VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC ĐỂ GIẢI TOÁN

Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 1 Phòng giáo dục TP Phan Rang TC CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIÊT NAM TRƯỜNG THCS LÊ HỒNG PHONG Độc lập – Tự do – Hạnh phúc Tên đề tài: VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC ĐỂ GIẢI TOÁN Họ tên: Nguyễn Thò Dung Chức vụ: Giáo viên I. HOÀN CẢNH NẢY SINH SÁNG KIẾN: Thời gian gần đây nền giáo dục của chúng ta yêu cầu mỗi giáo viên phải đổi mới phương pháp dạy học. Phương pháp dạy học mới này chú ý đến đối tượng học sinh, coi trọng việc nâng cao khả năng cho học sinh; nêu tình huống, kích thích hứng thú cho học sinh. Những giáo viên dạy toán giỏi chính là những giáo viên biết phát huy sự đam mê yêu thích học toán của học sinh. Khi giảng dạy Toán, bên cạnh yêu cầu quan trọng là truyền thụ kiến thức cơ bản cho học sinh, thì người giáo viên phải giúp các em phát triển khả năng tư duy sáng tạo của mình . Muốn làm được điều đó, bằng phương pháp đổi mới dạy học người dạy toán phải đưa ra được các tình huống, khai thác, phát triển, phát huy óc sáng tạo của học sinh. Năm học 1996-1997, tại Trường THPT Nguyễn Trãi, lần đầu tiên kể từ khi ra trường tôi được phân công dạy môn Toán lớp 8. Ở thời điểm đó trường THPT Nguyễn Trãi là một trong những trường tại tỉnh Ninh Thuận có tỷ lệ học sinh có học lực khá, giỏi rất cao. Khi dạy tiết luyện tập của bài “Tính chất đường phân giáctrong tam giác”, để kích thích tư duy cho các em học sinh, ngoài những bài toán trong sách giáo khoa tôi còn đưa thêm nhiều bài toán khó cho các em luyện giải. Qua tiết dạy tôi hơi thất vọng khi nhận thấy các em vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác vào giải các bài tập liên quan mà tôi đã đưa ra còn yếu. Tỷ lệ các em giải được các bài toán khó còn thấp. Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 2 Trước thực tế đó, tôi đã băn khoăn, trăn trở rất nhiều. Trong đầu tôi cùng lúc ùa về nhiều câu hỏi: Tại sao khả năng học tập của học sinh tại trường Nguyễn Trãi được đánh giá là giỏi mà việc giải toán lại chưa được tốt? Phải chăng các em nắm kiến thức cơ bản chưa vững? Phải chăng khả năng tư duy, sáng tạo của các em trong giải toán chưa cao? … Qua suy nghó, phân tích tôi đã nhận ra các em giải toán còn yếu là do khi thiết kế bài dạy tôi chưa chú trọng đến việc gây hứng thú cho học sinh, chưa tìm ra phương pháp dạy để “truyền lửa” cho học sinh. Từ đó trong các tiết dạy sau, tôi đã cố gắng dạy cho các em hiểu thật sâu kiến thức cơ bản. Về phần luyện tập, để tạo sự hứng thú và giúp các em nâng khả năng tư duy sáng tạo, khi ra bài cho các em luyện giải, tôi đã xâu chuỗi, hệ thống các bài tập từ dễ đến khó Với phương pháp đó, về sau việc học tập của học sinh đã tốt lên rõ rệt. Đặc biệt, qua năm học sau, khi dạy xong tiết luyện tập của bài “Tính chất đường phân giác trong tam giác”, tôi rất vui khi nhận thấy học sinh đã vận dụng “Tính chất đường phân giác trong tam giác” vào giải các bài toán liên quan rất tốt . Xuất phát từ lý luận và thực tiễn trên ta có thể rút ra: Khi dạy các tiết luyện tập, bài tập nếu ta biết hệ thống, xâu chuỗi các bài tập theo hướng từ dễ đến khó để hướng dẫn học sinh vận dụng phần lý thuyết vào giải các dạng toán , sẽ là chìa khoá hữu hiệu cho mọi đối tượng học sinh trong học tập. “Tính chất đường phân giác trong tam giác” ở chương trình toán 8 chỉ gồm 2 tiết nhưng nó lại có tầm ảnh hưởng lớn; có thể vận dụng vào rất nhiều bài toán hay; là sự kết hợp nhuần nhuyễn để có nhiều lời giải hay, độc đáo. Học sinh có thể vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác vào việc giải các bài toán khác có liên quan, qua đó phát triển kó năng, kó xảo trong chứng minh hình học. Đó là lý do tôi chọn đề tài : “ Vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác để giải toán” trong Sáng kiến kinh nghiệm của mình. II.QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN Qua những năm tháng công tác tại Trường THPT Nguyễn Trãi, cũng như về sau khi tôi đến dạy học tại Trường THCS Trần Phú và hiện nay là Trường THCS Lê Hồng Phong, với cách thức giảng dạy như trình bày ở trên tôi đã thu được rất nhiều thành công. Khi dạy xong các bài học, với đối tượng là học sinh yếu, kém và trung bình cũng đã hiểu bài và Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 3 giải được các bài tập cơ bản. Còn các đối tượng là học sinh kha,ù giỏi đã có được khả năng vận dụng những kiến thức cơ bản để giải các dạng toán khó. Tại phạm vi báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này, tôi xin nêu lên một phương án đưa ra các bài tập mang tính xâu chuỗi, hệ thống các bài tập từ dễ đến khó… nhằm giúp học sinh có thể “Vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác để giải toán” một cách tốt nhất. Bài toán 1 (Bài 15/67 SGK) Tính x trong hình 24 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất. A P 4,5 7,2 6,2 8,7 B 3,5 D x C M Q x N 12,5 a) b) Hình 24 Lời giải: a) ∆ ABC có AD là đường phân giác của · BAC nên DB AB DC AC = hay 3,5 4,5 7, 2x = 3,5.7, 2 5,6 4,5 x⇒ = = b) PMN ∆ có PQ là đường phân giác của · MPN nên QM PM QN PN = hay 12,5 6,2 8,7 x x − = ⇒ 6,2x = 8,7(12,5 – x) ⇔ 6,2x + 8,7x = 8,7 . 12,5 Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 4 x = 8,7.12,5 7,3 14,9 ≈ Nhận xét 1: Đây là một bài toán cơ bản, ta có thể vận dụng ngay tính chất đường phân giác của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng. Bài toán 2: (Bài 16/67 SGK) Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường phân giác. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của tam giác ABD và diện tích của tam giác ACD bằng m n . A m n B H D C Lời giải: Kẻ đường cao AH, ta có: 1 . 2 1 . 2 1 . 2 (1) 1 . 2 ABD ACD ABD ACD S BD AH S CD AH BD AH S BD S CD CD AH = = = = Theo tính chất đường phân giác trong tam giác , ta có: (2) BD AB m CD AC n = = Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 5 Từ (1) và (2) suy ra: ABD ACD S AB m S AC n = = Nhận xét 2: ( Từ bài toán trên, GV mở rộng bài toán và khắc sâu kiến thức) - Khi điểm D là điểm bất kỳ nằm giữa B và C thì ABD ACD S BD S CD = - Khi D là trung điểm của BC thì 1 ABD ACD S S = , nghóa là ABD ACD S S= - Khi D là chân đường phân giác của góc A thì ABD ACD S AB S AC = * Qua bài toán trên ta có được một tính chất mới có thể vận dụng để giải toán sau này. Sử dụng kết quả của bài toán 2 đã được GV mở rộng để làm tiếp bài toán sau với lời giải ngắn gọn hơn. Bài toán 3: (Bài 21/68 SGK) a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác AD. Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n(n > m) và diện tích của tam giác ABC là S. b) Cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi diện tích tam giác ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác ABC? A m n B H D M C Lời giải: Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 6 a) AD là đường phân giác của ABC ∆ nên: ABD ACD S BD AB m S CD AC n = = = Do đó: ABD ACD ABD S m S S n m = + + . ABD m S S n m ⇒ = + AM là đường trung tuyến của ABC ∆ nên: 1 . 2 ABM S S= Mà: ADM ABM ABD S S S= − Suy ra: 1 2 2( ) ADM m n m S S S S n m n m − = − = + + b) Với n = 7cm, m = 3cm thì 0 0 7 3 4 20 2(7 3) 20 ABD ABC ABC ABC S S S S − = = = + Bài toán 4: Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp và G là trọng tâm. Biết rằng AI vuông góc với IG. Chứng minh: AB + AC > 2BC. Lời giải: Nhận xét rằng nếu ABC ∆ cân tại A thì AI trùng với AG, vi phạm giả thiết AI ⊥ IG. Giả sử AB < AC, AI cắt BC tại D, AG cắt BC tại M. Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong A B I G D E M C Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 7 Dựng ME ⊥ AD (E thuộc tia AD). Khi đó · · · · · ADC ABC BAD ACB DAC= + > + . Mà · · 0 180ADC ADB+ = . Nên · 0 90ADC > Do đó D nằm giữa I và E ⇒ IE > ID. Mặt khác từ IG//EM (cùng ⊥ AD), theo đònh lí Talét ta có: 2 AI AG IE GM = = ⇒ AI = 2 IE > 2 ID Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, ta được: 2 AB AC AI BD DC ID = = > ⇒ AB + AC > 2(BD + DC) = 2 BC (Điều phải chứng minh). * Ta thấy điều kiện AI ⊥ IG trong giả thiết là để cho AI > 2 ID và tam giác ABC không cân tại A. Nếu tam giác ABC có thêm điều kiện AB < AC thì muốn có AI > 2 ID ta chỉ cần cho ràng buộc GI cắt tia MB là đủ. Nhận xét 3: Cho tam giác ABC với AB < AC. Gọi AD là đường phân giác trong, AM là đường trung tuyến của tam giác đó thì M nằm giữa C và D. (Hình vẽ bài toán 4) Thật vậy ta có: 1 BM AB BD BC BC CD CM CM AC CD CM CD = > = ⇒ > ⇒ > Suy ra M nằm giữa C và D. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì: AI AB AC AB AC AB AC ID BD CD BD CD BC + + = = = = + (1) Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 8 Bài toán 5: Cho tam giác ABC (AB < AC). Gọi G, I lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác và GI cắt tia MB tại N. Chứng minh rằng: AB + AC > 2 BC. Lời giải: Gọi D, M lần lượt là giao điểm của AI và AG với BC. Kẻ IK//DM (K ∈ AM). Khi đó theo nhận xét 2 và chứng minh tương tự bài toán 4, ta có K nằm giữa G và M. Do đó 2 AI AK AG ID KM GM = > = (2) Từ (1) và (2) suy ra AB + AC > 2 BC (điều phải chứng minh). *Từ bài toán 5 đặt ra cho chúng ta câu hỏi: Khi nào AB + AC < 2 BC ? Giải xong bài toán 6 chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi đó. Bài toán 6: Cho tam giác ABC (AB < AC). Gọi G, I lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác và GI cắt tia DC tại N. Chứng minh rằng: AB + AC < 2 BC. Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong A B G I K N D M C A B CD M N I G K Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 9 Lời giải: Gọi D, M là các giao điểm tương ứng của AI và AG với BC. Kẻ GK//DM (K ∈ AD) thì K nằm giữa I và D (Theo nhận xét 2 và chứng minh tương tự bài toán 4 ). Do đó: 2 AI AK AG ID KD GM < = = (3) Từ (1) và (3) ta suy ra: AB + AC < 2 BC. * Xét bài toán 7, ta sẽ trả lời được câu hỏi: Khi nào AB + AC = 2 BC ? Bài toán 7: Cho tam giác ABC (AB < AC). Gọi I, G lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm của tam giác đó. Chứng minh rằng: IG // BC ⇔ AB + AC = 2 BC. Lời giải: Gọi giao điểm của AI và AG với BC lần lượt là D và M. Ta có: IG // BC 2 AI AG ID GM ⇔ = = Theo (1) điều này xảy ra khi và chỉ khi AB + AC = 2 BC. Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong A B G I D M C Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 10 III. ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ : Qua quá trình giảng dạy học sinh học Toán, với phương pháp dạy “ Xâu chuỗi, hệ thống các bài tập theo hướng từ dễ đến khó để hướng dẫn học sinh vận dụng phần lý thuyết vào giải các dạng toán” như tôi đã trình bày tại chuyên đề “Vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác để giải toán” nêu trên, đã giúp học sinh dễ hiểu và nhớ bài lâu hơn, phát triển tốt hơn tư duy giải toán. Cách làm này, không những đã làm cho học sinh có kỹ năng giải tốt các bài toán thông thường trong sách giáo khoa, mà còn giúp các em học sinh giải được các bài toán nâng cao có liên quan đến tính chất đường phân giác trong tam giác. Đặc biệt, khi áp dụng phương pháp này vào giảng dạy ở các chuyên đề khác ( cả Hình học lẫn Đại số ) cũng mang lại kết quả rất tốt. Nhờ vậy, kết quả học tập môn Toán của học sinh mà tôi giảng dạy qua hàng năm thu được rất khả quan. Học sinh đã hứng thú hơn khi học Toán. Điểm kiểm tra một tiết môn hình học, hàng năm ở các lớp mà tôi đã giảng dạy đạt được khá cao. Lấy kết quả bài kiểm tra một tiết môn Hình học từ năm học 2001-2002 đến năm học 2004-2005 ở một số lớp mà tôi đã giảng dạy tại trường THPT Nguyễn Trãi để làm ví dụ minh chứng: Bảng thống kê điểm kiểm tra một tiết môn Hình học của học sinh (từ năm học 2000-2001 đến năm học 2003-2004 tại các lớp 8 1 , 8 2, 8 1 , 8 3 của trường THPT Nguyễn Trãi ) Năm học 2000-2001 Năm học 2001- 2002 Năm học 2002- 2003 Năm học 2003- 2004 Tỷ lệ HS đạt 9,0 → 10,0 12% 30% 35% 48% Tỷ lệ HS đạt 7,0 → 8,8 44% 40% 40% 45% Tỷ lệ HS đạt 5,0 → 6,8 40% 28% 23% 7% Tỷ lệ HS đạt 0,0 → 4,8 4% 2% 0% 0% Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong [...]... này, không những giúp học sinh Vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác để giải toán tốt, mà còn giúp các em học tốt các chuyên đề Toán khác Từ đó, học sinh khá giỏi có thể tự giải được các bài toán khó dễ dàng, còn các học sinh trung bình và yếu cũng có thể giải thành công nhiều dạng toán khác nhau từ dễ đến khó, nhờ vậy tỷ lệ học sinh khá giỏi trong học Toán không ngừng được nâng cao,... huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh Với sáng kiến kinh nghiệm nhỏ bé này, bản thân hy vọng được chia sẻ với tất cả đồng nghiệp gần xa trong công tác giảng dạy môn Toán nói chung và chuyên đề “ Vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác để giải toán nói riêng Bên cạnh đó, bản thân xin có một số kiến nghò như sau: - Các ban ngành chức năng hữu quan nên tổ chức các diễn đàn để các... các giáo viên có thể trao đổi , bàn bạc tìm ra các phương pháp giảng dạy toán cho học sinh một cách tốt nhất -Khi dạy các chủ đề tự chọn môn toán, chúng ta nên thiết kế các bài tập xâu chuỗi , hệ thống các bài toán từ dễ đến khó để học sinh hiểu sâu, nhớ lâu từng dạng toán và có thể nâng cao tư duy trong giải toán cho các em - Để đạt kết quả cao, ngoài phương pháp dạy tốt thì giáo viên phải thường xuyên...Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 11 IV KẾT LUẬN: Trong tiếp thu kiến thức Toán, điều đầu tiên là học sinh phải hiểu và nắm thật vững phần lý thuyết Bên cạnh đó giáo viên nên xâu chuỗi , hệ thống các bài tập theo hướng từ dễ đến khó; tìm cách cuốn hút học sinh vào... dạy học Hiện nay đồ dùng dạy học môn hình học và sách tham khảo thiếu nhiều Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 12 Kính mong cấp trên trang bò thêm để giáo viên có đủ phương tiện dạy học Do trình độ và khả năng bản thân còn nhiều hạn chế, nên sáng kiến kinh nghiệm này chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý, chỉ giáo của quý cấp . tiết luyện tập của bài Tính chất đường phân giác trong tam giác , tôi rất vui khi nhận thấy học sinh đã vận dụng Tính chất đường phân giác trong tam giác vào giải các bài toán liên quan rất tốt. mang tính xâu chuỗi, hệ thống các bài tập từ dễ đến khó… nhằm giúp học sinh có thể Vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác để giải toán một cách tốt nhất. Bài toán 1 (Bài 15/67 SGK) Tính. bài toán cơ bản, ta có thể vận dụng ngay tính chất đường phân giác của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng. Bài toán 2: (Bài 16/67 SGK) Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường