng giải :
Giả sử R; S ; T là tâm ba đường tròn bàng tiếp
Tam giác ABC như hình vẽ
Theo tính chất phân giác ngoài và trong ta có R;A;
S thẳng hàng; S;C; T thẳng hàng; R; B T thẳng hàng
A
C
R
S
T
D Q A
N Q1
P
Trang 4Từ đó ta có cách giải sau :
Lập phương trình đường thẳng RS; ST; RT, sau đó tìm hình chiếu của T; R; S lên ba đường thẳng đó Tọa độ hình chiếu là tọa độ đỉnh cần tìm
Bài tập minh họa 7:
Cho tam giác ABC biết tọa độ tâm đường tròn bàng tiếp góc A là T(-3;-1); tâm đường tròn bàng tiếp góc B là S(4;0) tâm đường tròn bàng tiếp góc C là R(-2;4) Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác
Bài giải :
Ta có phương trình qua R; S; T là :
Khi đó phương trình đường cao TA; SB; RC là :
Vậy : tọa độ ba đỉnh A; B; C là nghiệm của các hệ sau:
Bài toán 8: Cho tam giác ABC biết tọa độ của ba điểm M; N; P là
ba điểm đối xứng của trực tâm H qua trung điểm ba cạnh Hãy xác
định tọa độ đỉnh tam giác ABC
Hướng giải :
Giả sử M ; N; P là ác điểm đối xứng của trực tâm H qua trung điểm
ba cạnh Khi đó xét tứ giác BHCP đễ thấy tứ giác này là hình bình
hành nên BH // CP hay AC vuông góc với AC vậy A; I ; P thẳng
hàng; tương tự B; I; N và C; I ; M thẳng hàng (Với I là tâm đường
tròn Từ đó ta xác định được ba đỉnh tam giác khi biết tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nhưng đó chính là đường tròn qua ba
điểm M; N; P
Bài tập minh họa 8:
Cho tam giác ABC biết tọa độ của ba điểm M (1;3); N (9;3); P(8; - 4) là ba điểm đối xứng của trực
tâm H qua trung điểm ba cạnh Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC
Bài giải :
Qua ba điểm M; N; P ta có phương trình đường tròn là : ( x – 5 ) 2 + y 2 = 25
Vậy tâm đường tròn là : I(5;0)
Do A đối xứng với P(8; -4) qua tâm I nên A(2:4); Do B đối xứng với N(9; 3) qua tâm I nên B(1:-3)
Do C đối xứng với M(1; 3) qua tâm I nên C(9:-3)
Vậy tọa độ ba đỉnh là A(2;4); B(1;-3) ; C(9;-3)
Do khuôn khổ bài báo có hạn nên tôi xin đưa ra một vài bài tập để luyện tâp
Bài 1 : Cho tam giác ABC nhọn Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC khi biết tọa độ chân
các đường cao hạ từ A; B; C tương ứng là : H(2;-1)’; Q(2;2) K(-2;2)
Bài 2 : Cho tam giác ABC biết trung điêm ba cạnh AB; BC ; CA lần lượt là
M(-2;1); P( -1;-2) Q( 0; 0)
Bài 3 Cho tam giác ABC biết tọa độ giao điểm của các phân giác trong kẻ từ đỉnh A; B; C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác lần lượt tại Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác
Bài 4: Cho tam giác ABC biết tọa độ của ba điểm M (0;5); N (1;0); P(5; 0) là ba điểm đối xứng của
trực tâm H qua trung điểm ba cạnh Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC
B
A
C
P M
N