LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Khi dạy định lý hình học giáo viên thường cho học sinh đọc định lý, ghi giả thiết, kết luận và chứng minh theo hướng dẫn của sách giáo khoa đã trình bày.. Ít có giáo
Trang 1A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Khi dạy định lý hình học giáo viên thường cho học sinh đọc định lý, ghi giả thiết, kết luận và chứng minh theo hướng dẫn của sách giáo khoa đã trình bày Ít có giáo viên hướng dẫn cho học sinh tìm ra cách chứng minh hay hoặc khai thác tư duy của học sinh qua việc đề ra nhiều phương án vẽ thêm hình phụ để chứng minh định lý, vận dụng định lý để khai thác những bài toán liên quan
Không làm được điều đó vì lý do khách quan là thời gian trên lớp còn hạn chế, thời gian chuẩn bị bài của giáo viên cũng không nhiều, mặt khác cũng có những giáo viên chưa tâm huyết, chưa chịu suy nghĩ Đối với học sinh thì thường mang tính lệ thuộc sách giáo khoa, hầu hết không nghĩ đến việc suy nghĩ để phát hiện đề xuất cách chứng minh mới
Trước yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước, ngoài nhiệm vụ dạy chữ, dạy người còn phải biết khơi dậy niềm đam mê học tập, có khả năng tư duy sáng tạo trong quá trình nghiên cứu Vì thế mỗi một giáo viên cần phải tập cho học sinh khi chứng minh định lý phải xem xét một cách toàn diện, vận dụng hết lượng kiến thức dã học có liên quan đến định lý để phát hiện kẻ thêm hình phụ và
đề xuất những hướng chứng minh khác nhau Từ đó biết xâu chuỗi kiến thức một cách lôgíc và biết vận dụng định lý đó vào giải quyết các bài toán
Sau đây tôi xin trình bày các cách khác nhau để chứng minh định lý: “ Trong tam giác đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.”(Sách giáo khao Toán 8- Tập 2) Và vận dụng công thức đường phân giác vào giải toán
B NỘI DUNG:
I Một số cách chứng minh định lý: “ Trong tam giác đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.”
Không mất tính tổng quát, ta xét tam giác ABC có phân giác AD ( D thuộc BC), ABC ≥ ACB Ta cần chứng minh: (*)
DB
DB AC AB
=
Trang 2F D
A
B
C
D
E
A
A
B
C
Cách 1: (SGK Toán 8 - tập 2,trang 66)
Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AD tại E.(Hình 1)
Cách 2: Nếu nghĩ đến chứng minh hệ thức này bằng tam giác đồng dạng, thì phải tạo ra một cặp
tam giác đồng dạng với tam giác ACD bằng (Hình 1)
cách dựng BE(E thuộc AD) sao cho ABE = ACD (Hình 2)
Thật vậy: Ta có ∆ABE •? ∆ACD (g-g) Suy ra :
•∆BDE cân tại B • BD = BE (2)
Từ (1) và (2 ) suy ra (Đpcm) E
Cách 3: Dựng BE ⊥ AD, CF ⊥ AD ( E,F thuộc AD, B D C hình 3) ta lại có cách chứng minh khác: (Hình 2)
Ta có ∆ABE •? ∆ACF (g-g),
∆BDE •? ∆CDF(g-g) Suy ra:
Cách 4: Dựng AH⊥ BC, DM ⊥ AB, DN •AC (H,M,N lần lượt thuộc BC, AB, AC, Hình 4) (Hình 3)
áp dụng phương pháp diện tích ta cũng chứng minh được định lý
Ta có ∆ADM = ∆AND (Cạnh huyền góc nhọn) Suy ra DM = DN, do đó : (Hình 4)
) 1 (
DC
EB AC
AB
=
DC
DB FC
EB AC
AB
=
=
AC
AB AC DN
AB DM ACD S
ABD S
=
=
.
) ( ) (
Trang 3F E
D
A
E
D A
B
C
Lại có:
Từ đó suy ra (đpcm)
Cách 5: Vẽ đường thẳng qua B song song với AD
Cắt đường thẳng AC tại E (Hình 5)
Khi đó xét ∆CBE, AD // BE, ta có A Cũng vì AD // BE mà AD lại là phân giác
của góc BAC, dễ dàng chứng minh được AEB = ABE • ∆ABE cân tại A suy ra AB = AE (1)
Từ (1) và (2) suy ra (*)
(Hình 5)
Cách 6: Qua D dựng các đường thẳng song song với AB,
AC, lần lượt căt AB, AC ở F, E (hình 6)
Ta có : ∆BFD •? ∆DEC (g-g) Suy ra:
CE DE
DF BF CE
DF DE
BF DC
BD
+
+
=
=
= Mặt khác: Dễ thấy AEDF là
hình thoi nên suy ra,
AC
AB DC
BD
= (Đpcm) (Hình 6)
Với các cách kẻ hình phụ sau chúng ta có thể tiếp tục chứng minh định lý trên bằng các cách khác nhau
Cách 7: Qua D dựng đường thẳng song song với AB, qua A dựng đưởng thẳng song
song với BC, hai đưởng thẳng này cắt nhau tại E DE cắt AC tại F
DC
DB DC AH
DB AH ACD S
ABD S
=
=
.
) (
) (
) 1 (
AC
AE DC DB
=
Trang 4c b
a c b
BC c
b
CD BD b
CD c
BD
+
= +
= +
+
=
=
Cách 8: Trong tam giác ABC dựng hai đưởng cao CE và BF, chúng lần lượt cắt
nhau tại K và H Đường thẳng qua C song song AD cắt BF tại I
Cách 9: Dựng qua B đường thẳng vuông góc với AB; Dựng qua C đưởng thẳng
vuông góc AC, hai đưởng thẳng này cắt nhau tại K AD cắt BK, CK lần lượt tại E và
F Dựng qua B đưởng thẳng song song với AD cắt CK tại G
Cách 10: Qua B; C dựng các đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng qua D
song song với AC lần lượt tại F và E Đường thẳng qua F song song AB cắt AD tại
M
II Vận dụng công thức đường phân giác của tam vào giải toán
1 Công thức đường phân giác trong của tam giác:
Để tính độ dài AD = da theo các cạnh BC = a, AC = b ,AB = c trước hết tính BD,
CD Theo tính chất đường phân giác trong ta có:
Từ đó có ( 1 )
c b
ac BD
+
c b
ab CD
+
Trong nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng tia CK sao cho BCK = BAD, tia CK cắt tia AD ở K (h 7)
Ta có ADB = CDK và ABD = CKD Từ đó ∆ABD •? ∆CKD,
Suy ra
KD
CD BD
AD
= ó AD.DK = BD.CD
∆ABD •? ∆AKC suy ra
AC
AK AD
AB
= ó AB.AC = AD.AK
Từ hai đẳng thức trên có AD.AK – AD.DK = AB.AC – BD.CD Chú ý rằng
AK – DK = AD nên AD2 = AB.AC – BD.CD hay 2
a
d = bc – BD.CD (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra 2
a
d = bc - 2
2
)
bc a
+ (4)
Hình 7
Trang 5Hay 2
a
d = bc ( 2
) (
1
c b
a
+
Để ý rằng (b + c)2
– a2 = (b + c + a)(b + c – a) = 2p(2p – 2a) = 4p(p – a), nên từ (5) có
2
a
) (
) ( 4
c b
bc a p p
+
− hay 2
a
d = 2 bcp(p a)
c
Từ (4), (5) và (6) với chú ý là (b + c)2 > 4bc ta có các bất đẳng thức đối với độ dài đường phân giác của tam giác:
bc d a
bc− ≤ a2 <
2
4 (7) và 2
a
d < p(p – a) (8)
Đẳng thức ở (8) xảy ra khi và chỉ khi AB = AC Đối với db, dc có các công thức tương tự
2 Một số bài toán ứng dụng công thức đường phân giác :
Bài toán 1: Gọi da ,db, dc là độ dài 3 đường phân giác của tam giác ABC với 3 cạnh : AB + BC + AC = a + b + c = 2p chứng minh rằng:
a) ab + bc + ca - ( 2 2 2 ) 2 2 2 2
4
1
p d d d c b
a + + ≤ a + b + c ≤
b) da + db + dc ≤ p 3
Hướng dẫn giải: Từ công thức (8) ta có :
2 2 2
c b
d + + ≤ p(p-a) + p(p-b) + p(p-c) = 3p2
– 2p2 = p2
áp dụng công thức (7) ta được : 2 2 2
c b
d + + ≥ (ab + bc + ca) - ( )
4
c b
a + +
áp dụng BĐT bu-nhi-a-côp-xki và câu a) ta có :(d a+d b +d c )2 ≤ 3( 2 2 2
c b
d + + )≤3p2
Từ đó suy ra (Đpcm)
Cả hai câu a) và b) dấu bằng xẩy ra khi tam giác ABC đều
Bài toán 2: Chứng minh rằng tam giác ABC cân đáy BC nếu hai phân giác trong BE
và CF bằng nhau
Hướng dẫn giải:
Ta chứng minh trực tiếp khi sử dụng công thức (4)
Trang 6Dựa vào giả thiết ta có:
db = dc • 2 2
c
2 2
2
) ( )
ab c ab c a
ac b
+
−
= +
• c-b + bc( 2
)
c
+ -(a c) 2
b
+ ) = 0
) ( ) (
) (
2 ) (
2 2
2 2 2
3 3
= +
+
− +
− +
−
c a b a
b c a b c a b c
) ( ) (
) ( 2
2 2
2 2 2
= +
+
+ + + + +
c a b a
b c a a b cb c
=> c= b hay AB = AC
C KẾT LUẬN:
Trong quá trình giảng dạy bộ môn hình học, đặc biệt khi dạy định lý, ngoài việc cung cấp kiến thức cho học sinh thì cần có ý thức dạy phương pháp tư duy sáng tạo cho học sinh Trong điều kiện và khả năng cho phép giúp gho học sinh phân tích, liên
hệ để tìm ra các cách chứng minh khác nhau và các con đường vận dụng định lý vào giải toán
Trong những năm học vừa qua tôi đã thể nghiệm vấn đề này cho học sinh khối 8
và đã góp phần bồi dưỡng được đội ngũ HSG Huyện, Tỉnh khá cho ngành GD huyện nhà Nhưng điều quan trọng hơn với cách thực hiện đó trước mắt chưa hiện hữu kết quả song chắc chắn sẽ giúp học sinh phát triển trí tuệ và rèn luyện khả năng lao động sáng tạo, đặc biệt là đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học hiện nay
Thanh Chương, tháng 5 năm 2008